北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 1
利息理论及其应用
2004 年 2 月 6 月
主讲 黄 海
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 2
第一章 利息基本计算
1.1 利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人 (borrower)为取得资金使
用权而支付给贷款人 (lender)的报酬
v 从投资 的角度看 利息是一定量的资本经过一段时
间的投资后产生的价值增值
例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多余钱
存入银行 可视为投资一定数量的钱款以产生投资收
益 ——利息
例 购买国库券
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 3
累积函数 (accumulation function)
本金 (principal) 初始投资的资本金额
累积值 (accumulated value) 过一定时期后收到
的总金额
利息 (interest) 累积值与本金之间的金额差值
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金 则在时
刻 t 的累积值记为 a(t) 称为 累积函数
注 时间 t 为从投资之日算起的时间 可以用不同的
单位来度量
1 单位的本金 累积值 a(t)
0 t 时间 t
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 4
累积函数 a(t) 是关于时间的函数 满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增
即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2)
如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得
到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻
0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的
v 离散型 利息是跳跃产生的
v 连续型 利息是连续产生的
注 C 一般的 利息被认为是连续产生的
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 5
例 考虑以下 3 类特殊的累积函数 a(t)
1 常数 (系列 1)
a(t) = 1
2 线性 (系列 2)
a(t) = 1 + 2.5% t
3 指数 (系列 3)
a(t) = (1 + 2.5%)t
注 C 检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求
注 C 学习使用 Excel 进行金融计算
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 6
i= i=
2.50% 2.50%
时刻t a(t)=1 a(t)=1+it a(t)=(1+i)^t
0 1 1.000 1.000
1 1 1.025 1.025
2 1 1.050 1.051
3 1 1.075 1.077
4 1 1.100 1.104
5 1 1.125 1.131
6 1 1.150 1.160
7 1 1.175 1.189
8 1 1.200 1.218
9 1 1.225 1.249
10 1 1.250 1.280
11 1 1.275 1.312
12 1 1.300 1.345
13 1 1.325 1.379
14 1 1.350 1.413
15 1 1.375 1.448
16 1 1.400 1.485
17 1 1.425 1.522
18 1 1.450 1.560
19 1 1.475 1.599
20 1 1.500 1.639
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 7
几种累积函数的比较
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
0 5 10 15 20
时间
累积值
系列1
系列2
系列3
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 8
总量函数 amount function
当原始投资不是 1 个单位的本金 而是 P 个单位金
额的本金时 则把 P 个单位金额本金的原始投资在时
刻 t 的累积值记为 A(t) 称为 总量函数
总量函数 A(t)具有如下的性质
1) A(0) = P
2) A(t) = P a(t) P > 0 t 0
注 C 总量函数 A(t)的计算可以借助于累积函数 a(t)
的计算
注 C 从总量函数可得累积函数为
a(t)= A(t) / A(0) t 0
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 9
利息 interest
将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金
额记为 In 则有
()(1)nIAnAn=?? 对于整数 n 1
注 C 利息金额 In 看作是在整个时期内所产生的 在
最后时刻实现的 支付的 得到的
注 C 更一般的 记总量函数 A(t)在时间段 [t1,t2]内所
获得的利息金额为 12,ttI 则有
12,21()()0ttIAtAt=?>
其中 t2 > t1 0
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 10
利率 (interest rate)
思考 假设两个储户 分别在银行存入了 1 万元 1
千元的一年期定期储蓄 如果到期后银行都付给他们
同样的利息金额 20 元 你认为合理吗
注 C 假设所有的在期初投资的 1个单位的本金都具有
着同样的产生利息的能力 则上述现象不合理
为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息
的常用方法是计算所谓的 利率 定义为
利率 等于一定的货币量在一段时间 计息期
measurement period 内的变化量 利息 与期初货
币量的比值
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 11
v 利率的计算公式
利率 = 利息 / 期初本金
v 若利率已知 则可反求利息
利息 =利率 期初本金
注 C 利率通常以百分数来表示 即
利率 = 利息 / 期初本金 100%
注 C 这里定义的利率被称为实利率 (effective rate of
interest) 注意与后面定义的名义利率 (nominal rate
of interest)相区别
注 C 通常计息期为标准时间单位 如 年 季 月
等 若无特别说明 实利率一般指年实利率
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 12
12[,]tt上的实利率
= 12[,]tt 内总量函数 ()At 的变化量与期初货币量的比
值 记为
12,tt
i 即
12
12
,21
,
11
()()
()()
tt
tt
IAtAti
AtAt
?==
特别地 当 1211,1tntt=?=+时 记 ni 表示第 n 个时
段的实利率 即
()(1)
(1)(1)
n
n
AnAnIi
A An
??== n 1
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 13
结论 1.1 由利率地定义 有
()(1)(1)n anani an??= ?
证明 设初始投资为 A 0 则
()()AnAan= 0
从而有
()(1)()(1)
(1 (1)n
AnAnanani
A an
????==
??
