北京大学：利息理论与应用：ppt4本金利息分离技术

北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 1 第四章 本金利息分离技术 问题的提出 在年金的期限内 金融市场会有很多的变化 投资者 融 资者 通常需要随时评估其已经进行的投融资的价值 如何分析现金流中的内在价值 本金 和时间价值 利 息 价值评估中常用的本金利息分离方法有 摊还表方法 amortization schedules 和 偿债基金方法 sinking fund 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 2 v 摊还表方法 对未清偿债务本金和利息的定期支付 如贷款的分期尝付 v 偿债基金方法 借 款人为偿还债务成立基金并在指 定期限内分期拨款入基金 累计起一笔足够款项以偿还未 来到期的债款 一般的债券发行多附有要求借款人设立偿 债基金的条款 本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为 本 金 和 利息 两部分 进而确定投资期间每个时刻的未 结贷款余额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 3 4.1 摊还表 计算未结贷款余额 (Outstanding loan balance) 注 C 未结本金 未付余额 剩余贷款债务 账面价值 实际背景 在贷款业务中 每次分期还款后 借款人 的未偿还的债务在当时的价值 例如 某家庭现有一 个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款 在已经付款 12 年后 因为意外的一笔收入 希望一次将余款付清 应付多少 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 4 计算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法 v 预期法 用剩余的所有分期付款现值的和表 示每个时刻的贷款余额 v 追溯法 用原始贷款额的累积值扣除所有已 付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额 注 C 这里的利率即为贷款利率 思考 两种方法的计算结果会是一致的吗 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 5 分析 在贷款之初有 贷款额 = 今后所有还款的现值之和 将上式的两边同时累积到还款期间的某个指定时刻则 有 原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻 的价值之和 上式右边可以分成两部分 过去的还款和未来的还款 前者的价值计算为现值 后者的价值计算为终值 从 而上式又可以表示为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 6 原始贷款额的终值 = 过去还款的终值 + 未来还款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边 则新等式的左边 表示追溯法 而右边表示预期法 两者相等 讨论 两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣 之分 一般情况下 如果所有的还款额和还款时间已 知 则采用预期法 如果还款次数未定或最后一次的 还款金额未定 则采用追溯法 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 7 记号 tB 表示时刻 t 的 未结贷款余额 第 t 次还款后 的瞬间 v 为了区别所采用的计算方法 分别用 ptB prospective 和 rtB retrospective 表示预期算法和 追溯算法的计算结果 v 原始贷款金额 0B 一般用 L 表示 典型还贷情形下的未结贷款余额的计算 情形 1 还贷金额固定 贷款利率为 i n 次偿还 每 次 1 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 8 预期法 付款现金流确定 ptB = | ntia ? 追溯法 因为原始贷款额 L = | nia 从而有 rtB = | (1)tniai+ | tis = | ntia ? 预期法和追溯法计算结果相同 即有 ptB = rtB = tB 未结贷款余额满足下递推关系 1(1)1ttBiB?=+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 9 情形 已知贷款金额 设原始贷款金额为 L 贷款 贷利率为 i n 次还清 首先计算每次的还款额 R R | nia = L 或 R | ni L a 预期法 付款现金流确定 | | | | | () ntipt ntinti nini aLBRaaL aa ? ??=== 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 10 追溯法 r tB = | | (1)t ti ni LLis a+? = | | [(1)]tit ni sLi a+? 例 某贷款的还贷方式为 前五年每半年还 2000 元 后五年每半年还 1000 元 如果半年换算的挂牌利率为 10% 分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷 款余额 解 1) 预期法 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 11 5 pB =2000 5| .05a +1000 5 10| .05av=1000[ 15| .05a + 5| .05a ]= 14709 2. 追溯法 原始贷款金额为 L = 1000[ 20| .05a + 10| .05a ] = 20184 从而有 5 rB = 20184 5(1.05) 2000 5| .05s = 14709 例 某三十年的贷款每年还 1000 元 在第十五年的正 常还款之后 借款人再一次多还 2000 元 如果将其全 部用于扣除贷款余额 剩余的余额分十二年等额还清 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 12 年利率 9% 计算后十二年的年还款额 解 用预期法计算第十五次还款后的贷款余额为 p tB = 1000 15| .09a = 8060.70 因为又多还了 2000 元 从而此时实际贷款余额应为 6060.70 元 后十二年的年还款额 X 应满足以下方程 12| .09Xa = 6060.70 即 X = 846.38 元 注 C 较原先大致降低了 15.4% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 13 摊还表 关键点 在有些情况中 有必要将每次的还款额分解为 还 本金 和 还利息 两部分 比如在本金和利息的税 收是不一样的时候 涉及提前还贷的时候等等 摊还方法的基本原理 在贷款的分期还款中 利息偿还优先 即首先偿还 应计利息 余下的部分作为本金偿还 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 14 摊还的具体表示 设第 t 次的还款额为 R 等额 还利息部分为 tI 还本金部分为 tP 记 tB为第 t 次还款后瞬间的未结贷款 余额 则有 1ttIiB ?