北京大学：利息理论与应用：ppt3投资收益分析

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 1 第三章 投资收益分析 收益 (yield) 投资者在一定的时间内将一定的 资本进行投资活动所取得的收入 收益 的 衡量 考虑投资价值的变化量 投资和融资活动是金融活动中两个主要的部分 从基本现金流的角度看有很多一致的地方 而投资 活动往往更直观和线条清晰 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 2 3.1 基本投资分析 贴现现金流分析 (Discounted Cash Flows DCF 分析 ) 投资过程的刻画 投资活动最简单的情形只有两个个体 如 投资者 与市场 投资基金 (fund)的投资者与基金本身 同样的一次现金流发生 对双方来说流量相同 但 流向相反 如 存款 (deposit)或缴费 (contribution) 对投资者来说资金向外流出 而对投资基金来说资金 则向内流入 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 3 vC (contribution) 如果 0C > 表示投资者有一笔净流出 投资基金 有一笔净流入 如果 0C < 则表示投资者有一笔净流入 投资基 金有一笔净流出 vR ( return) 如果 0R > 则表示投资者有一笔净流入 投资基 金有一笔净流出 如果 0R < 则表示投资者有一笔净流出 投资基 金有一笔净流入 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 4 对于同一笔业务 在同一时刻 因为所处角度的不 同而得到的这两个量数值相同 符号相反 在投资期间的任何时刻 t 有 ttRC=? 例 某项目在第三年底收入 50000 元 但支出 100000 元 则有 3 50000C = 3350000RC=?=? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 5 问题的提出 如果有一组现金流 tC 或 tR 如何评估项目的 收益好坏 关于 DCF 的定义 现金流转贴现 (discounted cash flow) 按一定 的利率计算某一时期内现金流动的现值 进而计算 投资收益的方法 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 6 DCF 方法 对任意一组分别于时刻 0 1 n发生的 收 益 现金流 0R 1R 2R nR 以年利率 i 计算 该投资回报流在投资之初的 净现值 NPV / net present value ()Pi 即 0() n t tPivR= ∑ 注 C tR可以取正值 也可以取负值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 7 若上述现金流不考虑当前投入 即 0 0R = 则从 投资方来看 ()Pi = 不同收益水平下该投资项目的价格 以年利率 i 计算的当前的投入 连续方式 若现金流率为 ,0tRtn≤≤ 则有净现值为 0 () n t tPivRdt= ∫ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 8 例 考虑一个 10 年的投资项目 第一年初投资者投入 10000 元 第二年初投入 5000 元 然后 每年初只需 维护费用 1000 元 该项目期望从第六年底开始有收益 最初为 8000 元 然后每年增加 1000 元 用 DCF 方法讨论该项目的投资价值 解 用 DCF 方法的语言表述从投资方看该项目的现金 流如下 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 9 时刻 t 投入 收益 tC tR 开 始 t =0 10000 0 10000 -10000 第 1 年底 t =1 5000 0 5000 - 5000 第 2 年底 t =2 1000 0 1000 - 1000 第 3 年底 t =3 1000 0 1000 - 1000 第 4 年底 t =4 1000 0 1000 - 1000 第 5 年底 t =5 1000 0 1000 - 1000 第 6 年底 t =6 1000 8000 - 7000 7000 第 7 年底 t =7 1000 9000 - 8000 8000 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 10 第 8 年底 t =8 1000 10000 - 9000 9000 第 9 年底 t =9 1000 11000 -10000 10000 第 10 年底 t =10 0 12000 -12000 12000 总计 23000 50000 -27000 27000 该项目前 10 年的 NPV 为 2345678910 () 1000(1057891012) Pi vvvvvvvvvv=??????+++++ 其中 1(1)vi?=+ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 11 净现值 ()Pi为利率 i 的函数 也可以看作是贴现因 子 v的 10 次多项式 其相应的图形为 净现值作为利率i的函数 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 利率 净现值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 12 收益率 yield rate v 在项目的 收益 现金流中 若利率 i 使得 ()0Pi = 则称 i 为 收益率 v 当收入资金的现值与投入资金的现值相等时 所对应的利率称为 收益率 注 C 如果项目以这样的 年 平均收益率进行经 营 将保证项目的所有收支贴现到项目开始时刻的 现值是平衡的 因此 收益率实际上是一种临界利 率 它使得项目在开始时刻的价值收支平衡 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 13 在金融中常用内部回报率 (internal rate of return)表示收益率 如 内部收益率 (IRR) 评价投资项目的一种方法 是根据项目未来收益的现金流量贴现分析求出投 资项目的收益率 当将其应用于投资项目现金流量 中所反映的利润和成本流量贴现时 所得出的净现 值为零 从而提供了投资收益率的盈亏临界点 在 有资本限额的情况下多使用这种投资评价方法 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 14 结论 内部收益率直观地评价了在投资期限内的可 能年平均收益水平 例 只有一期的投资的内部收益率 0 01 10 0 RRRviRR?+=?