北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 1
第二章 年金
年金 (annuity) 指以相等的时间间隔进行
的一系列收付款行为 也指以固定的时间周期以相
对固定的方式发生的现金流 例如投保 领保 房
贷等
注 C 默认为确定年金 (annuity-certain) 即无条件
确定发生的年金
注 C 默认考虑的现金流的金额与利率无关 但现
金流在不同时刻的时间价值与利率水平有关
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 2
v 年金现金流是许多复杂现金流的基础 是利率计
算的最直接的一种应用
v 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计
算两大类
付款期 (payment period) 指两次年金收取
之间的时间间隔
注 C 默认为时间间隔相等
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 3
2.1 基本年金
基本年金 一种最简单的年金方式 满足
1 付款时期间隔相等
2 每次付款额度相同
3 付款的频率与计息的频率相同
基本年金主要可分为期末年金和期初年金两种典型
情形
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 4
期末年金 (annuity-immediate)
期末年金 年金的现金流在第一个付款期末首
次发生 随后依次分期进行
n 期标准期末年金 每次的年金金额为 1个货币
单位 现金流在第一个付款期末首次发生 共计 n 次
时间流程图
1 … 1
0 1 n
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 5
记号 |nia 表示比较日选为 0 时刻的 n 期标准
期末年金的所有年金金额的现值之和 简记 |na
注 C 记号 |nia 也可以表示利率 i 环境中的标准期末
年金的现金流
注 C 记号 |nia 中 a 是年金的英文单词的第一个
字母 n 表示年金现金流的次数 i 表示年金的计
算利率
计算公式为
2
|
1 nn
n
vavvv
i
?=+++=L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 6
基本公式
1 |1 nniav=+
即 0 时刻一个货币单位的价值
= (0,]n 上每次 利息 收入 i 的现金流价值 |()nia
+ n时刻一个货币单位的现值 ()nv
2 |
|
11
n
n
aa=
即 0 时刻一个货币单位的价值
= (0,]n 上对应的 n期期末年金现金流
|
1()
na
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 7
记号 | nis 表示标准期末年金的所有年金金额在
年金结束时刻的终值之和 简记 |ns
计算公式为
21
| 1(1)(1)(1)
(1)1
n
ni
n
siii
i
i
?=+++++++
+?=
L
基本公式
1 |(1)1n niis+=+
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 8
即 0 时刻一个货币单位在 n 时刻的价值
= (0,]n 上每次 利息 收入 i 的现金流终值 |()nis
+ n时刻一个货币单位 本 金
2 |
|
11
n
n
ss=
即 n 时刻一个货币单位的价值
= (0,]n 上对应的 n 期期末年金现金流
|
1()
ns
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 9
|ns 与 |na 关系式
1) | |(1)nnnsai=+
注 C (1)ni+ 为期初到期末的累积因子
2)
| |
11
nn
ias=+
注 C 由 1 可得
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 10
| |
|
|
11
(1)
1(1)1
(1)
1
n
nn
n
n
n
n
iisai
i
ai
a
+=++
++?=
+
=
例 Find the present value of an annuity which pays
$500 at the end of each half-year for 20 years if the
rate of interest is 9% convertible semiannually.
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 11
解 40 |.04550050018.40169200.80PVa==×=
注 C 年金的要求是定期支付 间隔相等 但却不
一定是 年度 的 具体计算可利用年金表或直接
做数值计算
例 If a person invests $1000 at 8% per annum
convertible quarterly, how much can be withdraw
at the end of every quarter to use up the fund
exactly at the end of 10 years?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 12
解 季度实利率 =2% 从而有
40 |.021000 Ra=
解出
40 |.02
10001000 36.56
27.3555R a===
例 现有十年期 50 万元贷款 年利率 8% 试比较以
下三种还贷方式的应付利息情况
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 13
A — 在第十年底一次付清
B — 每年底偿还当年的利息 本金最后一次付清
C — 每年底偿还固定的金额 十年还清
解
方式 A 在第十年底的一次还款为
500,000× 10(1.08) = 1,079,462.50
其中的利息为 1,079,462.50 500,000 = 579,462.50
应付利息约为五十八万元
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 14
方式 B
每年所付利息为 500,000 8% = 40,000
总的利息付出为 40,000 10= 400,000
应付利息为四十万元
方式 C
设每年的还款额为 R 价值方程
10 | .08 500,000Ra =
解出
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 15
10 | .08
500,000500,000 74,514.54
6.710081R a===
10 年的付款总额为 74,514.54 10= 745,145.4
其中的利息总额为 745,145.4 500,000 = 245,145.4
应付利息约为 25 万元
注 C 虽然三种应付利息结果不同 但所有还款的现
值是相同的 =原始贷款额
思考 为什么方式 C 的利息金额较方式 A 和方式 B
明显的小
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 16
期初年金 annuity-due
期初年金 在 合同生效时立即发生首次的现金
流 随后依次分期进行的年金方式
n期标准期初年金 每次的年金金额为 1个货币
单位 在合同生效时立即发生首次的现金流 共计
n次
时间流程图
1 1 1 1
0 1 2 n 1 n
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 17
记号 | nia&& 表示标准期初年金的现值之和
21
| 1
1
n
ni
n
avvv
v
d
?=++++
?=
&& L
记号 |nis&& 表示标准期初年金的终值之和
2
| (1)(1)(1)
(1)1
n
ni
n
siii
i
d
=++++++
+?=
&& L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 18