= ttPRI=? 111(1)ttttttBiBRBIRBP???=+?=+?=? 其中 tP在不断的减少未结贷款余额 本金 与利息无 关 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 15 摊还表 将还贷期间的每次还款分解为还本金和付 利息 同时列出每次还款后的未结贷款余额 例 下表为贷款利率为 i 每次还款 1 元 共计 n 次 的摊还表 贷款额为 | nia 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 16 时间 t 还款额 利息 tI 本金 tP 未结贷款余额 tB 0 | nia 1 1 i | nia = 1 nv nv 1 | nia ? 2 1 i 1 | nia ? = 1 1nv ? 1nv ? 2 | nia ? t 1 i 1 | ntia ?+ = 1 1ntv ?+ 1ntv ?+ | ntia ? n 1 1 i 2 | ia = 1 2v 2v 1 | ia n 1 i 1 | ia = 1 v v 0 总和 n n | nia | nia 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 17 分析 1 在第一次还款的 1 元中 利息部分为 i | nia =1 nv 本金部分为 nv 未结贷款余额为原贷款扣除已还的本 金 即 1B = | nia nv 1 | nia ? 对任意时刻 t 有类似的结论 即 时刻 t 的 1 元还 款可以分解为利息量 tI 和本金量 tP 两者的计算公式 分别为 tI = 1 1ntv ?+ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 18 tP = 1ntv ?+ 从而未结贷款余额为 tB = 1tB ? tP = 12 ntvvv?+++L nB = 1nB ? nP = 0 2 所有本金之和等于原始贷款 即 1 | 111 nnn ntt t niPvva ?+===∑∑∑ 3 所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差 即 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 19 11 nn ttInP=?∑∑ 4 本金序列依时间顺序构成递增的等比级数 比值为 (1+i ) 1 (1)ttPiP+ =+ 5 利息序列依时间顺序构成递减数列 1tttIIiP+ =? 结论 在等额还款方式下 前期的还款主要用于偿还 利息 贷款本金 余额 的降低幅度不大 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 20 例 30 年期贷款 贷款利率 6% 每年还款 30000 元 摊还表见 Excel 本息示意图如下 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 还本金 还利息 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 21 一般情况下贷款的摊还表 1 每次还款额为 R 则有 tI = R(1 1ntv ?+) tP= R 1ntv ?+ 未结贷款余额为 tB = R | ntia ? 2 原始贷款额为 L 则每次的还款额 R 为 R | ni L a 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 22 进而有摊还表的对应计算 tI = | ni L a (1 1ntv ?+ ) tP= | ni L a 1ntv ?+ 未结贷款余额为 tB = | | nti ni aL a ? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 23 Note 摊还表计算中的递推公式 0B =L tI = i 1tB ? tP= R tI tB= 1tB ? – tP 例 1000 元贷款 利率 8%的四年还贷的摊还表 年份 还款额 利息 本金 未结贷款余额 0 1000 1 301.92 80.00 221.92 778.08 2 301.92 62.25 239.67 538.41 3 301.92 43.07 258.85 279.56 4 301.92 22.36 279.56 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 24 例 现有 1000 元贷款通过每季度还款 100 元偿还 已 知季换算挂牌利率 16% 计算第四次还款中的本金量 和利息量 解 第三次还款后的未结贷款余额为 3 rB = 1000 3(1.04) 100 3 | .04s = 812.70 从而有 4I = 0.04 812.70 = 32.51 4P = 100 32.51 = 67.49 注 C 回溯法 不必计算最后一次还款的金额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 25 例 甲从乙处借款 10,000 元 双方商定以季挂牌利率 8%分六年按季度还清 但是 在第二年底 第八次还 款之后 乙将未到期的贷款权益转卖给丙 但乙丙双 方商定的季挂牌利率为 10% 分别计算丙和乙的利息 总收入 解 六年中甲的每次还款额为 24 | .02 10,00010,000 18.9139a = = 528.71 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 26 1 丙的利息总收入 计算丙的买价为 528.71 16 | .025a = (528.71)(13.0550) = 6902.31 从而丙在后四年的利息收入总和为 16(528.71) 6902.31 = 8459.36 6902.31 = 1557.05 2 乙的利息总收入 算法一 计算乙在第二年底的未结贷款余额为 528.71 16 | .02a = (528.71)(13.5777) = 7178.67 乙在前两年收回的本金为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 27 10,000 7178.67 = 2821.33 乙在前两年的总收入为 8(528.71) = 4229.68 从而乙在前两年的利息总收入为 4229.68 2821.33 = 1408.35 算法二 乙在这笔贷款中的总收入为 8(528.71) + 6902.31 = 11131.99 总支出为 10,000 元 从而利息收入应为 1131.9 元 思考 你认为哪一种算法更合理 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 28 例 现有年收益率为 i 的 n 年投资 每年底收回 1 元 但是 在第二年内的实际收益率为 j 且有 j> i 在以下两种情况下 计算第二年以后的年收入 1 第三年开始的年收益率仍然为 i 2 第三年开始的年收益率保持 j 解 0B = | nia 而第一年底的未结贷款余额为 1B= 1 | nia ? 