北京大学：利息理论与应用：ppt7利率风险分析

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 1 第七章 利率风险分析 问题的提出 前面讨论的基本假设 利率水平固定 在现实的金融市场中 利率是随时间变化的 相应的研究 v 研究利率本身的变化规律 v 研究受利率影响的金融产品和市场的变化规律 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 2 7.1 一般分析 各个国家在不同时期的利率水平变化很大 在 1945 年美国的政府债券的平均收益率仅为 0.33% 而到了 1981 年同样的债券的同期收益率为 14.7% 即使在 1980 年 8 月份的优惠利率 prime rate 指大商业银行对一些资信良好的大企业短期贷款 的利率 也是商业银行贷款的最低利率 亦有 11% 到 12 月份为 21.5% 中国自 1980 年至 2000 年的二十年间利率在水平和 结构上都有很大的变化 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 3 1980-2000 年中国的储蓄利率变化情况 3 月期 6 月期 1 年期 2 年期 3 年期 5 年期 8 年期 1980 -4 -1 4.37 5.76 6.42 6.90 7.01 1982 -4 -1 4.37 6.84 7.36 7.17 7.01 1985 -4 -1 5.47 6.84 7.36 7.17 7.01 1985 -8 -1 6.21 7.2 7.68 7.98 7.88 1988 -9 -1 6.58 8.64 8.79 8.90 9.02 9.01 1989 -2 -1 7.78 9.20 11.34 11.57 11.71 11.80 11.63 1990 -4 -15 6.45 7.89 10.08 10.44 10.70 10.99 10.95 1990 -8 -21 4.39 6.58 8.64 8.96 9.21 9.52 9.68 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 4 1991 -4 -21 3.28 5.47 7.56 7.63 7.68 7.71 7.67 1993 -5 -15 4.95 7.33 9.18 9.45 9.81 9.90 10.15 1993 -7 -11 6.83 9.20 10.98 11.09 10.99 11.10 11.38 1996 -5 -1 4.95 7.33 9.18 9.45 9.81 9.90 1996 -8 -23 3.37 5.47 7.47 7.63 7.68 7.71 1997 -10-23 2.91 4.18 5.67 5.77 5.86 5.92 1998 -3 -25 2.91 4.18 5.22 5.43 5.86 5.92 1998 -7 -1 2.82 4.00 4.77 4.75 4.72 4.75 1998 -12 -7 2.82 3.36 3.78 3.88 3.98 4.14 1999 -6 -10 1.99 2.17 2.25 2.40 2.63 2.73 2002 -2 -21 1.899 1.980 2.225 2.459 2.646 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 5 用基本的经济学原理分析 利率水平从某种意义上讲是一种价格 应该由供 求平衡来决定它的值 如果借款的需求很大 利率将上升 如果借款的需求 较小 利率将下降 影响利率水平的一些因素 1) 内在 纯利率 许多经济学者和金融理论家都认为存在一个内 在的纯利率 它与长期的经济发展水平有关 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 6 如果不考虑通货膨胀因素 这个利率将代表无风 险投资的收益率 实证研究表明 这种利率会稳定很长时间 例如 美国 20 世纪的几十年间 这个利率一直介于 2%和 3%之间 2 通货膨胀率 见下面的讨论 3 风险和不确定性 见下面的讨论 4 投资期限 短期与长期的区别 5 信息量 市场的 无效 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 7 6 法律的约束 有时政府会对利率水平作一些限制 在美国近几年 有放松管制的趋势 所以这种因素的影响较过去已降 低许多 但是 某些利率仍然受到法规的限制 7 政府的政策 美国联邦政府通过实施货币政策和财政政策对总 体的利率水平产生影响 甚至是控制 基本的控制手段是 美联储对货币供应量的调整 同时 政府的赤字或盈余也对信贷市场的需求产生 重要影响 8 随机波动 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 8 在实际业务中常用的表示利率变动的术语 1 基点 basis point 计算利率变动的计量单位 一百个基点表示 1% 例 利率从 9%上涨到 9.25% 则称利率上涨了 25 个基点 2 利差 spread 用于比较两种利率的差 在投资问题中常以国 债的收益率做为比较的基础 例 如果一年期国债的收益利率为 8.25% 另外有 一种金融产品的收益利率为 9.50% 则称 对一年期 国债的利差为 125 个基点 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 9 通货膨胀与利率 通货膨胀率表示购买能力因时间的推移而造 成的损失 金融市场的公布利率与通货膨胀率通常是正 相关的 贷款人至少要通过利率以补偿其在资本购买 力上的损失 市场中的现行利率被称为 名义利率 nominal rate of interest 用 i 表示 市场中的现行利率 扣除了通货膨胀率后的部分为 实际利率 real rate of interest 用 i'表示 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 10 如果 r表示同期的通货膨胀率 则有以下关系 1+i= (1+i ')(1+r ) 从而有 i = i' + r + i'r 即 名义利率等于实际利率与通货膨胀率及两者的 乘积之和 因为一般情况下利率均为较小的数值 所以可将 乘积项 i'r 省略 进而得到常见的结论 名义利率 为实际利率与通货膨胀率之和 i = i' + r 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 11 结论 当在一定的时期内实际利率的水平变化不大 时 市场上的名义利率的变化与通货膨胀率的变化 是同步的 另外 可以通过名义利率反解出实际利率 i ' 1+i' =11 ir++ 或 i ' =1irr?+ 注 固定利率债券的通货膨胀风险也称为购买力风 险 比如投资者购买了一种息票利率为 7%的债券 而通货膨胀率为 8% 则现金流的购买力实际上已 经下降了 浮动利率债券的通货膨胀风险较低 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 12 考虑通货膨胀情况下的利息计算 1 现值的计算 考虑 n期期末年金的现值 年金的金额随着通 货膨胀率同步递增 即 首次付款用 R (1+ r)表示 以后每次付款为上 一期的 (1+ r)倍 注 在 0 时刻的现金量应为 R 以名义利率 i 计算的现值公式为 R [(1+ r) + 2(1)r+ 2v + +(1)nr+ nv ] 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 13 =R(1+r ) 11() 1 nr i ir +? + ? 如果用 i'表示上式 则应有 R[ 1(1)i ?′+ + 2(1)i ?′+ + +(1)ni ?