| nia&& 与 |nis&& 的关系式
1 | | (1)nninisai=+& &&
2
| |
11
nn
das=+& &&
注 C 注意与期末年金的相应公式比较
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 19
期末年金与期初年金的关系式
1 | | (1)niniaia=+&&
2 | |(1)ninisis=+&&
3 | 1 | 1niniaa?=+&&
4 |1 | 1niniss+=?&&
注 C 从现金流的角度来考虑
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 20
例 某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱 希
望在第十二年底 下一年度定期投入的前一瞬间 得
到 1 百万元的回报 如果年利率为 7% 试计算每年
的投入金额
解 设每年的投入额为 R 第十二年底的价值方程为
12 |.07 1,000,000Rs =&&
从而有
12 |.07
1,000,0001,000,000 522,45
19.14064R s===&&
即 每年初投入 5万 2千元 到 12 年底总累积值为 1百万元
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 21
递延年金 deferred annuity
递延年金 若年金的首次发生是递延了一段时
间后进行的
递延 m期的递延年金时间流程图
1 1
0 1 2 m m+1 mn+
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 22
从现金流看 该年金相当于一个 mn+ 期期末年
金扣除一个 m期期末年金 即 | | nmimiaa+ ? 其数
值等于 | m nian
结论 递延年金的现值为两个定期年金的现值之差
思考 递延年金的终值是否也为两个定期年金的终
值之差
注 C 类似的有 递延 m期的 n期标准期初年金
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 23
永久年金
永久年金 perpetuity 若年金的支付 现金流
永远进行下去 没有结束的日期
记号 | ia∞ 表示标准永久期末年金的现值之和 即
有
2
|
1
iavv i∞ =++=L
注 C | 1lim ni
n
a i
→∞
=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 24
注 C 对于标准永久期初年金有 | 1ia d∞ =&&
n期标准期末年金可用一个标准永久年金扣除
一个递延 n期的标准永久年金表示 相应流程图
为
| nia 1 1 1
| ia∞ 1 1 1 1 1
|
n
iva∞ 1 1 1
0 1 2 n 1n + 2n +
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 25
例 某人留下遗产十万元 第一个十年将每年的利息
付给受益人甲 第二个十年将每年的利息付给受益人
乙 二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行
下去 均为年底支付 如果年利率为 7% 试计算三
个受益人的相对受益比例
解 甲的受益现值为
10 | .071000007%70007.0236 = 49162a××=×
乙的受益相当于七千份递延十年的十年定期标准期
末年金 现值为
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 26
20 | .0710 | .077000()7000( 10.5940-7.0236 ) = 24993aa?=
丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永久期末年
金 现值为
| .0720 | .07
17000()7000( -10.5940 ) = 25842
0.07aa∞ ?=
结论 从而从现值的角度看 甲乙丙的受益比例近似
为 49% 25% 和 26%
注 C 因为 100000(1.07)-20 = 25842 所以丙相当于在
二十年后完全继承了十万元
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 27
剩余付款期不是标准时间单位的计算
问题的提出
现值为取整的货币量 年金值也为取整的货币量 当
两者不能平衡的时候 如何对零碎的部分进行处理
例 原始投入 500 元 年金为 100 元 年利率 3%
若年金为 5 年期 则上述年金的现值为 457.97 与原
始投入不平衡
若年金为 6 年期 则上述年金的现值为 541.72 与原
始投入也不平衡
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 28
v解决方案一 最后一次付款额度上浮
第 5 次付款额度由原先的 100 元上浮为
5100+42.03(1+3%)=48.72×
v解决方案二 最后一次付款额度扣减
第 6 次付款额度由原先的 100 元扣减为
6100-41.72(1+3%)=50.18×
v解决方案三 从模型的内在一致性出发 在时刻
5 与时刻 6 之间再增加一次付款 额度小于 100 元
使得所有付款的现值之和恰好等于 500 元
思考 什么时刻付款 额度多少可以达到上述要求
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 29
定义 对于任意的 t 01t≤≤ 形式上定义下面
的计算
|i |i
1(1)1[]nttnt
ntn
iaav
ii
n + +
+
?+?==+
上式右边的第二项表示 在时刻 nt+ 的不足一个货
币单位的年金金额 (1)1
ti
i
+? 在 0 时刻的现值
注 C 数学形式上的一致性
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 30
例 在上例中 设最后一次付款时间为 5+t 则由
5
5 |0.03
1500100100,0.9709
0.03
t
tav
n +
+
?===
可解出
0.5t ≈
相应最后一次的付款额度应为
(10.03)110049.63
0.03
t+?
=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 31
例 现有十万元的投资 年利率 5% 每年底定期收
回 1 万元 试问 这样的定期回报可以进行多少年
对不足 1 万元的最后一次回报部分 按以下三种情况
分别 计算回报金额
A — 不足部分与最后一次正常回报同时收回
B — 不足部分在最后一次正常回报的下一年底收回
C — 不足部分在最后一次正常回报的下一年的某个
等价时间收回
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 32
解 时间流程图为
10000 10000 10000+ AX CX BX
0 1 13 14 14+t 15
100,000
计算最大的正常回报的时间 n
| .0510000100000,1nan≤≥
查表可得 14| .0515| .059.8986,10.3797aa==
从而有 14n =
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 33
AX BX 和 CX 分别表示三种方式对应的不足部分的
金额 则有
15
14 | .0510000100000(15%)
2007
A
A
sX
X
+=+
?=
15
14 | .0510000(15%)100000(15%)
2107
B
B
sX
X
×++=+
?=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 34
在方式 C 中 先计算 t
14 | .05100001000000ta + =
即
141
10
tv
i
+?
