北京大学：利息理论与应用：ppt5固定收益证券

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 1 第五章 固定收益证券 确定收益金融产品 vs.不确定收益金融产品 资本市场的金融产品通常分为确定收益和不确定收 益两大类 v 确定收益金融产品主要包括 债券 优先股 抵 押支持债券和资产支持债券 v 不确定收益金融产品主要包括 普通股票 期货 和 其它 衍生产品 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 2 固定收益产品 如债券 计算涉及三个方面的问题 1) (原始发行 ) 价格问题 如果投资者可以通过市场 中的参照产品预先给出一个预期收益率 那么债券 的可接受价格为多少 2) 收益率问题 已知债券的价格 那么投资者的投 资收益率为多少 3) 存续期间的价值问题 当债券发行后 (或已被交 易后 ) 在其生存期间的某个时刻 (可能不是整点时 刻 ) 它的价值为多少 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 3 注 C 什么叫做 证券 v 广义 证券是各类财产所有权或债券的通称 是用 来证明持有人有权取得相应收益的凭证 如银行存款 单 支票 股票 债券 保险单等 v 狭义 在我们日常所接触到的各种媒体上所经常论 及的证券则主要是指股票和债券 这些是一般投资者 所关心的对象 证券投资 是指把资金用于购买股票 债券等等以 期获得一定收入的行为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 4 5.1 固定收益证券的类型和特点 固定收益证券 fixed income securities 指收益 水平相对较为确定的一类证券 代表产品是债券 债券 债券 债权债务关系的凭证 债权人 认购者 投 资者 对债务人 发行者 融资者 的权力体现为获 取利息和收回本金 债券通常采用整数面值 如 100 元 1000 元等 发行债券的目的是为发行人 企业和政府 筹集资金 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 5 影响债券价值的主要因素 v 发行人 Issuer 主要为企业 中央政府和地方政 府 不同的发行人代表了不同的偿债能力 这是标志 债务人信用等级的重要因素 v 到期期限 Maturity 债券产品的存续期 影响 产品的收益水平 价格波动水平 涉及该因素的条款 有 定期方式 可早赎 偿债基金和系列债券等 v 本金和息票收入 代表债券产品的资本投入和收 益 一般债券产品的特征是 两个因素的现金流是分 离的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 6 累积债券 vs. 息票债券 累积债券 (accumulated bonds) 到期一次还本付息 累积债券期限以短期为主 例如 02 进出 05 期限 1 年 票面利率 2.30% 02 进出 07 期限 1 年 票面利率 2.50% 类似的有 零息债券 (zero coupon bonds)和 贴现债券 (期 限较零息债券短 1 年以下 ) 两者均以贴现方式发行 例如 02 进出 01 贴现 期限 0.25 年 发行价 99.52 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 7 02 国开 01 贴现 期限 0.5 年 发行价 99.01 元 02 国开 07 贴现 期限 0.5 年 发行价 99.03 元 02 国开 13 贴现 期限 0.5 年 发行价 98.84 元 02 国债 08 贴现 期限 1 年 发行价 98.13 元 02 进出 04 零息 期限 2 年 发行价 96.24 元 02 国开 09 零息 期限 3 年 发行价 93.51 元 02 国开 16 零息 期限 3 年 发行价 91.91 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 8 息票债券 定期付息 到期还本 债券期限以中长期为主 (通常 3 年以上 ) 例如 02 国债 07 期限 3 年 票面利率 1.90% 年付 02 国债 02 期限 5 年 票面利率 2.22% 年付 02 国债 03 期限 10 年 票面利率 2.54% 年付 02 国债 13 期限 15 年 票面利率 2.60% 半年付 02 国债 05 期限 30 年 票面利率 2.90% 半年付 另有本息分离式债券 如 02 国开 14 期限 10 年 票面利率 3.63% 年付 可进行本息分离交易 (成为 一系列的零息债券 ) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 9 注 C 公司债券中还有所谓的 可转换债券 convertible bond 这种债券在未来的时刻 持有 者有权将其转换为发行公司的普通股票 美中债券市场数据比较 (2000 年底 ) 美国 债券总余额 26.67 万亿美元 其中 国债 3.39 万亿美元 政府机构债券 7.15 万亿美元 公司债 13.09 万亿美元 其它债券 1.76 万亿美元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 10 中国 债券总余额 1.76 万亿元 其中 国债 1 万亿元 政策性金融债 0.73 万亿元 公司债不足 200 亿元 依期限划分债券 Treasury Bills 美国债券市场上的短期国库券 它的 期限最多为一年 一般常见的是 13 周 16 周和 52 周 而且经常是贴现发行 (低于面值 ) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 11 Treasury Notes 期限在 1年到 7年之间的中期国库券 Treasury Bonds 七年以上的长期国库券 债券一般要在指定的时刻进行兑现 从债券认购到 它被兑现所经过的时间被称为债券的 期限 term 债券期限结束日期被称为 到期日 (maturity date) 只有在很特别的情况下 才有期限为无穷的债券 称之为永久债券 现存唯一的 著名的永久性债券是 由英国财政部发行 的统一公债 用于筹资偿还拿破仑 战争 (1814 年 )时期发行的小额债券 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 12 债券发行者有时也会分期兑现本金的债券 这种债 券被称为 早赎 债券 (callable 也被称作可赎回债券 ) 在到期日或到期日之前将债券兑现 这个日期被称为 兑现日 ( redemption date) 例 02 国开 06 期限 10 年 票面利率 2.15% 年付 可赎回 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 13 系列债券 (Serial bond) 如果债券发行者需要大量的资金 可以让债券的兑 现日固定 但是 这样也会出现一些问题 在兑付时 需要筹备大笔资金或是将这些债务进行再融资 出于 这种原因 有些筹资者将大额债券分解 使得每个债 券对应一系列按规则的时间间隔排列的兑付日期 这 种债券被称为 系列债券 另一种方法是为债券的投资建立偿债基金 以准备 大额债券的偿付 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 14 例 中铁系列债券 名称 98 中铁 (2) 发债主体 铁道部 发行量 10 亿 面值 100 元 利率 3.8% 期限 5年 付息方式 到期一次付息 发行日 1999-10-13 到期日 2004-10-12 名称 98 中铁 (3) 发债主体 铁道部 发行量 24 亿 面值 100 元 利率 4.5% 期限 10 年 付息方式 按年付息 发行日 1999-10-13 到期日 2009-10-12 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 15 例 中移系列债券 名称 02 中移 (5) 发债主体 中国移动通信公司 发行量 30 亿 面值 100 元 利率 3.5% 期限 5年 付息方式 按年付息 发行日 2002-10-28 到期日 2007-10-28 名称 02 中移 (15) 发债主体 中国移动通信公司 发行量 50 亿 面值 100 元 利率 4.5% 期限 15 年 付息方式 按年付息 发行日 2002-10-28 到期日 2017-10-28 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 16 例 武钢系列债券 名称 02 武钢 3 发债主体 武汉钢铁 集团 公司 发行量 5亿 面值 100 元 利率 3.5% 期限 3年 付息方式 到期一次付息 发行日 2002-11-05 到期日 2005-11-04 名称 02 武钢 7 发债主体 武汉钢铁 集团 公司 发行量 15 亿 面值 100 元 利率 4.02% 期限 7年 付息方式 按年付息 发行日 2002-11-05 到期日 2009-11-04 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 17 美国短期国债 (T Bills)的计算 T Bill 一般是贴现报价的 例 26周的短期国库券 在 1999年 8月 26日以 97.715 美元 100 元面值 报价 则市场中计算 收益率 的方法为 360 d FPY Ft ?