=+ 即为通常所计算的收益率 例 讨论上例中项目前 (8,9,10)n = 年内部收益率 思考 前 7 年的内部收益率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 15 解 前 8 年 IRR = 4.56% 前 9 年 IRR = 8.67% 前 10 年 IRR = 12.96% 具体计算参见 Excel 结论 投资期限对内部收益率的影响是非常重要的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 16 时刻 投入 收益 C R 0 10000 0 10000 -10000 1 5000 0 5000 -5000 2 1000 0 1000 -1000 3 1000 0 1000 -1000 4 1000 0 1000 -1000 5 1000 0 1000 -1000 6 1000 8000 -7000 7000 7 1000 9000 -8000 8000 8 1000 10000 -9000 9000 9 1000 11000 -10000 10000 10 0 12000 -12000 12000 总计 23000 50000 -27000 27000 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 17 利率 净现值 0 27000 1.0% 23327 2.0% 20038 3.0% 17089 4.0% 14445 5.0% 12071 6.0% 9939 7.0% 8024 8.0% 6302 9.0% 4753 10.0% 3360 11.0% 2105 12.0% 977 13.0% -40 14.0% -955 15.0% -1779 16.0% -2521 17.0% -3188 18.0% -3789 19.0% -4329 20.0% -4815 净现值作为利率i的函数 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 利率 净现值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 18 时刻 投入 收益 C R 前 8期调整后 R 前 9期调整后 R 0 10000 0 10000 -10000 -10000 -10000 1 5000 0 5000 -5000 -5000 -5000 2 1000 0 1000 -1000 -1000 -1000 3 1000 0 1000 -1000 -1000 -1000 4 1000 0 1000 -1000 -1000 -1000 5 1000 0 1000 -1000 -1000 -1000 6 1000 8000 -7000 7000 7000 7000 7 1000 9000 -8000 8000 8000 8000 8 1000 10000 -9000 9000 10000 9000 9 1000 11000 -10000 10000 9000 10 0 12000 -12000 12000 总计 23000 50000 -27000 27000 前 n期 内部收益率 净现值 8 4.56% 0.00 9 8.67% 0.00 10 12.96% 0.00 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 19 例 考虑两种可选的投资项目 A) 投资 5 年 每年的利率为 9% B 投资 10 年 每年的利率为 8% 如果两种投资的收益无差异 计算项目 A 在 5 年后 应将资金用于年利率为多少的投资 解 设所求利率为 i 则应有 5510(10.09)(1)(10.08)i++=+ 解得 i = 7.01% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 20 即 如果项目 A 在 5 年后的再投资收益率大于 7.01% 则项目 A 优于项目 B 如果项目 A 在 5 年后的再投资收益率小于 7.01% 则项目 A 比项目 B 的收益差 当项目 A 在 5 年后的再投资收益率等于 7.01% 时 项目 A与项目 B在 10年内的投资收益都是 8% 注 C 再投资问题 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 21 收益率的存在性和唯一性 思考 对于一组确定的现金流 它的内部收益率是 否总是存在且唯一的 注 C 内部收益率既可以不存在 也可以是存在但不 是唯一的 例 0 100R =? 1 230R = 2 133R =? 则 NPV 为 2()100230133Pivv=?+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 22 2(1)2.3(1)1.330ii+?++= 该方程无实数解 从而无法求得内部收益率 例 0 100R =? 1 230R = 2 132R =? 则 NPV 为 2()100230132Pivv=?+? 2(1)2.3(1)1.320ii+?++= 由此可解得 10%以及 20%两种收益率 相应 的 含义 是 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 23 若第一年的收益率为 10 20 则 100 元在第 一年底的价值为 110 120 元 取出 230 元 实际 透支 120 110 元 透支部分以收益率 10 20 计算 在第二年底的价值为 132 元 注 C 根据 Descarte 法则 收益率的个数最多为现金流 量改变方向的次数 Descarte 符号法则见附录 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 24 常见的现金流的情形 项目中所有的现金流动只改变一次方向 即 前期业务所有净资金都是相同的流向 后期业务都是相反方向的净资金流向 即 存在 0 kn<< 使得 当 0,1,...,tk= 时 有 0tR ≤ 当 1,2,...,tkkn=++ 时 有 0tR ≥ 结论 此时内部收益率存在且是唯一的 注 C 在上例 中有 5,10kn== 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 25 未结投资价值 outstanding balance v 在投资中间的每个时刻既有已发生的现金流 也 有未发生的现金流 v 投资收益分析可以在投资期间的各个时刻进行 v 投资价值的两种表示方法 : 回溯法以及预期法 tB 时刻 (0)ttn≤≤ 的 未结投资价值 方法一 回溯法 retrospective 0 (1),0,1,2,,trtstsBiCtn?=+=∑ K 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 26 方法二 预期法 prospective 1 ,0,1,2,, n pst ts st BvCtn? =+ ==∑ K 结论 两种方法都表示投资在时刻 t 的价值 并且 当所取利率 i 为内部收益率时 两种计算方法等价 未结投资价值 可以由递推的方法逐步计算 0B = 0C 以及 1(1)tttBBiC?=++ 1 tn≤≤ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 27 注 C 从投资者看 tB> 0 表示负债 tB< 0 表示盈利 投资项目的内部收益率可以看成是使现金流的终 值 投资结束时的未结投资价值 为零的隐含收益率 即使得 0nB = 的解 该收益率使投资在第 n 个时刻恰好达到累积收 支平衡 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 28 应用 tB 来判断收益率的唯一性 如果对所有 0,1,...,1tn=?有 0tB > 0nB = 则 内部收益率 i 11i?