第 二 章
点、直线、平面的投影
2.1 投影的形成及常用的投影方法
2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 平面的投影
2·1 投影的形成及常用的投影方法
中心投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
斜角投影法
画透视图
画斜轴测图
画工程图样及正
轴测图
投影方法
中心投影法
投影特性
投射线
投射中心
物体
投影面
投影
物体位置改
变，投影大
小也改变。
度量性较差 !
投射中心、物体、投影面三者之间
的相对距离对投影的大小有影响。
平行投影法
斜角投影法
投 影 特 性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好 !
工程图样采用正投影法绘制。
投
射
线
互
相
平
行
且
垂
直
于
投
影
面
投
射
线
互
相
平
行
且
倾
斜
于
投
影
面 直角（正）投影法
P
b? ●
● A
P
采用多面投影 。
过空间点 A的投射线
与投影面 P的交点即为点
A在 P面上的投影 a’。
B1
● B2
● B3
●
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空
间位置。
一、点在一个投影面上的投影
a? ●
2·2 点的投影
解决办法？
H
W
V
二、点的三面投影
投影面
◆ 正面投影面（简称正
面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水
平面或 H面）
◆ 侧面投影面（简称侧
面或 W面）
投影轴
o X
Z
OX轴 V面与 H面的交线
OZ轴 V面与 W面的交线
OY轴 H面与 W面的交线
Y
三个投影面
互相垂直
W
H
V
o X
空间点 A在三个投影面上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影
空间点 用大写字母表
示,点的投影 用小写
字母表示。
a? ●
a ●
a? ●
A ●
Z
Y
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a?
x a
a z
a y
绕 X轴旋
转 90度
绕 X轴旋
转 90度
不动
投影面展开
Z
X
V a?
ax
az
●
H
a a y
Y
●
W
a y Y O
? a
●
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a??
点的投影规律,
① a?a⊥ OX轴
② aax = a?az = y = 点 A到 Ｖ 面的距离
a?ax = a?ay= z = 点 A到 Ｈ 面的距离
aay = a?az = x = 点 A到 Ｗ 面的距离
x a
a z
a y
a?a?⊥ OZ轴
●
●
Y
Z
az a?
X
Y
ay O
a
ax
ay
a? ●
az ●
●
a?
a
ax
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a? ●
●
a?
a
ax
az
解法一,
通过作 45°
线使 a?az=aax
解法二,
用圆规直接量取
a?az=aax
a? ●
az ●
●
a?
a
ax
a? ●
用圆规
画弧
解法三,
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两
点在空间的 上下、前后、
左右 位置关系。
判断方法,
▲ x 坐标大的在左
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上
b?
a
a? a?
b?
b
●
●
●
●
●
●
B点在 A点之
前、之右、之
下。
X
YH
YW
Z
重影点,
空间两点在某一投
影面上的 投影重合为一
点 时，则称此两点为 该
投影面 的重影点。
A,C为 H面的重影点
●
●
● ●
●
a? a?
c? c?
被挡住的投
影加 ( )
( )
A,C为哪个投
影面的重影点
呢？
a c
a
a? a?
b? b?
b
●
●
●
●
●
●
2·3 直线的投影
两点确定一条直线，将直线
两端点的 同名投影 用直线连接，
就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线垂直于投影面
投影重合为一点
积 聚 性
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B ●
a≡b≡m ●
●
●
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
投影面平行线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
b?
a?
a b
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
⑴ 投影面平行线
① 在与其平行的那个投影面上的投影反映实长,
并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影
轴。
水平线 侧平线 正平线
γ
投 影 特 性,
定义：与 H面的夹角,α
与 V面的夹角,β
与 W面的夹角, γ
实长
实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
反映线段实长。且垂直
于相应的投影轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线 正垂线 侧垂线
② 另外两个投影,
① 在其垂直的投影面上,投影有积聚性 。
投影特性,
●
c? ? d?
c
d
d? c?
● e?
f?
e f
e?? f?
●
a?
b?
a ? b
a?
b?
⑶ 一般位置直线
投影特性,
三个投影都不反映
空间线段的实长及与三
个投影面夹角的实际大
小，且与三根投影轴都
倾斜。
a
b
b?
a?
b?
a?
二、直线与点的相对位置
◆ 若点在直线上,则
点的投影必在直线的同
名投影上。并将线段的
同名投影分割成与空间
相同的比例。即,
◆ 若点的投影有一个不
在直线的同名投影上,则
该点在直线外。
判别方法,
AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?