注 : 利率 计算 的 根本 是累积函数的计算
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 14
单利 simple interest
在实际金融活动中 通常用到的两种计息方式分别
为单利和复利
假设在期初投资 1 个单位的本金 在每一个时期中
都得到完全相同的利息金额 即利息为常数
由此可知 a(0) = 1 a(1) = 1+ i a(2)= 1+ 2i 等等
即
a(t) = 1+ i t 对整数 t 0
这种类型的利息产生方式被称为 单利 i 被称为是
单利率
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 15
v 相应单利的 累积函数为时间的线性函数
v 常数的单利率并不意味着常数的实利率
因为相应于单利的第 n 个时期的实利率 ni 为
()(1)(1)1(1)n ananii a in??==?+? , n 1
是一个关于 n 的单调递减的函数 并且当 n 的取值较
大时 实利率 ni 将变得较小
思考 为什么在每一个时期中所获的利息金额相等
可实利率却越来越小呢
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 16
注 C 当计算实利率 ni 时 是把第 n 期开始时的资本总
额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额
之比
随着资本总额的不断增加 常数的利息必将导致单
调递减的实利率
注 C 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察
但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区
间上按比例产生的 从而上面给出的关于整数 t 的单
利的生成方式可以认为是对于所有的 t 0 都成立
的利息产生方式
单利的直观表述
不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时
期的长短有关系 而与该时期的具体位 置无关
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 17
单利是由满足如下条件的连续函数 ()at所相应的累积
函数所给出的
()()()1,0,0astasatts+?=?≥≥
或等价的
()()()1,0,0astasatts+=+?≥≥
注 C 上式意味着经过时间 ts+ 所产生的利息等于经过
时间 t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和
从上述性质可以推出函 数 ()at满足
(0)1a =
及
()1((1)1)atat=+?
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 18
例 Find the accumulated value of $2000 invested for
four years, if the rate of simple interest is 8% annum.
注 C annum = 年度
解 按照单利的计算公式有
A(4)= 2000a(4)= 2000(1+ 8% 4)= $2640
其中所获得的利息金额为 I = 2000 8% 4 = $640
注 : 利息金额 = 本金金额 利率 时期
注 每年所获得的利息金额都是 $160
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 19
复利 compound interest
问题的提出
单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没
有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利
息可继续投资情形如何
如在上面的例子中 投资者每年都获得了 $160 的利
息 但投资者在第一年末的时候实际上有 $2160 可以
用来投资 如果按照 $2160 来计算 投资者在第二年
末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只
按照 $2000 投资要多获得利息 $12.8
后面的各期也可以采取这种方法去投资 最终获得
的利息总额应 为 2000 [1+ 8%]4 - 2000= $720.98 比
原先多获得利息 $80.98
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 20
复利的基本思想 利息收入被再次记入下一期的本金
注 C 即通常所说的 利滚利
例 假定期初投资的本金不再增加或减少 并且在每
一个时期中实利率都是相同的 考察相应的复利的累
积函数
解 假设在一个计息期中的实利率为 i 则在第一时期
末累积值为 1+i
接下来用这 1+i 金额作投资 在第二时期末累积值
将达到 (1+i)+ i(1+i)=(1+i)2
在第三时期末累积值将达到 (1+i)2 + i(1+i)2 =(1+i)3
此过程可以一直继续下去
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 21
对于一般的整数时刻 t 0 有
()(1),0tatit=+≥为整数
思考 哪些是由 利滚利 所带来的利息
复利的累积函数的等价形式为
ln(1)() tiate+=
注 C 上面对于整数时间 t 给出的相应复利的累积函数
的表达式适用于一般的时间 t > 0
复利的直观表述
相同长短的不同时期的实利率相等
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 22
复利是由满足如下条件的 非零 连续函数 ()at所
相应的累积函数所给出的
()()(),0,0astasatts+=×≥≥
注 C 从上述性质可以推出函数 ()at满足
(0)1a =
及
()(1) tata=
注 C 可以推出表达式
()()()(0) ,0,0
( (0)
astasata ts
asa
+??=≥≥
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 23
单利计算与复利计算的区别
1 若单利率 =复利率 则当 0<t<1 时 单利 >复利 而
当 t>1 时 单利 <复利
2 短期两者差异不大 长期两者有显著差距
3 复利几乎用于所有的金融业务 单利只是用于短期
计算或复利的不足期近似计算
注 C 除特别声明 一般考虑复利计算方式
例 Rework the above example using compound
interest instead of simple interest.
解 A(4)= 2000a(4)= 2000(1+ 8%)4= $2721 多 $81
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 24
例 以年利率 5%为例 比较单利与复利计算方法的
异同效果
解
1 在第一年内 复利累积小于单利累积 在第一年底
两者相同 从第二年开始 复利累积超过单利累积
而且前者的上升速度远远超过后者
2 单利情形下实利率水平逐年递减 而复利情形下实
利率水平保持为 5%
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 25
单利率 5% 复利率 5%
时间 单利 复利 复利 /单利 单利 复利 复利 /单利
0 1.000 1.000 1.00000
0.1 1.005 1.005 0.99989
0.2 1.010 1.010 0.99981
0.3 1.015 1.015 0.99975
0.4 1.020 1.020 0.99971
0.5 1.025 1.025 0.99970
0.6 1.030 1.030 0.99972
0.7 1.035 1.035 0.99975
0.8 1.040 1.040 0.99981
0.9 1.045 1.045 0.99989
1 1.050 1.050 1.00000 5.000% 5.000% 1.00000
2 1.100 1.103 1.00227 4.762% 5.000% 1.05000
3 1.150 1.158 1.00663 4.545% 5.000% 1.10000
4 1.200 1.216 1.01292 4.348% 5.000% 1.15000
5 1.250 1.276 1.02103 4.167% 5.000% 1.20000
6 1.300 1.340 1.03084 4.000% 5.000% 1.25000
7 1.350 1.407 1.04230 3.846% 5.000% 1.30000
8 1.400 1.477 1.05533 3.704% 5.000% 1.35000
9 1.450 1.551 1.06988 3.571% 5.000% 1.40000
10 1.500 1.629 1.08593 3.448% 5.000% 1.45000
累积函数 实利率
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 26
单利vs复利的累积函数
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.500
1.600
1.700
0 2 4 6 8 10 12
时间
累积值
系列1
系列2
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 27
单利vs复利的实利率
3.000%
3.500%
4.000%
4.500%
5.000%
5.500%
0 2 4 6 8 10 12
时间
实利率
系列1
系列2
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 28
例 试确定按单利或复利计算 年息 11% 问开始时
应投资多少元使得在第 5 年末本金和利息总和能积累
至 1000 元
解 由
A(5)= A(0)a(5)
可得
A(0)= A(5) / a(5)
单利
a(5)=1+11%×5=1.55
A(0)= 1000/1.55 = 645.16(元 )
复利
a(5)=(1+11%)5=1.685
A(0)= 1000/1.685 = 593.47(元 )
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 29
贴现 discount
累积因子 accumulation factor
若实利率为 i 则在期初投资的 1 个单位的本金在期
末将累积到 1+i
把 1+i 称为是 累积因子 即
期末累积值 = 期初本金 累积因子
贴现因子 discount factor
考虑累积的反问题 在期初开始时应投资多少 才
能使得在 1 个时期结束时本金和利息总额恰好为 1 个
单位的货币量
如果在期初投资 (1+i)-1 则期末时恰好累积至 1
把 = (1+i)-1 称为是 贴现因子 即
期初本金 = 期末累积值 贴现 因子
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 30
定义 时刻 t 的 1 个货币单位在时刻 0 的价值称为
贴现函数 discount function 用 1()at? 表示
注 C 贴现函数为累积函数的倒数函数
v 单利情形
11()(1)atit??=+
其中 i为单利率
v 复利情形
1()(1)tati??=+
其中 i为实利率
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 31
累积与贴现是一对相反的过程 相应于期初 个单
位本金的 时期期末值为 ()at 而相应于 时期期末
个单位金额的期初值则为 1()at?