设所求年收入为 X 从第二年还款开始 则 1) 一方面有 2B =(1+ j ) 1 | nia ? X 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 29 另一方面 2B 等于从第三年开始的所有还款的现值之 和 即 2B = X 2 | nia ? 从而有 (1+ j) 1 | nia ? X = X 2 | nia ? (1+ j) 1 | nia ? = X (1+ 2 | nia ? )= X 1 | nia ?&& = X(1+i) 1 | nia ? X =1 111jjiii+?=+++ 注 C 如果原来的年收益为 R 则新的年收益应为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 30 (1)1jii?+ + RR> 2 类似的 由 2B 的两种算法有可得 (1+ j ) 1 | nia ? X = X 2 | nja ? 即有 X = 1 | 1 | ni nj a a ? ? 可以证明 当 j> i 时 有 1 | 1 | ni nj a a ? ? > (1)1jii?+ + 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 31 4.2 偿债基金 sinking fund 偿债基金 为了在贷款期末将原始贷款额一次还 清而建立的还贷基金 注 C 基金在整个还贷期间采取 零存整取 方式 注 C 在还贷期间的 每个时刻的 未结贷款余额 应 该是原始贷款额扣除偿债基金后的余额 i 原贷款利率 j 偿债基金的累积利率 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 32 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 33 原贷款利率与偿债基金累积利率不同 ij≠ 1. 设以标准期末年金方式还款 每次存入偿债基金 的金额为 S (等额 ) 共计 n 次 记这种情况下的现金流 现值为 | &nija (原始贷款额度 ) 则有 | &1 nijSia=? 同时有累积偿债基金的关系式 | | &njnijSsa?= 注 C 每期还利息 并在偿债基金中累积 到期还本 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 34 联立上述方程可得 | | & | 1 nj nij nj sa is= + 例 当原始贷款额为 1 时 情形如何 解 每次还利息 i 并用 | 1 njs 累积偿债基金 到期还本 注 C 下面的关系式成立 | & | 11 nijnj ias=+ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 35 分析 由于 | | 11 njnj jas=+ 从而有 | & | | 111() nijnjnj ijasa=+=+? 以及 | | & | 1() nj nij nj aa ija= +? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 36 讨论 1 当 ji< 时 有 | & | nijniaa< 2 当 ji= 时 有 | & | nijniaa= 3 当 ji> 时 有 | & | nijniaa> 分析 注意到 | & | 11() nijnj ijaa?=? 从而 只要原贷款利率大于偿债基金累积利率 有偿 债基 金的标准期末年金的现值将会减少 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 37 偿债基金下的利息本金分解 | | & | 1 nj t nij nj sIiai is==+ t =1 2 … n | & | | 11 1 nij tt njnj aPI sis=?==+ t =1 2 … n 注 C 原始贷款额为 | &nija 思考 若原始贷款额为 1 呢 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 38 一般情形 原始贷款额为 L 分 n次还清 每次 还款额为 | &nij L a 还利息为 i L 偿债基金累积为 | & | 1() nijnj LSLi as=?= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 39 2 偿债基金方式的收益率分析 问题的提出 在偿债基金方式下 出现了两个利率 i 和 j 这时 的实际收益率该如何考虑呢 r 借款方实际的还贷利率 结论 有以下 关系式成立 | | &nrnijaa= 或 | | | 1() nj nr nj aa ija= +? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 40 注 C 若偿债基金归贷款方 则上述收益率亦为贷款方 实际的收益率 否则不然 结论 1 若 ji< 时 则有 ri> 2 若 ji> 时 则有 ri< 证明 1 当 ji< 时 由 | | nrniaa< 可得 ri> 2 当 ji> 时 有 | | nrniaa> 可得 ri< 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 41 注 C 可用 Excel 作实际贷款利率 r 的数值计算 期限 n 原始贷款利率 i 累积因子 贴现因子 贴现率 20 7.00% 1.07 0.934579439 0.065420561 偿债基金累积利率 j 累积因子 贴现因子 贴现率 5.00% 1.05 0.952380952 0.047619048 现值 终值 1/终值 每次付款总额 期末年金 12.46221 33.0659541 0.030242587 0.100242587 实际贷款利率 r 累积因子 贴现因子 贴现率 7.79% 1.077869 0.9277563 0.0722437 现值 终值 1/现值 1/现值 -每次付款总额 期末年金 9.9758 44.69608561 0.100242588 9.20945E-10 实际贷款利率 r的近似解 8.00% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 42 4 偿债基金表 偿债基金 时 刻 t 还款 额 直接 贷款 利息 存款 余额 tS 利息 总利息 tI 未结贷款余额 1ttBS=? 