A
B
C
V
H
b
c
c?
b?
a?
a
定比定理
点 C不 在
直线 AB上
例 1：判断点 C是否在线段 AB上。
点 C在直
线 AB上
a
b
c
a?
b? c? ①
?
?
c? ②
a
b
c
a?
b?
●
●
例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a? b?上,
故点 K不在 AB上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法?
因为 ak/kb ? a’k’/k’b’
所以 K不在 AB上
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为,
平行, 相交, 交叉 。
⒈ 两直线平行 投影特性
空间两直线平
行，则其 同名投影
必相互 平行,反之
亦然。
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C
D
b? d?
a?
a
b
c
d
c? a?
b? d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
AB//CD
b? d?
c? a?
c
b
a
d
d?
b?
a?
c? 对于特殊位置直
线，只有两个同名投
影互相平行，空间直
线不一定平行。
求出侧面投影后可知,
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
求出侧面投影
如何判断？
H
V
A B
C
D K
a
b c
d
k
a?
b? c? k?
d?
⒉ 两直线相交
判别方法,
若空间两直线相交,则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影规律 。
交点是两直
线的共有点
a
b c
d
b?
a?
c?
d?
k
k? ?
?
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d? k?
k
d
例：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2 ●
●
3?
4? ●
● 两直线相交吗？
2.4 平面的投影
2.4.1 平面的表示方法
用几何形状表示
三点 直线和点 两平行线 两相交线 平面图形
a’
a
b’
c’
b
c
a’
a
b’
b
c’
c a
b’
b
c’
c
d
d’
a’
a
b
b’
c’
c
a’ a’ c’
a
b
b’
c
2.4.2 平面的投影特性
1,平面对一个投影面的投影特性
平行 垂直 倾斜
A B
C
a b
c
A
B
C
a b
c
A
B
C a
c
b
投 影 特 性
★ 平面平行投影面 -----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面 -----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面 -----投影类似原平面
实形性
类似性
积聚性
2,平面在三投影面体系中的投影
平面的分类,
? 投影面平行面
? 投影面垂直面
? 投影面倾斜面 —— 一般位置平面
?正平面
?水平面
?侧平面
?正垂面
?铅垂面
?侧垂面
特殊位置平面
（ 1）投影面平行面
空间及投影分析 —— 平行一个投影面，与另外两个投影
面垂直。
投影反映实形
投影有积聚性
投影特征,在所平行的投影面上的投影反映 实形,另外两
个投影 积聚 成直线，且与相应的投影轴 平行 。
a’
b’
c’
a”
b”
c”
a’
b’
c’
a
c
b
a”
b”
c”
（ 2）投影面垂直面
空间及投影分析 —— 只垂直一个投影面，对另外两个投
影面倾斜。
投影有积聚性
投影有类似性
投影特征,在所垂直的投影面上的投影 积聚 成直线，它与投
影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹
角；另外两个投影具有 类似性 。
类似性
类似性
积聚性
（ 3）一般位置平面
空间及投影分析,对三个投影面都倾斜，三个投影都不
反映实形，也没有积聚性。
投影特征,
三个投影都有类似性
a’
b’
c’
a
b
c
b”
c”
a”
a’
b’
c’
a
b
c
2.4.3 平面上的直线和点
1,在平面上取任意直线
定 理 1
若一直线过平面上的两
点，则直线在平面内。
定 理 2
若一直线过平面上的一点
且平行于平面内的一条直
线，则该直线在平面内。
例：已知平面由 AB,CD所确定,
试在平面上任作一直线。
已知平面的投影,
如何确定平面上
某条直线的投影？
a’
b’
c’
a
b
c
d’
d
例：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n? m?
n m
10
c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
2,平面上取点
面上取点的方法
过点在平面内作一直线，由直线确定点
的位置，这样就转化为面上取线的问题。
例：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
? a’
b’
c’
k’
a
b
c
? k ?
k
a’
b’
c’
k’
a
b
c
?
b
c
k a
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c? k?
b
c
例：已知平行四边形对角线 AC为正平线，补全
平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一 解法二
本 周 作 业
P3 —— 2-3
P4 —— 2-5
P5 —— 2-6,2-8
P7 —— 2-11
P8 —— 2-14
P9 —— 2-19
P10 —— 2-22
点、直线、平面的投影
2.1 投影的形成及常用的投影方法
2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 平面的投影
2·1 投影的形成及常用的投影方法
中心投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
斜角投影法
画透视图
画斜轴测图
画工程图样及正
轴测图
投影方法
中心投影法
投影特性
投射线
投射中心
物体
投影面
投影
物体位置改
变，投影大
小也改变。
度量性较差 !
