电能系统基础
第三章 电力系统稳态分析
概述
简单电力线路的分析和计算
（ 电压降落、功率损耗、潮流计算、电能损耗 ）
电力网潮流计算的数学模型
（节点导纳矩阵、节点阻抗矩阵、节点功率方程、
牛拉法）
配电网潮流计算的特点
3.1 概述
?
?
?
?
?
?
?
??
U
S
IUY ???
~
针对电力系统正常的、相对静止的运行状态进行分
析和计算，以确定系统中各点的电压和电力网功率分
布 。
2,潮流计算,
1,电力系统稳态分析的目的：
电压降落
定义：
21 UUU ??? ???
2U? 2P 2Q
1.以 为参考向量，已知,,计算：
jXRZ ??
222 jQPS ???
I?
1U? 2U
?
1 2
电压降落
ZIUUU ???? ???? 21
? ?jXR
U
jQP
ZIU ?
?
????
?
2
22??
22
~SUI ?? ??
2
22
2
2
~
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
U
jQP
U
S
I
?
?
根据定义得：
电压降落
2
22
U
XQRP
U
?
??
2
22
U
RQXP
U
?
??
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U ????
?
?
?
???
2
22
2
22?
电压降落的纵分量：
电压降落的横分量：
电压降落
2
22
2
22
221 U
RQXP
j
U
XQRP
UUUU
?
???
?
?
??
?
? ?
????? ???
始端电压为：
相量图为：
2U? U?
U?
1U?
?
U??
电压降落
22
21 )( UUUU ?????
始末端电压的相位差为：
UU
U
??
?
2
a r c t a n
?
?
始端电压大小为：
电压降落
1U 1P 1Q2.以 为参考向量，已知,,
jXRZ ??111 jQPS ???
I?
1U? 2U
?
1 2
电压降落
1
11
1
11
U
RQXPj
U
XQRPU ????? ?
1
11
U
XQRPU ???
1
11
U
RQXPU ???
电压降落的纵分量：
电压降落的横分量：
采用同样的方法可得：
电压降落
1
11
1
11
112 U
RQXPj
U
XQRPUUUU ??
??
?
?
??
?
? ?
????? ???
末端电压为：
相量图为：
2U?
U?
U?
1U?
?
U??
电压降落
22
12 )( UUUU ?????
始末端电压的相位差为：
UU
U
??
?
?
1
a r c t a n
?
?
末端电压大小为：
电压损耗、电压偏差
00
21 10 0???
NU
UU
00
1 100???
N
N
U
UU
00
2 10 0???
N
N
U
UU
电压损耗：始末两端电压的数值差 。
电压偏差：始末端电压与额定电压的数值差 。
始端电压偏差 (%)
末端电压偏差 (%)
电压损耗 (%)
线路中的功率损耗计算
已知末端电压和末端负荷功率
l
1U? 2U? LLL jQPS ???
lll jXRZ ??
1s? 1's? '2s? Ls?
1U? 2U
?
2lY 2lY
1YI? 2YI?
lI?
等值电路为：
线路中的功率损耗计算
lY G
UP
2
2
2
2 ??
lY B
UQ
2
2
2
2 ???
ll
ll
YY B
U
jG
UY
U
Y
UUIUS
2222
2
2
2
22
222222 ?????
?
?
?
?
????
??
?
????
1）线路末端导纳支路上的功率损耗：
线路末端导纳支路上的有功损耗：
线路末端导纳支路上的无功损耗：
线路中的功率损耗计算
2）线路阻抗中的功率损耗：
ll
l
ZZll
llllllZ
QjPX
U
QP
jR
U
QP
jXR
U
QP
jXR
U
S
ZIS
????
???
?
???
?
?
?
???????
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2'
2
2'
22
2
'
22
)()()(
?
??
2'2 YL SSS ??? ???
其中：
ll ZYLZ SSSSSS
?????? ????????? 2'2'1
线路中的功率损耗计算
11
2
1
2
1
2
111111
22
22
YYll
ll
YY
QjPB
U
jG
U
Y
U
Y
UUIUS
??????
???
?
?
?
?
?
????
?
?
?