0 0 0 0 0 0 0 1 1 | i& 1 nja i | 1 njs | 1 njs 0 i | 11 njs ? 2 | i& 1 nja i | 1 njs 2 | | j nj s s | nj j s | nj ji s? 2 | | 1 j nj s s? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 43 t | i& 1 nja i | 1 njs | | tj nj s s 1 | | tj nj sj s ? 1 | | tj nj jsi s ?? | | 1 tj nj s s? n 1 | i& 1 nja i | 1 njs -1 | | nj nj s s -2 | | nj nj sj s 2 | | nj nj jsi s ?? -1 | | 1 nj nj s s? n | i& 1 nja i | 1 njs 1 -1 | | nj nj sj s 1 | | nj nj jsi s ?? 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 44 时刻 t的未结贷款余额为 | | 1 tjt nj sB s=? 从而按照摊还的思路 时刻 t 所还本金应为 1 | 1 | 1 | | (1)ttjtj ttt njnj ss jPBB ?? ? ? +=?== 容易验证 1 1 | | | | (1)11ttj tt njnjnj js jIPii sss ? ? ++=?+=+= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 45 例 乙方向甲方提供 1000 元的贷款 分四年还清 还 贷方式 贷款年利率 10% 甲方每年除还利息外 还 要以年利率 8%累积偿债基金 同时 另有丙方也可 以提供相同数额的贷款 只是还贷计算方式为摊还方 式 试问丙的贷款利率为何值时 以上两种贷款对甲 方来说是没有差异的 解 两种方式没有区别等价于两种方式下有相同的年 还款额 若丙的贷款利率为 i 则应有 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 46 4 | .10&.08 1000 a 4 | ia = 1000 即 4 | ia = 4 | .10&.08a = 4 | .08 4 | .081.02 a a+ = 3.1064 求数值解可得 i = 10.94% 注 C 贷款人只关心贷款总额 每次还款额 注 C 实际贷款利率 10.94%比 8% 10%都要高 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 47 例 某人准备购买一个 n年期的年金 现值 1000 年 利率 8% 这个年金的买价使其足以以年利率 7%累 积偿债基金 且最终的收益率为 9% 计算该年金的 买价 解 年金每年的给付金额为 | .08 1000 na 用 P表示买价 D表示偿债基金的存款额 则有 | .08 1000 na = D+.09 P 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 48 由偿债基金的定义有 P=D | .07ns 从而关于 P的方程为 P= [ | .08 1000 na .09 P] | .07ns 解出 P= | .08 1000 na | .07 | .071.09 n n s s+ 注 C 由于实际利率大于 9% 从而买价 P<1000 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 49 原贷款利率与偿债基金累积利率相同 ij= 当偿债基金的累积利率与原始贷款利率相同时 即 为一般的贷款问题 显然 当 ij= 时 有 | &nija = | nia 结论 1 1 元贷款分 n次等额还清 年利率 i 每次还款 | 1 nia 则有如下的偿债基金分解 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 50 | | 11 nini ias=+ 2 偿债基金法标准期末年金还款 年利率 i 共还了 n 年 每次还款 1 元 则原始贷款额为 | nia 每次还贷中 的利息部分为 | 1 n niiav=? 注 C 与时刻 t 无关 这一点与摊还的利息计算不同 每次为偿债基金提取的部分为 | 1 nniiav?= 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 51 偿债基金法与摊还法的关系 v 偿债基金方法的每次付款额与摊还表方法的每次 付款额是相等的 v 偿债基金方法的每次的净利息量 (付息量扣除偿 债基金的利息收入 ) 与摊还表每次的付息量相等 v 偿债基金中每次的增量 (偿债基金的存款额加上 偿债基金的利息 ) 等于摊还表中的本金量 v 偿债基金方法 每个时刻的净贷款量 (原始贷款量 扣除偿债基金的余额 ) 等于该时刻的未结贷款余额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 52 例 年利率 8%的 1000 元贷款偿债基金表 年 份 还款 量 付息 量 偿债基 金的存 款 偿债基金 的利息 偿债基金 的余额 未结贷 款余额 0 1000 1 301.92 80.00 221.92 0 221.92 778.08 2 301.92 80.00 221.92 17.75 461.59 538.41 3 301.92 80.00 221.92 36.93 720.44 279.56 4 301.92 80.00 221.92 57.64 1000.00 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 53 4.3 其它偿还方式分析 广义的摊还表和偿债基金表 关键 考虑摊还表或偿债基金表中的周期与利息换算 周期不同的情形 广义摊还表 用年金的符号表示 两种可能的基本方式分别为 | | ni ki a s 每 k个计息期付款 1 次 和 () | m nia 每个计息期付 款 m次 代表的情形 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 54 贷款 | | ni ki a s 的摊还表 时间 还款 量 付息量 tI 还本量 tP 未结贷款 余额 tB 0 | | ni ki a s k 1 [(1)ki+ 1] | | ni ki a s =1– nv nv | | nki ki a s ? 