<< 是唯一的 分析 假设不然 则同时存在两个内部收益率 i 和 j ij< 设 i 和 j 在时刻 t 对应的未结投资余额分别为 tB和 ' tB 0,1,...,tn= 则有 '0B = 0B = 0C 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 29 101 01 011 (1) (1) (1) BBjC BjC BiCB ′′=++ =++ >++= 对于一般的 (2)kkn≤≤ 由 11kkBB??′ > 可得 1 1 1 (1) (1) (1) kkk kkk BBjC BjC BiCB ? ? ? ′′=++ >++ >++= 从而最终将有 0nnBB′ >= 显然 这与 j是内部收益率矛盾 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 30 注 C 下面的例子表明 有时侯利用内部收益率不能 描述投资的收益情况 例 甲以年利率 10%从乙处融资 1 万元 期限一年 同时 甲将这笔资金投资于年利率 12%的项目 问 在这个投融资项目中甲的收益率为多少 解 对甲来说 有 0 10000100000B =?= 1 100000.10100000.122000C =×?×=? 1 0(1)20002000Bi=×+?=? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 31 从而不存在 i 使 1B = 0 即 对于任何的收益率 i 都 不能使甲在投资结束时的未结余额为零 讨论 甲在没有净投入的条件下却有净收入 2000 元 没有一个收益率可以反应这一点 甲的投资效果是非常好的 但甲也可能做的更好 比如如果甲能够以年利率 15%投资 则甲的利润为 5000 元 同样地 也没有一个收益率可以表示这两种 投资的差异 结论 在某些情况下 从定义出发计算的收益率无法 表示投资的收益效果 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 32 例 已知某账户的当前余额为 100 万元 在第一年底 提出 150 万元 在第二年底又投入 90 万元 计算该帐 户的收益率 解 由于 2 2 2 1,000,000(1)1,500,000(1)900,000 10,000[1005040]0 Bii ii =?+++? = ++< 从而对于任何收益率 i 都无法使得 2 0B = 该项目的收 益情况无法由内部收益率刻画 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 33 再投资分析 再投资 本金第一次计息后的利息收入以新的 投资利率进行的投资 v 一次性投资的再投资分析 1 设初始投资为 1 元 每年 1 个计息期 的 直接投资利率为 i 2 投资的回报方式为 逐年 1 个计息期 收 回利息 结束时收回本金 3 将每年的利息收入以再投资利率 j进行再投资 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 34 流程图如下 原始投资 1 |-------|-------|------------------------------| 0 1 2 n 利息收入 i i i 本金收回 1 思考 投资结束时 第 n 年底 的总收益 = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 35 分析 因为利息收入可以进行再投资 从而收入现 金流等价于金额为 i 的 n 次期末年金 再投资利率 j 与 n 期期末的 1 元之和 即投资的累积值为 | 1 njis+ 以下 分情形讨论 情形 1 当再投资利率 ji= 则上式等于 (1)ni+ 即为一般的终值计算公式 从而再投资下的最终收 益与直接投资的收益相等 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 36 情形 2 当再投资利率 ji> 时 有 | | 11(1) n njniisisi+>+=+ 从而再投资使得最终收益大于直接投资收益 情形 3 当再投资利率 ji< 时 有 | | 11(1) n njniisisi+<+=+ 从而再投资使得最终收益小于直接投资收益 在考虑再投资时 实际收益率 用 r 表示 应介 于直接投资收益率 i 与再投资收益率 j 之间 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 37 实际收益率的计算 (1)nr+ = 1 + i | njs 且 min(,)max(,)ijrij≤≤ 例 50 万元的 10 年期贷款 年利率 8% 如果还款额 同时以年利率 7%进行再投资 计算以下三种方式的 实际收益率 1 到期一次还清 2 每年还利息 到期还本金 3 每年等额分期偿还 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 38 解 从贷款人 lender 来看 1 到期一次还清 由于没有进行再投资 实际收益率即为直接投资收 益率 8% 2 每年还利息 到期还本金 包括再投资的终值为 10 | .07500,000[1+0.08] = 1,052,568.89s 实际收益率 r满足价值方程 10500,000(1)= 1,052,568.89r+ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 39 由此得到 r = 7.728% < 8% 结论 由于再投资收益率较低 从而导致实际收益 率低于贷款利率 8% 3 每年分期还清 设每年的还款为 R 则 R 满足 10 | .08Ra = 500,000 所有还款的再投资终值之和为 10 | .07Rs = 10 | .07 10 | .08 50,000 sa = 1,029,255.51 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 40 从而实际收益率 r 满足价值方程 500,000 10(1)r+ = 1,029,255.51 由此得到 r= 7.4897% < 7.728% < 8% 注 C 因为第三种方式的还款速度比第二种方式要 快 从而导致实际收益率的进一步的下降 但是 仍然有 r> 7% 这是因为有贷款利率 8%在起作用 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 41 v 有分期投资的再投资分析 1) 设每年 1 个计息期 初投资 1 元 每年 1 个计息期 的直接投资利率为 i 2) 投资的回报方式为 逐年 1 个计息期 收回 利息收入 结束时一次收回所有投资 3) 同时将每年的利息收入以再投资利率 j 进行再 投资 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 42 流程图如下 原始投资 1 1 1 1 1 |-----|-----|-----|-----------------------|-----| 时间 0 1 2 3 n-1 n 利息收入 i 2i 3i (n-1)i ni 思考 投资结束 第 n 年底 时的总收益 = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 43 利息收入是递增的 n 期期末年金 利率 j 从而 投资的累积值为 |()njniIs+ v当 ji= 则累积值等于 | nis&& v当 ji> 时 则累积值等于 | | | ()()njnininiIsniIss+>+=&& 再投资使最终收益大于直接投资 收益 v当 ji< 时 则累积值等于 | | | ()()njnininiIsniIss+<+=&& 