= =4.52% 其中 dY 表示 收益率 t 表示未到期的天数 F 表示 面值 P表示价格 思考 如何理解这个 收益率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 18 分析 按照正常计算 该债券的实际年收益率应满足 1 297.715(1)1004.73%4.52%iid+=?=?= 进一步有名义年收益率 (2)(2)4.68 4.57%=?= 实际上 dY 即为单贴现率 而债券的价格计算公式 即为 (1)360d tPYF=?×× 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 19 例 13 周国债 到期兑现一万元 现在以 7.5%的贴 现率出售 计算当前的认购价格 解 关于 T bill 的计算要注意以下几点 1 依据贴现计算 且采用单贴现模式 1()at? = 1 dt , 0 < t < 1 d 2 时间单位为 1/360 乘以实际天数 本例的计算结果为 10000×[1 0.075 ×(91/360)] = 9810.42 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 20 例 某种十年期的零息票债券现在的买价为 400 元 到期兑现 1000 元 计算该债券的半年名收益率 解 记 j为半年的实际收益率 则有 400 20(1)j+ =1000 由此可得 j=0.0469=4.69% 从而该债券的半年名收益率为 9.38% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 21 优先股票 优先股票是与债券类似的一种证券 它以固定的比 例进行回报 优先股票与债券的不同之处是 优先股票的持有者 为股票发行企业的拥有者 (owner) 而债券的持有者 是发行企业的债权人 creditor 一般情况下 优先股票没有到期日 对优先股票持有者的定期回报 常被称为 分红 或者 股利 (dividend) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 22 从证券等级来看 优先股票紧次于债券和其它债 务工具 (debt instrument) 因为在进行分红之前必须 清偿所有的债务 但是 优先股票在等级上优于所有 普通股票 因为前者的分红是在后者的分红之前进行 的 某些优先股也具有与可转换债券类似的可转换权 益 被称为 可转换优先股 (convertible preferred stock) 在一定条件下 持有者可以选择将其股票从 优先股转为普通股 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 23 5.2 债券基本定价 债券价格计算的基本假定 v 到期日为有限的 v 债务人所有的责任都在事先指定的日期兑现 v 债券价格是息票领取后瞬间的价格 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 24 注 C 债券价格 债券的账面价值 不同于债券的市场 价格 后者往往指市场上供求双方根据各自的市场预 期所形成的交易价格 描述债券特征的基本记号 1 P = 债券的价格 发行价格 购买价格 2 F = 债券的面值 par value / face amount 3 C = 债券的兑现值 redemption value 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 25 注 C 兑现值是在债券兑现时 债券的持有者一次性得 到的回报 通常债券是在到期日以面值进行兑现的 所以一 般情况下有 C=F 有时会有面值与兑现值不同的情况 如债券在到 期日之前被兑现 如可赎回债券 4 r = 息率 coupon rate 即 息票额与面值的比 注 C 由债券发行人保证到期支付的债券利息率 通常 按面值的年利率表示 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 26 注 C 美式债券付息票的周期一般为半年 欧式债券通常是以一年为一个周期 国内债券通常是以一年为一个周期 例 某美式债券的息率为 8% 意味着 每半年付息 一次 按面值的 4%付息 息率为 4%r = 5 Fr = 每期固定的息票金额 例 如果上例中的债券面值为 100 元 则每半年应付 息 4 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 27 6 g = 债券的修正息率 mortified coupon rate 即 息票额与兑现值的比 注 C 由 Fr=Cg 可得 Frg C= 其中 g 与 r的换算频率 是一样的 只要 C与 F 相同 就有 g =r 7 i = 债券的收益率 yield rate 也称为 到期收 益率 即 假定投资者在到期时才进行兑现的年实际 利率 注 C 等同于债券的内部收益率 并且收益率的周期与 息率的周期是一样的 默认 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 28 8 n = 从计算日到债券兑现日或到期日之间息票的 兑现次数 9 K = 以收益率计算的兑现值的现值 即 nKCv= 其中贴现因子 1(1)vi?=+ 10 G = 债券的基值 base amount 定义为 FrG i= 注 C 债 券的基值 表示用收益率 i 和息票金额推算的原 始本金 基值与面值的关系式也可表为 GiFr= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 29 与债券有关的三种 收益 概念 v 名义收益 nominal yield 债券的年息率 例 面值为 100 元的债券每年息票的收入是 9 元 则 每年的名义收益率为 9% v 现收益 current yield 每年的息票收入与债 券原始价格 或购买价格 的比值 例 如果上例中的债券认购价为 90 元 则每年的现 收益率为 10% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 30 v 到期收益 yield to maturity 平均的每年实际 收益 即内部收益 它表示债券投资的实际年收益 率 注 C 默认的 收益 即指到期收益 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 31 债券价格计算公式 债券价格的计算主要有以下四种 等价 形式 1 基本公式 | | n niniPFraCvFraK=+=+ 即 债券价格等于未来息票现金流的现值之和再加上 债券兑现值的现值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 32 2 溢价折价公式 premium / discount formula ()[1()]niniPCFrCiaCgia=+?=+? 注 C 推导如下 | | (1) ()() [1()] n nini ni nini ni PFraCvFraCia CFrCiaCCgCia Cgia =+=+? =+?=+? =+? 注 C 价格与兑现值的关系为 ()niPCCgia?=? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 33 3 基值公式 base amount formula P=G+(C G) nv 注 C 推导如下 | 1 (1)() n nn ni n vPFraCvGiCv i GvCvGCGv ?=+=+ =?+=+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 34 4 Makeham 公式 P=K + gi (C K) 注 C 推导如下 | 1() () n n ni n vPFraCvKCg i gKCCv i ?=+=+ =+? 注 C 在具体分析的时候可灵活选用适宜的计算公式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 35 债券价格与收益率 i 和到期期限 n 的关系 记 P(n,i )=Fr | nia +C nv 表示债券价格为收益率和到期期限的函数 则 1 债券价格为到期收益率的递减函数 | ()(1,)0niP FrDanPnii? =?+<? 注 C 债券价格与收益率反向变化 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 36 注 C 推导如下 12 | () nnn niPFraCvFrvvvCv=+=++++L 2 2 1 (1) dv v dii=?=?+ 2311( )0nnP FrvvnvCnv i ++? =?+++?