2k 1 [(1)ki+ 1] | | nki ki a s ? =1 nkv ? nkv ? 2 | | nki ki a s ? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 55 tk 1 (1) | (1) | [(1)1]1ntkikntk ki aiv s ?? ??+?=? (1)ntkv ?? | | ntki ki a s ? n k? 1 [(1)ki+ 1] 2 | | ki ki a s =1 2kv 2kv | | ki ki a s n 1 [(1)ki+ 1] | | ki ki a s =1 kv kv 0 总和 n k n k | | ni ki a s | | ni ki a s 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 56 贷款 () | mnia 的摊还表 时间 t 还款量 付息量 tI 还本量 tP 未结贷款余额 tB 0 () | mnia 1m 1m ()mi m () | m nia = 1 nv m ? nv m () | m nia nv m = ()1/ | mnmia ? 2 m 1m ()mi m () 1/ | m nmia ? = 1/1 nmv m ?? 1/nmv m ? () 1/ | m nmia ? 1/nmv m ? = ()2/ | mnmia ? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 57 t m 1m ()mi m () (1)/ | m ntmia ?? = (1)/1 ntmv m ??? (1)/ntmv m ?? () (1)/ | m ntmia ?? (1)/ntmv m ?? = ()/ | mntmia ? n 1m 1m ()mi m () 2/ | m mia = 2/1 mv m ? 2/mv m () 2/ | m mia 2/mv m = ()1/ | mmia 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 58 n 1 m ()mi m () 1/ | m mia = 1/1 mv m ? 1/mv m 0 总和 n n () | mnia () | mnia 例 某债务是按月摊还的 年实利率 11% 如果第三 次还款中本金量为 1000 元 计算第三十三次还款中本 金部分的金额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 59 解 这里 m= 12 且摊还表中相应的贴现因子应为 1/(1)mi ?+ = 1/12(1.11)? 记 R为每月的还款额 则有 3P = 1/1231[(1.11)]nR ??+ 33P = 1/12331[(1.11)]nR ??+ 由此可以解出 33P = 3P 1/1230[(1.11)]?? 3P 2.5(1.11) = 1298.10 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 60 广义偿债基金表 三个时间周期 1 贷款利息换算周期 2 偿债基金存款周期 3 偿债基金的利息换算周期 偿债基金表以表现偿债基金的累积过程为主要目 的 以偿债基金的利息换算周期为时间间隔 列出偿 债基金每次利息换算时的还款金额 应付利 息 偿债 基金存款额 偿债基金余额和未结贷款余额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 61 例 : 某人借款 2000 元 年利率 10%两年内还清 借款 人以偿债基金方式还款 每半年向偿债基金存款一次 而且存款利率为季挂牌利率 8% 试构造相应的偿债 基金表 解 贷款利率换算期为一年 偿债基金的存款周期为 半年 偿债基金利率换算期为一个季度 所以应按照季度来构造偿债基金表 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 62 设偿债基金的存款额为 D 则有 D 8 | .02 2 | .02 s s = 2000 从而 D= 2000 2 | .02 8 | .02 s s = 2000(2.02)/8.5830 = 470.70 偿债基金表构造如下 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 63 年份 付利 息 偿债基金 的存款额 偿债基金 的利息 偿债基金 的余额 净贷款额 0 2000.00 1 4 0 0 0 0 2000.00 1 2 0 470.70 0 470.70 1529.30 3 4 0 0 9.41 480.11 1519.89 1 200.00 470.70 9.60 960.41 1039.59 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 64 1 14 0 0 19.21 979.62 1020.38 1 12 0 470.70 19.59 1469.91 530.09 1 34 0 0 29.40 1499.31 500.69 2 200.00 470.70 29.99 2000.00 0 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 65 金额变化的摊还表和偿债基金表 假定利息换算期和还款期相同 设原始贷款额为 L n次还款金额为 1R 2R ... nR 则有 L= ttRv∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 66 1 摊还表 递推公式为 0B =L tI =i 1tB ? t = 1 2 … n tP= tR tI t = 1 2 … n tB = 1tB ? – tP t = 1 2 … n 0nB = 在已知 L n和 12,,,nRRRK 的情况下 计算的顺序是 1ttttBIPB? →→→ 逐步递推 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 67 注 C 与等额还款不同 上述递推公式的计算结果可能 会 出现负数 即还款额 tR不足以摊还该时间段的利息 从而需要从贷款余额中再提取一部分资金 – tP 用于 还利息 相应地 这个时刻的未结贷款余额 tB 较前一个 时刻的未结贷款余额 1tB ? 将有所增加 增加的量 为 – tP 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 68 2 偿债基金表 设偿债基金的利率为 j 每次的存款额为 tR i L 则 有 L = ( 1R i L ) 1(1)nj ?+ +( 2R i L ) 2(1)nj ?