=
得到 = 0.2067t
进而有 (1)1100002027
t
C
iX
i
+?==
注 C ACBXXX<<
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 35
例 某人每年 年底 存入 1000 元 利率 8% 希望
经过若干年后达到 25,000 元 若最后一次不足 1000
元的存款将在正常存款的一年后进行 试计算正常存
款的年数和最后一次存款的金额
解 设最后一次的存款额为 X 01000X≤< 为了实
现存款目的 在存款结束时的价值方程为
| .081000(18%)25000,1nsXn++=≥
查表可得
13| .0814| .0821.4953,24.2149SS==
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 36
若 13n = 则可得 17851000X =>
若 14n = 则可得 11520X =?<
所以 不足部分不能按题目要求的方式进行存款
思考 对于任意给定的现值 是否总有解
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 37
广义年金
广义年金 付款周期与利率换算期不同的情形
分如下两步来计算广义年金
1) 将利率调整为与付款周期相同的名利率
设对应的名利率为 ()mi 付款周期为 p(每个计息期
内付款 p次 ) 在每个付款期内与 ()mi 等价的利率为
()pi
p
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 38
2 用新的利率依前面的方法进行计算
例 现有投资方式为 前两年每季度初投入 200 元
后两年每季度初投入 100 元 该投资的月收益率为
1% 试计算四年后总的投资收益
解 首先计算与月收益率 1%等价的季收益率 j
412(1)(1.01)j+=
3(1.01)10.030301j =?=
从而可得总的投资收益
16 | 8 | 20010020020.8170-1009.1716=3246.24jjss?=××& &&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 39
例 某 30 万元的贷款计划分季度等量偿还 在五年内
完成 如果贷款利率为半年名义利率 10% 计算每次
偿还的金额
解 半年实利率为 5% 等价的季度实利率为 j
2 4(1.05)10.024695j =?=
记每次的偿还额为 R 则有
20 | 300000jRa =
由此可得
= 300000/15.6342 = 19188.70R
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 40
几种典型情形的具体讨论
1 付款周期大于利息换算期
假定 付款周期 年金周期 是利率周期的整数倍
定义记号
k 每个付款周期内的利息换算次数
n 年金的付款总次数 k
i 每个利息换算期内的实利率 (名利率 /换算次数 )
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 41
期末年金
每个付款期末付款 1 元 流程图
1 1 1
0 1 2 k 2k n
该年金的现值为
2
|
|
1kkn
ni
ki
vvvas+++=L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 42
注 C 该年金等价于一个付款周期等于利息换算期 数
额为
|
1
kis
的 n期期末年金 相应的流程图为
|
1
kis
|
1
kis
|
1
kis
|
1
kis |
1
kis
0 1 2 k 2k n
该年金的终值为
| |
| |
(1)ninin
kiki
asi
ss+=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 43
期初年金
每个付款期初付款 1 元 流程图
1 1 1 1
0 1 2 k 2k nk? n
注 C 该年金等价于一个付款周期等于利息换算
期 数额为
|
1
kia
的 n 期期末年金 相应的流程图为
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 44
|
1
kia
|
1
kia
|
1
kia
|
1
kia
|
1
kia
0 1 2 k 2k n
从而该年 金的现值为 = |
|
1
ni
ki
aa
年金的终值为 = |
|
1
ni
ki
sa
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 45
永久年金
永久期末年金
年金的现值 =
|
1
kiis
永久期初年金
年金的现值 =
|
1
kiia
注 C 永久年金不考虑终值
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 46
例 现有年利率 i 付款 r次的年金 首次付款为第七年
年底且金额为 1 元 然后 每三年付款一次且金额均
为 1 元 分别用期末和期初年金的形式表示这个年金
的现值
解 现值计算
737
71073(1)
31
r
r vvvvv
v
+
+? ?+++=
?L
用期末年金表示为 34 | 4 |
3 |
rii
i
aa
s
+ ?