′+ ] = R | nia ′ 2 终值的计算 例 某投资者以利率 i 投资 A 元 n 期 则到期 时的收益为 A(1)ni+ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 14 如果考虑通货膨胀因素 这笔投资在到期时的实际 收益为 A (1)(1) n n i r + + = A(1) ni′+ 因此 必须区别名义投资收益和实际投资收益 例 某保险公司在人身意外伤害保险的赔付条款中采 用了年金赔付方式 首次赔付 24,000 元 余额按 10 年期末年金方式赔付 从第一次年金赔付开始赔付金 额按照零售物价指数 5%逐年递增 同期市场年利率 8% 计算 年金赔付责任的现值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 15 解 已知 i =0.08 r=0.05 从而有实际利率 i' = (0.08 0.05)/(1+0.05) = 0.028571 从而年金赔付的现值应为 24,000(1.05) 101.051() 1.08 .08.05 ? ? = 24,000 10 | .028571a = 206,226.00 所以该保单的合 计赔付金额 现值 应为 24,000+206,226.00 = 230,226.00 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 16 风险 不确定性与利率 问题的提出 在前面的所有讨论中 都假定未来的现金流的金额 和时间是确定的 但是在现实情况中 通常 存在发生时间和数量不确 定的现金流 例如 简单的标准借贷业务 也存在以下这些风险 不能按期支付 提前支付或是对抵押贷款的再融资风 险 再投资利率变化的风险和早赎的风险等 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 17 两种影响投资的市场价值的主要风险 v 市场风险 金融市场的变化 表现为不同的 到期收益率 引起现金流价值的变化 v 信用风险 credit risk 金融产品本身的风 险行为 例如 考虑 A 和 B 两种溢价债券 有相同的息 票收入 兑现值和到期日 A 是由政府财政部发行 的国债 B 是一种高风险的企业债券 分析 两种债券的市场风险是相同的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 18 但是 从产品本身的内在风险因素考虑 B 的不确 定性比 A 大 从而 B 在市场中的售价应低于 A 即 B 的到期收益率应高于 A 注 如果在评估有风险的债券的价值时 仍然用收益 率作为评估的方法 则这种收益率的计算将因为不确 定性的存在比无风险情形的收益率计算复杂得多 为了区别是否为有风险的债券 在一般的市场中都 会确定或假设存在一个 无风险收益率 risk-free return rate 或 default-free rate 这个收益水平是 指在任何情况下都确定的投融资水平 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 19 例 市场的无风险投资的收益率为 8% 现有一年期面值 1000 元的债券 年息率 8% 到期 按照面值兑现 现按面值出售 另有一种债券 是一个处于成长期的企业发行的 面值 1000 元 年息率 8% 到期兑现本金是有条件的 如果企业运行良好 则按照面值兑现 否则只支付 息票 不兑现本金 已知后一种企业债券的市场售价为 940 元 试评估后一种债券的收益率 注 这里 60 元的差价是考虑后一种债券存在的违约风 险后对购买者的风险补偿 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 20 解 如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收 益率 则有 940 = 1080 1(1)i ?+ 由此可得 i= 14.89% 分析 14.89%表示一种风险投资的收益率 看上去 比无风险债券的收益率高出 6.89% 但是 这种 高 收益 是不确定的 风险报酬 / 风险溢价 risk premium 实际收益率与无风险收益率的差 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 21 分析 例中的 6.89%为风险报酬 一般的 投资风 险越大则风险报酬越高 思考 投资该种债券真的有如此高的收益率吗 投 资者是否都只投资该风险债券而不投资收益率较低 的无风险债券 分析 并不是这样的 因为上述 14.89%的收益率只 是代表不违约情况下的最高收益率 如果发生全额 本金和息票 违约 则投资者的 收益率为 -100% 940 元的投资全部损失 如果发生部分违约 本金或息票 收益率将介于 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 22 -100%与 14.89%之间 即使不违约 但企业运营不好的时候 收益率也只 有 940 = 80 1(1)i ?+ 由此可得 i= -91.49% 结论 可以认为 940 元的买价即包括了预期收益率 的成分 也包括了对未来违约风险的估计 即 买价是对未来收益现值的预期结果 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 23 用概率论的语言对问题的描述 设未来收益的现值用随机变量 X 表示 并且假设 X 仅有两种可能的取值 1080 1(1.08)? 不发生违约 概率为 p 0 全部违约 概率为 1 p? 从而 X 的数学期望为 p(1080) 1(1.08)? 假设债券的买价为未来收益现值的数学期望 则有 940 = p(1080) 1(1.08)? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 24 由此可得概率 p= 0.94 注 没有任何收益的风险概率为 6% 在风险概率 6%下 该债券的期望收益率与市场 上的无风险利率相等 即有 14.89%0.94(100%)0.068%×+?×= 这表明 存在无风险利率 8%的投资条件下 投 资于违约风险 6%的投资是不一定合算的 注 与投资者对风险的偏好有关 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 25 例 假设在上例中 该企业债券不存在违约的情形 试分析该企业因运营不好而不偿还本金的风险概率 解 设未来收益的现值用随机变量 X 表示 则可假设 X 仅有两种可能的取值 1080 1(1.08)? 偿还本金 概率为 p 80 1(1.08)? 不偿还本金 概率为 1 p? 从而 X 的数学期望为 p(1080) 1(1.08)? + (1- p)(80) 1(1.08)? 假设债券的买价为未来收益现值的数学期望 则有 940 = p(1080) 1(1.08)? + (1- p)(80) 1(1.08)? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 26 由此可得 0.9352p = 从而该企业不偿还本金的风险概率为 10.0648p?= 更一般情形的讨论 设在时刻 1, 2,…,n 预计收益现金流为 1R , 2R , …, nR 实际 随机 现金流为 1X , 2X ,…, nX 不是现值 并且 假设 tX 的取值仅为 tR 或 0 能够正常得到这些收益的概率 互相独立 分别 为 1p , 2p ,…, np 其中 tp 表示可以得到收益 tR 的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 27 Pr()1Pr(0)ttttpXRX===?= 1,2,,tn= K 如果市场的无风险利率为 i 则这组收益的现值的 数学期望为 EPV= 1 (1) n t ttRip ?+∑ 对应的风险投资收益率为满足下面方程的解 ip 11 (1)(1) nn tt tttpRipRi ??+=+∑∑ 注 显然有 pii> 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 28 结论 如果概率 ttpp= (1,2,...,)tn= 则有 EPV= , 11 ()()1 nn tt ttpi pRRv i =+∑∑ 其中 ,piv 为经过某种修正后的新的贴现因子 , 1 (1)(1)pi pvv ii=<=++ 结论 在概率 ttpp= (1,2,...,)tn= 条件下 对应的风险 溢价为 1 (1)p i p ? + 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 29 证明 将 ,piv 看作是贴现因子 则对应的新的收益 率为 , 11111p pi iipii vppp +?=?=?=+> 从而可得风险溢价为 1p ipiii pp ??=+?