????3）线路始端导纳支路上的损耗,
12
1
'
21
'
11
YZYL
YZY
SSSS
SSSSSS
????
??????
???????
?????????
变压器中的功率损耗计算
TTT jXRZ ??
1s? 1
's?
Ls?
1U? 2U
?TY
TI?
TYs??
2U?1U?
Ls?
已知末端电压和末端负荷功率
等值电路为：
?2s?
变压器中的功率损耗计算
? ?
TT
T
ZZ
TT
TTTZ
QjP
X
U
QP
jR
U
QP
jXR
U
QP
Z
U
S
S
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2?
1）变压器 阻抗支路上的功率损耗：
LSS ?? ?2
TZSSS
??? ???? 2'1其中：
变压器中的功率损耗计算 ? ?
TT
T
YY
TT
TT
T
Y
QjP
UjBUG
jBGUYUS
????
??
????
?
2
1
2
1
2
1
2
1
?
2）变压器 导纳支路上的功率损耗,
TTT YZLY SSSSSS
?????? ????????? '11
简单输电系统的潮流计算（图）
1T
aS?
2l1l
3T
2T
bS?
1 542
3
6
已 知 始 端 发 电 厂 母 线 电 压 和负荷功
率,, 求各母线电压和各支路上的功率分
布 。
1U?
aS? bS?
简单输电系统的潮流计算（１）
FS?
2T
2TS
??
2
2
*
2
2
2
2 22 NT
N
Ta
YZT UYU
ZSSSS
TT
???????
?
???
1,假设全网运行在额定电压 下, 计算各段
功率损耗, 进而计算出电源功率 。
１ ） 变压器 上损耗
NU
得节点 4的等效负荷：
24 Ta SSS
??? ???
简单输电系统的潮流计算（２）
2）计算线路 的功率损耗
2l
线路 末端导纳支路损耗：
2
2
2
22
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
节点 4运算负荷,
244' 2lYSSS ??? ???
线路 阻抗支路上的功率损耗：
2l 22
2
4
'
2 l
N
Z ZU
SS
l
??
??
24
'
34 22 lL YZ SSSS ???? ?????
线路 始端导纳支路损耗,
线路 始端功率：
2l
2l
2
2
2
22
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
2l
简单输电系统的潮流计算（ 3）
3T
36343 SSS ??? ??
2
32
3
2
3 33 NT
N
Tb
YZT UYU
ZSSSS
TT
?
???????
????
节点 3的等效负荷：
336 Tb SSS ??? ???
3） 计算变压器 的功率损耗
支路 36上的功率为：
简单输电系统的潮流计算（ 4）
2
2
1
21
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
1l
线路 末端导纳支路损耗,
节点 3运算负荷：
233
'
1lYSSS
??? ???
4） 计算线路 的功率损耗
线路 阻抗上的功率损耗：
12
2
3
'
1 l
N
Z ZU
SS
l
??? ??
23
'
2 11 ll YZ SSSS ???? ?????
线路 始端导纳支路损耗,
线路 始端功率：
2
2
1
21
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
1l
1l
1l
1l
简单输电系统的潮流计算（ 5）
2
112
2
2
1 11 NTT
N
YZT UYZU
SSSS
TT
?
???????
????
12 TF SSS ??? ???
1T
得电源功率为：
5）计算变压器 的功率损耗
简单输电系统的潮流计算（ 6）
1U?
FS?1U?2,用始端电压 和计算出的电源功率,
计算各段的电压降落：
以始端电压 为参考电压 。
011 ?? UU?
简单输电系统的潮流计算（ 7）
221212 ?????? UUUU ???
1212
1
11
1
11
12
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U TFTFTFTF
????
???
?
???
?? ?
121
12
122 a r c t a n UU
U
??
??? ???
1） 计算变压器 上的电压降落
FFTFYFF QjPUYSSSS T ??????????
2
11
~~~~
1
?
1T
节点 2的电压为：
简单输电系统的潮流计算（ 8）
1l
2323
2
1212
2
1212
23
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U llll
????
???
?
???
?? ?
332323 ?????? UUUU ???
22222 1 QjPSSS lY ???????? ???
232
23
23 a r c t a n UU
U
??
??? ???