再投资使最终收益小于直接投资收益 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 44 投资实际收益率 r介于直接投资回报率 i与再投资 率 j 之间 满足 | | ()njnrniIss+=&& 例 某基金的投资者 每年初投入 1 万元 共计十 年 基金本身的年回报率为 7% 年底支付 分别 对再投资利率为 5%和 8%两种情况 讨论投资者的 实际收益率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 45 解 7%i = 1 j=5% 基金在第十年底的终值为 10000[ 10 | .05100.07()Is+ ] = 144900 从而该基金的实际收益率 r 满足 10000 10 | rs&& = 144900 由此可得 r= 6.65% 注 C jri<< 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 46 2 j=8% 基金在第十年底的终值为 10000[ 10 | .08100.07()Is+ ] = 149400 从而该基金的实际收益率 r 满足 10000 10 | rs&& = 149400 解得 r = 7.19% 注 C irj<< 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 47 3.2 收益率计算 问题 的 提出 在大量的实际问题中 例如 各类投资账户中 常常会在投资期间对投资账户进行新资金的投入或 资金提取 应 如何计算收益 例 某股民的股票买卖和资金账户的情况如下表所 示 求在过去的一年半中 该股民的投资收益如何 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 48 时间 (年 ) 交易情况 费用 红利分配 0 买入 1000 股 每股 5.00 元 2% 0.5 用红利收入买入股票 每股 4.00 元 无 0.2 元 /股 1 另购入 500 股 每股 4.50 元 2% 1.5 以每股 5.00 元出售所 有股票 2% 0.25 元 /股 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 49 资本加权法 (dollar-weighted / money-weighted rate) 情形 1. 一年 (短 )期 考虑投资期限为一个利息换算期 (一年 ) 的 情形 并且 假定 有限次的资本的投入 或提取 引入以下记号 A — 投资基金在开始时的规模 B — 投资基金在结束时的规模 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 50 I — 利息收入 tC — 时刻 (01)tt<< 投入的净资本量 0tC > 表示投资者投入资金到基金 0tC < 表示投资者从基金抽出资金 C — 整个计算期内新投入的总的净资本量 ttCC= ∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 51 abi — 在时刻 b投入 1 元经过时间 a 产生的利息收入 0,0,1abab≥≥+≤ 即 : b至 ab+ 之间单位投资的利息收入 使用上面的记号 有 A= 0B B= 1B 10ii= 资本 平衡公式为 结束时的资本量 = 开始时的资本量 + 总净资本投入 + 利息收入 即 BACI=++ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 52 从而利息 I 等于 IBAC=?? 另一方面 利息 I 等于在此期间投入的所有本金的 利息收入 以 abi 表示 之和 即有下面的表达式 1ttttIiACi?=+∑ 其中 i为年收益率 思考 希望求出收益率 i 但如何计算 abi 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 53 计算方法一 复利假设 1 1 (1)1 t ttii ? ? =+? 思考 为什么这样定义称为 复利 在上述假设下利息计算公式可简化为 1(1)t ttIiACiC ?=++?∑ (1) t ttiAiCvC=++?∑ 相应的有终值 B 的表达式 (1)(1) tttBiAiCv=+++∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 54 注 C 由上述公式无法得到收益率 i 的解析表达式 需用数值方法近似求解 计算方法二 单利假设 1 (1)ttiti? =? 思考 为什么这样定义称为 单利 注 C 按投入的时刻开始计算单利 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 55 在上述假设下利息计算公式可简化为 (1)[(1)]ttIiACtiiACt=+?=+?∑∑ 从而可以解出收益率 i 等于 (1)tt Ii ACt= +?∑ 该式 被称为 资本加权收益率 计算公式 其中 分子就是利息收入 而分母是平均的资本投入量 即 每一笔投资金额均按照该金额投入的时刻到时 刻 1 之间所余的时间段的长短进行加权 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 56 思考 如果不做任何时间上的加权 会是怎样的 注 C 上述收益率的计算公式是在类似于单利的假 设下得到的 所以严格地说它并不是实利率 但在 许多情况下 特别是 tC 相对于 A 很小 这个结果 非常接近于实利率 在实用中通常对上述公式做进一步的简化 1 假定所有新的净投入都是在时刻 tk= 进行的 则有 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 57 (1)(1)() (1)(1) IIi AkCAkBAI I kAkBkI ==+?+??? = +??? 2 假定所有新的净投入都是在时刻 0.5t = 进行的 则有 i 2IABI= +? 具体应用是 如果有多笔金额的投入 并且大致 以 0.5t = 对称时 则可以应用该式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 58 投资期限超过 1 年的情形 已知投资期是从 0 到 n 余额和现金流为 01,,,nBBBK 和 01,,,nCCCK 在复利方式下 有 0 0 (1)(1),0,1,, k kj kjBBiCikn ?=+++=∑ K 通过数值计算可以反解出收益率 i 注 C 当 1kj?>时 慎用近似 (1)1()kjiikj?+=+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 59 连续情形 假设资金的投入是以函数 tC 连续进行的 即 对 于任意的 (0)ttn≤≤ 0 0 (1)(1) t ts tsBBiCids ?