< ? L 上式可以化简为 12 1211 | ((1)) [ )] ()(1,) n nn ni P Frnvnvv i nFrvvvCv FrDanPni ++ ? =+?++ ? ?++++ =?+ L L 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 37 2 债券价格为到期收益率的凹函数 2 2 0 P i ? > ? 注 C 当收益率持续增大时 债券价格对其敏感性持续 下降 注 C 推导如下 2 3422 2 (2 (1))(1)0 nnP FrvvnvCnnv i ++? =++++++> ? L 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 38 3 债券价格与到期期限的关系为 Pn?? = ln(1)Cii + (g i ) nv 即 到期期限对价格的影响由 g 与 i 的大小关系决 定 当修正息率大于收益率时 价格为期限的增函 数 当修正息率小于收益率时 价格为期限的减函 数 注 C 当 CF= 时 g = r 从而当票面息率大于收益 率时 债券价格为期限的增函数 当票面息率小于 收益率时 债券价格为期限的减函数 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 39 注 C 推导如下 P=G+(C G) nv ()ln()()[ln(1)] ln(1)() nn n CgCGvvCiv ni Cigiv i ? =?=??+ ? +=? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 40 例 十年期面值 1000 元的美式债券 每半年付息一 次 息率 8% 半年期挂牌利率 面值兑现 1 如果以名收益率 10%认购 用四种公式计算该债 券的认购价格 2 分析收益率和期限对价格的影响 解 1 价格计算 F = 1000, C = 1000, n = 20, r = 4%, g = r = 4%, i = 5%, 20 | 5%a = 12.4622 20(1.05)? = 0.37689 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 41 (1) 基本公式 20 20 | 5%401000(15%) 498.488376.89875.378 Pa ?=++ =+= (2) 溢价折价公式 20 | 5%1000[1(4%5%)] 1000[10.124622]875.378 Pa=+? =?= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 42 (3) 基值公式 4%1000800 5%G == 20800(1000800)(15%) 80075.378875.378 P ?=+?+ =+= (4) Makeham 公式 201000(15%)376.89K ?=+= 4% (1000) 5% 376.890.8623.11875.378 PKK=+? =+×= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 43 2 价格影响分析 i的影响 i 2.5% 3% 3.5% 4% 4.5% 5% 5.5% 6% 6.5% 7% P(20,i ) 1234 1149 1071 1000 935 875 821 771 725 682 n的影响 n 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 P(n,5%) 922 911 901 891 883 875 868 862 856 851 846 注 C g = r = 4% < i = 5% 折价 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 44 期限 n 票面面值 F 票面息率 r 兑现值 C 修正息率 g 20 1000 4.0% 1000 4.0% 到期收益率 i 债券基值 G 债券价格 P 2.0% 2000.00 1327.03 2.5% 1600.00 1233.84 3.0% 1333.33 1148.77 3.5% 1142.86 1071.06 4.0% 1000.00 1000.00 4.5% 888.89 934.96 5.0% 800.00 875.38 5.5% 727.27 820.74 6.0% 666.67 770.60 6.5% 615.38 724.54 7.0% 571.43 682.18 7.5% 533.33 643.19 8.0% 500.00 607.27 8.5% 470.59 574.15 9.0% 444.44 543.57 9.5% 421.05 515.32 10.0% 400.00 489.19 10.5% 380.95 464.99 11.0% 363.64 442.57 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 45 债券价格与到期收益率 0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 到期收益率 债券价格 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 46 票面面值 F 票面息率 r 兑现值 C 修正息率 g 债券基值 G 到期收益率 i 1000 4.0% 1000 4.0% 800.00 5.0% 期限 n 债券价格 P 10 922.78 11 916.94 12 911.37 13 906.06 14 901.01 15 896.20 16 891.62 17 887.26 18 883.10 19 879.15 20 875.38 21 871.79 22 868.37 23 865.11 24 862.01 25 859.06 26 856.25 27 853.57 28 851.02 29 848.59 30 846.28 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 47 债券价格与到期期限 840.00 850.00 860.00 870.00 880.00 890.00 900.00 910.00 920.00 930.00 10 15 20 25 30 到期期限 债券价格 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 48 债券价值评估 valuation 帐面价值 vs. 市场价值 注 C 债券价格不只是体现在发行价格上 当债券被售 出进入生存期后 在二级市场上交易的债券的价格随 时会在变动 债券价格的构成有两部分 v 长期投资的内在价值 v 市场供求形成的临时附加价值 注 C 称这样形成的价格为 市场价值 market value 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 49 注 C 相对确定的债券的内在长期投资价值 被称为债 券的 账面价值 book value 注 C 债券的帐面价值可用于资产负债管理的计算 帐面价值的计算 记 kBV 为时刻 k的账面价值 第 k 次支付息票后 则 ||[1()] nk k nkinkiBVFraCvCgia ? ??=+=+? 注 C 这里的利率 i 可以与发行时的不相同 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 50 基本关系式 1()(1)kkBViFrBV ++=+ 1 (1)kkBViBVFr+ =+? 0,1,,1kn=?K 注 C 债券在发行时和兑现时的价值是确定的 0 , nBVPBVC== 账面价值的计算为债券提供了一种合理的渐变的 赋值系列 为许多投资者所采用 例如 保险公司和 养老金管理者可以在进行金融报表计算时考虑用它 表示债券这部分的资产价值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 51 直线债券 以兑现值出售的债券 即 PC= 如果账面价值仍 然以出售时的收益水平计算 则有 ,0,1,,kBVPCkn===K 称为 直线债券 或平价债券 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 52 溢价债券和折价债券 如果债券的认购价格高于它的兑现值 即 P > C 则称这种债券为 溢价 出售的 称 P C 为 溢价 差 或升水 premium 如果债券的认购价格低于它的兑现值 即 P < C 则称这种债券为 折价 出售的 而且称 C P 为 折 价差 或贴水 discount 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 53 结论 1 若 gi> 则 溢价差 = | | ()()niniPCFrCiaCgia?=?=? 2 若 gi< 则 折价差 = | | ()()niniCPCiFraCiga?=?=? 