用期初年金表示为 37 | 7 |
3 |
rii
i
aa
a
+ ?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 47
注 C 可以把上面的现金流看成是期末年金或期初
年金 然后分别转换为递延 4 期的期末年金或递延
7 期的期末年金的形式来计算
例 十万元投资在每年底收回 1 万元 当不足 1 万
元时 将不足部分与最后一次的 1 万元一起收回
如果半年名利率为 7% 试计算总的付款次数和最
后一次的付款金额
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 48
解 设总的付款次数为 n 价值方程满足
2 |.035
2|.035
10000100000nas ≤ 且
22 |.035
2|.035
10000100000na s+ >
即 2 |.035 20.35na ≤ 且 22 |.035 20.35na + >
由 36 |.035 20.29a = 38 |.035 20.84a = 可知 18n =
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 49
设最后一次的付款金额为 10000 R 则有
36 |.03536
2|.035
(13.5%)10000100000aR s?++=
即
20.29049(10000010000)3.450271008.97
2.035R =?×=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 50
2 付款周期小于利息换算期 常见情况
假定 利息换算期是付款周期的整数倍
m 每个利息换算期内的付款次数
n 年金的付款总次数 /m 即 付款总次数为 mn
i 每个利息换算期内的实利率
期末年金
在每个付款期的期末付款 1m元 流程图为
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 51
1
m
1
m
1
m
1
m
0 1m 1 2 n
注 C 在一个计息期内总共付款 1 个单位金额
思考 对这个现金流我们应该做怎样 的变换
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 52
年金的现值记为 () |mnia
112()
|
1
11
()
1 []
1
1[(1)1]
1
nmnmmm
ni
nn
m
mm
n
m
avvvvm
vvv
m vmi
v
i
?=++++
??==
?+?
?=
L
注 C 特别的 () ()1 |m mi da i=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 53
年金的终值记为 () |mnis
()() () | | (1)1(1)
n
mmn
mnini
isai
i
+?=+=
注 C () ()1 |m mi is i=
由现金流的转换可得如下关系
1) () () | |m mniniiaai=
2) () () | |m mniniissi=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 54
期初年金
在每个付款期的期初付款 1m元
1
m
1
m
1
m
1
m
0 1m 1 1n m? n
注 C 在一个计息期内共付款 1 个单位金额
思考 对这个现金流我们应该做如何的变换
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 55
年金的现值为 () |mnia&&
112()
|
11
()
1 [1]
1
1[1(1)]
1
nm mmm
n
nn
mm
n
m
avvvm
vv
m vmd
v
d
?=++++
??==
???
?=
&& L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 56
年金的终值为 () |mnis&&
()()
() | |
(1)1(1) nmmn
mnini
isai
d
+?=+=& &&
注 C 特别的 () ()1 |m mi is d=&&
通过现金流转换可以得到如下关系
1) ()() () |1 | | |mm mniininidaaaad==& & & &&
2) ()() () |1 | | |mm mniininidsassd==& & & &&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 57
3) ()() () |1 | | |mm mniininiiasaad==& &&
4) ()() () |1 | | |mm mniininiissssd==& &&
例 证明如下关系式成立
1) () () | |[]m mniniiiaaim=+&&
2) () () | |[]m mniniiissim=+&&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 58
证 由等式
()()()()mmmmidid
mmmm?=× 可得
()()
111
mmdim=+
从而有
()
()() | | |[]
m
mmninini
iiiaaa
dim==+&&
及
()
()() | | |[]
m
mmninini
iiisss
dim==+&&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 59
注 C () |mnia&& 相当于比 () |mnia 提前一次付款 也就是提前
1
m个利息换算期 即 期初年金相当于金额为
1(1)mi+ 的
期末年金 从而有关系式
1()()
| |(1)
mmm
niniaia=+&&
类似的有
1()()
| |(1)
mmm
ninisis=+&&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 60
永久年金
期末 () () | 1m mia i∞ =
以及
期初 () () | 1m mia d∞ =&&
注 C ()() | | 1mmiiaam∞∞=+&&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 61
在前面的所有讨论中 我们要求每次的付款额
为 1m 即 每个利息换算期内的付款总额为 1 元
在现实问题中 这个总额可以是任意值 通常
称之为年金的 年租金 annual rent 或 年付款
额
实际上利息换算期不一定是一年 可能用 定期
租金 periodic rent 表示这个值更合适 因此
定期租金为 R的期末年金的现值为 R () |mna
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 62
例 考虑一个十年期每月付 400 元的年金 用年利率 i
表示以下的量
1 在首次付款两年前的现值
2 在末次付款三年后的终值
解 年租金为 400 12=4800 元 从而
1) 2(12)(12)(12)10 |12 |2 |48004800[]iiivaaa=?
2) 3(12)(12)(12)10 |13 |3 |4800(1)4800[]iiiisss+=?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 63
例 已知每半年付款 1 元的永久年金的现值为 10 元
计算年利率
解 由现值方程 (2) |210ia∞ = 可得
(2)
1 5
i = 即
(2) 0.2i =
从而年利率
(2)
2(1)1(10.1)10.21
2
ii =+?=+?=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 64
连续年金
假设 年租金为 1 个金额的广义年金的付款周期可
以充分小 即 付款间隔充分小 而付款频率充分
快 相当于 m →∞
问题 极限状态下 时间为 n个利息换算期 利息
力为 d 的 年金的现值和终值
假定付款是均匀的 即付款率 (rate of payment)
等于 1 从而在小时间段 t? 上付款为 1 tt??=?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 65
用 |na 表示这种连续年金的现值 则有
|
00
11nn nntt
n
evavdtedt dd
dd
?
? ??====∫∫
连续年金的现值可看作是广义年金的现值的极限
即
()
() | | | | limlim
m
mnnininimm
iiaaaa
i d→∞→∞===
及
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 66
()
() | | | | limlim
m
mnnininimm
iiaaaa
d d→∞→∞===&&
其中 ln(1)id =+
用 |ns 表示这种连续年金的终值 则有
|
00
|
0
|
(1)(1)
(1)(1)
(1)11
nn
tnt
n
n
ntn
n
nn
ni
sid idt
idtia
ieisd
n
ddd
?