=+++∫ 其中 tB 表示时刻 t 的资本账户 未结余额 (outstanding fund balance) i 为实利率 如果考虑 使用连续利率 则更一般的表达为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 60 0 0 0 exp()exp() ttt tssusBBdsCdudsdd=+∫∫∫ 或者用微分方程表示 ttttdBBdtCdtd=+ 该式的直观解释 左边是余额在时刻 t 的瞬间变化 率 右边表明这个变化由两部分组成 即 v 利息对资本余额的作用 v 瞬间新投入的资本 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 61 前例续 求股民的收益率 时间 (年 ) 交易情况 费用 红利分配 0 买入 1000 股 每股 5.00 元 2% 0.5 用红利收入买入股票 每股 4.00 元 无 0.2 元 /股 1 另购入 500 股 每股 4.50 元 2% 1.5 以每股 5.00 元出售所 有股票 2% 0.25 元 /股 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 62 解 现金流和余额为 0 10005(12%)5100B =××+= 1 5004.5(12%)2295C =××+= 1.5 200(1000500)[5(12%)0.25]7982.5 4B =++×?+= 设 (2) 2 ij = 半年名义收益率 从而有 3 1.501(1)(1)BBjCj=+++ 代入具体数据为 37982.55100(1)2295(1)jj=+++ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 63 求数值解可得 3.25%j ≈ 即该股民在这一年半里 的名义年收益率约为 6.50% 注 C 用 Excel 求数值解 注 C 等价的年实利率约为 6.60% 例 3.8 某活期账户年初余额为 1000 元 在四月 底存入 500 元 在六月底和八月底分别提取 200 元 和 100 元 年底余额为 1236 元 用资本加权法近 似计算年收益率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 64 解 A = 1000 1/3C = 500 1/2C = 200 2/3C = 100 B= 1236 因此有 I = 1236 (1000 + 500 200 100) = 36 由资本加权法计算公式可得 36 3%211 1000500200100323 i == +?? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 65 比较 如果直接用近似公式计算有 272 3.17% 1000123636 Ii ABI===+?+? 资金的投入并不完全是对称的 例 3.9 某保险公司一年的经营数据如下 年初资产 10,000,000 1 千万 保费收入 1,000,000 1 百万 保单赔付 420,000 42 万 投资毛收入 530,000 53 万 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 66 投资费用 20,000 2 万 其它费用 180,000 18 万 近似计算该公司在这个年度的实际收益率 注 C 投资毛收入 = 投资回收额 投资额 解 初值 A = 10,000,000 投资净收入 I = 投资毛收入 投资费用 = 530,000 20,000 = 510,000 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 67 新投入的资本量 C =保费收入 保单赔付 其它费用 =1,000,000 420,000 180,000 =400,000 从而有 10,910,000BACI=+?= 因为没有更多的现金流的信息 从而用近似公式可得 i 2IABI= +? = 5% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 68 时间加权法 (time-weighted rates of interest) 关键 对于投资账户的每次 因新资本的投入或提取造成 的 变动 随时进行 利息结算 计算当时的阶段收益率 然后计算整个投资期的综合收益率 全年的投资收益既与新资本的净投入量有关也与 具体投资时间有关 时间加权法的具体计算方法 1) 假设投资期限为一年 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 69 假设在一年中有 1m ? 次的资金投入或提取 即 在 时刻 12101mttt?<<<<<L 的净投入分别为 1,,C K mC 流程图如下 |-----------|-----------------------|------------| 时间 0 1t 1mt ? 1 资金余额 0B 1B 1mB ? mB 收益率 1j 1mj ? mj 资金投入 1C 1mC ? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 70 其中 tB 表示在 t 时刻 tC 未投入前一瞬间的投资资金 余额 显然有 0BA= 和 mBB= 其中 tj表示子区间 的实际收益率 从而有 11(1)()ttttBjBC??=++ 或 11 1tt tt Bj BC??=?+ 由此定义全年的收益率 i 为 满足以下方程的解 12 1 1(1)(1)(1)(1) m mt t ijjjj = +=+++=+∏L 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 71 进而可以表示为 1 (1)1 m t t ij = =+?∏ 2) 假设投资期限为 n年 其它符号相同 只是时间表示为 0< 1t< < 1mt ? < n 投资期间的平均年收益率 i 满足 (1)ni+ = 1 (1) m t t j = +∏ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 72 结论 时间加权法测度了基金帐户的管理者的实际管 理能力 而资本加权法则测度了基金帐户的实际收益 情况 与基金的投资者的行为有关联 例 甲从 1985 年至 1990 年每年初向退休基金存款 10,000 元 已知该基金在 1985 到 1989 年的年收益率 分别为 13% 11% 9% 9%和 10% 分别用资本加 权法和时间加权法计算甲在这五年中的平均回报率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 73 解 1) 资本加权法 投资期限超过一年 计算 1990 年底的账户余额 10,000[(113%)(111%)(19%)(19%)(110%) (111%)(19%)(19%)(110%) (19%)(19%)(110%)(19%)(110%) (110%)]66,958.37 +++++ +++++ +++++++ ++= 从而资本加权年收益率 i 满足 5 | 10,00066,958.37is =&& 解得 i = 9.90% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 74 思考 这个收益率结果与每年的存款额有很大的关 系 如果甲在 5 年中每年的存款不是等额的 但总额 仍然为 5 万元 结果会有怎样的变化 2) 已知 1j = .13 2j = .11 3j = .09 4j = .09 5j = .10 从而可得 15[(113%)(111%)(19%)(19%)(110%)]1 10.39% i =+++++? = 注 C 这个收益率计算结果与每年的存款额无关 它 反应了该基金在这几年的平均收益情况 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 75 例 某账户在年初的余额为 100,000 5 月 1 日余额为 112,000 元 同时投入 30,000 元 到 11 月 1 日余额降 为 125,000 元 同时提取 42,000 元 在下一年的 1 月 1 日又变为 100,000 元 分别用 1 资本加权法 2 时间加权法计算年收 益率 解 该项目的时间流程为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 76 |----------------|-----------------------|----------------| 日 /月 1/1 1/5 1/11 1/1 余额 100,000 112,000 125,000 100,000 净投入 30,000 42,000 1 资本加权法 A = 100,000 B = 100,000 C = 30,000 42,000 = 12,000 I= 12,000 从而有 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 77 (1)tt Ii ACt= +?