2） 计算线路 上的电压降落,
节点 3的电压：
简单输电系统的潮流计算（ 9）
3T
663636 ?????? UUUU ???
负荷 b侧电压为：
3）计算变压器 上的电压降落,
3636
3
336336
3
336336
36
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U TTTT
????
???
?
???
?? ?
363636 3 QjPSSS TZb ???????? ???
363
36
36 a r c t a n UU
U
??
??? ???
简单输电系统的潮流计算（ 10）
2l
443434 ?????? UUUU ???
343
34
34 a r c t a n UU
U
??
??? ???
4） 计算线路 上的电压降落
"
4
"
4234
"
4 2 jQPSSS lY ????? ???
3434
3
2
"
42
"
4
3
2
"
42
"
4
34
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U llll
????
?
?
?
?? ?
节点 4电压为：
简单输电系统的潮流计算（ 11）
2T
554545 ?????? UUUU ???
负荷ａ侧的电压为：
454
45
45 a r c t a n UU
U
??
??? ???
5） 计算变压器 上的电压降落
4545
4
245245
4
245245
45
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U TTTT
????
???
?
???
?? ?
454545 2 QjPSSS TZa ???????? ???
简单输电系统的潮流计算（ 12）
3,利用 计算出的各点电压，重新按步骤１计
算各阻抗、导纳支路上功率损耗，以求得较准
确的发电机电源功率。
另：如果已知始端功率、始端电压，或已知末
端功率、末端电压，上述推算是严格而精确的。
例 3－ 1
电网的电能损耗（１）
? ? dtPW tZ ? ????
?
0
?m a xZZ PW ???
定义：
实际计算：
最大损
耗时间
电网的电能损耗（２）
33
2
3
22
2
2
11
2
1 ??? R
U
S
R
U
S
R
U
S
W
cba
Z ??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
3.3 电力网潮流计算模型
等效电路（图）
节点电压方程
BBB UYI ?
? ?TnB IIII ???? ???? 21 ? ?TnB UUUU ??? ???? 21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
B
YYY
YYY
YYY
Y
?
??
?
?
21
22221
11211
节点导纳矩阵,
其中：
节点导纳矩阵（１）
iiY
? ? ?
?
?
?????
n
ij
j
ijij
i
i
ii yyijU
U
I
Y
1
0,0?
?
在等效网络的第 ｉ个节点施加单位电压，其余
各节点全部接地时，经节点ｉ注入网络的电流。
自导纳（ ）：
节点导纳矩阵（２）
? ?jiY ij ?
? ? ijjii
j
i
ij yYjiUU
I
Y ??????,0??
?
互导纳,
在ｊ节点施加单位电压, 其余节点全接地时, ｉ
节点的注入电流 。
节点导纳矩阵（３）
对称矩阵；
高度稀疏矩阵 ；
非对角元素是节点ｉ和ｊ间支路导纳的负值；
对角元素为所有连接于节点ｉ的支路导纳之和。
特点：
节点阻抗矩阵
1?? BB YZ
BBB UIZ ?ii Z
? ?ijI
I
UZ
j
i
i
ii ???,0
?
?
?
自阻抗（ ）：
jiZ
? ?ijI
I
U
Z j
i
j
ji ???,0
?
?
?
互阻抗（ ）,
节点功率方程
? ? ? ???
??
????
n
j
jijjiji
n
j
jijjijii eBfGffBeGeP
11
? ? ? ???
??
????
n
j
jjijiji
n
j
jijjijii eBfGefBeGfQ
11
? ?ijijijijn
j
jii BGUUP ?? s inc o s
1
?? ?
?
? ?ijijijijn
j
jii BGUUQ ?? c o ss in
1
?? ?
?
直角坐标形式：
极坐标形式：
电力网稳态分析的运行变量
1.不可控变量 （ ）,负荷功率
3.状态变量 （ ）,节点电压向量
2.控制变量（ ）：电源功率
p
u
x
LS
~
FS
~
iU?