注 C 直接利用溢价折价公式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 54 息票的摊还计算 问题的提出 债券发行时的交易价格通常高于或低于兑现值 面 额 从而在兑现日就存在损失 溢价差 或利润 折 价差 例如 当债券溢价发行时 由于在兑现日存在损失 所以每次息票的收入就不能被看作是投资者的真正 利息收入 即 每次息票既包含利息收入又包含逐渐 的本金偿还 支付 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 55 关键 用摊还方法可以将每次息票收入分解为利息收入和 对本金的调节两部分 在摊还方法下 债券的价值从购买日的交易价格不 断地过渡到兑现日的兑现值 思考 当债券折价发行时 如何分析 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 56 基本记号 tB 账面价值 tI 利息收入 tP 本金调节量 Fr 每次息票的金额 0B =P 债券价格 nB =C 兑现值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 57 例 标准的 n期 息票 债券 1C = 原始认购价格 为 1 p+ p为实数 试用摊还方法计算各期的账面价 值 解 0 | 11()niBpgia=+=+? 每次息票的金额为 FrCgg== 第一次息票收入 g 可 以分解为 10 | [1()]niIiBigia==+? 11 | ()(1)() n niPgIgiiagiv=?=??=? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 58 账面价值为 101 | 1 | 1()()1() n niniBBPgiavgia?=?=+??=+? 递推关系式为 0B = P 1 (1)ttBiBFr+ =+? t = 0, 1,…, n 1 1tI + =i tB t = 0, 1,…, n 1 1tP+ =Fr 1tI + t = 0, 1,…, n 1 依次类推 摊还计算结果见下表 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 59 时间 t 息票收入 利息收入 tI 本金调节量 tP 账面价值 tB 0 | 1()nigia+? 1 g | [1()] (1) ni nn igia gviv +? =?+ ()ngiv? -1 | 1()nigia+? 2 g 1 | 11 [1()] (1) ni nn igia gviv ? ?? +? =?+ 1()ngiv?? 2 | ()nigia?+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 60 t g 1 | 1 1 [1()] (1) nti nt nt igia gv iv ?+ ?+ ?+ +? =? + 1 () nt gi v ?+ ? | 1()ntigia?+? 1n ? g 2 | 22 [1()] (1) iigia gviv +? =?+ 2()giv? 1 | 1()igia+? n g 1 | [1()] (1) iigia gviv +? =?+ ()giv? 1 总和 ng ngp? | ()nigia? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 61 注 C 账面价值的计算公式在形式上与债券 发行 价 格的计算公式相同 注 C 本金部分的和为 p 即为折价差或溢价差 v 如果债券是溢价售出的 0p > 则账面价值是 逐渐下降的 被称为 溢价摊还 或 账面递减 v 如果债券是折价售出的 0p < 则账面价值是 逐渐上升的 被称为 折价累积 或 账面递增 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 62 例 面值 100 元的 10 年期美式债券 每半年付息一次 名义年息率 8% 名义年收益率 6% 分析摊还过程和 账面价值变化过程 解 设债券是以面值兑现的 从而有 F =C=100 4%g = 3%i = gi> 计算可得 该债券总的 80 元息票收入中 实际的利息 收入为 65.12 元 两者的差额 14.88 元为发行价格与兑 现值的差 溢价发行 即投资者当初是以高于面值 14.88 元的价格买入该债券的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 63 时间 t 息票收入 利息收入 tI 本金调节量 tP 账面价值 tB 0 114.8774749 1 4 3.446324 0.553675754 114.3237991 2 4 3.429714 0.570286027 113.7535131 3 4 3.412605 0.587394608 113.1661185 4 4 3.394984 0.605016446 112.5611020 5 4 3.376833 0.623166939 111.9379351 6 4 3.358138 0.641861947 111.2960731 7 4 3.338882 0.661117806 110.6349553 8 4 3.319049 0.680951340 109.9540040 9 4 3.298620 0.701379880 109.2526241 10 4 3.277579 0.722421277 108.5302028 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 64 11 4 3.255906 0.744093915 107.7861089 12 4 3.233583 0.766416732 107.0196922 13 4 3.210591 0.789409234 106.230283 14 4 3.186908 0.813091511 105.4171914 15 4 3.162516 0.837484257 104.5797072 16 4 3.137391 0.862608784 103.7170984 17 4 3.111513 0.888487048 102.8286114 18 4 3.084858 0.915141659 101.9134697 19 4 3.057404 0.942595909 100.9708738 20 4 3.029126 0.970873786 100 合计 80 65.12253 14.87747486 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 65 溢价债券帐面价值变化 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 0 5 10 15 20 25 时间 半年 帐面价值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 66 例 面值 100 元的 10 年期美式债券 每半年付息一次 名义年息率 8% 名义年收益率 10% 分析摊还过程 和账面价值变化过程 解 设债券是以面值兑现的 即 F =C= 100 4%g = 5%i = gi< 计算可得 实际利息收入为 80+12.46=92.46 元 其中 的 12.46 元是通过最后的兑现实现的 折价发行 即 投资者当初是以低于面值 12.46 元的价格买入该债券 的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 67 时间 t 息票收入 利息收入 tI 本金调节量 tP 账面价值 tB 0 87.53779 1 4 4.376889 -0.3768895 87.91468 2 4 4.395734 -0.3957340 88.31041 3 4 4.415521 -0.4155207 88.72593 4 4 4.436297 -0.4362967 89.16223 5 4 4.458112 -0.4581115 89.62034 6 4 4.481017 -0.4810171 90.10136 7 4 4.505068 -0.5050680 90.60643 8 4 4.530321 -0.5303214 91.13675 9 4 4.556837 -0.5568374 91.69359 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 68 10 4 4.584679 -0.5846793 92.27827 11 4 4.613913 -0.6139133 92.89218 12 4 4.644609 -0.6446089 93.53679 13 4 4.676839 -0.6768394 94.21363 14 4 4.710681 -0.7106813 94.92431 15 4 4.746215 -0.7462154 95.67052 16 4 4.783526 -0.7835262 96.45405 17 4 4.822702 -0.8227025 97.27675 18 4 4.863838 -0.8638376 98.14059 19 4 4.907029 -0.9070295 99.04762 20 4 4.952381 -0.9523810 100 合计 80 92.462210 -12.462210 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 69 折价债券帐面价值变化 86 88 90 92 94 96 98 100 102 0 5 10 15 20 25 时间 半年 帐面价值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 70 偿债基金计算 例 偿债基金用于累计溢价差 PC? 