∑ 12,000 82100,00030,00042,000 1212 = +×?× = 10.62% 2 时间加权法 112,000125,000100,000 1 100,000112,00030,000125,00042,000 1.120.881.205118.79% i =××?+? =××?= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 78 1)和 2)结果的比较分析 方法 2)的收益率明显大于方法 1) 方法 1)的三个子区间的投资收益分析 在前四个月和最后两个月的投资效益很好 在年 中的六个月则效益较差 而恰好在效益差的时期投 入了新的资本 在效益好的时期提取了部分本金 所以 单独从资金的变化看 收益率必然不高 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 79 v 方法 1)的 10.62%表示了投资资金本身的运行 以及投资者在这个项目中的投资效果总体评测 v 方法 2)的 18.79%则只表示了投资资金本身的 运行情况 与投资者的投资行为无关 当投资平稳或中间新投入或提取的资金与各时刻 的资本余额比较相对较小时 两种方法的差异较小 注 C 虽然方法 2)的结果较方法 1)的结果要客观一 些 但是前者需要掌握更多的投资信息 即 每次资 本变动时的投资余额 这一点有时很难做到 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 80 投资额方法和投资年方法 问题 的 提出 有些投资资金是由不同的个体投资者组成 如 养老基金是由许多个人账户组成的 每个账户不能 单独进行投资 必须通过参加基金的整体投资 然 后在投资收益中占有相应的份额 这些账户随时有资本的投入 整个基金也随时在 进行投资和收益 如何计算每个账户的收益率呢 关键 从资本量和投资时间两方面考虑 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 81 投资组合方法 portfolio method 关键 以基金的全部收入为基础 计算平均的年收 益率 基金中每个账户都以该年收益率计算收益 v 采用这种方法 无论每个 投资者是何时开始参加 投资的 在每个投资年度的年收益率都 是一样的 v 在短时间内 该种方法简单易行 但如果投资期 限较长 特 别是利率波动较大时 采用平 均利率的 方法就可能会带来很大的不公平 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 82 例 某基金在某个投资年度的平均年收益率为 8% 这个收益率是基金这 5 年各种投资组合综合的投资收 益水平 这几年投资市场呈上升趋势 某投资者是两 年前参加该基金的 而基金这两年的年平均收益率为 10% 如果对这个投资者仍然以年 8%的收益率计算 当年账户的收益 可能会使其放弃对该基金的投资 或是不能吸引更多的投资者参加该项目 注 C 此时对于原先的投资者有利 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 83 投资年方法 investment year method 关键 对每项投资既考虑原始投资时刻的利率情 况 也考虑投资期间各个时刻的利率情况 v 这种方法是从六 七十年代在美国开始流行的 当时美国正处于一段较长的利率上升期 76 年为 6% 79 年为 15.5% 80 年为 21.5% v 当利率上升时 投资年方法优于投资额方法 反 之 则有相反的结论 银行和保险公司通常愿意采 用投资年方法 以吸收新储蓄和新投保 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 84 在采用投资年方法时 通常只考虑固定的一段时 间 剩余的时期仍采用投资额方法 如 只对投资者刚刚进入基金的前几年 内的投资资 金考虑年收益率的调整 例如 5 年 投资年方法的实际操作步骤是 构造一个二维的利率表 其中 z 代表项目的起始年代 y 代表原始的投资日期 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 85 前面几列代表用投资年方法计算的年度内已经 经过的投资时间 用 t 表示 最大年限记为 m 每个投资用原始投资年度 y 和当前日期 yt+ 标 识 当采用投资年方法时 投资时间不超过 m 对 应的利率记为 yti 当投资时间超过了投资年方法的年限 m 则一律 将利率记为 yti + 注 C 这里假设所有的资金变动都是在年初进行 的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 86 投资年方法示例 m = 5 单位 % y 1yi 2yi 3yi 4yi 5yi 5yi + y+ 5 z 8.00 8.10 8.10 8.25 8.30 8.10 z+ 5 z+ 1 8.25 8.25 8.40 8.50 8.50 8.35 z+ 6 z+ 2 8.50 8.70 8.75 8.90 9.00 8.60 z+ 7 z+ 3 9.00 9.00 9.10 9.10 9.20 8.85 z+ 8 z+ 4 9.00 9.10 9.20 9.30 9.40 9.10 z+ 9 z+ 5 9.25 9.35 9.50 9.55 9.60 9.35 z+ 10 z+ 6 9.50 9.50 9.60 9.70 9.70 z+ 7 10.00 10.00 9.90 9.80 z+ 8 10.00 9.80 9.70 z+ 9 9.50 9.50 z+ 10 9.00 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 87 表的使用 1 计算某投资者在某投资年度的收益率 在第一列找到相应的原始投资时间 y 沿水平方向找到 对应的第几个投资年度 如果投资年度超过 m 则继续沿列方向向下 顺沿直至找到相应的年收益率 例 z=1980 考虑 1980 到 1990 期间某基金的投 资收益 若某人在 1982 年 初 投资 5000 元 到 1985 年 底 的收益是多少 到 1990 年 底 呢 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 88 解 由上表可得 到 1985 年 底 的收益是 5000(18.5%)(18.7%)(18.75%)(18.9%)6983.71++++= 到 1990 年 底 的收益是 