0),,( ?puxf
则节点功率方程可表示为：
电力网节点性质的分类
ii QP,iiU ?,
ii UP,iiQ ?,
iiU ?,ii
QP,
PQ节点：已知, 待求 。
PV节点：已知, 待求 。
平衡节点：已知,待求 。
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
核心,
把非线性方程式（组）的求解过程变
成反复对相应的线性方程式（组）的求解
过程，通常称为逐次线性化过程。
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
设非线性方程式为：
为该方程式的初值, 它与解 相差一个修
正量为 。
则：
0)( ?xf
)0(x x
)0(x?
)0()0( xxx ???
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
将方程式 在 处按泰劳级数展开：
???
?
???
??????
!2
)(
)(
)()()(
2)0(
)0(
)0()0()0()0()0(
x
xf
xxfxfxxf
0
!
)(
)()1(
)0(
)0()(
?
?
?
?? ??
n
x
xf
n
nn
0)( ?xf )0(x
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
当 很小时, 上式中的 和更高
阶次项都可以略去不计 。
因此, 方程式可以简化为：
这是未知量为 的线性方程式, 称为
修正方程式, 可求出修正量 。
0)()( )0()0()0( ???? xxfxf
)0(x? ? ?2)0(x?
)0(x?
)0(x?
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
用 对 修正得到的
只是向真正解更逼近了一些 。
如果再以 作为初值, 解式
就能得到更趋近于解 的,
)0(x? )0(x )0()0()1( xxx ???
)1(x
0)()( )1()1()1( ???? xxfxf
)2(xx
)1()1()2( xxx ???
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
第 t次迭代时的修正方程式为：
这样反复下去，就构成了不断求解线性
修正方程式的逐步线化过程。
当 或 即
时，就满足了原方程式, 就成
为该方程式的解。
0)()( )()()( ???? ttt xxfxf
0)( ?? tx 0)( )()(' ?? tt xxf 0)( )( ?txf
0)( ?xf )(tx
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
多变量非线性方程组
0),,(
0),,(
0),,(
21
212
211
?
?
?
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
?
??
?
?
解为,),,,,(
321 nxxxxX ??
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
0),,(
0),,(
0),,(
)0()0()0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
1
)0()0()0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
12
)0()0()0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
11
???????
???????
???????
nnn
nn
nn
xxxxxxf
xxxxxxf
xxxxxxf
??
??
??
??设各变量初值为,与 解
相差的修正量为,则：
)0()0(2)0(1,nxxx ??
)0()0(2)0(1,nxxx ??? ??
X
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
对上述方程在 处分别按泰劳
级数展开，忽略所有二次项和高次项，可以得
到未知量为 的线性方程组，即修
正方程式：
)0()0(2)0(1,nxxx ??
)0()0(2)0(1,nxxx ??? ??? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
)0(0
2
)0(
1
)0(0
2
)0(
12
)0(0
2
)0(
11
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
?
??
?
?
0
)0(
)0(
2
)0(
1
00201
0
2
02
2
01
2
0
1
02
1
01
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
n
n
nnn
n
n
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
?
?
??
?
?
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
解上列修正方程式可以解出, 用
求得的修正变量对初值进行修正得：
)0()0(2)0(1,nxxx ??? ??
)0()0()1(
)0(
2
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)0(
1
)1(
1
nnn xxx
xxx
xxx
???
???
???
??
再以它们作为初值重复解修正方程式，并
按上式式对变量进行修正，就构成了牛顿法的
迭代过程。
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
)(
2
)(
1
)(
2
)(
12
)(
2
)(
11
t
n
tt
n
t
n
tt
t
n
tt
xxxf
xxxf
xxxf
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
)(
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
t
n
t
t
tn
n
t
n
t
n
tntt
tntt
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
?
?
??
?
?
到第 t次迭代时，修正方程式为：
)()()( )( ttt XJXF ??
简写为：
配电网潮流计算的特点
１、辐射形配电网的支路数一定小于节点数，节点导纳
矩阵的稀疏度很高。
２、电压配电网线路电阻较大，一般不满足 R<<X，因
此通常不能采用快速解耦法进行网络潮流计算。
３、对于末端负荷节点前的支路功率就是末端运算负
荷功率，所以可直接求支路功率损耗和电压损耗，并
依次前推。
第三章 电力系统稳态分析
概述
简单电力线路的分析和计算
（ 电压降落、功率损耗、潮流计算、电能损耗 ）
电力网潮流计算的数学模型
（节点导纳矩阵、节点阻抗矩阵、节点功率方程、
牛拉法）
配电网潮流计算的特点
3.1 概述
?