投射中心、物体、投影面三者之间
的相对距离对投影的大小有影响。
平行投影法
斜角投影法
投 影 特 性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好 !
工程图样采用正投影法绘制。
投
射
线
互
相
平
行
且
垂
直
于
投
影
面
投
射
线
互
相
平
行
且
倾
斜
于
投
影
面 直角（正）投影法
P
b? ●
● A
P
采用多面投影 。
过空间点 A的投射线
与投影面 P的交点即为点
A在 P面上的投影 a’。
B1
● B2
● B3
●
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空
间位置。
一、点在一个投影面上的投影
a? ●
2·2 点的投影
解决办法？
H
W
V
二、点的三面投影
投影面
◆ 正面投影面（简称正
面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水
平面或 H面）
◆ 侧面投影面（简称侧
面或 W面）
投影轴
o X
Z
OX轴 V面与 H面的交线
OZ轴 V面与 W面的交线
OY轴 H面与 W面的交线
Y
三个投影面
互相垂直
W
H
V
o X
空间点 A在三个投影面上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影
空间点 用大写字母表
示,点的投影 用小写
字母表示。
a? ●
a ●
a? ●
A ●
Z
Y
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a?
x a
a z
a y
绕 X轴旋
转 90度
绕 X轴旋
转 90度
不动
投影面展开
Z
X
V a?
ax
az
●
H
a a y
Y
●
W
a y Y O
? a
●
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a??
点的投影规律,
① a?a⊥ OX轴
② aax = a?az = y = 点 A到 Ｖ 面的距离
a?ax = a?ay= z = 点 A到 Ｈ 面的距离
aay = a?az = x = 点 A到 Ｗ 面的距离
x a
a z
a y
a?a?⊥ OZ轴
●
●
Y
Z
az a?
X
Y
ay O
a
ax
ay
a? ●
az ●
●
a?
a
ax
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a? ●
●
a?
a
ax
az
解法一,
通过作 45°
线使 a?az=aax
解法二,
用圆规直接量取
a?az=aax
a? ●
az ●
●
a?
a
ax
a? ●
用圆规
画弧
解法三,
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两
点在空间的 上下、前后、
左右 位置关系。
判断方法,
▲ x 坐标大的在左
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上
b?
a
a? a?
b?
b
●
●
●
●
●
●
B点在 A点之
前、之右、之
下。
X
YH
YW
Z
重影点,
空间两点在某一投
影面上的 投影重合为一
点 时，则称此两点为 该
投影面 的重影点。
A,C为 H面的重影点
●
●
● ●
●
a? a?
c? c?
被挡住的投
影加 ( )
( )
A,C为哪个投
影面的重影点
呢？
a c
a
a? a?
b? b?
b
●
●
●
●
●
●
2·3 直线的投影
两点确定一条直线，将直线
两端点的 同名投影 用直线连接，
就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线垂直于投影面
投影重合为一点
积 聚 性
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B ●
a≡b≡m ●
●
●
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
投影面平行线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
b?
a?
a b
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
⑴ 投影面平行线
① 在与其平行的那个投影面上的投影反映实长,
并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影
轴。
水平线 侧平线 正平线
γ
投 影 特 性,
定义：与 H面的夹角,α
与 V面的夹角,β
与 W面的夹角, γ
实长
实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
反映线段实长。且垂直
于相应的投影轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线 正垂线 侧垂线
② 另外两个投影,
① 在其垂直的投影面上,投影有积聚性 。
投影特性,
●
c? ? d?
c
d
d? c?
● e?
f?
e f
e?? f?
●
a?
b?
a ? b
a?
b?
⑶ 一般位置直线
投影特性,
三个投影都不反映
空间线段的实长及与三
个投影面夹角的实际大
小，且与三根投影轴都
倾斜。
a
b
b?
a?
b?
a?
二、直线与点的相对位置
◆ 若点在直线上,则
点的投影必在直线的同
名投影上。并将线段的
同名投影分割成与空间
相同的比例。即,
◆ 若点的投影有一个不
在直线的同名投影上,则
该点在直线外。
判别方法,
AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?