5000(18.5%)(18.7%)(18.75%)(18.9%)(19.0%) (18.6%)(18.85%)(19.1%)(19.35%)10735.31 +++++ ++++= 2 查找某给定年度的收益率 先找到对应的年份 沿倒对角线方向向右上方排列 的一组利率都是这一年不同的投资者的可能的利率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 89 例 z=1980 在 1987 年可能的利率为 10.00% 9.50% 9.50% 9.30% 9.20% 8.60% 即在 1987 年 1987 年参加该项目的投资者的年利率为 10.00% 1986 年参加该项目的投资者的年利率为 9.50% 1985 年参加该项目的投资者的年利率为 9.50% 1984 年参加该项目的投资者的年利率为 9.30% 1983 年参加该项目的投资者的年利率为 9.20% 1980 至 1982 年其间参加该项目的所有投资者的年 利 率均为 8.60% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 90 3.3 资本预算 capital budgeting 资本预算 指个人或企业投资者对投资方向和投 资量进行决策的过程 一般考虑以下两种分析方法 1 当存在多种收益率的时候 考虑项目的投资决策 2 以事先给定的利率贴现未来的现金流 计算整个 投资的 净现值 注 C 实际上 事先给定的利率常常是一种保守的估 计以保证投资者最低的受益 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 91 1. 收益率方法与净现值方法 实际的投资分析过程是由许多因素组成的 例如 要进行不同项目的风险评估 收益率分析比较以及 其他与项目有关的可行性分析 但这里我们只强调 从收益率角度来决策项目 收益率方法 投资者可以根据本身的融资成本和投资利润指标 设置一个最小可接受收益率 然后将各种项目的收 益率与之相比较 排出优先次序 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 92 净现值方法 net present value method 投资者用 最小可接受利率 i 计算每个可选项目的 净现值 ()Pi 如果 ()Pi为负值 则拒绝该项目 如果 ()Pi为正值 则可以考虑接受该项目 相应的 NPV 值就是该项目所需的净投入或净收益 例 将表 3.1 中的投资项目进行资本预算分析 解 净现值为 2345 678910 ()1,000(105 7891012) Pivvvvv vvvvv =?????? +++++ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 93 如下表所示 利率 i (%) 0 5 10 15 20 25 NPV ()Pi 27,000 12,675 3,695 -2,046 -5,778 -8,236 这是一个标准的投资项目的前期分析 NPV 代表了不 同收益率下的净收益 例 某投资项目需要在当前投入 100 元 第二年底投 入 132 元 在第一年底可以收回 230 元 讨论这个项 目在这两年的资本预算分析 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 94 解 净现值公式为 2()100230132Pivv=?+? 下表为不同利率下的净现值结果 利率 i % 0 5 10 15 20 25 NPV -2.00 -0.68 0 0.19 0 -0.48 结论 10%和 20%是两个临界收益率 只有当收益率 介于 10%和 20%之间时 有 ()0Pi > 即有正的净收 益现值 项目可被接受 且当 i=14.78%时 ()Pi达到 最大 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 95 讨论 在本例中 如果投资者给定的最小可接受收 益率为 5% 则相应的净收益现值为负 这个项目 应被拒绝 可如果投资者给定的最小可接受收益率 为 15% 则项目将被接受 例 用 NPV 法讨论项目 甲以年利率 10%从乙处 融资 1 万元 期限一年 同时 甲将这笔资金投资 于年利率 12%的项目 是否被接受 解 由 1 2000C =? 1 2000R = 可得项目的 NPV 为 ()2000Piv= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 96 因为 NPV 永远为正值 所以对于任何利率 该项目都 可以接受 例 用 NPV 方法讨论项目 已知某账户的当前余额为 100 万元 在第一年底提出 150 万元 在第二年底又 投入 90 万元 是否被接受 解 若以 1 万元为单位 则有 0 100R =? 1 150R = 2 90R =? 从而有 22()10(1054)0Pivii=?++< 无论利率为何值 ()Pi均为负值 该项目应被拒绝 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 97 例 某投资者面临以下的两种投资项目收入 最初的 投入均为一万元 项目 第一年底 第二年底 第三年底 收益率 ( ) NPV(10 ) A 5,000 5,000 5,000 23.4 2,434.26 B 0 0 17,280 20.0 2,982.72 试对其进行投资决策分析 解 1) 依据收益率 相同的最初投入 的比较 应该选 择项目 A 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 98 2) 依据净现值 (以相同的收益率 10 计算 )的比较 应 该选择项目 B 讨论 比较两个项目的净现值函数 3 | 3 ()5000(2) ()5000[3.456(1)2] A i B Pia Pii? =? =+? 分析两个净现值函数可以得到下述结论 1 若可接受收益率在 14.499 以内 则选择项目 B 2 若可接受收益率介于 14.499 与 23.375 之间 则 选择项目 A 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 99 项目A与项目B的NPV比较 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 利率i NPV 系列1 系列2 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 100 项目回报率与项目融资率 关键 如果投资期间每个时刻的未结资本余额都是 正数 收益率则唯一 净投资项目 pure investment project 即 对所有时刻 1,2,...,tn= 有 0tB ≥ 在整个净投资项目期间 投资者始终处于资本的 投入状态 只有项目结束时一次性收回投资 净融资项目 pure financing project 即 对所有时刻 1,2,...,tn= 有 0tB < 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 101 在整个净融资项目期间 投资者不断地从项目中 获得资金 他实际上已经从一个投资方变成为一个 受益方 综合项目 mixed project 即 在整个投资期 间净投资 净融资两种状态都有 对于净投资期 称 唯一的 收益率为 项目回 报率 (project return rate) 用 r 表示 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 102 对于净融资期 称 唯一的 收益率为 项目融 资率 (project financing rate) 用 f 表示 从投资者角度看 希望 r 比 f 大 例如 银行作 为投资者所提供的贷款利率要高于同档期的存款 利率 综合项目的收益率计算 设原始的资本余额为 00BC= 随后的资本余额可以用递归公式表示 1,2,...,tn= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 103 1(1)tttBBrC?