=1 (1)p i p ? + 注 在无风险利率水平固定时 风险溢价水平随 风险程度的下降 p上升 而下降 直至为零 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 30 给定风险溢价水平 由上述公式可以反解出单 位时间的风险不发生概率为 p = 1 (1)i i+++溢价 例 已知两年期无风险年实利率为 2.40% 1 现有如下两年期的公司债券 第一年底息票 收入不发生违约的概率为 95% 无论第一年是否 违约 第二年底息票与本金收入不发生违约的概 率为 90.25% 计算该公司债券的风险溢价 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 31 2 若已知上述产品的风险溢价为 8% 第一年底息票 收入不发生违约的概率为 p 无论第一年是否违约 第二年底息票与本金收入不发生违约的概率为 2p 计 算 p 解 1 由风险溢价公式可得 风险溢价 195% (12.40%)5.39%95%?=+= 所以该公司债券的风险收益率为 2.40% + 5.39% = 7.79% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 32 2 由风险不发生概率公式可得 12.4% 92.75% 8%(12.40%)p +== ++ 2 86.03%p = 即 若该公司债券按照 10.40%的风险收益率出售 则 意味着 第一年底息票收入不发生违约的概率为 97.25% 第二年底息票与本金收入不发生违约的概率为 86.03% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 33 7.2 利率期限结构 利率的期限结构 term structure of interest rates 因投资期限的不同而造成的投资到期收益率的 变化结构 研究背景 v 在 金融市场中 不同的投资期限 对应不同的收益 水平 v 在每个交易时期都会存在一组市场利率 表示不 同投资期限对应的利率 v 一般情况下 这些利率具有随投资期限增加而逐 渐上升的趋势 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 34 大多数债券市场发达的资本市场是以国债或信用 等级最高的债券的收益率作为市场无风险利率 或简 称利率 的代表 国内通常选用国债的收益率来研究利率期限结构 注 C 下面以国内银行的储蓄利率数据来分析利率期 限结构 1 在固定时点的利率模型 表 7.1 为中国人民银行公布的定期储蓄利率表 在每次公布的利率表中 不同的存款期限有不同的 年利率 即年利率水平与投资期限有关 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 35 表 7.1 人民币存款 整存整取年 利率表 (2002 年 2 月 21 日起执行 ) 期限 年 0.5 1 2 3 5 公布年利率 % 1.89 1.98 2.25 2.52 2.79 年实利率 % 1.899 1.980 2.225 2.459 2.646 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 3 4 5 期限 年实利率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 36 2 利率的整体期限结构 不同时期公布的利率表在整体上具有一种结构或趋 势 表 7.2 为 1980-2000 年中国的储蓄利率变化情况 表 7.2 1980-2002 年实际年利率表 3 月期 6 月期 1 年期 2 年期 3 年期 5 年期 8 年期 1980 -4 -1 4.37 5.76 6.42 6.90 7.01 1982 -4 -1 4.37 6.84 7.36 7.17 7.01 1985 -4 -1 5.47 6.84 7.36 7.17 7.01 1985 -8 -1 6.21 7.2 7.68 7.98 7.88 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 37 1988 -9 -1 6.58 8.64 8.79 8.90 9.02 9.01 1989 -2 -1 7.78 9.20 11.34 11.57 11.71 11.80 11.63 1990 -4 -15 6.45 7.89 10.08 10.44 10.70 10.99 10.95 1990 -8 -21 4.39 6.58 8.64 8.96 9.21 9.52 9.68 1991 -4 -21 3.28 5.47 7.56 7.63 7.68 7.71 7.67 1993 -5 -15 4.95 7.33 9.18 9.45 9.81 9.90 10.15 1993 -7 -11 6.83 9.20 10.98 11.09 10.99 11.10 11.38 1996 -5 -1 4.95 7.33 9.18 9.45 9.81 9.90 1996 -8 -23 3.37 5.47 7.47 7.63 7.68 7.71 1997 -10-23 2.91 4.18 5.67 5.77 5.86 5.92 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 38 1998 -3 -25 2.91 4.18 5.22 5.43 5.86 5.92 1998 -7 -1 2.82 4.00 4.77 4.75 4.72 4.75 1998 -12 -7 2.82 3.36 3.78 3.88 3.98 4.14 1999 -6 -10 1.99 2.17 2.25 2.40 2.63 2.73 2002 -2 -21 1.899 1.980 2.225 2.459 2.646 注 C 在相同的投资期限条件下 不同年份的利率水平 也有变化 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 39 图 7.2 为各个年份的 1 年期储蓄的利率水平的变化趋 0 2 4 6 8 10 12 19 80- 4-1 19 82- 4-1 19 85- 4-1 19 85- 8-1 19 88- 9-1 19 89- 2-1 19 90- 4-15 19 90- 8-21 19 91- 4-21 19 93- 5-15 19 93- 7-11 19 96- 5-1 19 96- 8-23 19 97- 10- 23 19 98- 3-25 19 98- 7-1 19 98- 12-7 19 99- 6-10 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 40 收益率曲线 yield curves 将利率用投资期限 表示的曲线 在自由竞争的市场中也会出现短期利率超过长期利 率的情形 称为 颠倒的利率曲线 inverted 如 美 国在八十年代初期的利率曲 线就 是 颠倒的 对这种现象的一种解释是 短期利率过高通常归于 政府紧缩的货币政策或通货膨胀率较高 而长期利率 则更侧重对正常收益的期望 另一种常见的模式是 无息利率曲线 flat yield curve 从图形上看是一条与时间轴平行的直线 表 明在这段时间内投资者不希望投资市场或通货膨胀率 在今后一段 时间内出现戏剧性的变化 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 41 US Term Structures, 1947 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 0mo 1mo 2mo 3mo 4mo 5mo 6mo 9mo 1yr 2 yr 3yr 4yr 5yr 10yr 15yr 20yr Maturity Pure discount rate % 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 42 US Term Structures, 1981 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0mo 1mo 2mo 3mo 4mo 5mo 6mo 9mo 1yr 2 yr 3yr 4yr 5yr 10yr 15yr 20yr 25yr Maturity Pure discount rate, % 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 43 中国债券收益率曲线 (2003-11-21) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 