+ + +( nR i L ) = (1)nttRj?+∑ i L | njs 即 L= | (1) 1 nt t nj Rj is ?+ + ∑ = | 1() t t nj Rv ija+? ∑ 其中 11v j= + 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 69 讨论 tR i L可能为负值 它表示还款不足以向偿债 基金存款 反而要从未结贷款余额中提取一部分资金 i L tR 用于支付本次的利息 因此 在这种情况 下 未结贷款余额的金额在增加 或者说借款方的负 债在增加 而 偿债基金的余额没有增加 思考 上述公式是否适合 tR i L 出现负值的情形 例 某人以年利率 5%借款 分十年还清 第一年还 200 元 随后每次减少 10 元 计算 1 借款总额 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 70 3 如果贷款利率为 6% 借款人能够以年利率 5%累 积偿债基金 计算当初的借款总额 解 1 1L = 100 10 | .05a + 10 10 | .05()Da = 100(7.7217) +10[10 10 | .05a ]/.05 = 1227.83 2 4pB =100 6 | .05a +10 6 | .05()Da 5I =i 4 pB =100(1 6v ) + 10(6 6 | .05a ) = 34.62 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 71 5P = 5R 5I = 160.00 34.62 = 125.38 3 直接用公式可得 L = 1 10 |.051(0.060.05) L a+? = 1139.82 讨论 显然 3 的结果与 1 相比对借款人不利 因 为 借款利率提高了 而且偿债基金不能抵消这部分 提高的利率 思考 这里是否会出现利息不足 支付的问题 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 72 例 甲方向乙方借款 10000 元 分十次还清 每次的 还款金额以 20%的比例递增 年利率 10% 计算 摊 还表中前三年还款的本金部分之和 解 记 1R为首次还款金额 则有 10000 = 1R 101.21() 1.1 0.10.2 ? ? 即 1R =10000/13.87182 = 720.89 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 73 前三年的摊还计算 第一年底 1I =i 0B = 1000.00 1P= 1R 1I = 279.11< 0 从而有 1B = 0B 1P= 10279.11 第二年底 2R =1.2 1R = 865.07 2I =i 1B =1027.91 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 74 2P = 865.07 1027.91= 162.84<0 从而有 2B = 10441.95 第三年底 3R =1.2 2R = 1038.08 3I =i 2B = 1044.20 3P =1038.08 1044.20= 6.12<0 从而有 3B = 10448.07 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 75 因此 1P+ 2P + 3P = 448.07 结论 1P+ 2P + 3P = 0B 3B = 448.07 未结贷款余额 增 加了 448.07 元 连续摊还计算 1. |na 的摊还计算 当连续还款率为 1 连续利率为常值 d时 则对任意 时刻 t 对应的未结贷款余额为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 76 () | 1 nt t nt eBa d d ?? ? ?== 0 tn≤≤ 预期法 或 tB = | | t nteas d ? 0 tn≤≤ 追溯法 记 tI 和 tP为 t 时刻的本金和利息偿还率 则 有 () 1 ntttIBedd ??==? 0 tn≤≤ ()1 ntttPBedd ??=?= 0 tn≤≤ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 77 2. 一般情形的摊还计算 时刻 t的还款函数用 tR表示 则有 L= 0B = 0 n t tvRdt∫ = 0 n t teRdt d?∫ 进而有 ptB = n st s t vRds?∫ = () n st s t eRdsd??∫ 或 rtB = 0B (1)ti+ 0 (1) t ts siRds ?+∫ = 0B ted () 0 t ts seRds d ?∫ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 78 此时利息偿还率 tI 仍为 ttIBd= 0 tn≤≤ 而本金偿还率 tP则为 tP= tR tBd 例 设 d 与 d ′是两个常数连续利率 对应的年金现值 函数分别记为 |na 和 |na′ 证明 | | 00 exp()exp() nn ntnttad tadtdd??′′?=?∫∫ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 79 4.4 实例分析 贷款利率依余额变化 问题 的 提出 原始贷款额为 L 每次的等额还款为 R 事先给定一个限额 L ' 0<L '<L 未结贷款余额小 于 L'部分利率为 i 未结贷款余额超过 L '部分利率为 j 如何计算 R 注 C i > j 鼓励多贷款 i <j 不鼓励多贷款 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 80 注 C 不是 当未结贷款余额 tBL′< 时 使用利率 i 而 当未结贷款余额 tBL′> 时 使用利率 j 是 若未结贷款余额 ()ttBLBLL′′′=+?> 则 L′ 部分用利率 i 而 ()tBL′? 部分则用利率 j 关键 未结贷款余额随着时间的推移而逐渐减少 从 L 减为 0 需要找到未结贷款余额小于或等于 L '的转折 点时刻 记 m为转折点时刻 则 m是满足以下条件的最早时刻 mBL′≤ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 81 tB 的递推表示 111 111 [(())] , [] , ttt t ttt BRiLjBLBLB BRiBBL ??? ??? ′′′??+?>?= ? ′??≤? 在时刻 m 用预测法求未结贷款余额有 时刻 m 之后 的利率为 i p mB = | nmiRa ? 而用追溯法求未结贷款余额有 时刻 m 之前 小于 L ' 部分利率为 i 超过 L '的部分利率为 j 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 82 | | ()(1) rm m mjmjBLLLjiLsRs′′′=+?