定义 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值
称为 实贴现率 effective rate of discount
1[,]nntt? 时间段内的贴现率 nd 的计算公式
()(1)()(1)
()()()
n
n
AnAnIanand
AnA an
? ??===
注 C 注意与实利率的区别
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 32
v 设 i 为单利率 计算相应单利各期的实贴现率
()(1)(1)(1(1))
( 11n
ananininid
a inin
??+??+??===
+?+?
大小 发生 变化
v 设 i 为复利率 计算相应复利各期的实贴现率
1()(1)(1)(1)
()(1)1
nn
n n
ananiiid
a
???+?+
===++
大小 不 发生 变化
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 33
单利率 5% 复利率 5%
时间 累积函数 贴现函数 累积函数 贴现函数
0 1.000 1.000 1.000 1.000
1 1.050 0.952 1.050 0.952
2 1.100 0.909 1.103 0.907
3 1.150 0.870 1.158 0.864
4 1.200 0.833 1.216 0.823
5 1.250 0.800 1.276 0.784
6 1.300 0.769 1.340 0.746
7 1.350 0.741 1.407 0.711
8 1.400 0.714 1.477 0.677
9 1.450 0.690 1.551 0.645
10 1.500 0.667 1.629 0.614
11 1.550 0.645 1.710 0.585
12 1.600 0.625 1.796 0.557
13 1.650 0.606 1.886 0.530
14 1.700 0.588 1.980 0.505
15 1.750 0.571 2.079 0.481
16 1.800 0.556 2.183 0.458
17 1.850 0.541 2.292 0.436
18 1.900 0.526 2.407 0.416
19 1.950 0.513 2.527 0.396
20 2.000 0.500 2.653 0.377
单利 复利
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 34
累积函数与贴现函数
0.200
0.700
1.200
1.700
2.200
2.700
0 5 10 15 20
时间
系列1
系列2
系列3
系列4
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 35
例 Find the amount which must be invested at a rate
of compound interest of 9% per annum in order to
accumulates $1000 at the end of three year.
解 累积因子 1+i =1.09
贴现因子 1 0.91741 in ==+
从而可得
3 1(0)(3)$772
1AA in===+
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 36
单贴现 simple discount
贴现函数为
1 1()1,0atdttd? =?≤<
其中 d为单贴现率
复贴现 compound discount
贴现函数为
1()(1),0tatdt? =?≤
其中 d为复贴现率
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 37
单贴现 单利的贴现
d= i=
5% 5%
时刻t
0 1.000 1.000
1 0.950 0.952
2 0.900 0.909
3 0.850 0.870
4 0.800 0.833
5 0.750 0.800
6 0.700 0.769
7 0.650 0.741
8 0.600 0.714
9 0.550 0.690
10 0.500 0.667
11 0.450 0.645
12 0.400 0.625
13 0.350 0.606
14 0.300 0.588
15 0.250 0.571
16 0.200 0.556
17 0.150 0.541
18 0.100 0.526
19 0.050 0.513
20 0.000 0.500
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 38
单贴现与单利的贴现
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 5 10 15 20 25
时间
系列1
系列2
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 39
复贴现每期的实贴现率都等于复贴现率 d
单贴现模式并不对应单利的贴现模式 而复贴现模
式对应复利的贴现模式
定义 ( 实 ) 利率和 ( 实 ) 贴现率被称为 等价 的
equivalent 如果相同的原始本金 初值 经过相
同的计息期产生相同的终值
对于等价的利率 i 和贴现率 d 有如下关系式
1) 1 di d= ?
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 40
注 C 设期末货币量为 1 则由贴现率定义可知利息量
恰为贴现率 d 从而期初货币量应为 1 d? 所以由
利息率的定义可得
1
did
d=>?
2) 1 idii=<+
注 C 设期初货币量为 1 由利率定义可知利息量恰为
利率 i 从而期末货币量应为 1 i+ 所以由贴现率的
定义可得
1
idi
i=<+
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 41
3 div=
注 C 因为贴现因子 11 in = + 再由 2 可得
例 假设期初借款人从贷款人处借入 10000 元 并约
定一年到期时还 10500 元 即利率 i=5% 如果借款
人希望期初时即付给贷款人利息 1 年到期时偿还本
金 10000 元 问 期初借款人实际可得金额是多少
解 贴现因子 1 0.95241 in ==+ 0.04762div==
从而借款人在期初实际可得
10000(1)100009524()dv?==元
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 42
4 1dv=?