?
=+=+
=+=+
+??===
∫∫
∫
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 67
2.3 变化年金
v 特点 付款金额随时间变化
v 常用的变化模式 递增方式或递减方式
v 计算现值的一般原则 计算每次付款的现值 然
后求和
一般变化年金 付款期 = 利息换算期
1) 等量变化
首付 P 元 然后每次变化 Q 元 总计 n 次 期末
方式
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 68
其中 P> 0 Q为任意实数 相应流程图
P P+Q (1)PnQ+?
0 1 2 n
如果 用 A表示这种期末年金的现值 则有
23
|
|
|
()(2)[(1)]
1
n
nn
n
n
n
n
APvPQvPQvPnQv
anvvPQ
ii
anvPaQ
i
=+++++++?
??=+
?=+
L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 69
注 C Q可以是负数 表示年金金额随时间递减 但
要求 (1)0PnQ+?>
(标准 )递增年金 (increasing annuity): P = Q = 1
1 2 n
0 1 2 n
现值用 |()nIa 表示 即
| | |
| |
(1)() nnnnnn
nn
anvianvanvIaa
iii
?+??=+==&&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 70
上式可以表示为 | |() nnnaiIanv=+&& 即每次在
期初投资 1 元的现值之和等于这种投资的利息 每
年递增 i 现值之和及本金之和 n 的现值
流程图为
利息之和 i 2i ... (n-1)i ni
本金之和 1 2 3 ... n n
年金金额 1 1 1 ... 1
0 1 2 n-1 n
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 71
思考 通过对现金流进行变化 如何直接计算
|()nIa
注 C 可以利用永久年金直接计算 即
| |
11() n
nnIaanvii=?&&
利用标准递增年金现值公式可以对一般变化年
金现值进行计算
| |()()nnAPQaQIa=?+
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 72
(标准 )递增年金的终值用 |()nIs 表示 即
|1 |
| |
[(1)]()()(1) nnn
nn
snsnIsIai
ii
+??+=+==&&
注 C 用永久年金来看
例 将递增年金理解为一组固定年金的组合
1
| |
0
()
n
t
nnt
t
Iava
?
?
=
= ∑
解 流程图为
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 73
0 1 2 t n 1 n
递增年金 1 2 t n 1 n
固定年金
0t = 1 1 1 1 1
1t = 1 1 1 1
............
1tn=? 1
由流程示意图可以推知结论成立
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 74
递减年金 decreasing annuity
若 ,1PnQ==? 则称此变化年金为标准 递减年金
n 1n ? 1
0 1 2 n
现值用 |()nDa 表示
|
|()
n
n
naDa
i
?=
注 C | | |()()(1)nnnIaDana+=+
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 75
终值用 |()nDs 表示
|
| |
(1)()(1)() n nn
nn
nisDsiDa
i
+?=+=
例 可以将递减年金理解为一组固定年金的组合
| |
1
()
n
nt
t
Daa
=
= ∑
解 由其流程图可以得到结论
注 C 注意比较递增和递减两种方式
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 76
一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和
2
1
|1 |
2
n
t
nnt
t
PaQva
?
?
?+
=
+ ∑
流程图为
0 1 2 t n
变化年金 P P+Q (1)PtQ+? (1)PnQ+?
固定年金 P P P P
1t = Q Q Q
.........
1tn=? Q
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 77
注 C 以上的所有结论都可以推广到期初年金的情
形 只是所有表达式分母中的 i 都要换成 d
变化的期末永久年金
现值公式为 2PQii+ Q取正数
变化的期末永久年金
现值公式为 PQdid+
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 78
例 rainbow immediate
流程图为
1 2 n 1n ? 2n ? 1
0 1 2 n 1n + 2n + 21n ?
年金的现值为
|1 |
|1 |
1 |
| |
(1)()()
1(1)
n
nnnn
nn
nn
nn
anvnaIavDav
ii
avaa
i
?
?
?
???+=+
+=?=
&&
&&
注 C 由现金流转换可以直观求解
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 79
例 paused rainbow immediate
流程图为
1 2 n n 1n ? 1
0 1 2 n 1n + 2n + 2n
年金的现值为
| | |1 |()()
n
nnnnIavDaaa++=&&
注 C 由现金流转换可以直观求解
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 80
比例变化年金
年金的金额是比例变化的 首付 1 元 随后每次
增加 k 倍 总共 n次 则年金的现值为
21
11()
1(1)(1)
n
nn
k
ivkvkv
ik
?
+?
++++++=
?L
注 C 期末年金 且公式要求 ik≠ 当 ik= 时 利
率与年金增长比例相同 相当于每次付款的现值
相同 均为 n 次付款的现值之和为 n
注 C 当 ki< 时 比例递增永久年金有有限的现值
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 81
例 给出以下期末年金的现值 首付 1 元 然后每次
增加 1 元 直至 10 元 然后固定不变直至第 25 次付
款
解法一
10 年递增年金与十份递延 10 年的 15 年标准年金之和
10
10 |15 |()10Iava+
解法二
25 年递增年金扣除递延 10 年的 15 年递增年金
10
25 |15 |()()IavIa?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 82
解法三
十份 25 年标准年金扣除 9 年递减年金
25 |9 |10()aDa?