=++, 当 1 0tB ? ≥ 或 1(1)tttBBfC?=++, 当 1 0tB ? < 最终的资本余额是关于 r和 f的多项式 00 111 01(1)(1)(1)(1) mnm mnm nnBCrfCrfC ? ??=+++++++L 其中 jm 为整数 表示从时刻 j 到时刻 n 中使用项目回 报率 r的总的区间数 其它时间段内则使用项目融资率 f 且满足 01 0nnmmm≥≥≥≥≥L 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 104 例 某投资项目为 立即投入 1600 元 两年后投入 10000 元 在第一年底收回 10000 元 1 若 r= f 计算收益率 i 2 用 f 表示 r 3 若 r=70% f = 30% 该投资项目是否可以接受 4 若 f = 50% 3 的结论如何 解 1 令 i=r= f 则价值方程为 1600(1+i)2 +10000 = 10000(1+i) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 105 方程的解为 i = 25% 或 i = 400% 从而这是一个 存在两种收益率的项目 2 因为第一年初的投资余额是正值 0B = 1600 所以 第一年的年利率为投资利率 r 从而有 1 1600(1)10000Br=+? 为了使 2 0B = 必然有 1 0B < 所以第二年的年利率 应为融资利率 f 从而有 21(1)10000BBf=++ 由 2 0B = 可得 r与 f 的关系式为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 106 1000016.25(1)15.25160011r ff=??=?++ 该项目的投融资利率对应关系如下表所示 项目投 /融资利率表 单位 % 融资利率 f 25 100 150 200 300 400 回报利率 r 25 212.5 275 317 369 400 结论 r 是 f 的单调递增函数 并且有两个点 满足 r= f 在这两个点之间有 r>f 正常的利率关系 而在这两个点之外有 r<f 反常的利率关系 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 107 注 C 也可以考虑 f 关于 r 的函数关系 15.25 rf r+= ? 3 这种条件下的资本余额分别为 0B = 1600 1B = 1600 1.7 10,000 = 7280 2B = ( 7280) 1.3 + 10,000 = 536 因为 2B > 0 所以投资者应拒绝该项目 4 这种条件下在第二年底的资本余额为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 108 2B = ( 7280) 1.5 + 10,000 = 920 所以 投资者应接受这个项目 思考 为什么当融资利率为 30%时投资者应拒绝该 项目 而当融资利率升为 50%时投资者却接受了该 项目 关键 项目的现金流是确定不变的 分析 3 和 4 两种情况的唯一区别在于第二年的 融资利率 f 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 109 投资者在第一年底的净资本收入为 7280 元 融资 贷款 当贷款利率仅为 30%时 第二年底应还款 7280 1+30% = 9464 < 10000 但投资者被要求还款 10000 元 这是不可接受的 当贷款利率为 50%时 第二年底应还款 7280 1+50% = 10920 > 10000 由于投资者仅被要求还款 10000 元 从而投资者接受 了该项目 临界融资利率为 37.36% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 110 3.4 实例分析 例 某养老基金随时接受缴费 contribution 和领 取 withdrawal 在每笔业务结束时 结算基金的 价值 1991 年的情况如下 (单位 1,000) 日期 1/1/91 3/1/91 9/1/91 11/1/91 1/1/92 基金余额 1,000 1,240 1,600 1,080 900 缴费情况 2/28/91 200,000 8/31/91 200,000 领取情况 10/31/91 500,000 12/31/91 200,000 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 111 分别用资本加权法和时间加权法计算收益率 解 基金在各个时刻的实际余额 0B 1000 16B 1240 200 1040 23B 1600 200 1400 56B 1080 500 1580 1B 1100 资本加权法 A 1000 B 1100 C 200 200 500 100 I 1100 1000 ( 100) 200 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 112 200511 1000200200500636 i = +×+×?× 17.38 时间加权法 10401400158011001 1000124016001080 1.041.1290.98751.0185 1.181 i+=××× =××× = i 18.1 结论 两种计算收益率方法的结果差异不大 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 113 例 10000 元贷款用于投资 有两种选择 1)每年底 3000 元回报 累计十年 2)在第二年底和第五年底回报 8000 元 在第七年底 和第十年底回报 7000 元 投资者计划将所有资金存入信贷账户 如果账户余 额为赤字 以年利率 15%收取利息 如果账户余额为 盈利 则以年利率 9%计入利息 在两种情况下计算 第十年底的余额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 114 解 1 计算账户余额首次出现盈利的时刻 k | 15%10000(1.15)3000 k ks< 可得 k = 5 5B = 5 5 | 15%300010,000(1.15)s ? 1135.7 进而有 10B = 5 5 | 9%30001135.7(1.09)s + 18129 2 计算账户在各个回报时刻 的余额 2B = 210,000(1.15)8000?+5225 < 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 3章 — 115 5B = 35225(1.15)8000?+53.43 > 0 7B = 253.43(1.09)7000+ =7063 10B = 37063(1.09)7000+ 16147 结论 第 一种方法的盈利多一些