热 学能量均分定理理想气体的内能自由度能量按自由度均分定理理想气体的内能在力学中,自由度 是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数,
自由度
t,平动自由度 r,转动自由度 s：振动自由度单原子分子 (自由运动质点 )
刚性双原子分子刚性多原子分子非刚性双原子分子
t=3,r=0,s=0
（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）
t=3,r=2,s=0
t=3,r=2,s=1
t=3,r=3,s=0
一个分子的平均平动能为平衡态下可得
2
2
1 vm
k
222
zyx vvv
2
2
12
2
12
2
1
zyx vmvmvm
kT21
分子的每一个平动自由度的平均动能都等于推广到转动等其它运动形式，
得 能量均分定理能量按自由度均分定理
kT23?
2
3
1 v?
kT21?)( 22131 mv?
能量按自由度均分定理在温度为 T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于
kT21
是统计规律，只适用于大量分子组成的系统是气体分子无规则碰撞的结果经典统计物理可给出严格证明理想气体的内能分子的平均总能量为
kTsrt 2
2
1
理想气体的内能为
kTsrtN
M
MU
A
m
2
2
1 RTsrt
M
M
m
2
2
1
理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。
例 5：已知容器中装有,
的理想气体，其密度,此气体不可燃。求：
KT 273? PaP 3100 1 3.1
321025.1 mkg?
① 该气体的摩尔质量，并确定是何种气体。
② 分子的平均平动动能和平均转动动能各为多少？
③ 单位体积内分子的总动能。
解：①
RTMMPV
m
RTVMMP
m
P
RTM
m
可知此气体为氮气
mM
RT
1028.0 m o lkg
②
平k?
转k?
③
kTnE k
2
5 n k TP?
kE
（ 3个自由度）
（ 2个自由度）
P
2
5? 331053.2 mJ
kT23 J211065.5
kT22 J
211077.3
kT
kT
P
2
5?
例 6,刚性双原子分子理想气体，当温度为 时，其内能为
mol1
T
RT
2
3 kT
2
3
kT
2
5RT
2
5
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
（式中 为摩尔气体常量,为玻耳兹曼常量）R k
（ C）
例 7,自由度为 的一定量刚性分子理想气体，当其体积为,压强为 时，其内能 ______．iV P?E
2
iP VE?
RTi
M
ME
m 2
RT
M
MPV
m
例 9．容积为 的瓶子以速率 匀速运动，瓶子中充有质量为 的氦气．设瓶子突然停止，且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能，瓶子与外界没有热量交换．求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？
l0.20 smv /200?
g100
解：定向运动动能为
2
2
1 N m v
气体内能增量
TN ik?
2
1
按能量守恒应有：
3?i
TN i kN m v
2
1
2
1 2
∴
ANTiRmv /
2 iRmvNT A /2
iRmvNT A /2iRvM m o l /2? K42.6?
P
E
Pa41067.6 VTRMM
m //?
TiRMM m?21/ J200?
Tik?
2
1 J221033.1
例 11．有 刚性双原子分子理想气体，
其内能为,
33102 m
J21075.6?
（１）试求气体的压强；
（２）设分子总数为 个，求分子的平均平动动能及气体的温度．
22104.5?
解,（１）设分子数为 N
kTiNE 2/kTVNP /?
PaiVEP 51035.1/2
（２）
2/5
2/3
N k T
kT
E
w?
（２）
2/5
2/3
N k T
kT
E
w?
JNEw 21105.75/3
kTNE 25?
KNkET 3 6 25/2
例 8,一容积为 的电子管，当温度为 时，
用真空泵把管内空气抽成压强为 的高真空，问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是多少？平均动能的总和是多少？
310cm k300
mmHg6105
（,空气分子可认为是刚性双原子分子） Pam m H g
5100 1 3.17 6 0
VN k Tn k TP /
（１）
（２）
121061.1/ kTPVN
分子的平均平动动能的总和
JN k T 81023
解：设管内总分子数为 N
（３）分子的平均转动动能的总和
JN k T 8106 6 7.02/2
JN k T 81067.125
（４）分子的平均动能的总和
（２） 分子的平均平动动能的总和
JN k T 81023
自由度
t,平动自由度 r,转动自由度 s：振动自由度单原子分子 (自由运动质点 )
刚性双原子分子刚性多原子分子非刚性双原子分子
t=3,r=0,s=0
（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）
t=3,r=2,s=0
t=3,r=2,s=1
t=3,r=3,s=0
一个分子的平均平动能为平衡态下可得
2
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12
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1
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分子的每一个平动自由度的平均动能都等于推广到转动等其它运动形式，
得 能量均分定理能量按自由度均分定理
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2
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能量按自由度均分定理在温度为 T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于
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是统计规律，只适用于大量分子组成的系统是气体分子无规则碰撞的结果经典统计物理可给出严格证明理想气体的内能分子的平均总能量为
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2
1
理想气体的内能为
kTsrtN
M
MU
A
m
2
2
1 RTsrt
M
M
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2
2
1
理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。
例 5：已知容器中装有,
的理想气体，其密度,此气体不可燃。求：
KT 273? PaP 3100 1 3.1
321025.1 mkg?
① 该气体的摩尔质量，并确定是何种气体。
② 分子的平均平动动能和平均转动动能各为多少？
③ 单位体积内分子的总动能。
解：①
RTMMPV
m
RTVMMP
m
P
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可知此气体为氮气
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RT
1028.0 m o lkg
②
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③
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2
5 n k TP?
kE
（ 3个自由度）
（ 2个自由度）
P
2
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kT23 J211065.5
kT22 J
211077.3
kT
kT
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2
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例 6,刚性双原子分子理想气体，当温度为 时，其内能为
mol1
T
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2
3 kT
2
3
kT
2
5RT
2
5
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
（式中 为摩尔气体常量,为玻耳兹曼常量）R k
（ C）
例 7,自由度为 的一定量刚性分子理想气体，当其体积为,压强为 时，其内能 ______．iV P?E
2
iP VE?
RTi
M
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RT
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例 9．容积为 的瓶子以速率 匀速运动，瓶子中充有质量为 的氦气．设瓶子突然停止，且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能，瓶子与外界没有热量交换．求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？
l0.20 smv /200?
g100
解：定向运动动能为
2
2
1 N m v
气体内能增量
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2
1
按能量守恒应有：
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1 2
∴
ANTiRmv /
2 iRmvNT A /2
iRmvNT A /2iRvM m o l /2? K42.6?
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2
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例 11．有 刚性双原子分子理想气体，
其内能为,
33102 m
J21075.6?
（１）试求气体的压强；
（２）设分子总数为 个，求分子的平均平动动能及气体的温度．
22104.5?
解,（１）设分子数为 N
kTiNE 2/kTVNP /?
PaiVEP 51035.1/2
（２）
2/5
2/3
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（２）
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例 8,一容积为 的电子管，当温度为 时，
用真空泵把管内空气抽成压强为 的高真空，问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是多少？平均动能的总和是多少？
310cm k300
mmHg6105
（,空气分子可认为是刚性双原子分子） Pam m H g
5100 1 3.17 6 0
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（１）
（２）
121061.1/ kTPVN
分子的平均平动动能的总和
JN k T 81023
解：设管内总分子数为 N
（３）分子的平均转动动能的总和
JN k T 8106 6 7.02/2
JN k T 81067.125
（４）分子的平均动能的总和
（２） 分子的平均平动动能的总和
JN k T 81023