44 1980——2002银行储蓄年实利率表 3月期 6月期 1年期 2年期 3年期 5年期 8年期 1980-4-1 4.37 5.76 6.42 6.9 7.01 1982-4-1 4.37 6.84 7.36 7.17 7.01 1985-4-1 5.47 6.84 7.36 7.17 7.01 1985-8-1 6.21 7.2 7.68 7.98 7.88 1988-9-1 6.58 8.64 8.79 8.9 9.02 9.01 1989-2-1 7.78 9.2 11.34 11.57 11.71 11.8 11.63 1990-4-15 6.45 7.89 10.08 10.44 10.7 10.99 10.95 1990-8-21 4.39 6.58 8.64 8.96 9.21 9.52 9.68 1991-4-21 3.28 5.47 7.56 7.63 7.68 7.71 7.67 1993-5-15 4.95 7.33 9.18 9.45 9.81 9.9 10.15 1993-7-11 6.83 9.2 10.98 11.09 10.99 11.1 11.38 1996-5-1 4.95 7.33 9.18 9.45 9.81 9.9 1996-8-23 3.37 5.47 7.47 7.63 7.68 7.71 1997-10-23 2.91 4.18 5.67 5.77 5.86 5.92 1998-3-25 2.91 4.18 5.22 5.43 5.86 5.92 1998-7-1 2.82 4 4.77 4.75 4.72 4.75 1998-12-7 2.82 3.36 3.78 3.88 3.98 4.14 1999-6-10 1.99 2.17 2.25 2.4 2.63 2.73 2002-2-21 1.899 1.98 2.225 2.459 2.646 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 45 1989—1993 China Term Structure 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 系列1 系列2 系列3 系列4 系列5 系列6 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 46 1996—1999 China Term Structure 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 系列1 系列2 系列3 系列4 系列5 系列6 系列7 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 47 3 短期利率 即期利率与远期利率 短期利率 (short rate) 1 年以下给定期限的利率 即期利率 (spot rate) 在当前时刻的 利率表 收益曲线上给出的利率 只用一个时间坐标表示 远期利率 (forward rate) 现在时刻对未来某个 时刻的某期限的短期利率的预测 用两个时间坐标表 示 利率的观测时刻和利率对应的投资期限 注 C 利率期限结构可以指即期利率在投资期限上的 结构 如图 7.1 中的曲线 也可以指远期利率的结构 如表 7.3 给出的不同时间的远期利率水平 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 48 远期利率的计算 设 ti 表示期限为 t 的即期利率 sf 表示今后时刻 s期 限为 1 年的远期利率 则有如下的关系式 1 (1)(1) t t ts s if = +=+∏ 注 C tf 是由一组即期利率 ti 构造的 由 债券 市场 上公布的即期收益率可以导出这种远期收益率 注 C 远期利率是对未来短期利率的预测 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 49 表 7.3 1998-1999 银行储蓄年实利率和 预期 远期利率表 1999-6-10 1998-12-7 1998-7-10 1998-3-25 期 限 年实 利率 远期 利率 年实 利率 远期 利率 年实 利率 远期 利率 年实 利率 远期 利率 1 年 2.25 3.78 4.77 5.22 2 年 2.40 2.55 3.88 3.98 4.75 4.73 5.43 5.64 3 年 2.63 3.00 3.94 4.06 4.68 4.54 5.80 6.54 5 年 2.73 2.93 4.14 4.44 4.75 4.86 5.92 6.10 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 50 注 C 以 1999-6-10 为例 计算过程如下 1 2.25%f = 2 2 (12.40%)/(12.25%)12.55%f =++?= 3 3 (12.63%)/(12.25%)(12.55%)13.00%f =+++?= 假设 45ff= 则有 125 5 [(12.73%)/(12.25%)(12.55%)(13.00%)]1 2.93% f =++++? = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 51 考虑利率期限结构下投资收益的计算 例如 以贴现现金流方法计算 IRR 如果用即期利率 进行计算 则净现值公式为 NPV= 1 (1) n t ttRi ?+∑ 其中 ti 表示期限为 t 的即期利率 注 C 大多数情况下 用这种变化利率分析的结果要 优于用一个固定利率分析的结果 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 52 示范利率 投资期限 即期年利率 1 7.00% 2 8.00% 3 8.75% 4 9.25% 5 9.50% 例 两种 5 年期的债券 A 和 B 其中 A 的年息率为 5% B 的年息率为 10% 分析 A 和 B 两种债券的定价 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 53 解 1 如果用相同的年收益率 7%定价 则有 50.071(0.050.07)0.917996APa=+?= 50.071(0.100.07)1.123006B =+?= 2 如果用即期利率进行定价 则有 123 455 0.05[(1.07)(1.08)(1.0875) (1.0925)(1.095)](1.095) 0.830559 AP ??? ??? =++ +++ = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 54 123 455 0.1[(1.07)(1.08)(1.0875) (1.0925)(1.095)](1.095) 1.025891 BP ??? ??? =++ +++ = 结论 定价 2 比定价 1 更合理 例 某企业需要一笔大额借款 期限两年 该企业有 两种选择 1 以当前的两年期贷款利率 8%借款两年 2 先借款一年 利率 7% 一年后再以当时的一 年即期利率借款一年 分析 在什么情况选择第一种方式 在 什么情况下选 择第二种方式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 55 解 如果用 f 表示第二年的一年期远期利率 则有 (1.08)2 = (1.07)(1+ f ) 由此可得 f =9.01% 所以 如果企业认为一年后的一年期即期利率将超 过 9.01%的话 则选择第一种方式 不然则选择第二种方式 注 C 远期利率 9.01%是对未来短期利率的预期 注 C 在远期利率的描述上 必须指明递延的时间和 利率的期限 例如 今后 第 3 年到第 8 年间的远期利 率表示递延 3 年的 5 年远期利率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 56 例 利用示范利率表中的即期利率计算每年底 1000 元 共计 5 年的年金的现值 其等价的年收益率为多 少 解 该年金的现值为 1000[ 1(1.07)? + 2(1.08)? + 3(1.0875)? + 4(1.0925)? + 5(1.095)? ] = 3906.63 等价收益率满足 5 | ia = 3.90663 由此可得 i =8.83% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 57 期限结构的理论与模型简介 v 理性预期理论 expectations theory 1896 年首次提出 长期债券的平均年收益率 y 是预期短期利率 远 期利率 tf 的几何平均 即 12 1 (1)(1)(1)(1)(1) n n ntyffff+=+++=+∏L 从而有 1 1 (1) n n t t yf = =+∏ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 58 如果用 nS 0S 1 表示 n期单位零息票债券的到期总 收益 则远期利率可以表示为 1 1,1,2,,tt t Sftn S ?