?
?
?
?
?
?
??
U
S
IUY ???
~
针对电力系统正常的、相对静止的运行状态进行分
析和计算，以确定系统中各点的电压和电力网功率分
布 。
2,潮流计算,
1,电力系统稳态分析的目的：
电压降落
定义：
21 UUU ??? ???
2U? 2P 2Q
1.以 为参考向量，已知,,计算：
jXRZ ??
222 jQPS ???
I?
1U? 2U
?
1 2
电压降落
ZIUUU ???? ???? 21
? ?jXR
U
jQP
ZIU ?
?
????
?
2
22??
22
~SUI ?? ??
2
22
2
2
~
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
U
jQP
U
S
I
?
?
根据定义得：
电压降落
2
22
U
XQRP
U
?
??
2
22
U
RQXP
U
?
??
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U ????
?
?
?
???
2
22
2
22?
电压降落的纵分量：
电压降落的横分量：
电压降落
2
22
2
22
221 U
RQXP
j
U
XQRP
UUUU
?
???
?
?
??
?
? ?
????? ???
始端电压为：
相量图为：
2U? U?
U?
1U?
?
U??
电压降落
22
21 )( UUUU ?????
始末端电压的相位差为：
UU
U
??
?
2
a r c t a n
?
?
始端电压大小为：
电压降落
1U 1P 1Q2.以 为参考向量，已知,,
jXRZ ??111 jQPS ???
I?
1U? 2U
?
1 2
电压降落
1
11
1
11
U
RQXPj
U
XQRPU ????? ?
1
11
U
XQRPU ???
1
11
U
RQXPU ???
电压降落的纵分量：
电压降落的横分量：
采用同样的方法可得：
电压降落
1
11
1
11
112 U
RQXPj
U
XQRPUUUU ??
??
?
?
??
?
? ?
????? ???
末端电压为：
相量图为：
2U?
U?
U?
1U?
?
U??
电压降落
22
12 )( UUUU ?????
始末端电压的相位差为：
UU
U
??
?
?
1
a r c t a n
?
?
末端电压大小为：
电压损耗、电压偏差
00
21 10 0???
NU
UU
00
1 100???
N
N
U
UU
00
2 10 0???
N
N
U
UU
电压损耗：始末两端电压的数值差 。
电压偏差：始末端电压与额定电压的数值差 。
始端电压偏差 (%)
末端电压偏差 (%)
电压损耗 (%)
线路中的功率损耗计算
已知末端电压和末端负荷功率
l
1U? 2U? LLL jQPS ???
lll jXRZ ??
1s? 1's? '2s? Ls?
1U? 2U
?
2lY 2lY
1YI? 2YI?
lI?
等值电路为：
线路中的功率损耗计算
lY G
UP
2
2
2
2 ??
lY B
UQ
2
2
2
2 ???
ll
ll
YY B
U
jG
UY
U
Y
UUIUS
2222
2
2
2
22
222222 ?????
?
?
?
?
????
??
?
????
1）线路末端导纳支路上的功率损耗：
线路末端导纳支路上的有功损耗：
线路末端导纳支路上的无功损耗：
线路中的功率损耗计算
2）线路阻抗中的功率损耗：
ll
l
ZZll
llllllZ
QjPX
U
QP
jR
U
QP
jXR
U
QP
jXR
U
S
ZIS
????
???
?
???
?
?
?
???????
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2'
2
2'
22
2
'
22
)()()(
?
??
2'2 YL SSS ??? ???
其中：
ll ZYLZ SSSSSS
?????? ????????? 2'2'1
线路中的功率损耗计算
11
2
1
2
1
2
111111
22
22
YYll
ll
YY
QjPB
U
jG
U
Y
U
Y
UUIUS
??????
???
?
?
?
?
?
????
?
?
?
????3）线路始端导纳支路上的损耗,
12
1
'
21
'
11
YZYL
YZY
SSSS
SSSSSS
????