++? 注 C 求解过程 0 () rBLLL′′=+? 1 1 | (1)()(1) ()(1)() ()(1)() r j BLiLLjR LLLjRiL LLLjRiLs =++?+? ′′′=+?+?? ′=+?+?? 2 2 2 | [()(1)()](1)() ()(1)() r j BLLLjRiLjRiL LLLjRiLs ′′′′=+?+??+?? ′′′=+?+?? ……… 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 83 从而由 prmmBB= 可得每次还款额为 | | | ()(1)m mj nmimj LLjLiLsR as? ′′′?+++= + 转折时刻 m的近似计算可以通过利用下面的不等式由 试验法来得到 | | mj nmi aLL Ls? ′? ≤ ′ 注 C 即 求最小正整数使得 pmmBBL′=≤ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 84 例 现有 3000 元贷款计划在一年内逐月还清 当余额 低于 1000 元时 月利率 1.5% 当余额超过 1000 元时 超过部分的月利率 1% 计算月还款金额 解 L = 3000 L ' = 1000 n =12 i =0.015 j =0.01 先计算 m: | .01 12 | .015 2000 2 1000 m m aLL Ls? ′? ==≤ ′ 满足上式的最小整数为 9 从而可得 R= 270.99 注 C 891044.49,789.16BB== 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 85 确定本金的偿还方式 原始贷款 L 还款现金流 1,,nRRK 本金的偿还方式 给定 1,,nPPK 若对利率水平 j 有 0 1 1 0 kk kkk n BL IjB BBP B ? ? = = =? = 则 1 1 (),[1] n k kkjj k LPIvvj? = =+=+∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 86 证明 1 1 (1) 1 1 0 (())(1) ()(1) [(1)(1)] (1) (1) n kn kkj k n nk kk k n nknk kk k n n n PIvj PIj jBjB jBB Lj = ? = ??? ? = ++ =++ =+?+ =+? =+ ∑ ∑ ∑ 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 87 例 设贷款额为 L 利率 i (borrower) 还款现金流 1,,nRRK (lender) 利息部分的税率 r 证明 在这种情况下 (lender) 实际贷款利率为 (1)ir? 证明 (borrower) 还款现金流为 1,,nRRK 而 (lender) 得到的还款流的实际值为 11(),,()nnRrIRrI??K 税前 对于利率 i 有 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 88 1 1 (),(1) n k kk k LPIvvi? = =+=+∑ 其中 1,,nPPK 为本金偿还流 而 11,,,nkkIIIiB ?=K 为 利息偿还流 税后 本金偿还流 1,,nPPK 确定不变 而还款流变为 (1)ttttRrIPrI?=+? 从而利息偿还流变为 1,,,nII %%K 1(1)kkIriB ?=? % 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 89 容易验证有关系式 0 1 1 (1) 0 kk kkk n BL IriB BBP B ? ? = =? =? = % 成立 从而 1 1 (),(1(1)) n k kk k LPIvvri? = =+=+?∑ % %% 从而 (lender) 实际贷款利率为 (1)ir? 注 C 关键是本金偿还 现金 流 是 确定不变 的 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 90 其它实例 例 已知甲乙双方的借款协议如下 最初甲向乙借款 L元 利率 12% 然后甲以金额 100 100 元 1000 元和 1000 元分四年偿还 同时乙同意甲每年只还利 息 到期还本金 甲以年利率 8%累积偿债基金 计 算 L的可能值 解 由偿债基金的定义 偿债基金的四次存款金额分 别为 100 0.12L 100 0.12L 1000 0.12L 1000 0.12L 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 91 从而有 (100 0.12L) 4 | .08s + 900 2 | .08s = L 由此解出 4 | .082 | .08 4 | .08 100900 10.12 ssL s += + = 1507.47 思考 上面的计算是否有问题 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 92 分析 上面的算法有问题 只要原始贷款 L >100/.12 = 833.33 则前两年的还款金额不足以还当年的利息 重解 前两年不可能向偿债基金存钱 反而要从原贷 款 L中提取一部分来付利息 记 L表示真正的原始贷款金额 则有 22 2 | .12(1.12)100rBLs=?=1.2544 L 212 2 rB 代表甲方在此时的贷款余额 从这个时刻开始甲方 才真正向偿债基金存款 后两年的偿债基金应该是为 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 93 最终一次还清 2rB 而建立的 即 2 rB = (1000 0.12 2 rB ) 2 | .08s 或 2 rB = 1000 2 | .08 2 | .0810.12 s s+ = 1664.53 由此解出 L = [ 2rB 212]/1.2544 = 1495.96 < L =1507.47 即 按照双方商定的方式还贷款 甲最多可以从乙方 借款 1495.96 元 原始贷款 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 94 例 九年前某家庭从银行得到为期二十年的八万元抵 押贷款 年利率 8% 逐年还贷 第 9 次还款时 他 们希望一次多付出五千元 然后将余额在今后九年内 等额还清 试对以下两种情况计算后九年的年还款额 1 银行同意过去九年的利率不变 但是后九年的利 率将提高为 9% 2 银行坚持将该抵押贷款的利率提高到 9% 