=?=K 例 假设在上例中 后三年的远期利率都比上例中的 远期利率水平高 1% 计算年金在 0 时刻的现值及等 价收益率 并与上例的结果进行比较 解 首先计算上例中在后三年的远期利率水平以及提 高后的远期利率水平 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 59 第三年 3 2 (18.75%) 110.26% (18.00%)f +=?= + 从而提高后应为 11.26% 第四年 4 3 (19.25%) 110.76% (18.75%)f +=?= + 从而提高后应为 11.76% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 60 第五年 5 4 (19.5%) 110.51% (19.25%)f +=?= + 从而提高后应为 11.51% 计算后三年新的即期利率 三年期提高后为 23 (18.00%)(10.1126)19.08%++?= 四年期提高后为 34 (18.75%)(10.1176)19.50%++?= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 61 五年期提高后为 45 (19.25%)(10.1151)19.70%++?= 从而年金的现值 1000[ 1(1.07)? + 2(1.08)? + 3(1.0908)? + 4(1.095)? + 5(1.097)? ] = 3887.66 等价收益率满足 5 | ia = 3.88766 由此得 到 i =9.02% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 62 v 流动性偏好理论 (liquidity preference theory) J.R.Hicks(1939)和 J.M.Culbertson(1957)对纯预期 理论进行了修正 提出了流动性偏好假设 长期利率是对预期短期利率与流动性偿之和 流动性补偿 大多数投资者偏好持有短期债券 为了吸引投资者持有期限较长的债券 必须给他们一 定的补偿 现实生活中 个人和企业都更偏好于短期投资 以 便能尽快收回他们的资金 保持资金的 流动性 因此 长期投资应该以较高的利率吸引投资者 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 63 v 通货膨胀风险报酬理论 (inflation premium theory) 投资者对未来的通胀情况的不确定性有所担忧 因此 需要提高利率来弥补这种风险 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 64 利率风险的度量 问题的提出 v 由于利率期限结构的作用 未来现金流的时间 性在利率敏感分析中起着重要的作用 v 现金流发生的时间越远 对利率变化越敏感 v 如果是一组现金流 就需要用一个量表示这一 组现金流的时间性质 注 C 金融产品 时效性 的一个基本指标是到期期限 (term to maturity) 但仅凭此不能完全区别不同金融 产品的时间性 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 65 等时间法 method of equated time 基本思想 将现金流的发生时刻以流量为权数进行 加权平均 得到一个等价时间 设 1R , 2R ,…, nR 为时刻 1, 2,…, n 的一组同方向的 现金流 则 t = 1 1 n t n t tR R ∑ ∑ 注 C 如果只有唯一流量则 tt= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 66 例 对前面考虑的两种 5 年期债券 A 年息率为 5% B 年息率为 10% 求等价时间 解 债券 A 年息率 5% 所以 At = 5 1 55100 55100 t t = +× ×+ ∑ = 4.60 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 67 债券 B 年息率 10% 所以 Bt = 5 1 105100 510100 t t = +× ×+ ∑ = 4.33 即 债券 A 的平均回收期为 4.6 年 债券 B 的平均回收期为 4.3 年 注 C 无论什么收益率环境 5%息率的债券比 10%息 率的债券的平均回收期都要长 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 68 期度 / 期限 / 久期 duration Macaulay 期度 记作 d 11 1 (),(1) n t t t n t t t tRv divi Rv ?= = =+ ∑ ∑ 注 C ()di实际上是将现金流的发生时刻以流量的现 值为权数进行加权平均 得到一个等价时间 结论 等价时间 ()di越小则对利率风险越不敏感 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 69 结论 1 若 i =0 则有 ()di=t ()di退化为等价时间 2 一般有 0()din<≤ 上式等号成立当且仅当现金流只有一次发生 即 kR = 0, 0<k <n 注 C 此时等价时间 = ()di=n 3 ()di是利率 i 的递减函数 并且 2 2211 11 [()] nn tt tt inn tt tt tRvtRvd vvi RvRv s== == ? =??=? ? ∑∑ ∑∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 70 注 C 2is 延用概率统计中方差的概念 即 假设取值于 {1,,,,}tnLL 上的随机变量 iX i 表示对 应的收益率 满足 1 Pr(),1 t i t n t t t RvX tn Rv = = ≤≤ ∑ 则 2[](),var()ii iEXdiXs== 注 C 推导 如下 2222 22 11 11 var()[[] [()][] () iiiii i ttnn nn tttt tt XEXEXEXEX RvRv RvRv s == == ==?=? =?∑∑ ∑∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 71 例 1 零息票债券 ()din= 2 息票债券 | | ()() nni n ni gIanvdi gav += + 3 固定年金 | | ()() ni ni Iadi a= 4 永久年金 2| | 11 () 1()11 1 i i Ia iidi ai i ∞ ∞ + ===+> 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 72 注 C 推导 如下 1 对于零息票债券 当 1 tn≤<时 0tR = 当 tn= 时 tRC= 从而有 ()din= 2 设 1C = 有 ,11,1tnRgtnRg=≤≤?