??????
???????
?????????
变压器中的功率损耗计算
TTT jXRZ ??
1s? 1
's?
Ls?
1U? 2U
?TY
TI?
TYs??
2U?1U?
Ls?
已知末端电压和末端负荷功率
等值电路为：
?2s?
变压器中的功率损耗计算
? ?
TT
T
ZZ
TT
TTTZ
QjP
X
U
QP
jR
U
QP
jXR
U
QP
Z
U
S
S
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2?
1）变压器 阻抗支路上的功率损耗：
LSS ?? ?2
TZSSS
??? ???? 2'1其中：
变压器中的功率损耗计算 ? ?
TT
T
YY
TT
TT
T
Y
QjP
UjBUG
jBGUYUS
????
??
????
?
2
1
2
1
2
1
2
1
?
2）变压器 导纳支路上的功率损耗,
TTT YZLY SSSSSS
?????? ????????? '11
简单输电系统的潮流计算（图）
1T
aS?
2l1l
3T
2T
bS?
1 542
3
6
已 知 始 端 发 电 厂 母 线 电 压 和负荷功
率,, 求各母线电压和各支路上的功率分
布 。
1U?
aS? bS?
简单输电系统的潮流计算（１）
FS?
2T
2TS
??
2
2
*
2
2
2
2 22 NT
N
Ta
YZT UYU
ZSSSS
TT
???????
?
???
1,假设全网运行在额定电压 下, 计算各段
功率损耗, 进而计算出电源功率 。
１ ） 变压器 上损耗
NU
得节点 4的等效负荷：
24 Ta SSS
??? ???
简单输电系统的潮流计算（２）
2）计算线路 的功率损耗
2l
线路 末端导纳支路损耗：
2
2
2
22
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
节点 4运算负荷,
244' 2lYSSS ??? ???
线路 阻抗支路上的功率损耗：
2l 22
2
4
'
2 l
N
Z ZU
SS
l
??
??
24
'
34 22 lL YZ SSSS ???? ?????
线路 始端导纳支路损耗,
线路 始端功率：
2l
2l
2
2
2
22
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
2l
简单输电系统的潮流计算（ 3）
3T
36343 SSS ??? ??
2
32
3
2
3 33 NT
N
Tb
YZT UYU
ZSSSS
TT
?
???????
????
节点 3的等效负荷：
336 Tb SSS ??? ???
3） 计算变压器 的功率损耗
支路 36上的功率为：
简单输电系统的潮流计算（ 4）
2
2
1
21
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
1l
线路 末端导纳支路损耗,
节点 3运算负荷：
233
'
1lYSSS
??? ???
4） 计算线路 的功率损耗
线路 阻抗上的功率损耗：
12
2
3
'
1 l
N
Z ZU
SS
l
??? ??
23
'
2 11 ll YZ SSSS ???? ?????
线路 始端导纳支路损耗,
线路 始端功率：
2
2
1
21
Nl
Y
UYS
l
?
?? ?
1l
1l
1l
1l
简单输电系统的潮流计算（ 5）
2
112
2
2
1 11 NTT
N
YZT UYZU
SSSS
TT
?
???????
????
12 TF SSS ??? ???
1T
得电源功率为：
5）计算变压器 的功率损耗
简单输电系统的潮流计算（ 6）
1U?
FS?1U?2,用始端电压 和计算出的电源功率,
计算各段的电压降落：
以始端电压 为参考电压 。
011 ?? UU?
简单输电系统的潮流计算（ 7）
221212 ?????? UUUU ???
1212
1
11
1
11
12
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U TFTFTFTF
????
???
?
???
?? ?
121
12
122 a r c t a n UU
U
??
??? ???
1） 计算变压器 上的电压降落
FFTFYFF QjPUYSSSS T ??????????
2
11
~~~~
1
?
1T
节点 2的电压为：
简单输电系统的潮流计算（ 8）
1l
2323
2
1212
2
1212
23
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U llll
????
???
?
???
?? ?
332323 ?????? UUUU ???
22222 1 QjPSSS lY ???????? ???
232
23
23 a r c t a n UU
U
??
??? ???