例 20 年期末比例年金 首次 1000 元 每年递增 4
年利率 7 计算现值
解 4%,7%ki== 年金现值为
201.041()
1.07100014459
.07.04
?
=?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 83
广义变化年金
特点 变化年金 且付款周期与利率周期不同
1 付款期 > 利息换算期
付款期 = k 利息换算期
总的付款次数 = /nk
注 C n是付款总时间用利息换算期度量的结果 n是
k的整倍数
i = 每个利息换算期的实利率
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 84
考虑首付 1 元 随后每次递增 1 元的方式
记现值为 A 则有
22kknnAvvv
k=+++L
从而有
(1)12kknkniAvvk ?+=+++L
两式相减可得
2[(1)1]1kkknknnAivvvv
k
?+?=++++?L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 85
化简后有
|
|
|
[]n n
k
k
a n v
akA
is
?
=
注 C 当 1k = 时 上式退化为递增年金
例 计算下面永久年金的现值 第三年底 1 元 第六
年底 2 元 … 依此类推
解 用 A表示这个现值 则有
362Avv=++L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 86
其中 11v i= + , i 为年实利率
由
3692vAvv?=???L
可得
3369(1)vAvvv?=+++L
化简后有
3
32[1]
vA
v= ?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 87
2 付款期 < 利息换算期
付款期 = 利息换算期 / m
总的付款次数 = nm
注 C 总的付款次数是 m的倍数
i = 每个利息换算期的实利率
考虑以下两种年金付款方式
情形 1) 付款额的变化与利息换算期同步
标准情形为 在前 m 次付款中 (例如 第 一年内 )
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 88
年金为 1m 第二个 m周期内 (第二年内 )的年金金额为
2
m 随后依此类推 最后一个利息换算期内的年金金
额为 nm
用 () |()mnIa 表示这种年金的现值 它等价于 在第一年
底一次支付 ()1 |ms 在第二年底一次支付 2 ()1 |ms 依此类推
从而有
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 89
| |()()
()() |1 | |( ()
nn
nnmm
mmnn
anvanviIasIa
iii
??==?=& &&
注 C 一般的 () |()mnRIa 表示下面这种年金的现值 第
一个周期内的付款额为 R 1m 第二个周期内的付款额
为 R 2m ... 第 n个周期内的付款额为 R nm
例 某三年期按月付款的年金方式为 第一年内每月
底付款 1000 元 第二年每月底付款 2000 元 第三年
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 90
每月底付款 3000 元 求该年金的现值
解 m=12 n=3 100012000Rm== 从而这该年
金的现值为 (12)3 |12000()Ia
情形 2) 付款额的变化与付款期同步
标准情形为 首付 21m 以后每次增加 21m
第一个利息换算期内的最后一次付款 额为 1m
第二个利息 换算期内的最后一次付款额为 2m
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 91
最后一个 第 n个 利息换算期内的最后一次付款额
为 nm
该年金的现值用 ()() |()mmnIa 表示
()()
|()
mm
nIa =
12
2
2 nmmvvnmv
m
+++L = () |
()
mn
n
m
anv
i
?&&
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 92
R ()() |()mmnIa 代表下面这种年金的现值
第一个周期内的首付款为 R 21m 然后每次增加
R 21m
从而 第一个周期结束时的最后一次付款额为
R 1m ... 第 n个周期结束时的最后一次付款额为
R nm
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 93
例 某三年期按月付款方式的年金为 第一个月底为
100 元 第二个月底为 200 元 ... ,依此类推 每月增
加 100 元 第一年底的付款额为 1200 元 第二年底的
付款额为 2400 元 第三年底的最后一次付款额为 3600
元 求该年金的现值
解 m=12 n=3 R= 2100m =100 144 = 14400 设
年实 利率为 i 则年金现值为 14400 (12)(12)3 |()Ia
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 94
例 计算以下年金在第十年底的终值 从现在开始
每半年一次 首付 2000 元 然后每次减少 2 共
计 10 次 季结算名利率 10
解 按基本原则计算 年金的终值为
401020
2
40382362000[(1.025)0.98(1.025)0.98(1.025)
9220.98(1.025)]
(1.025)(0.98)(1.025)200 40052
1(0.98)(1.025)?
+++
+
?==
?
L
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 95
情形 3) 付款金额任意变化的年金现值
时 刻 t的付款金额为 tr 1,2,,tn= K 则这种年金
的现值为
1
n
t
t
t
arv
=
= ∑
该年金相当于一组固定年金的和 即
1
1 1 |
1
()
n
t
tt nt
t
arrva?? ?+
=
=?∑
流程图为 假设 0 0r =
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 96
0 1 2 ... t ... n
变化年金 1r 2r ... tr ... nr
固定年金
1k = 10rr? 10rr? ... 10rr? ... 10rr?
2k = 21rr? ... 21rr? ... 21rr?
... ... ...
kn= 1nnrr??