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 95 解 设 R表示所求的年还款金额 1 当前时刻 ( 9t = ) 的价值方程为 80,000 9(1.08) 20 | .08 80,000 a 9 | .08s 5,000 = 9 | .09Ra 由此可以解出 9 9 | .08 20 | .08 9 | .09 80,00080,000(1.08)5,000s aR a ?? = 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 96 = 11 | .08 20 | .08 9 | .09 161 5,000 a a a ? = 7.139161 9.81815,000 5.9952 ? = 8868.78 2 当前时刻 ( 9t = ) 的价值方程为 80,000 9(1.09) 20 | .08 80,000 a 9 | .09s 5,000= 9 | .09Ra 由此可以解出 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 97 9 9 | .09 20 | .08 9 | .09 80,00080,000(1.09)5,000s aR a ?? = = 9 | .09 20 | .08 9 | .09 161 5,000 s a a ? = 13.0210162.17189161 9.81815,000 5.9952 ×?? = 10,450.57 >8868.78 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 98 例 甲方从乙方借款 20,000 元 年利率 3% 二十年 还清 每次还款由还本金和付利息两部分组成 还本 部分金额固定 每次 1000 元 利息为原贷款额尚未 偿还部分的当年利息 第十年底 乙将后十年的贷款权益转卖给丙 双方 商定的利率为 前五年 5% 后五年 4% 计算乙丙双方的买卖价格 注 C 乙与丙的交易不影响甲的还款现金流 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 99 解 流程图为 余额 20000 19000 10000 9000 5000 1000 0 |— — — |— — — |— — — |— — — |— — — — |— — — | 0 1 10 11 15 19 20 本金 1000 1000 1000 1000 1000 1000 利息 600 330 300 180 60 30 还款 1600 1330 1300 1180 1060 1030 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 100 由题目已知 tP= 1000 固定 t = 1,2, , 20 tB = 20,000 1000t t = 0,1, 2, , 20 tI =3% 1tB ? = 600 30(t 1) t = 1,2, , 20 tR = tP+ tI =1600 30(t 1) t = 1,2, ,20 从而甲的还款流为 首次还款 1600 元 然后每次减 少 30 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 101 在第十年底依据乙与丙的交易 其后 10 次还款的 现金流的现值为 5 5 | .055 | .045 | .055 | .05 5 5 | .04 1000[(1.05)][15030()] (1.05)30()919110000 aaaDa Da ? ? +++ +=< 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 102 例 某建筑承包商在购房者首期一次性支付房价 10% 的基础上 提供以下融资方式 在随后的 5 年中每年 底支付房价的 2%偿还本金 另外以月利率 0.5%按月 计算余额的利息 按月偿还 在第 5 年底 这部分融 资结束时 购房者应寻找其他的融资渠道 如银行 将余款付清 这时该承包商已支出成本 200,000 元 该建筑商以 (12)i =15% 将购房者前 5 年的贷款转卖给 某投资者 问 最初的房价为多少才可以保证该建筑商的净利 润为 40,000 元 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 103 补充 Makeham 公式 假设原始贷款为 L 贷款利率为 i 还款方式为 iL iL iL iLL+ 共 n 次 如果以利率 j将还款现金流专卖给第三者 则价格 (现值 ) 应为 | (1) () n j nj nn jj nn jj ALLia iLL j iLLL j n=+ =+? =+? 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 104 记依利率 j计算的 n期后本金的现值为 njKLn= 则有 Makeham 公式 ()iAKLKj=+? 更一般的 设定期偿还部分本金 定期还利息 则 可记 12 mLLLL=+++L 其中 kL 表示在时刻 kt 偿还的本金 1,2,,km= L 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 105 假设现在以利率 j 将还款现金流转卖 则可以理解 为 在 0 时刻签发了 m个贷款 每一个的还款现金流 的定价均可以按照上面的 Makeham 公式计算 即第 k 个还款现金流的现值应为 ()kkkkiAKLKj=+? 从而总现值应为 11 ()() mm kkk kk iiAKLKKLK jj===+?=+?∑∑ 其中 1 m k k KK = = ∑ 为各期偿付本金的现值和 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 106 解 : 建筑承包商 购房者 房 首付 某投资者 转卖现金流所得 其它融资渠道 5 年内还款 5 年后还款 贷款 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 107 建筑承包商的价值方程 购房者首付款 +与某投资者的交易款 = 成本 +利润 已知建筑承包商的成本为 200,000 元 利润为 40,000 元 从而总收入应为 240,000 元 设最初的房价为 P 则购房者的首付款为 0.1 P 相 应的建筑商与某投资者的交易可得收入为 0.005 (0.9) 0.0125KPK+? 其中 K = 0.02 P 5 | ja +0.80 P 60(1.0125)? = 0.445025 P, 北京大学金融数学系 利息理论与应用 第 4章 — 108 j = 12(1.0125) 1 转卖的年利率 由此可以解出 240000 0.0050.100.445025(0.900.445025) 0.0125 330117 P = ++? =