2） 计算线路 上的电压降落,
节点 3的电压：
简单输电系统的潮流计算（ 9）
3T
663636 ?????? UUUU ???
负荷 b侧电压为：
3）计算变压器 上的电压降落,
3636
3
336336
3
336336
36
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U TTTT
????
???
?
???
?? ?
363636 3 QjPSSS TZb ???????? ???
363
36
36 a r c t a n UU
U
??
??? ???
简单输电系统的潮流计算（ 10）
2l
443434 ?????? UUUU ???
343
34
34 a r c t a n UU
U
??
??? ???
4） 计算线路 上的电压降落
"
4
"
4234
"
4 2 jQPSSS lY ????? ???
3434
3
2
"
42
"
4
3
2
"
42
"
4
34
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U llll
????
?
?
?
?? ?
节点 4电压为：
简单输电系统的潮流计算（ 11）
2T
554545 ?????? UUUU ???
负荷ａ侧的电压为：
454
45
45 a r c t a n UU
U
??
??? ???
5） 计算变压器 上的电压降落
4545
4
245245
4
245245
45
UjU
U
RQXP
j
U
XQRP
U TTTT
????
???
?
???
?? ?
454545 2 QjPSSS TZa ???????? ???
简单输电系统的潮流计算（ 12）
3,利用 计算出的各点电压，重新按步骤１计
算各阻抗、导纳支路上功率损耗，以求得较准
确的发电机电源功率。
另：如果已知始端功率、始端电压，或已知末
端功率、末端电压，上述推算是严格而精确的。
例 3－ 1
电网的电能损耗（１）
? ? dtPW tZ ? ????
?
0
?m a xZZ PW ???
定义：
实际计算：
最大损
耗时间
电网的电能损耗（２）
33
2
3
22
2
2
11
2
1 ??? R
U
S
R
U
S
R
U
S
W
cba
Z ??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
3.3 电力网潮流计算模型
等效电路（图）
节点电压方程
BBB UYI ?
? ?TnB IIII ???? ???? 21 ? ?TnB UUUU ??? ???? 21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
B
YYY
YYY
YYY
Y
?
??
?
?
21
22221
11211
节点导纳矩阵,
其中：
节点导纳矩阵（１）
iiY
? ? ?
?
?
?????
n
ij
j
ijij
i
i
ii yyijU
U
I
Y
1
0,0?
?
在等效网络的第 ｉ个节点施加单位电压，其余
各节点全部接地时，经节点ｉ注入网络的电流。
自导纳（ ）：
节点导纳矩阵（２）
? ?jiY ij ?
? ? ijjii
j
i
ij yYjiUU
I
Y ??????,0??
?
互导纳,
在ｊ节点施加单位电压, 其余节点全接地时, ｉ
节点的注入电流 。
节点导纳矩阵（３）
对称矩阵；
高度稀疏矩阵 ；
非对角元素是节点ｉ和ｊ间支路导纳的负值；
对角元素为所有连接于节点ｉ的支路导纳之和。
特点：
节点阻抗矩阵
1?? BB YZ
BBB UIZ ?ii Z
? ?ijI
I
UZ
j
i
i
ii ???,0
?
?
?
自阻抗（ ）：
jiZ
? ?ijI
I
U
Z j
i
j
ji ???,0
?
?
?
互阻抗（ ）,
节点功率方程
? ? ? ???
??
????
n
j
jijjiji
n
j
jijjijii eBfGffBeGeP
11
? ? ? ???
??
????
n
j
jjijiji
n
j
jijjijii eBfGefBeGfQ
11
? ?ijijijijn
j
jii BGUUP ?? s inc o s
1
?? ?
?
? ?ijijijijn
j
jii BGUUQ ?? c o ss in
1
?? ?
?
直角坐标形式：
极坐标形式：
电力网稳态分析的运行变量
1.不可控变量 （ ）,负荷功率
3.状态变量 （ ）,节点电压向量
2.控制变量（ ）：电源功率
p
u
x
LS
~
FS
~
iU?