设偿债基金利率为 j 偿债基金的每期存款固定 存 款周期与债券付息周期相同 则每次存款为 FriPCgiP?=? 从而应有 | ()njCgiPsPC?=? 由此解出 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 71 | | | & 1 1 [1()] nj nj nij gsPC is Cgia += + =+? 时刻 t 的账面价值为 | &[1()],0,1,,t ntijBVCgiatn?=+?=K 注 C 如果 ij= 则有 | [1()],0,1,,t ntiBVCgiatn?=+?=K 与摊还法是相同的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 72 例 现有面值 100 元的 10 年期债券 息率为 8% 半 年 收益率 6% 半年 如果投资者用利率 5% 半 年 的偿债基金来平掉溢价差 计算债券的买价 解 设买价为 P 则依照题意 偿债基金每次 半年 存入的金额为 40.03CgiPP?=? 从而有 20 .025(40.03)100PsP?=? 由此可得 20 | .025 20 | .025 1004 103.69 1.03 sP s +== + 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 73 直线法计算账面价值 一种计算债券账面价值的简单方法 ()t tBPPCn=?? , 0,1,2,,tn= K tP= PC n ? , 0,1,2,,tn= K tI =Fr tP , 0,1,2,,tn= K 注 C 当 gi> 时 溢价 比摊还法帐面价值偏低 当 gi< 时 折价 比摊还法帐面价值偏高 当溢价差或折价差的数值越大时 或者债券的期限 越长时 直线法与摊还法的偏差越大 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 74 例 面值 100 元的 10 年期美式债券 每半年付息一 次 名义年息率 8% 名义年收益率 6% 以直线法 分析账面价值变化过程 折价债券 解 设债券是以面值兑现的 从而有 0 | [1()]87.54niBPCgis==+?= ()87.540.623t tBPPCtn=??=+ 20 100BC== 当 10t = 时 第 5 年底 由摊还法有 10 92.23B = 而 由直线法有 10 93.77B = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 75 摊还法帐面价值 直线法帐面价值 0 87.53779 87.53779 1 87.91468 88.16090 2 88.31041 88.78401 3 88.72593 89.40712 4 89.16223 90.03023 5 89.62034 90.65334 6 90.10136 91.27645 7 90.60643 91.89956 8 91.13675 92.52267 9 91.69359 93.14578 10 92.27827 93.76890 11 92.89218 94.39201 12 93.53679 95.01512 13 94.21363 95.63823 14 94.92431 96.26134 15 95.67052 96.88445 16 96.45405 97.50756 17 97.27675 98.13067 18 98.14059 98.75378 19 99.04762 99.37689 20 100 100 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 76 折价债券帐面价值变化 直线法 vs 摊还法 86 88 90 92 94 96 98 100 102 0 5 10 15 20 25 时间 半年 帐面价值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 77 两次息票收入之间的账面价值的调整 问题的提出 实际中 由于债券可在两次息票领取之间的某个时 刻被出售 交易 如何将后一次的息票收入在新旧 两个债券持有者之间合理分配 为了描述在两次息票领取之间债券价值的变化过 程 引入下面的记号 tk+ 债券的买卖时刻 , t=0, 1, 2,..., n 1, 01k≤≤ tkB + tk+ 时刻债券的账面价值 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 78 kFr 应计息票 (accured coupon) 即从上一次息票支 付日直到结算日 settlement date 为止的时间内应 得的利息 注 C 这部分金额是由债券的新持有者补偿给旧持有 者 出售者 的 大小与 k和 Fr有关 与 t 无关 特 别的有 0Fr =0 以及 1Fr = Fr f tkB + 平价 (flat price) /全价 (full price) 债券转手时的 实际交易价格 m tkB + 市场价格 (market price) / 牌价 (quoted price) / 净价 (clean price) 债券交易时的市场报价 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 79 注 C 净价是针对债券该时刻的账面价值所形成的债 券市场价格 不包括应计利息部分 实际市场 中 净价可以与 理论上的 账面价值不等 全价与净价有如下关系式 f tkB + = m tkB + + kFr , 01k≤≤ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 80 几种常见的计算方法 1) 理论方法 (theoretical method) 将时刻 t的账面价值按照复利累积得到全价 f tkB + = tB (1) ki+ 应计息票 复利方式 kFr =Fr (1)1ki i +? 从而得到净价为 m tkB + = tB (1) ki+ Fr(1)1 ki i +? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 81 2) 实用方法 (practical method) 将时刻 t的账面价值按照单利累积得到全价 f tkB + = (1)tBik+ 应计息票 单利方式 kFr =k Fr 从而得到净价为 mtkB + = (1)tBik+ k Fr = (1)tkB? + k 1tB + 注 C 1(1)ttFriBB+=+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 82 3 半理论方法 (semi theoretical method) 将时刻 t的账面价值按照复利累积得到全价 ftkB + = tB (1)ki+ 应计息票 单利方式 kFr =k Fr 从而得到净价为 m tkB + = tB (1) ki+ k Fr 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 83 讨论 第三种方法有一个明显的问题 即如果债券满 足 i=g , P=C 不存在对升水或贴水的摊还 则所有 时刻的账面价值应该是常数 所有息票领取之间时刻 的账面价值也应该是常数 这个结果对前两种计算方 法成立 但对第三种方法不成立 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 84 例 现有面值 100 元的两年期债券 息率为 8% 半 年 收益率 6% 半年 计算债券售出五个月后的 平价 应计利息和市场价值 账面价值 解 债券的价格为 44.034100(10.03)103.72Pa ?