注 C 因为 1vd=?
5 idid?=
注 C 因为 (1)idi=+ or (1)did=?
上式即为 利息 = 终值 初值 = 本金 利率
例 若现有面额为 100 元的零息债券在到期前一年的
时刻价格为 95 元 同时 短期一年储蓄利率为 5.25%
如何进行投资选择
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 43
解
从贴现的角度看 零息债券的贴现率 d =5% 而储
蓄的贴现率 4.988%5%1 id i==<+ 债券投资优于储
蓄
从年利率的角度看 零息债券 1 di d= ? 注意到 1d n=
则 1 1i n= ? 所以 115%5.26%2019di==?== 而储
蓄利率 5.25%5.26%i =< 债券投资优于储蓄
注 C 若 1i 与 1d 等价 2i 与 2d 等价 则 12ii> 当且仅当
12dd>
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 44
名利率 (nominal rate of interest)
问题的提出
储蓄 保险 债券投资等金融业务通常会涉及许多
不同的期限 比如 目前银行开设的人民币整存整取
定期储蓄业务包括 3 个月 6 个月 1 年 2 年 3 年
和 5年六个档期 它们各自的利率相互之间如何比较
现行储蓄利率
人民币存款利率
2002 年 2 月 21 日起执行
项目 年利率
活期存款 0.72
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 45
定期存款 整存整取
三个月 1.71
半年 1.89
一年 1.98
二年 2.25
三年 2.52
五年 2.79
分析 存三个月的实利率为 1.71% 而存 1 年的实利
率为 1.98% 如果真是这样的话 恐怕就不会有人存
1 年期的定期了 因为可以考虑在 1 年期间可以存了
取 再存再取 总共可以存上四个 3 个月定期 这样
的话 按照复利公式可以得到 1 年下来 1 个单位的本
金 的累积值为
(1 + 1.71%)4 = 1.0702 = 1 + 7.02%
利息收入远远超过存一个 1 年的定期
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 46
五年期定期的利率仅为 2.79% 而 1 年期定期的利
率为 1.98% 难道还会有人存五年的定期吗
注 C 这样理解肯定是有问题的
实利率考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部
利息与期初本金金额之比 而名利率考虑的是在一个
计息期内 当支付利息的次数不止一次或不足一次时
如何计算利率
相关术语
利息换算期 (interest conversion period) 月换算
(convertible monthly) 季换算 (payable quarterly)
半年换算 (compounded semiannually)
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 47
定义 ()mi ( 1m ≥ 的整数 )被称为 m换算 名利率 (或 挂
牌利率 ) 即 在标准的利息计算时间单位内 (一般为一
年 )依利率 ()mi 换算 m次 每个换算期内的实利率为
()mi
m
例 (4) 4%i = 季换算名利率 4% 表示每个季度换算
一次利息 且每个季度的实利率为 1
如三个月定期存款利率 (挂牌利率 )为 (4) 1.71%i = 则
10000 元存满三个月可得利息 42.75 元
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 48
例 连续存 4 个三个月定期和存一个一年期定期 哪
一个更合算
解 设期初本金 10000 元 连续存 4 个三个月定期
则可得利息
410000(11.71%/4)1000172.10+?=
而存一个一年期定期则可得利息 198.00 元
注 半年挂牌利率为 1.89% 即 (2) 1.89%i = 半年期
的实利率为 1.89%/2=0.945% 连续存两个半年定期可
得利息
210000(11.89%/2)1000189.89+?=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 49
在 m个时期中支付一次利息的名利率的符号为
(1/)mi 其中 m是大于 1 的正整数
名利率 (1/)mi 是指每 m个时期支付一次利息 且在 m
时期中支付利 息是按照利率 (1/)mim× 进行的 即
(1/)mim× 为每 m时期的实利率
例 2 年期定期 (1/2) 2.25%i =
2年的实利率为 (1/2) 22.25%24.5%i ×=×=
3 年期定期 (1/3) 2.52%i =
3年的实利率为 (1/3) 32.52%37.56%i ×=×=
5 年期定期 (1/5) 2.79%i =
5年的实利率为 (1/5) 52.79%513.95%i ×=×=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 50
例 Find the accumulated value of $500 invested for
five years at 8% per annum convertible quarterly.
解 4520500(1+8%/4)= 500(1+2%)=$742.97×××
实际应用中通常需要计算与名利率 ()mi 等价的 (年 )
实利率 i 的大小
名利率与等价的实利率有如下关系
()
1(1)
m
mii
m+=+
或
()
(1)1
m
mii
m=+?
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 51
由 (年 )实利率 i 也可以计算出名利率 ()mi 即
1() [(1)1]m mimi=+?
由二项式展开可以证明 ()mii> 因为
()
()()
()
()()
(1)1
1()()1
()
m
m
mm
m
m
mmm
ii
m
iim
mm
iii
m
=+?
=+++?
=++>
L
L
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 52
名利率 (1/)mi 与等价的 (年 )实利率 i 有如下关系
(1/)1/(1)1mmiim=+×?
以及
(1/) ((1)1)/mmiim=+?