=+ | 1 () n tn t ni t tRvgIanv = =+∑ 从而有 | | ()() nni n ni gIanvdi gav += + 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 73 3 对固定年金 有 1,ttnRR≤≤= 4 由 3 令 n →∞既可得结论 例 假设实利率 8% 计算以下现金流的投资期限 A 10 年期无息票债券 B 年息率 8%的 10 年期债券 C 10 年期抵押贷款的固定偿还 D 红利固定的优先股票 解 A 显然有 d =10 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 74 B 以单位兑现值计算有 d = 10 10 | 10 10 | 0.08()10 0.08 Iav av + + = 7.25 C 以单位固定收入计算有 d = 10 | 10 | ()Ia a = 4.87 D 以单位红利计算有 d = | | ()Ia a ∞ ∞ = 13.5 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 75 结论 抵押贷款的收回是所有投资中投资期限最短的 风险最小 而优先股票是所有投资中期限最长的 ()di的近似计算 将 ()di在 0i = 点作一阶展开有 ()(0)(0)diddi′≈+ 其中 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 76 1 1 (0) n t t n t t tR d R = = = ∑ ∑ 等价时间 2 2211 0 11 (0)[()()]0 nn tt tt nn tt tt tRtR d RR s== == ′ =???< ∑∑ ∑∑ @ 则有 2 0()(0)didis≈? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 77 投资组合的期度 与组合中各种资产期度的关系 设有 m种资产的投资组合 12{,,,}mwwwL 表示各种 资产的投资单位数 第 k 1 km≤≤ 种资产单位投资 的回报现金流为 12{,,,}kkknRRRL 注 C 允许 ,1ktRtn≤≤为零 如果所有资产均以利率 i 贴现 则第 k 1 km≤≤ 种资产的期度为 11 1 (),(1) n kt t k n kt t tRv divi Rv ?==+ ∑ ∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 78 投资组合的现金流为 1 ,1 m k tkt k RwRtn = ≤≤∑ 从而投 资组合的期度为 111 111 11111 1111 () () () () ,(1) nnm tkt kt ttk nnm tkt kt ttk mnmn ktkt k kkt ktkt mnmn ktkt k kt ktkt tRvtwRv di RvwRv wtRvwdiRv vi wRvwRv === === ?==== ==== == =+ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 79 记 1 ,1 n kt kkt t wwRvkm = =≤≤∑% 如果所有资产都是以利率 i 定价的 则 kw% 就是第 k 1 km≤≤ 种资产的初始投资额 1 k n k t w w = ∑ % % 即为第 k 1 km≤≤ 种 资产的投资额在投资组合总投资额中 的比例 上面的计算表明 1 1 ()() m k km k k k wdidi w= = = ∑ ∑ % % 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 80 即 投资组合的期度为组合中各种资产期度的加权平 均 权重为各种资产的 现值 投资比例 净现值 波动率 volatility 观察利率变化对净现值的影响 引入净现值 波动 率 的概念 用 v表示 () () Piv Pi ′=? 因为 ()Pi′ 是对利率变化造成的净现值变化的度量 而 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 81 () () Pi Pi ′ 则将这个度量单位化使之独立于净现值本身的 取值大小 通过适当的公式推导 有以下关系 1 dv i= + 也称波动率为 修正期限 modified duration 结论 修正期限也具有期限的性质 如关于利率是单 调下降的 注 C Macaulay duration 和 modified duration 都是利 率风险管理中的重要工具 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 82 注 C 推导 如下 1 * 11 11 1 1 (1) 1 (1)(1) d (1) ()d ()(1) nn tt tt nn tt tt n t t t n t t t tRvtiRd d i iRviR iR Pii vPi iR ?? == ? == ? = ? = + ===+ ++ + ′ =?=?= + ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 83 有效期限 effective duration 有效期限 修正期限的一种近似计算 计算公式为 有效期限 = 02() PP Pi ?+? ? 其中 i? 表示收益率的变化量 非负 0P 表示初始价格 P+ 表示收益率增加 i? 后的价格 P? 表示收益率减少 i? 后的价格 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 84 注 C 公式来源于近似计算 ()()() 2() PiiPiiPi i +????′ ≈ ? 例 20 年期息率 9%的美式债券 以收益率 6%计算 的价格为 134.6722 如果考虑收益率变化 20 个基点 即 收益率升至 6.2%或降至 5.8% 价格分别变化为 131.8439 和 137.5888 计算该债券的有效期限 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 85 解 该债券的有效期限应为 0 137.5888131.8439 21.3292() 2()2134.67220.1% PP Pi ?+??== ?×× 半年 从而该债券的有效期限为 10.66 年 即 该债券的平 均收回期为 10 年 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 86 修正期度可用于表述债券价格变化的百分比 在一 定变化范围内 即 如果不考虑价格上升和下降两 个方向的区别 则有 价格变化百分比 = 100i?×?×修 正 期 度 例 在上例中 如果收益率变化 100 个基点 债券价 格将变化 上升与下降同等对待 10.66% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 87 7.3 资产负债管理 问题的提出 对于 金融机构而言 存在着对资产和负债两方面 进 行 综合 管理 的 问题 v 商业银行的资产大多是以贷款合约体现的 负 债则是以储蓄合约代表的 v 基金 管理的资产是它的投资 负债为它对基金 投资人承诺的资本赎回和收益 v 养老金管理中 资产为养老金投入和投资 负 债为养老金的领取 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 88 v资产负债管理的目标 保证资产能够及时 准确 地 匹配对机构的负债要求 v资产负债管理的具体过程 从资产和负债两个方面进行调整 大多数情况的负 债现金流模式是事先给定的 或者不容易进行调整 所以资产负债管理更多的是落实在对资产的管理上 净现金流 资产现金流和负债现金流的差 正的净现金流表明资产现金流超过负债现金流 从 而产生需要进行再投资的溢额现金 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 89 再投资风险 如果在净现金流为正的情形利率下降 则不得不以 比初始利率低的水平进行再投资 负的净现金流表明匹配负债责任所需的现金不足 需要变现资产或者从外部借款 抽回投资风险 价格风险 如果在净现金流为负的情形利率上升 则对债券及 其它固定收入证券的变现将导致资本损失 因为利率 上升使得这些证券的价值下降了 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 90 现金流 1A , 2A ,…, nA 表示时刻 1,2,…, n 发生 的资产流 现金流 1L , 2L ,…, nL 表示时刻 1,2,…, n 发生 的负债流 资产负债管理的 核心问题 如何在这两组现金流之间达到均衡 equilibrium 或者保持余额 资产与负债的差 在安全的范围内 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 91 例 某金融机构准备连续发行一种一年期的金融产品 如短期债券 定期存单 利率固定 该机构在对这些融资资金进行投资时 面临以下风 