=++= 时间 0t = , 5/6k = 用月份表示时间 1) 理论法 56 fB = 103.72(1.03)5/6 = 106.30 56Fr =4 5/6(1.03)1 .03 ? = 3.32 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 85 56 mB = 106.30 3.32 = 102.98 注 C 债券的全价为 106.30 元 债券的净价为 102.98 元 差值 3.32 元是 6 月底第一次息票收入的 4 元中原 债券持有者应得的补偿部分 2) 实用法 56 fB =103.71[1+(.03)(5/6) = 106.31 56Fr =4×(5/6)= 3.33 56 mB = 106.31 3.33 = 102.98 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 86 3) 半理论法 56 fB = 106.30 56Fr = 3.33 56 mB = 106.30 3.33 = 102.97 注 C 我国债券市场交易中应计利息为单利方法 实用 方法 而净价则是由市场上的投资者自由竞价交易所 给出的 注 C 实际中经常用天数表示时间 这时就必须指出出 售债券的具体日期 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 87 例 续前例 假定债券是在 1 月 1 日出售的 则前 五个月的实际天数为 151 天 前六个月的实际天数为 181 从而 k = 151/181 用半理论法计算相应的价格 解 由半理论法可得 f kB = 106.31 kFr =3.34 m kB =106.31 3.34 = 102.97 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 88 两次息票收入之间的升水或贴水 利用净价可以考虑两次息票收入之间的升水或贴 水问题 即定义 升水 = mtkB + C 若 g > i 或 贴水 = C mtkB + 若 g < i 思考 为什么不用全价而是用净价来计算 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 89 例 面值 100 元的两年期美式债券 每半年付息一次 名义年息率 8% 名义年收益率 10% 用理论法计算 考虑售出五个月后的折价或溢价情况 解 债券的价格为 4 4.054100(10.05)96.45Pa ?=++= 从而该债券为折价发行 售出五个月后用理论法计算可得 56 fB = 96.45(1.05)5/6 = 100.46 56Fr =4 5/6(1.05)1 0.05 ? = 3.32 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 90 56 mB =100.46 3.32 = 97.14 从而从净价 =97.14 看 该债券仍然是折价债券 注 C 但是如果从全价 =100.46 看 该债券是溢价债券 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 91 5.3 广义债券定价与收益分析 广义债券价格 关键 v 息率周期与收益率计算周期不同 v 息票率不固定 v 收益率不固定 1. 息率周期与收益率计算周期不同 以收益率的周期为 时间单位 债券期限用 n 表示 则 有以下两种情况 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 92 情形 息率周期大于收益率周期 设息票周期为收益周期的 k 倍 则债券的基本价格 公式为 P =Fr | | ni ki a s +C nv 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 93 情形 息率周期小于收益率周期 设单位收益换算周期内领取息票 m 次 且每次的金 额为 Frm 则债券的基本价格公式为 P =Fr () | mnia +C nv 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 94 . 息票率不固定 注 C 没有通用公式来计算债券的价格 注 C 国内市场上的可转换债券经常有类似的条款 例 转债 丰原转债 交易代码 125930 正股 丰原生化 交易代码 000930 发行日 2003 年 4 月 24 日 发行量 5 亿元 期限 5 年期 年息 1.8% 2.0% 2.2% 2.4% 2.5% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 95 例 转债 山鹰转债 1 00567 正股 山鹰纸业 600567 发行日 2003 年 6 月 16 日 发行量 2.5 亿元 期限 5 年期 年息 1.5% 1.8% 2.0% 2.2% 2.5% 注 C 山鹰转债的浮动利率条款 在可转债存续期间 若中国人民银行向上调整存款利 率 本可转债的票面利率从调息日起将按一年期存 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 96 款利率上调的幅度向上调整指与上一次调整时一 年期银行存款利率比较的净增加幅度 首次调整的比 较基数为可转债发行前一日的一年期银行存款利率 若中国人民银行向下调整存款利率 本可转债的利率 不作变动 例 某企业计划发行保值债券 面额 1000 元 期限 十年 每年的息率为 首次 7% 随后每次增加 3% 债券在第十年底以 1200 元兑现 如果投资者计划以 9%的收益率购买该债券 计算 可接受的价格 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 97 解 所有息票的现值为 101.031() 1.0970504.368 0.090.03 ? =? 兑现值的现值为 101200(1.09)506.893? = 从而可接受价格为 504.368 + 506.893 = 1011.26 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 98 3. 收益率不固定 例 十年期面值为 1000 元的债券 半年挂牌息率为 8.4% 兑现值为 1050 元 若收益率为 前五年的半年挂牌利率为 10% 后五 年的半年挂牌利率为 9% 计算债券价格 解 所有息票的现值为 42[ 10 | .05a + 10(1.05)? 10 | .045a ] = 528.334 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 99 兑现值的现值为 1050 10(1.05)? 10(1.045)? = 415.082 债券价格为 528.334 + 415.082 = 943.42 早赎债券 \ 可赎回债券 callable bond 关键 债券的 早赎 是指债券发行者而言的 即 债券发行者在到期日之前有权提前 早赎保护期之 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 100 后 以某种兑现值赎回所发行的债券 这个赎回的日 期被称为 早赎日 call date 注 C 可赎回债券为债券发行人提供了在债券到期之 前降低融资成本的机会 即 如果市场利率降低 债 券的市场价值高于债券的偿还价值时 债券发行人就 可以行使提前偿还权 清偿高息债券 转而按低息再 融资 例 02 国开 06 2002 年 6 月 16 日起息 10 年期 年付 2.15% 可赎回 2007 年 6 月 16 日 可以票面价值赎回 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 101 可赎回债券的定价 可赎回债券的价格由早赎保护期和早赎值决定 可赎回债券发行说明书中将规定 在债券发行了一 短时间 早赎保护期 后 发行人有权随时 或在指 定的时间 赎回债券 由于早赎时间的选取权在发行者手中 所以 一般 的原则是 早赎日期一定是对债券发行者有利 对投 资者不利的的债券赎回日期 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 102 定价计算原则 从对投资者最不利的角度分析投资者投资可赎回债 券的可接受价格 设 i为投资者的最小可接受收益率 计算相应可以保证投资者的最小收益水平的可赎回 债券的价格 情形 1 债券的兑现值在所有的赎回日期都是一样的 只有早赎日期是一个不定因素 当收益率小于息票率时 i < g 债券溢价发行 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 103 由溢价折价公式可知 当债券期限越远时 债券的 价格越大 从而如果价格使最近的赎回日仍然满足收 益率要求 则一定可以达到预定的可接受收益率 所以用最近的早赎日计算债券价格即可 当收益率大于息票率时 i > g 债券折价发行 由溢价折价公式可知 当债券期限越近时 债券的 价格越大 从而如果价格使最远的赎回日仍然满足收 益率要求 则一定可以达到预定的可接受收益率 所以用最远的早赎日 到期日 计算债券价格即可 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 104 情形 2 债券的兑现值在可早赎期内是变化的 注 C 比较相应于各种早赎日的价格的计算结果 找出 对投资者最为不利的日期 即用投资者的预期收益率 计算出的最小价格 此价格既为投资者可接受的价格 例 面值为 1000 元 名义年息率 10%的 15 年美式早 赎债券 早赎保护期为 12 年 按面值实施早赎 如果 投资者的最小可接受名义年收益率为 12%或 8% 分 别计算 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 105 1 该早赎债券的投资者可接受价格 2 如果投资者支付了所有早赎选择的最大价格 当发 行者选择对投资者最不利的日期 最小价格对应的时 刻 实施早赎条款时 投资者的收益率 3 如果投资者支付了所有早赎选择的最小价格 当发 行者选择对投资者最有利的日期 最大价格对应的时 刻 实施早赎条款时 投资者的收益率 注 C 假设早赎日为从第 12 年底每半年一次 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 106 解 1)收益率为 12%时的价格公式为 |0.061000[1(0.050.06)],24,25,30nPan=+?