并且由二项式展开可以证明
(1/)mii>
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 53
期限 年 银行挂牌利率 等价年实利率
0.25 1.71% 1.72%
0.5 1.89% 1.90%
1 1.98% 1.98%
2 2.25% 2.23%
3 2.52% 2.46%
5 2.79% 2.65%
1.50%
1.70%
1.90%
2.10%
2.30%
2.50%
2.70%
2.90%
0 2 4 6
系列1
系列2
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 54
补充 银行储蓄常识
人民币储蓄按存款期限不同分为活期储蓄和定期储
蓄两大类 定期储蓄又包括了整存整取 零存整取
整存零取 存本取息 定活两便等
活期储蓄存款 由储蓄机构发给存折 凭存折存
取 开户后可以随时存取 活期储蓄存款帐户于每年
6 月 30 日统一结算利息一次 利息并入本金一并生息
整存整取定期储蓄存款 由储蓄机构发给存单
存期分 3 个月 半年 1 年 2 年 3 年 5 年六档期
本金一次存入 到期凭存单支取本息
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 55
存款的计息
利率分为年利率 月利率和日利率三种 相互之间
的换算采用 30/360 规则 即
1年 = 12 月 = 360 日
月利率 = 年利率 / 12 日利率 = 年利率 / 360
1月 = 30 日
日利率 = 月利率 / 30
例 活期储蓄利率
挂牌利率 (年单利率 ) = 0.72%
日利率 = 0.72% / 360 = 0.002%
注 C 一年期以内活期储蓄为单利计息
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 56
按 储蓄管理条例 规定 存款的计息起点为元
元以下角分不计利息 利息金额算至分位 分以下尾
数四舍五入
存期的计算采用 算头不算尾 的方法 即是从存
款存入银行的当日算起 直至取款日前一天为止 取
款当日不计利息
定期储蓄存款提前支取的 按支取日挂牌公告的活
期储蓄存款利率计付利息 部分提前支取的 提前支
取的部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付
利息 其余部分到期时按开户日挂牌公告的整存整取
定期储蓄存款利率计付利息 部分提前支取以一次为
限
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 57
除约定自动转存外 定期储蓄存款过期支取的 其
过期部分的利息按活期存款计算
活期储蓄存款在存入期间遇有利率调整 按结息日
挂牌公告的活期储蓄存款利率计算利息
定期储蓄存款在存期内如遇利率调整 仍按存单开
户日挂牌公告的相应的定期储蓄存款利率计算利息
从 1999 年 11 月 1 日起 储蓄存款利息所得按照每
次取得的利息所得额征收 20%的个人所得税
例 一年期定期储蓄挂牌利率为 1.98% 税后实际利
率为
1.98%80%1.584%×=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 58
例 单利与复利的比较
活期储蓄在每年的 7月 1日至次年的 6月 30日之间
是按照单利来计息的 如果按照复利来计息 即做到
利滚利 , 收益会增加多少
解 本金 10000 元
单利计息
×100000.72%=72元
复利计息 1 年按照 360 天计
36010000(10.002%)1000072.26×+?=元
即 每 1 万元比原先多出利息 0.26 元
注 C 当利率水平较低或当时间较短的时候 复利与单
利的差别不大
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 59
名贴现率 nominal rate of discount
定义 名贴现率 ()pd ( p 1 整数 ) 是指在标准计息期
内依 ()pd 换算 p次 每个换算期内的实际贴现率为
()pd
p
名贴现率与等价的实贴现率有如下关系
()
1(1)
p
pdd
p?=? 或
()
1(1)
p
pdd
p=??
以及
1() [1(1)]p pdpd=??
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 60
结论 相同计息期内等价的名利率与名贴现率有如下
的关系 m, p可以不相同
1)
()()
(1)(1)
mpid
mp
?+=?
2) 若 mp= 则有
()()
1(1)(1)
mmid
mm
?+=?
及
()()()()mmmmidid
mmmm?=×
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 61
注 C1
()()
(1)11(1)
mpid
id+=+=?=?
注 C 2) & 3 :
()mi
m 与
()md
m 为
1
m计息期内等价的实利率
与实贴现率
例 有以下两种 5 年期的投资选择 A 年利率 7%
每半年计息一次 B 年利率 7.05% 每年计息一次
比较两种选择的收益
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 62
解
方法一 比较等价的年实利率
(2) 7%
Ai =
27%(1)17.1225%7.05%
2ABii=+?=>=
方法二 比较实际收益
107%(5)(1)1.4106
2Aa =+=
5(5)(17.05%)1.4058
Ba =+=
(5)(5)ABaa?>
结论 A 收益高
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 63
例 Find the nominal rate of interest convertible
quarterly which is equivalent to a nominal rate of
discount of 6% per annum convertible monthly.
解 已知 (12) 6%d = 求与之等价的 (4)i
由
(4)4(12)12(1/4)(1/12)id?+=?
可得
(4)(12)34[(1/12)1]id?=??
34[(0.995)1]0.0606? ?=
6.06%=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 64
连续利息计算
连续型利息模型 即利息的产生是连续地依赖于时
间的 但利息的支付却不必是连续的
考虑理想的情形 即每个瞬间都可以进行利息的换
算 如何来度量利息在每一个 小瞬间 的变化的强
度
定义 设累积函数 ()at为 t 的连续可微函数 时刻 t
的 利息力 (force of interest)定义为
()()t atatd ′=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 65
累积函数可以表示为
0
()exp(ds)
t
sat d= ∫
贴现函数可以表示为
1
0
()exp(ds)
t
sat d
? =?∫
注 C
0
() (ln() dsln()ln(0)
()
t
ts
at atata
atdd
′ ′==?=?∫
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 66
定义 时刻 t 的 贴现力 (force of discount) td ′为
1
1
(())
()t
at
atd
?
?
′′ =?
注 C 负号使得贴现力取正值
结论 利息力与贴现力相等 即
ttdd′=
注 C
12
11
(() ()()()
( ()()
atatatat
atatat
??′′?