0),,( ?puxf
则节点功率方程可表示为：
电力网节点性质的分类
ii QP,iiU ?,
ii UP,iiQ ?,
iiU ?,ii
QP,
PQ节点：已知, 待求 。
PV节点：已知, 待求 。
平衡节点：已知,待求 。
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
核心,
把非线性方程式（组）的求解过程变
成反复对相应的线性方程式（组）的求解
过程，通常称为逐次线性化过程。
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
设非线性方程式为：
为该方程式的初值, 它与解 相差一个修
正量为 。
则：
0)( ?xf
)0(x x
)0(x?
)0()0( xxx ???
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
将方程式 在 处按泰劳级数展开：
???
?
???
??????
!2
)(
)(
)()()(
2)0(
)0(
)0()0()0()0()0(
x
xf
xxfxfxxf
0
!
)(
)()1(
)0(
)0()(
?
?
?
?? ??
n
x
xf
n
nn
0)( ?xf )0(x
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
当 很小时, 上式中的 和更高
阶次项都可以略去不计 。
因此, 方程式可以简化为：
这是未知量为 的线性方程式, 称为
修正方程式, 可求出修正量 。
0)()( )0()0()0( ???? xxfxf
)0(x? ? ?2)0(x?
)0(x?
)0(x?
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
用 对 修正得到的
只是向真正解更逼近了一些 。
如果再以 作为初值, 解式
就能得到更趋近于解 的,
)0(x? )0(x )0()0()1( xxx ???
)1(x
0)()( )1()1()1( ???? xxfxf
)2(xx
)1()1()2( xxx ???
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
第 t次迭代时的修正方程式为：
这样反复下去，就构成了不断求解线性
修正方程式的逐步线化过程。
当 或 即
时，就满足了原方程式, 就成
为该方程式的解。
0)()( )()()( ???? ttt xxfxf
0)( ?? tx 0)( )()(' ?? tt xxf 0)( )( ?txf
0)( ?xf )(tx
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
多变量非线性方程组
0),,(
0),,(
0),,(
21
212
211
?
?
?
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
?
??
?
?
解为,),,,,(
321 nxxxxX ??
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
0),,(
0),,(
0),,(
)0()0()0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
1
)0()0()0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
12
)0()0()0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
11
???????
???????
???????
nnn
nn
nn
xxxxxxf
xxxxxxf
xxxxxxf
??
??
??
??设各变量初值为,与 解
相差的修正量为,则：
)0()0(2)0(1,nxxx ??
)0()0(2)0(1,nxxx ??? ??
X
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
对上述方程在 处分别按泰劳
级数展开，忽略所有二次项和高次项，可以得
到未知量为 的线性方程组，即修
正方程式：
)0()0(2)0(1,nxxx ??
)0()0(2)0(1,nxxx ??? ??? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
)0(0
2
)0(
1
)0(0
2
)0(
12
)0(0
2
)0(
11
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
?
??
?
?
0
)0(
)0(
2
)0(
1
00201
0
2
02
2
01
2
0
1
02
1
01
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
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?
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n
n
nnn
n
n
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
?
?
??
?
?
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
解上列修正方程式可以解出, 用
求得的修正变量对初值进行修正得：
)0()0(2)0(1,nxxx ??? ??
)0()0()1(
)0(
2
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)0(
1
)1(
1
nnn xxx
xxx
xxx
???
???
???
??
再以它们作为初值重复解修正方程式，并
按上式式对变量进行修正，就构成了牛顿法的
迭代过程。
牛顿 -拉夫逊法的一般概念
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,,(
),,,(
),,,(
)(
2
)(
1
)(
2
)(
12
)(
2
)(
11
t
n
tt
n
t
n
tt
t
n
tt
xxxf
xxxf
xxxf
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
)(
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
t
n
t
t
tn
n
t
n
t
n
tntt
tntt
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
?
?
??
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到第 t次迭代时，修正方程式为：
)()()( )( ttt XJXF ??
简写为：
配电网潮流计算的特点
１、辐射形配电网的支路数一定小于节点数，节点导纳
矩阵的稀疏度很高。
２、电压配电网线路电阻较大，一般不满足 R<<X，因
此通常不能采用快速解耦法进行网络潮流计算。
３、对于末端负荷节点前的支路功率就是末端运算负
荷功率，所以可直接求支路功率损耗和电压损耗，并
依次前推。