险 无论是选择长期投资还是短期投资 当金融市场 利率变化时 该机构本身都存在投资收益率损失的风 险 分析 1 将资金进行长期投资 平均投资期 2 年 d =2 当市场利率上升时 原产品的认购者会在一年后要 求收回资金 该机构不得不转卖 以较低的价格 其 资产以支付这些合同 从而造成资产价值的损失 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 92 在市场利率上升时期 对短期负债选择资产的长 期投资 将有利率损失的风险 2 将资金进行短期投资 平均投资期不到一年 d <0 这时的风险为利率市场利率下调 因为如果市场 利率下调 由于所选择的投资要在年内进行再投资 所以利息收入将相对有所下降 这将导致出现也许 不足以偿还原金融产品的应付利息 注 C 以上两种情况 都出现了资产的收益不能保证 负债的问题 下面介绍在资产负债管理中常用的两 种方法 免疫技术 资产和负债的匹配 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 93 2 将资金进行短期投资 平均投资期不到一年 d<0 这时的风险为利率市场利率下调 因为如果市场利 率下调 由于所选择的投资要在年内进行再投资 所 以利息收入将相对有所下降 这将导致出现也许不足 以偿还原金融产品的应付利息 以上两种情况 都出现了资产的收益不能保证负债 的问题 本节主要介绍目前在资产负债管理中常用的 两种计算方法 免疫技术 资产和负债的匹配 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 94 免疫技术 (immunization) 注 C 免疫 一词 由英国 保诚保险公司的首席 精算师 Frank M. Redington 于 1952 年在一篇名为 寿险公 司评估原则回顾 的文章中提出的 主要 思想 为了使一组业务的盈余价值对利率波动 免疫 应该使资产的平均期限与负债相等 同时使资产的现 金流比负债更分散 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 95 免疫技术的核心 在给定预期投资收益率的条件下 选择资产满足 无论市场利率在预期收益率附近如何波动 上升或下 降 最终的总体盈余 资产与负债的差 都不会下 降 注 C 免疫技术方法是一种数学优化中的规划方法 数学表达 用 tR (1,2,...,)tn= 表示时刻 t 的净收入 net receipt tttRAL=? t = 1, 2,…, n 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 96 记 0i 为以下方程 1 ()0 n t t t PiRv = ==∑ 的解 即投资的预期收益率 当实际收益率 i 在 i0 附近波动时 即 0ii e=+ 其 中 e 为绝对值充分小的实数 利用 Taylor 展开 有 2 0000()()()(),0||||2PiPiPiPi eeexxe′′′+=+++<< 如果 i0 满足 0()0Pi′ = 且 0()0Pi′′ > 则 i0 为 ()Pi的 局部最小值点 即 0e?> 使得 00()(),||PiPiii e≥?< 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 97 如果定义净现值的二阶导数 标准化之后 为 凸 值 convexity 记作 c () () Pic Pi ′′= 则免疫方法可以表述为 条件 1 净收入的 (修正 )期限 = 0 条件 2 净收入的凸值 > 0 注 C 在现实问题中 负债的情况在很大程度上是由 企业的外部环境决定的 因此 免疫技术从定义上虽然 是对资产和负债两方面的调整 而实际的操作目标是 调整资产的结构 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 98 免疫技术的基本原则 适当调整资产结构 使得 1 资产收益现金流的净现值不小于负债流出现金流 的净现值 2 资产的修正投资期限 期度 与负债的修正投资 期限 期度 相等 3 在资产收益现金流的净现值等于负债流出现金流 的净现值的条件下 资产的凸值应该大于负债的凸 值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 99 例 甲承诺在一年后付给乙 1100 元 甲现在以 1000 元进行投资选择 短期资金市场的 隔日变动的当前利率为 10% 另有 10%收益率的两 年期无息票债券 基于免疫技术给出一种较优的投资策略 假定所有 计算的年利率为 10% 注 C 如果恰好有 10%收益率的一年期无息票债券可 供投资 则甲应选择全部投资该一年期债券 在没有 正好的投资项目时 需要考虑组合投资 需要考虑免 疫的问题 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 100 解 设 X 表示投资短期资金市场的金额 Y 表示投资 债券的金额 则有 21()1.21(1)1100(1)PiXYii??=+××+?×+ 32()2.42(1)1100(1)PiY′ =?××++×+ 43()7.26(1)2200(1)PiYii??′′ =××+?×+ 设 X 和 Y 满足 21(10%)1.21(110%)1100(110%) 0 PXY ??=+××+?×+ = 32(10%)2.42(110%)1100(110%) 0 PY??′ =?××++×+ = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 101 解方程可得 X =Y =500 43(10%)7.26500(110%)2200(110%) 826.450 P ??′′ =××+?×+ => 可以验证 当利率有小的变化时 净现值将保持大于 零 P(11%) = 0.0406 > 0 P(9%) = 0.0421 > 0 下面计算与该投资策略相关的修正投资期限和凸值 10%i = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 102 关于修正投资期限 可以利用资产部分的表达式得 2()1.21(1)1000PiXYi?=+××+= 3()2.42(1)909.09PiYi?′ =?××+=? v = ()()PiPi′? = 0.90909 也可以分别对短期资金市场和债券计算 v =0 ; 21.1v = 加权平均后 有 11200.90909 221.1v =×+×= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 103 关于凸值 有 4()7.26(1)2479.34PiYi?′′ =××+= 从而 ()2479.34 2.47934 ()1000 Pic Pi ′′=== 例 30 年期住房抵押贷款 月换算名利率 10.2% 按 月偿还 计算 1 还贷现金流的修正投资期限 2 还贷现金流的凸值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 104 解 1 月实际利率为 0.102 0.008512 = 将还款金额单位化 后可得现金流的修正投资期限为 v = | | ()ni ni Ia a = 99.85 其中 n=360, i =0.0085 所以 修正的投资期限近似为 100 个月 而实际还 款期为 360 个月 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 105 2 计算二阶导数 222 11 ()(1)(1)() nn tt tt Pit ivttv?? == ′′ =++=+∑∑ 22 22 1 132232[{1}{(1)}]n tn t ntvvn ii ii= +=++?