A
B
C
V
H
b
c
c?
b?
a?
a
定比定理
点 C不 在
直线 AB上
例 1：判断点 C是否在线段 AB上。
点 C在直
线 AB上
a
b
c
a?
b? c? ①
?
?
c? ②
a
b
c
a?
b?
●
●
例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a? b?上,
故点 K不在 AB上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法?
因为 ak/kb ? a’k’/k’b’
所以 K不在 AB上
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为,
平行, 相交, 交叉 。
⒈ 两直线平行 投影特性
空间两直线平
行，则其 同名投影
必相互 平行,反之
亦然。
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C
D
b? d?
a?
a
b
c
d
c? a?
b? d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
AB//CD
b? d?
c? a?
c
b
a
d
d?
b?
a?
c? 对于特殊位置直
线，只有两个同名投
影互相平行，空间直
线不一定平行。
求出侧面投影后可知,
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
求出侧面投影
如何判断？
H
V
A B
C
D K
a
b c
d
k
a?
b? c? k?
d?
⒉ 两直线相交
判别方法,
若空间两直线相交,则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影规律 。
交点是两直
线的共有点
a
b c
d
b?
a?
c?
d?
k
k? ?
?
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d? k?
k
d
例：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2 ●
●
3?
4? ●
● 两直线相交吗？
2.4 平面的投影
2.4.1 平面的表示方法
用几何形状表示
三点 直线和点 两平行线 两相交线 平面图形
a’
a
b’
c’
b
c
a’
a
b’
b
c’
c a
b’
b
c’
c
d
d’
a’
a
b
b’
c’
c
a’ a’ c’
a
b
b’
c
2.4.2 平面的投影特性
1,平面对一个投影面的投影特性
平行 垂直 倾斜
A B
C
a b
c
A
B
C
a b
c
A
B
C a
c
b
投 影 特 性
★ 平面平行投影面 -----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面 -----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面 -----投影类似原平面
实形性
类似性
积聚性
2,平面在三投影面体系中的投影
平面的分类,
? 投影面平行面
? 投影面垂直面
? 投影面倾斜面 —— 一般位置平面
?正平面
?水平面
?侧平面
?正垂面
?铅垂面
?侧垂面
特殊位置平面
（ 1）投影面平行面
空间及投影分析 —— 平行一个投影面，与另外两个投影
面垂直。
投影反映实形
投影有积聚性
投影特征,在所平行的投影面上的投影反映 实形,另外两
个投影 积聚 成直线，且与相应的投影轴 平行 。
a’
b’
c’
a”
b”
c”
a’
b’
c’
a
c
b
a”
b”
c”
（ 2）投影面垂直面
空间及投影分析 —— 只垂直一个投影面，对另外两个投
影面倾斜。
投影有积聚性
投影有类似性
投影特征,在所垂直的投影面上的投影 积聚 成直线，它与投
影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹
角；另外两个投影具有 类似性 。
类似性
类似性
积聚性
（ 3）一般位置平面
空间及投影分析,对三个投影面都倾斜，三个投影都不
反映实形，也没有积聚性。
投影特征,
三个投影都有类似性
a’
b’
c’
a
b
c
b”
c”
a”
a’
b’
c’
a
b
c
2.4.3 平面上的直线和点
1,在平面上取任意直线
定 理 1
若一直线过平面上的两
点，则直线在平面内。
定 理 2
若一直线过平面上的一点
且平行于平面内的一条直
线，则该直线在平面内。
例：已知平面由 AB,CD所确定,
试在平面上任作一直线。
已知平面的投影,
如何确定平面上
某条直线的投影？
a’
b’
c’
a
b
c
d’
d
例：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n? m?
n m
10
c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
2,平面上取点
面上取点的方法
过点在平面内作一直线，由直线确定点
的位置，这样就转化为面上取线的问题。
例：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
? a’
b’
c’
k’
a
b
c
? k ?
k
a’
b’
c’
k’
a
b
c
?
b
c
k a
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c? k?
b
c
例：已知平行四边形对角线 AC为正平线，补全
平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一 解法二
本 周 作 业
P3 —— 2-3
P4 —— 2-5
P5 —— 2-6,2-8
P7 —— 2-11
P8 —— 2-14
P9 —— 2-19
P10 —— 2-22