=K 经计算 价格变化范围为 874.496 24n = ~ 862.352 30n = 从而可接受的价格为 862.352 收益率为 8%时 经计算 价格变化范围为 1152.470 24n = ~ 1172.920 30n = 从而可接受的价格为 1152.470 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 107 2) 预期收益率为 12% 债券价格为 874.496 的情况 如果债券在 15 年底早赎 则实际收益率满足方程 30|874.4961000[1(0.05)]iia=+? 经计算可得 i = 11.80% < 12% 预期收益率为 8% 债券价格为 1172.920 的情况 如果债券在 12 年底早赎 则实际收益率满足方程 24|1172.9201000[1(0.05)]iia=+? 经计算可得 i = 7.76% < 8% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 108 3) 预期收益率为 12% 债券价格为 862.352 的情况 如果债券在 12 年底早赎 则实际收益率满足方程 24|862.3521000[1(0.05)]iia=+? 经计算可得 i = 12.22% > 12% 收益率为 8% 债券价格为 1152.470 的情况 如果债券在 15 年底早赎 则实际收益率满足方程 30|1152.4701000[1(0.05)]iia=+? 经计算可得 i = 8.21% > 8% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 109 例 面值为 100 元 年息率 4%的 15 年期美式早赎债 券 早赎保护期为五年 具体早赎方案为 第六至十 年内的任何一个取息日可以用 109 元赎回债券 发行 后的第十一至十五年内的任何一个取息日可以用 104.50 元赎回债券 发行后十五年底以面值兑现 如果投资者的预期收益率为 A 5% B 3% 分 别用两种预期收益率计算 1 认购者可接受的发行价格 2 如果投资者支付了所有早赎选择的最大价格 当发 行者选择对投资者最不利的日期 最小价格对应的时 刻 实施早赎条款时 投资者的收益率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 110 3 如果投资者支付了所有早赎选择的最小价格 当发 行者选择对投资者最有利的日期 最大价格对应的时 刻 实施早赎条款时 投资者的收益率 解 已知 r = 2%, 2g C= ) 预期收益率 5%的情形 2.5%i = 在这种情况下 永远有修正息率 g 小于收益率 i 从 而债券是折价售出的 兑现的时刻越远 贴水部分的 绝对值越大 因此债券价格也越小 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 111 当 n=10 20 时 1.83%g = 11 | .025109[1(2.5%)]nPga=+? 1max102.65(10)Pn== 1min97.62(20)Pn== 当 n=21 29 时 1.91%g = 22 | .025104.5[1(2.5%)]nPga=+? 2max94.13(21)Pn== 2min89.69(29)Pn== 当 30n = 时 3 30 | .025100[1(2%2.5%)]89.53Pa=+?= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 112 1) 投资者可接受的价格为 89.53 2) 若债券购买价格为 102.65 最大 在 30n = 时以 面值赎回 则实际收益率 i 半年 满足方程 30|102.65100[1(0.02)]iia=+? 由此可得 1.89%i ≈ 即年收益率 3.78% < 5% 3) 若债券购买价格为 89.53 最小 在 10n = 时以 109 元赎 回 则实际收益率 i 半年 满足 10|89.53109[1(0.0183)]iia=+? 由此可得 4%i ≈ 即年收益率 8% > 5% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 113 B 预期收益率 3%的情形 1.5%i = 根据债券的可能的赎回时间 分别计算债券的相应 价格为 当 1020n = : 时 1.83%g = 11 | .015109[1(1.5%)]nPga=+? 1max115.18(20)Pn== 1min112.32(10)Pn== 当 2129n = : 时 1.91%g = 22 | .015104.5[1(1.5%)]nPga=+? 2max114.52(29)Pn== 2min112.17(21)Pn== 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 114 当 30n = 时 3 30 | .015100[1(2%1.5%)]112.01Pa=+?= 1) 投资者可接受的价格为 112.01 2) 若债券购买价格为 115.18 最大 在 30n = 时以面 值赎回 则实际收益率 i 满足方程 30|115.18100[1(0.02)]iia=+? 由此可得 1.39%i ≈ 即年收益率 2.78% < 3% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 115 3) 若债券购买价格为 112.01 最小 在 20n = 时以 109 元赎回 则实际收益率 i 满足方程 20|112.01109[1(0.0183)]iia=+? 由此可得 1.84%i ≈ 即年收益率 3.68% > 3% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 116 系列债券 关键 系列债券的价格计算和收益率计算与一次兑现 债券没有本质区别 v 一种方法是分别计算息票收入的现值和兑现值的 现值 然后求和 v 另一种方法是分别计算每次兑现的债券的价格 然 后对结果进行求和 Makeham 公式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 117 Makeham 公式 设系列债券分 m次兑现 第 k (1 km≤≤ 次兑现日 对应的买价为 kP 兑现值为 kC 和兑现值的现值 基值 为 kK 如果假定息率和收益率相同 则有 kP = kK + g i ( kC kK ), k =1,2, , m 记 P ′= kP∑ ,C′= kC∑ , K′= kK∑ 则有 P ′=K′+ gi ( C′ K′) 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 118 相应系列债券的实际情况 面额 F 首次兑现之前 每次息票收入为 Cg 从发行后的某个时刻开始 每次 兑现 kC 同时按照面值的余额领取息票收入 实际现金流的时间流程图如下 0 1 1n 2n mn Cg Cg+ 1C 1()CCg? + 2C mCg+ mC 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 119 例 现有面值为 1000 元的系列债券 年息率为 5.25% 并且以 105元的兑现值在发行后的第十一年到二十年 间每年底分期兑现 十个面额 100 元的债券 若已 知收益率 7% 计算发行价格 解 已知 F = 1000, kC = 105, r = 0.0525, i =0.07 将面额 1000 元的债券看成十个面 额 100 元的债券 则有 g = (100/105)(0.0525) = 0.05 C′= 1050 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 120 K′= 105( 11v + + 20v ) = 105( 20 | .07a 10 | .07a ) = 105(10.5940 7.0236) = 374.892 从而该系列债券的价格为 P ′=K′+ gi ( C′ K′) = 857.11 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 121 债券收益率分析 债券 存在唯一 的收益率 因为 债券的收益率即为 一 次投入 多次产出的现金流 的内部收益率 问题 的 提出 在给定债券的买卖价格和其它相关条件下 如何计 算债券的收益率 如果已知发行价格 P 兑现值 C和修正息率 g 则可 以由债券的基本价格公式 溢价折价公式 反解收益 率 一般只能是近似的数值解 注 C 以面值作为发行价格 则收益率就是息率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 122 数值解计算方法 基本价格公式为 | [1()]niPCgia=+? 