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 97
连续变化年金
用函数 f (t)表示时刻 t的年金 (率 )函数 则用实利率 i
表示的 n年期连续年金现值为
0
()
n
tftvdt∫
v 若 ()1ft= 表示均匀支付年金
v 若 ()ftt= 表示单调递增支付年金 该种连续年
金的现值用 |()nIa 表示 从而有
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 98
|
|
0
()
nn
nt
n
anvIatvdt
d
?==∫
特别的有 ()() | |lim()()mmnn
m
IaIa
→∞
=
思考 () |lim()?mn
m
Ia
→∞
=
一般地 用一般利息力函数 ()sd 表示的连续变化年
金的现值公式为
0
()
0
()
tn sds
ftedtd?∫∫
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 99
例 n年连续年金 利息力函数为常数 d 年金 (率 )函
数 2()ftt= 求该年金的现值
解 经计算 得到以下现值结果
2
323
222()n nne d
dddd
? ++
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 100
2.4 实例分析
固定养老金计划
1 一般情形
v 责任 未退休时 每月初存入一定金额 具体
方式为 25 岁 — 29 岁 月付 1X 30 岁 — 39 岁 月
付 2X 40 岁 — 49 岁 月付 3X 50 岁 — 59 岁 月
付 4X
v 权益 从退休时 60 岁 开始 每月初领取 P 元
的退休金 一直进行二十年
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 101
问题 在给定年利率 i 的条件下 分析退休基金的存款
金额 1X 2X 3X 4X 和最终的月退休金 P 关
系
2 考虑 25 岁参加养老计划 基本的价值方程为
(12)
20 |12Pa&& =
(12)30
1 5 |12(1)Xsi+&&
(12)20
2 10 |12(1)Xsi+&&
(12)10
3 10 |12(1)Xsi+&&
(12)
4 10 |12Xs&&
于是
121324335 |30 |20 |10 |
20 |
()()()XsXXsXXsXXsP
a
+?+?+?=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 102
例 年利率 i = 10% 因此有 20 |.10a = 8.5136 35 |.10s =
271.0244 30 |.10s = 164.4940 20 |.10s = 57.2750 10 |.10s =
15.9374
具体的存款方式为 在 25 岁到 29 岁时 每月存款
200 元 在 30 岁到 39 岁时 每月存款 300 元 在 40
岁到 49 岁时 每月存款 500 元 在 50 岁到 59 岁时
每月存款 1000 元
分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 103
解
1 恰好在 25 岁开始加入养老金计划
35 | .130 | .120 | .110 | .1
20 | .1
225100 ssssP
a
+++= = 10,580.48
60 岁以后的月退休金为 P = 10,580.48 元 即 每月
领取约一万元的退休金 直至 80 岁
注 C (200, 300, 500, 1000)
2 从 30 岁开始加入养老金计划
30 | .120 | .110 | .1
20 | .1
325100 sssP
a
++= = 8077.89
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 104
60 岁以后的月退休金为 P = 8077.89 元 即 每月领
取约八千元的退休金
注 C (0, 300, 500, 1000)
3 从 40 岁开始加入养老金计划
20 | .110 | .1
20 | .1
500 ssP a += = 4299.73
即 60 岁以后的月退休金为 P = 4299.73 元 即
每月领取约四千元的退休金
注 C (0, 0, 500, 1000)
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 105
购房分期付款
引入如下记号
P 一次性付款的金额 房价
k 一次性付款比例 首付比例
i 年利率 实
n 分期付款年数
R 每月付款金额 月底
则有 (12) |(1)12 nkPRa?=
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 106
从而每月付款 (12)
|
(1)
12 n
kPR
a
?=
例 已知 P=500000 k= 30% i= 8% (12)i = .077208
求相应贷款期等于五年 八年 十年的每月还款 R
解
1 分五年付清 5 | .08a 3.9927 得到 R= 7050.05
每月付款约七千元
2 分八年付清 8 | .08a 5.7466 得到 R= 4898.33
每月付款近五千元
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 107
3 分十年付清 10 | .08a = 6.7101 得到 R= 4194.98
每月付款约四千元
年金利率的近似计算
已知年金的现 终 值 反解年实利率是年金计算
中常见的基本问题 通常可以通过迭代算法求数值
解 也可以利用 Excel 直接求数值解
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 108
例 已知当前投入为 12 万元 随后的 5 年中每年底
收益 2 万 2 千元 试计算年实利率
解 设 i为年实利率 则有如下等式
5 | 22000100000ia =
化简为 5 | 4.09091ia ?
下面反解 i
方法一 迭代法
对一般的问题 设 a 为现值 n为 期限 则有 i 为下
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 109
面方程的解 1(1)
ni
a i
??+
=
首先利用简单的泰勒展开到平方项 取初值
2()
(1)
nai
an
?=
+
然后以下面的方法叠代计算
|
1 (1)
| (1)
k
k
ni
kkkn
kni
aaiii
ani+ ?+
?=+
?+
停止的准则可以是类似 1||0.001kkkiii+ ?≤×形式的判
别
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 110
用这个方法计算本例 取 1 0.05i = 则三次迭代
后即可满足条件 4 0.0708475i =
方法二 Excel
用规划求解直接求得 0.0708475i =
注 C 精度可以调整
例 计算下面年金的年实利率 i 每个季度末投入
100 元 在第五年底的终值为 2500 元
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 111
解
20 | 1002500js = 或 20 | 25js =
利用 Excel 直接求解 得到 j= .022854
从而所求年利率 i: 4(1)10.0946ij=+?=
注 C 注意添加约束
例 某人继承了一笔遗产 从现在开始每年得到
10000 元 该继承人以年利率 10%将每年的遗产收
入存入银行 第五年底 在领取第六次年金之前
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 112
他将剩余的遗产领取权益转卖给他人 然后 将所
得收入与前五年的储蓄收入合并 全部用于年收益
率为 12%的某种投资 若每年底的投资回报是相同
的 且总计三十年 试计算每年的回报金额
注 C 流程图 永久年金 转手收益率
解 : 设每年的回报金额为 X 则有
10000 5 | .1s&& + 10000 | .1a∞&& = X 30 | .12a
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 113
X = 5 | .1
30 | .12
1.1
1.16.1051110.11000010000
8.055
s
a
+ ×+
=
&&
=21992.76
例 考虑以下两种等价的期末年金方式
A — 首付 6000 元 然后每年减少 100 元 直至某年
k 底 随后保持这种付款水平直至永远
B — 每年底固定付款 5000 元
已知年利率为 6% 试计算 k 近似整数
注 C 现金流的不同形式转化
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 114
解
方法一 价值方式为
| .06 | .06 | .06
| .06
50006000100()
[6000(1)100]
kk
k
aaIa
kva
∞
∞
=?