+++∑ 由此可得 22 | 1 | 2 [()]() () 1,940,07911,283.80 17,121 (1.0085)(112.0591) n t n t n vtvIaPi c Pia= +′′ == + ∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 106 资产负债匹配 (matching of assets and liabilities) 两种资产负债匹配方法 1 绝对匹配 (absolute matching) 基本思想 构造一种资产组合使其收入的现金流在 每个时期均与负债的现金流相匹配 例如 养老基金将为退休人员以固定的方式和金额 发放退休金 为此 养老基金一般选择等级较高的无 早赎债券的投资组合 例如一系列零息票债券 使其 收益现金流与养老金的发放完全匹配 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 107 这种投资常被称为 专门的债券组合 dedicated bond portfolio 一旦达到了这种匹配 就不需要进 一步的分析和计算了 注 C 在现实情形中 很难或根本无法做到这种匹配 例 现有如下的资产负债数据 预测的现金流 期度 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 负债 4.2 210 69 445 180 1980 资产 4.3 194 254 41 200 2200 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 108 可选的投资资产有 v1 年期 零 息 政府债券 v2 年期息率 5%的政府债券 v3 年期息率 6%的政府债券 v5 年期息率 10%的政府债券 从资产负债现金流匹配的角度决定需要进行的资产 交易 注 C 假设政府债券每年兑现一次息票 解 为了达到现金流的匹配 每项负债现金流都必须 有充分匹配的资产 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 109 为了做到这一点 首先从期限最长的负债开始 然 后逐步后退回来 第五年 现有的资产 >负债 所以需要出售一些 5 年 期的资产 由于 资产 负债 =5 年期债券的息票收入 +5 年期债券的到期本金 =面值 1+息率 从而 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 110 5 年期债券的出售量 5522001980 200 1110% AL? ?=== ++息率 在出售了 200 元面值的 5 年期债券之后 资产负债 的现金流模式变为 现金流 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 负债 210 69 445 180 1980 原资产 194 254 41 200 2200 售出的资产 -20 -20 -20 -20 -220 调整后的资产 174 234 21 180 1980 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 111 第四年 资产负债的现金流已经匹配 第三年 现有的负债 >资产 所以需要购入一些 3 年 期的资产 3 年期债券的购入量 3344521 400116%LA? ?===++息率 在购入了 400 元面值的 3 年期债券之后 资产负债 的现金流模式变为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 112 现金流 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 负债 210 69 445 180 1980 原资产 174 234 21 180 1980 售出的资产 +24 +24 +424 0 0 调整后的资产 198 258 445 180 1980 第二年 现有的资产 >负债 所以需要出售一些 2 年 期的资产 2 年期债券的出售量 2225869 180115%AL??===++息率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 113 在出售了 180 元面值的 2 年期债券之后 资产负债 的现金流模式变为 现金流 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 负债 210 69 445 180 1980 原资产 198 258 445 180 1980 售出的资产 -9 -189 0 0 0 调整后的资产 189 69 445 180 1980 第一年 现有的负债 >资产 可以购入 21 元的 1 年 期 零 息 政府债券 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 114 2 资产负债匹配 注 C 由 J.A.Tilley 在 1980 年首次提出 基本思想是 在如下条件已知 或事先给定 时 1 负债在各个年度的现金流模式 2 利率在投资期间的变化模式 包括新利率的情 况 3 可选的资产类 以及各个资产类在未来的利息 收入和本金收回模式 4 再投资项目在随后年份的模式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 115 求解下面的决策问题 找到可行的组合策略 各种资产类的投资比例 使得在任何的已知利率变化模式下 都可以保证最终 的资产价值非负 注 C 该方法更多的是给出了一种分析和决策理念 例 某银行为储户提供年利率 8%的两年储蓄 提前 支取利率不变 银行可能的投资工具为 A 年利率 8%的一年期国债 B 年利率 8.5%的两年期国债 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 116 问题 假设储户的提前支取行为简化为只在第一年底 发生 银行该如何进行投资 解 设 1s 和 2s 分别表示储户在第一 二年底的支取金 额比例 如果考虑单位储蓄 则有 121(1.08)(1.08)ss??=+ 或 2 21(1.08)(1.08)ss=? 设 1p 和 2p 分别表示银行投资于两种债券的比例 则 有 1p + 2p =1 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 117 令 f 表示一年后的一年短期利率 2A表示银行在第 二年底的余额 则有 2 21122 2 11 22 [(1.08)](1)[(1.08)] [(1.08)(1)(1.085)](0.08) (1.085)(1.08) Apsfps fpsf =?++? =+ +? +? 目标 适当选取 1p 使得无论 f 如何变化 都有 2 0A > 问题 1s 2s 和 f 都是未知的 如何选择 1p 使得 f 在 一定的范围内波动时 2A 都是非负的 关键 决策必须在一定的假设条件下进行情景分析 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 118 情景 1 假设再投资利率下降 f =7% 在这种情况下 存单持有人一般会倾向于将原存款 继续在银行存下去 从而第一年末的时候提前支取的 可能性不是很大 取款率不会太高 假设 1s =10% 则有 2A = 0.021625 1p + 0.011825 为了使 2A >0 必须要求 1p <0.5468 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 119 情景 2 假设再投资利率上升 f =9.5% 此时会刺激短期投资 债权人会考虑提前收回资金 以通过再投资的方式 获取更多的收益 金融公司 必须相应地售出部分资产以还债 不但有 可能蒙受由于利率上升所导致的资产贬值还要蒙受丧 失在下一阶段的以更高利率投资的机会 损失是双重 的 注 C 比如 银行用储户的资金购买了债券 可是利率 上升将导致债券价格的下降 此时被迫出售债券自然 要蒙受损失 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 120 所以 现在需要假设在第一年末的时候提前支取的可 能性是比较大 取款率会比较高 假设 1s =90% 则有 2A = 0.005375 1p 0.002675 为了使 2A >0 必须要求 1p >0.4977 综上所述 因为现在不能肯定再投资利率是上升还 是下降 所以最好的策略是两方兼顾 结论 1p 的选择范围是 0.4977< 1p <0.5468 相应地可 以得到 2p 的范围 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 7章 — 121 结论 使用情景分析方法要求投资管理者对未来作出 某些关键性的假设 v 要设定利率升高或下降的情况下可能的再投资 利率 v 要设定在利率升高和下降的两种情况下债券人 的取款率 两个关键假设的微小变化都会导致投资分配的很大 改变 即最后的决策对于假设是敏感的 实践证明 Tilley 提出的情景分析方法具有很强的实 用价值