数值解一 应用 Excel 的规划求解功能从上式中求出 收益率 i 记 PCk C?@ 为溢价折价比例 则基本价格公式变形 为 | ()nikgia=? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 123 从而有 | ni kig a=? 数值解二 应用上式做迭代求收益率 i 数值解三 由上式可得收益率 i 的近似公式为 11 2 kg ni n k n ? ≈ + + 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 124 证明 考虑 | 1(1) (1)1 n n ni ii ai += +?关于 i 的近似计算 设 (1)() (1)1 n n xxfx x += +? 在 x=0 附近应有 ()(0)(0)fxffx′≈+ 经计算可知 11(0),(0) 2 nff nn +′== 从而有 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 125 1(1)11 2 () 2 xn nfxx nnn +++ ≈+= 由此可知 | 1(1)1 2 ni i n an ++ ≈ 从而由 i=g – kn[1 +2i (n +1)] 可得近似公式 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 126 数值解四 由上述公式进一步简化可得收益率 i 的券 商算法 (bond salesman's method) 近似公式 1 2 kg ni k ? ≈ + 例 面值 100 元的十年期债券 半年名息率 8% 90 元折价发行 计算半年挂牌收益率 解 已知 0.1PCPFk CF??===? 0.04g = 20n = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 127 (1) 采用券商算法有 0.04(0.1)/20 0.0474 1(0.1)/2i ??≈= +? 从而年名义收益率为 9.48% (2) 采用更精确的近似公式有 0.04(0.1)/20 0.0475 1(21/40)(0.1)i ??≈= +? 从而年名义收益率为 9.50% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 128 (3) 用 Excel 规划求解可得 4.79%i = 年名义收益率 为 9.58% 例 如果上例中的债券是在三月一日发行的 且假定 半年名收益率为 10.2694% 用半理论法计算该债券 在两年后的五月十五日的市场价格 净价 解 该债券在两年后的三月一日的市场价格为 100[1+(g i ) | ntia ? ] = 100[1+(.04 .051347) 16 | .051347a ] = 100[1 0.011347×10.7346] = 87.8194 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 129 从三月一日到五月十五日共有 75 天 从三月一日到 九月一日共有 184 天 用半理论法有 87.8194 75 184(1.051347) 4 75 184 = 87.9998 从而在五月十五日的市场价格为 88 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 130 5.4 实例分析 1. 永久债券 /优先股票 永久债券和优先股票都是有固定收入但没有兑现日 期的证券 价格由息票收入或分红决定 等价于永久年金 现值为 P = Fri 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 131 2 普通股票 普通股票与优先股的主要区别在于 v 没有固定的分红利比率 v 必须在清偿所有债券的利息和其它债务以及优 先股的分红完成之后才能参与分红 v 红利水平是相当随意的 完全由企业董事会决定 因为普通股的红利不确定 所以与债券或优先股比 较 它的价格也是多变的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 132 普通股票的价格 1 股票的理论价格 theoretical price 也被称为是 内在价值 该值由公司今后可能的分红与收益率决定 股利贴现模型 dividend discount model / DDM 假设第一年底首次分红为 D 而后股利以 k 的比例 逐年增加 如果投资者的预期收益率为 i 则该只股票的内在价 值应为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 133 2 23 (1)(1) ,1 1(1)(1) DkDkDDPki iiiik ++=+++=?<< +++?L 特别的 如果公司分红固定不变 0k = 则内在价值 应为 231(1)(1) DDDDP iiii=+++=+++L 注 C 更一般的 有所谓的两阶段模型和多阶段模型 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 134 例 某普通股票当前收益为每股 4 元 年底每股分红 2 元 假定企业的利润以年 5%的比例增加 而且企业 计划将收入的 50%进行分红 对以下的几种收益率 (1) 10% (2) 8% (3) 6% 分别计算股票的理论价格 解 由题设可知 每年的股利将以 5%的比例增加 (1) 所有分红的现值为 2×[1/( 0.10 0.05 )] = 40 从而股票的理论价格为 40 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 135 (2) 所有分红的现值为 2×[1/(0 .08 0.05)] = 66.67 从而股票的理论价格为 66.67 元 (3) 所有分红的现值为 2×[1/( 0.06 0.05 )] = 200 从而股票的理论价格为 200 元 注 C 预期的收益率越低 则评估的股票的理论价格越 高 即投资者可接受的价格越高 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 136 例 如果上例中前 5 年的收入增长比例为 5% 第二 个 5 年的比例为 2.5% 然后收入固定 同时假定收 益率 10% 计算股票的理论价格 解 第一个 5 年分红的现值为 2×[1 (1.05/1.10)5] / [0.10 0.05] = 8.30 第二个 5 年分红的现值为 2×[(1.05)5/(1.10)5][1 (1.025/1.10)5]/[0.10 0.025] =6.29 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 137 10 年后所有分红的现值为 2×[(1.05)(1.025)]5 / [1.10]10 / 0.10=11.13 从而该股票的理论价格为 25.72 元 注 C 三阶段的 DDM 2 股票市场价格 股票在市场上的交易价格是随着股票进入市场后的 供需买卖情况而随时波动的 很难用分红等长期的确 定收益来衡量计算 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 138 3 实例分析 例 世界银行所属的国际金融公司从 1998 年 4 月 1 日 开始在香港发行 3 亿港元的两年期债券 年息率 8.18% 以面值的 99.67%折价出售 计算年收益率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 139 解 已知 g =8.18% k =P/C 1= 0.33% 从而有 i=(8.18+ 2 | 0.33 ia ) 由此可得方程 99.67 2i +191.16i 16.69=0 解出 i=8.366% > g =8.18% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 140 例 现有 10 年期面值 100,000 元的年金债券 每半年 收回 20 | .05 100,000 a 若认购人的预期收益率为 (2)i =12% 计算认购价格和前两年的摊还表 解 每半年收回 20 | .05 100,000 8024.26 a = 债券的价格为 20 | .06 20 | .05 100,000 92,037.63a a = 从而前两年的摊还为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 5章 — 141 0 100,000B = 8024.26R = 0.06i = 1 2 3 4 本 金 2502.002 2652.122 2811.250 2979.925 利 息 5522.258 5372.138 5213.010 5044.335