?=?=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 67
例 求单利在时刻 t 的利息力
解 ()1,()atitati′=+=
从而时刻 t 的利息力为
()
()1t
ati
atitd
′==
+
注 C 单利的利息力关于时间为递减函数
例 求复利在时刻 t 的利息力
解 ()(1),()ln(1)(1)ttatiatii′=+=++
从而时刻 t 的利息力为
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 68
() ln(1)
()t
at i
atd
′==+
注 C 复利的利息力关于时间为常值函数
结论 若利息力为常数 即 tdd= 则
1 () tated= 1 () tated??=
2 常数利息力 d 与实利率 i 的关系式为
1ied=? ln(1)ln()ln(1)ivdd =+=?=??
3 did<<
注 C 此即为复利情形 ()(1)tati=+
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 69
证明 1)
0
()exp()
t
tatdsedd==∫
证明 2): 由 (1)1aeid==+可得 1ied=?
由 ,,ivd的关系可得 ln(1)ln()ln(1)ivdd =+=?=??
证明 3): 由 2)可以证明 did<< 即
23
1 2!3!ied dd=?=+++>L
23
ln(1) 23ddddd?=?=?????>L
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 70
结论 名利率 ()mi 与名贴现率 ()pd 以及利息力 d 有如
下关系
1 () [1]m mime
d
=?
2
() [1]p pdped?=?
3 ()()pmddiid<<<<
4 ()()lim limmp
mp
idd
→∞→∞
==
注 C 1)&2): 1,1eieddd?=+=?
注 C 3)&4): 利用展开式
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 71
()23
2
1 11[1]
2!3!
m mime
mm
d
ddd=?=+++L
可以证明
21()()
12,
mmiiimmd <<<<
以及
()0 m idi
md
?<?<
而 ()Pd 的性质可由与 ()mi 的关系式及相应性质推出
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 72
例 Find the accumulated value of $1000 invested for
ten years if the force of interest is 5%.
解 5%10(10)(0)(10)1000$1649AAae×==×=
例 : 基金 F 以利息力函数 11t td = + 0t ≥ 累计 基金
G 以利息力函数 2412t ttd = + 0t ≥ 累计 分别用 ()Fat
和 ()Gat表示两个基金在时刻 (0)tt≥ 的累计函数 令
()()()FGhtatat=? 计算使 h(t)达到最大的时刻 T
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 73
解 由题设条件有
0
1()exp()1
1
t
Fatdsts==++∫
2
2
0
4()exp()12
12
t
G
satdst
s==++∫
根据 ()ht定义得 2()2httt=? 以及 ()14htt′ =? 由
此可以求出使 ()ht 达到最大的时刻 14T =
注 C 此例为变利息力
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 74
基金F与基金G的累积函数
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
时间
累积值
系列1
系列2
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 75
1.2 利息基本计算
有关利息计算的基本要点
1 投资开始时的 现值 货币
2 投资经过的 时间 时间
3 利率 货币的时间价值度量
4 投资结束时的 终值 货币
关键 其中的任何三个的值都可以决定第四个的值
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 76
投资时间的度量
v 精确利息计算 (exact simple or compound interest)
实际天数 /实际天数 (Actual/Actual)
按实际的投资天数计算 一年为 365 天
v 普通利息计算 (Ordinary simple/compound interest)
30/360
假设每月有 30 天 一年为 360 天
注 C 两个给定日期之间的天数的计算公式为
212121360()30()()YYMMDD?+?+?
其中 Y2 M2 D2 分别代表支取日的年 月 日 而
Y1 M1 D1 则分别代表 存入日的年 月 日
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 77
例 存入日 1999 年 3 月 11 日
支取日 2000 年 6 月 20 日
存期天数 = 360 2000 - 1999 +30 6 - 3 + 20 - 11
= 360 + 90 + 9 = 459
例 存入日 1999 年 6 月 20 日
支取日 2000 年 3 月 11 日
存期天数 = 360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20)
= 360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20)
= 0 + 240 + 21 = 261
注 C 大月日历日 30 日与 31 日被视为同一天 二月当
月存入 当月取出的 按照实际存款天数计算 跨月
存入 取出的 则按照 30 天计算
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 78
v 银行家利息法则 (Banker's Rule)
实际天数 /360
按实际的投资天数计算 但一年设为 360 天
注 C 不是所有的利息计算都需要计算天数 如银行储
蓄 债券交易会涉及投资天数的计算 许多金融业务
是自动依月 季 半年或一年进行的
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 79
价值方程
问题 的 提出
多笔金融业务发生在不同时刻 如何来统一处理
v 在考虑利息问题时 货币将具有时间性 即 货币
的时间价值 time value of money
v 不同时刻的货币量是无法直接比较大小的 必须将
这些量调整 累积或贴现 到某一个共同日期 比较
日 /comparison date 来进行比较
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 80
调整到比较日的计算方程被称为 价值方程
equation of value
注 C 期初和期末是两个特殊的比较日 中间其它时刻
都可以作为比较日 现值方程 /终值方程是将比较日选
为期初 /期末的两种特殊的价值方程
注 C 采用复利计算 最终计算结果与比较日的选取无
关 采用单利计算 比较日的选取将直接影响到计算
结果
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 81
时间流程图 time diagram
具体做法
1 用一条直线表示时间 从左到右 上面的刻度为
事先给定的时间单位 如年 季 月等
2 发生的现金流量写在对应时间的上方或下方 取决
于资金的流向
3 画一个小箭头代表比较日
注 C 时间流程图对于资金流动频繁的复杂情况的分
析及确定相应的价值方程有帮助
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 82
例 某资金帐户现金流如下 在时刻 0 有 100 元资金
支出 在时刻 5 有 200 元资金支出 在时刻 10 有最后
一笔资金支出 作为回报 在时刻 8 有资金收回 600
元 假定半年换算名利率为 8% 试计算时刻 10 的支
出金额大小
解 设时刻 10 的支出金额为 X 则整个业务的现金流
程图如下
100 200 X
|------|------|-------|-----|-----|-------|------|-----|-----|--------|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
600
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 83
注 C 时间单位 默认方式 =年
情形 1 复利方式 默认方式
半年期复利率 =4%
半年期累积因子 1v? =1+4%
半年期贴现因子 v=(1+4%)-1
选取不同的比较日 t 的价值方程 收支平衡
1 t=0
100 + 200 10v + X 20v = 600 16v
1610
20
600100200 186.76vvX
v
??==
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 84
2 t=5
100 10v? + 200 + X 10v = 600 6v
610
10
600100200 186.76vvX
v
???