+??
可得
| .06ka = 11/1.06 = 10.37735849
反查年金表可知 17k ≈
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 115
方法二 价值方式为
| .06 | .061 | .065000[6000(1)100]100()kakaDa∞∞?=??+
可得
1 | .06 10ka ? =
反查年金表可知 17k ≈
注 C 15 | .06 9.7122a =
16 | .06 10.1059a =
17 | .06 10.4773a =
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 116
例 : 某人在退休时一次性得到退休金四十万元 他将
其中的一部分 X 购买了年回报率为 7 的永久年金
剩余部分购买了年回报率为 10 的十年期债券 已知
他前十年的年收入是后十年的两倍 计算永久年金的
买价
注 C 这里假设国债投资收入平均分配在前十年的每
一年里面 且国债投资收益不再进行投资
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 117
解 : 设投入永久年金的金额为 X 每年回收额为 R 则
有
| .07 0.07
RXRa
∞==
从而 0.07RX=
投入国债的金额为 400000 X? 年收入为 R′ 则有
10 | .1400000 XRa′?=
从而
10 | .1
400000 XR
a
?′ =
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 118
由题设有 2RRR′+=
即 RR′ =
从而可得方程
10 | .1
4000000.07 XX
a
?=
解出
10 | .1
400000 279696.42
10.07X a==+
即 退休金中的近二十八万元用于购买永久年金
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 119
例 某汽车商计划采用如下的零售策略
1) 若一次付清车款 价格为 1 万元 或
2) 以年利率 8%提供 4 年分期付款 按月付款
已知当前市场上商业消费贷款的月换算名义年利率为
12% 试分析第 2 种零售策略的当前成本
解 该零售策略的月供款为
(12)
4|8%
1000010000 242.82
1212(1.036157)(3.3121)a ==
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 120
按照当前市场上商业消费贷款的利率水平计算上述
月供款的当前价值为
48|1%242.82242.8237.97409220.96a =×=
从而该零售策略的当前成本为
10,0009220.96779.04?=元
相当于零售商优惠了顾客 7.8%
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 121
附 有关年金终值的分析
例 解释 1|
1
n
k
ni
k
nsi
k
?
=
??=
????∑ 的实际意义
关键点 利滚利
关键公式
1
1
n
mk
mn
kk
?
=
????=
????+????∑
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 122
附 单利情形的年金计算
形式上仍然可以考虑年金的价值计算 即 年金在
某个时刻的价值 现值或终值 为年金现金流累计或
贴现到该时刻的价值之和
例 金额为 100 元的 20 年期初年金 以单利率 i 累计
到 20 年底的价值为 2500 元 如果以相同的利率按复
利累计 价值为多少
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 123
解
单利模式下有
100[20(1220)]2000210004100
10%
AVii
i
=++++=+=
?=
L
复利模式下有
20|10%100100(1.10)57.27506300.25AVs==××=&&
注 C 显然两种计算方法的结果相差很大
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 124
例 单利模式下计算年金 所得结果对所用计算方式
非常灵敏
已知利率水平 i 单利方式 连续年金
方法一 对于所有的发生金额 在同一时刻使用相同
的利息力 即 ,01t i titd =≥+
从而年金的现值为
|
000
1log(1)exp()
1
ntn
sn
inadsdtdt
itid
+=?==
+∫∫∫
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 125
年金的终值为
|
00
1log(1)exp()(1)
1
nnn
sn
t
ininsdsdtdtin
itid
++===+
+∫∫∫
注 C 现值与终值之间有关系式 ||(1)nnsina=+ 与复利
模式下的结果类似
方法二 对于不同的发生金额 在同一时刻依据投入
时间的不同使用不同的利息力 即
0
0
,01()t i ttittd =≥≥+?
北京大学金融数学系 利息理论应用 第 2章 — 126
0t 为金额发生的时刻
等价的 对任意的时间区间 00[,],tttt< 以单利
率累计 则时刻 0t 的 1 元 ? 时刻 t 的 01()itt+?元
显然 年金的现值 |na 不变 而年金的终值变为
|
0
[1()](1)2
n
n
insintdtn=+?=+∫
现值与终值之间不再有关系式 ||(1)nnsina=+