==
3 t=10
100 20v? + 200 10v? + X = 600 4v?
42010600100200186.76Xvvv???= ?=
结论 不同比较日的价值方程的计算结果相同
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 85
情形 2 单利方式
假设半年期单利率 =4%
选取不同的比较日 t 的价值方程 收支平衡
1 t=0
200600100
110120116
X
iii++=+++
由此可以解出 X=221.39
2 t=5
600100(110)200
11016
Xi
ii+++=++
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 86
由此可以解出 X=201.42
3 t=10
100(120)200(110)600(14)iiXi++++=+
由此可以解出 X=236.00
注 C 不同比较日的价值方程的计算结果不同
上例表明 如果知道多笔业务的发生时间 利率以
及除去一笔业务外其它业务的业务量时 通过列出价
值方程可以求出未知业务量 在默认的复利方式下
比较日的选取不影响所求出的结果
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 87
等时间法
知道利率 知道多笔业务的每笔业务量以及除去一
笔业务外其它业务的发生时间 求未知时间
例 求某个时刻的一次性支付与不同时刻的多次支付
等价 假设有两种投资方式
方式一 分别于时刻 1t , 2t , ..., nt 投入 1s , 2s , ..., ns 元
方式二 在时刻 t 一次性投入 1s + 2s +...+ ns 元
若两种方式的投资价值相等 求时刻 t
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 88
解 两者在时刻 0 价值相等的基本价值方程为
12
1212(...)...
ntttt
nnsssvsvsvsv+++=+++
得精确解为
12
12
12
...ln()
...
ln()
nttt
n
n
svsvsv
ssst
v
+++
+++=
通常用所谓的 等时间法 Method of equated
time 作上式的近似计算 即
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 89
1 2 12
12
... ...
...
nnn
n
n
stststsssttt
ssss
+++′ ==+++
+++
其中 12 nssss=+++L
注 相当于用各个时刻的货币量作为权数对所有时刻
加权求和作为 t 的近似值 t′
例 Payments of $100, $200, and $500 are due at the
ends of years 2, 3, and 8, respectively. Assuming an
effective rate of interest of 5% per annum, find the
point in time at which a payment of $800 would be
equivalent: 1) by an exact mathod, and 2) by the
method of equated time.
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 90
解 1(15%)0.9524v ?=+=
精确解为
238100200500
ln()800
5.832ln()
vvv
t v
++
==
等时间法给出的近似解为
1002005002386
800800800t′ =×+×+×=
注 C 可以证明近似解总是比精确解偏大
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 91
例 在给定利率下 求货币价值增加一倍的时间间隔
解 基本价值方程为
(1)2ni+=
n为要计算的时间间隔 从而可以解出
ln2
ln(1)n i= +
进 一 步 的 分析 上式可变形为
0.6931[][]
ln(1)
in
ii= +
取 8%i = 第二项值为 1.0395 从而有
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 92
0.72n
i≈
该算法称为 72 算法 (rule of 72) 当利率在一定范
围变化时 72 算法近似度较高
注 C 可以证明 当利率小于 8%时得到的近似估计值
偏大 而当利率大于 8%时得到的近似估 计值偏小
利率 (%) 4 6 8 10 12 18
72 算法 n 18 12 9 7.2 6 4
精确算法 n 17.67 11.90 9.01 7.27 6.12 4.19
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 93
例 按照我国目前的利率水平 年利率 i 大约为 2%
求需要经过多少年 一笔存款的价值才能翻番
解 用 72 算法可得 36 年 精确算法可得 35 年
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 94
利率的计算
根据不同的实际问题选用不同的方法 求解未知利率
方法 1 直接对价值方程进行指数或对数运算
例 以什么样的季换算挂牌利率 可以使当前的 1000
元在六年后本利和为 1600 元
解 令
(4)
4
ij = 比较日为第六年年底 则价值方程为
241000(1)1600j+=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 95
由此可得 1241.610.019776j =?=
从而 (4) 40.0791ij== 或 7.91%
注 当发生的业务多次时 该方法不好用
方法 2 用代数方法求解
例 已知两年后的 2000 元和四年后的 3000 元的现值
之和为 4000 元 计算年利率
解 比较日为初始时刻 则价值方程为
24400020003000vv=+
可化简为 2v 的二次方程 423240vv+?=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 96
由此可得 2 0.868517v = 即 0.0730i = 或 7.30%
注 C 该方法只对恰好能直接求解的价值方程有效
方法 3 求数值解
例 如果现在投入 1000 元 三年底投入 2000 元 在
第十年底的全部收入为 5000 元 计算半年换算名利
率
解 令
(2)
2
ij = 比较日为第十年年底 则价值方程为
20141000(1)2000(1)5000jj+++=
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 97
由于该方程不能直接求解 从而可以考虑求该方程
的数值近似解
由 Excel 的 规划求解 可得 0.0321777j =
利率 j 累积因子 价值方程
0.05 1.05 1613.160904
利率 j 累积因子 价值方程
0.032177671 1.032177671 0
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 98
1.3 实例分析
在现实的金融市场中 人们常常将各种收益率简称
为利息率 但含义却会有所不同
例 利率与贴现率
以美国的市场为例 在短期债券中以美国财政部发
行的短期国库券 T bills 为主 期限通常为三个月
(13 周 ) 六个月 (26 周 )和十二个月 (52 周 ) 三月期和
六月期的每星期一发行 十二月期的每月第四个星期
发行 它 们的利息通常是用贴现率表示的
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 99
长期的国库券在发行时则是依年利率表示它们的
利息收入 因此 这两者的表面的利率是不能直接比
较的
例 面额为 100 元的三月期国库券发行时价格为 96
元 所公布的贴现率为 16% (4)d 而实际的年利率
为 17.74% i
注 C 考虑面值为 100 元的债券在到期前三个月时的
价格为 96 元 求 1) 季结算名贴现率 2) 年实利率
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 100
1) 由
(4)
= (100-96)/100 = 4%4d 可得 (4) = 16%d
2) 由
(4)
= (100-96)/96 = 1/244i 可得
(4)
44(1)-1= (25/24)-1 = 17.74%
4
ii =+
或者也可以直接利用公式
(4)
4(1)-1= 17.74%
4
di ?=?
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 101
例 提前支取的处罚
在许多定期存款业务中 都考虑了提前支取的处罚
例如 两年定期存款的年利率为 10% 若储户在第一
年底要提前取出这笔存款 则利率肯定要低于 10%
这就是一种处罚方法
例 两年定期存款的年利率为 10 在提前支取时储
户可以有以下两种选择
A) 年利率降为 8
B) 年利率不变 但扣除三个月的利息
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 102
试对以下两种情况 给出对储户较为有利的选择
1) 存入 6 个月时提前支取
2) 存入 1 年半时提前支取
解 : 分别用 AI 和 BI 表示两种选择的利息收入
1) 0.5=(1.08) -1=0.0392AI
0.25=(1.10)-1=0.0241
BI
储户应选择方式 A
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 103
2) 1.5=(1.08)-1=0.1224AI
1.25=(1.10)-1=0.1265
BI
储户应选择方式 A
例 : 储蓄方式如下 年利率 7 在每三年底 (如果存
款未提前支取 )将奖励余额的 2
试对以下三个取款时刻计算实际的年利率
1) 第二年底
2) 第三年底
3) 第四年底
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 104
解
1) 若第二年底取款 年实利率仍然为 7
2) 若第三年底取款 则有
33(1)(1.07)(12%)i+=+
可得三年的实际年利率 =7.71%i
3) 若第四年底取款 则有
44(1)(1.07)(12%)i+=+
可得四年的实际年利率 =7.53%i
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 105
例 银行的定期存款利率如下 (保持 6 年不变 )
存期 (年 ) 1 2 3 4
半年结算
名利率
5% 6% 7% 8%
存款不允许提前支取
某投资者准备存入 1000 元 6 年 计算 :
1) 最大收益的定期储蓄组合的平均年利率
2) 最大收益
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 106
解 : 选择一个四年期和一个二年期 一个货币单位的
存款在第六年底的总收入为
84(1+8%/2)(1+6%/2)=1.54034×
该组合的平均年利率为
16(1.54034)-1 = 7.47%
选择两个三年期 一个货币单位的存款在第六年底
的总收入为
12(1+7%/2)=1.51107
该组合的平均年利率为
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 107
16(1.51107)-1 = 7.12%
从而选择一个四年期和一个二年期可得到最大收益
1540.34 元
注 C 可以证明 用两个两年期代替一个四年期并不合
算 其它代替情形类似 这只需注意到各个期限所相
应的年实利率的大小
存期 1 2 3 4
名利率 5% 6% 7% 8%
实利率 5.06% 6.09% 7.12% 8.16%
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 108
例 某人需要 5 万元的一年期贷款 市场中现有两种
可能的融资机会
A) 一年期贷款年利率 5%
B) 利率小于 5% 但最低贷款额度为 10 万元
如果一年期可能的投资利率为 3% 问 要使两种方
式等价 方式 B 的最大可接受利率为多少
解 : 设 i 为方式 B 的最大可接受利率 则有
50000(15%)100000(1)50000(13%)i+=+?+
由此可得 4%i =
结论 如果 B 的利率小于 4% 则选择 B 如果 B 的
利率大于 4% 则选择 A
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 109
例 现有如下的投资经历 原始投资 10 万元 基金
在前两年全部投资于 13 周 (三个月 )的短期国债
(T-bill) 假定均以贴现方式报价 从第三年开始进行
组合投资 利息力函数 11t td = + 如果希望 5 年后的
收益较原投资多出 1.6 倍 试分析 13 周短期国债的可
接受折价价格
解 设国债以贴现率 d 折价出售 则有该基金在第
二年底的累计价值
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 110
8(2)(1)
4
da ?=?
又后三年的累积可表为
5
2
15(5)(2)exp()(2)()2(2)
12saadsaad
+===
+∫
且已知
(5)(0)(11.6)2.6aa=+=
即 82.62(1)12.9%,0.032344ddd?=??==
从而面额为 100元债券的可接受折价价格为 96.77元
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 111
例 各种利率基本函数之间的变化关系
1) 21()01dii? =>?+
分析 1111id ii==?++
2) 1 01iid? =>?+
分析 ln(1)id =+
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 1章 — 112
3)
()
1
1 0
(1)
m
m
m
i
i i ?
? =>
? +
分析
1
() [(1)]m mimi=+
4) 1 0vvd? =?<?
分析 ln()dn=?
5) 0d e dd ?? =>?
分析 1ded?=?
