§ 3-1 保守力 成对力作功 势能
1,保守力
功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经
历的路径无关，这类力叫做 保守力。 不具备这种性
质的力叫做 非保守力。
设质量为 m的物
体在重力的作用下从 a
点任一曲线 abc运动到
b点 。
1.1 重力作功
G?
h?
ba hh ?
ah
a
b
c
bh
d
在元位移 中，重
力 所做的元功是
s??
G?
重力作功
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? ??? AA
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G?
h?
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ah
a
b
c
bh
d
由此可见, 重力作
功仅仅与物体的始末位
置有关, 而与运动物体
所经历的路径无关 。
重力作功
ba m g hm g hA ??
设物体沿任一闭合
路径 运动一周,
重力所作的功为：
abcda
baa d b mg hmg hA ??
)( bab c a mg hmg hA ???
G?
h?
ba hh ?
ah
a
b
c
bh
d
重力作功
0???? b c aa d b AAA
? ??? 0d sGA ?
?
表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运
动一周时重力所作的功为零 。
G?
h?
ba hh ?
ah
a
b
c
bh
d
1.2 弹性力的功
弹簧劲度系数为 k, 一端固定于墙壁, 另一端系
一质量为 m的物体, 置于光滑水平地面 。 设 两点
为弹簧伸长后物体的两个位置, 和 分别表示物
体在 两点时距 点的距离 。
ba、
ba,o
ax bx
XO
X
xbO xax
0l
X
xbO xax
0l
?? baxx xFA d ??? b
a
x
x xkx d
22
2
1
2
1
ba kxkx ??
由此可见, 弹性力作功也仅仅与质点的始末
位置有关, 与具体路径无关 。
弹性力的功
1.3 万有引力的功
两个物体的质量分别为 M和 m,它们之间有万有
引力作用 。 M静止, 以 M为原点 O建立坐标系, 研究
m相对 M的运动 。
rd
r?d
b
br
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F?
r?
a
ar
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m
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O
M
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r
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万有引力的功
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ba rr
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由此可见, 万有引力作功也仅仅与质点的始
末位置有关, 与具体路径无关 。
2,成对力的功
设有两个质点 1和 2,质量分别为 和, 为
质点 1受到质点 2的作用力, 为质点 2受到质点 1的作
用力, 它们是一对作用力和反作用力 。
1m 1F
?
2m
2F
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1m
2m
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2r?
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1r?d
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x y
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成对力的功
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222 dd rFA
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rF ??? ?? d2
由此可见, 成对作用力与反作用力所作的总功
只与作用力 及相对位移 有关, 而与每个质点各
自的运动无关 。2F
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1m
2m
1r?
2r?
2r?d
1r?d
1r?d
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2F?
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x y
z
O
成对力的功
表明：任何一对作用力和反作用力所作
的总功具有与参考系选择无关的不变性质 。
保守力的普遍定义：在任意的参考系中,
成对保守力的功只取决于相互作用质点的始
末相对位置, 而与各质点的运动路径无关 。
势能,质点在保守力场中与位置相关的能量 。
它是一种潜在的能量, 不同于动能 。
3,势能
几种常见的势能：
重力势能 m g hE
p ?
弹性势能
2
2
1 kxE
p ?
万有引力势能
r
MmGE
p 0??
保守力的功
ppbpac EEEA ?????
成对保守内力的功等于系统势能的减少（或
势能增量的负值）。
注意,（ 1）势能既取决于系统内物体之间相互作用
的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势
能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。
（ 2）物体系统在两个不同位置的势能差具有
一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。
（ 3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意
义。势能零点可根据问题的需要来选择。
势 能
4,势能曲线
o
)(hEp
h
hE
pE
H? H
E
重力势能
kE
pE
E
)(xEp
x
A B
o弹性势能
x
pE
E
o
0kE
kE
pE
引力势能
势能曲线
势能曲线的作用：
（ 1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（ 2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置
所受保守力的大小和方向。
ppp EEEA ?????? )( 12
pEA dd ??
xFA dc o sd ??? x
E
F px
d
d
???
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此
坐标的导数的负值。
例题 3-1 一质量为 m=1kg的物体，在保守力 F（ x）的作用下，
沿 x 轴正向运动（ x>0）。与该保守力相应的势能是
式中 x以 m为单位，势能以 J为单位 a =1J·m2,b=2J · m 。 （ a） 画
出物体的势能曲线； （ b） 设物体的总能量 E =-0.50J 保持不变，
这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图
和计算的方法求物体的运动范围。
)0()( 2 ??? xxbxaxE p
解 （ a) 根据 )0()(
2 ??? xx
b
x
axE
p
取下列数据来 画出势能曲线
保守力 势能
x/m
Ep(x)/J
0.2 0.5
1.5 0
1
-1.0 -0.75 -0.55 -0.44
2 3 4
现在，用式（ 3-8）求物体
的平衡位置
23
2
x
b
x
a
dx
dEF p ????
令 F=0,解得 x=1m,这就是物体的平衡位置，在
该点，势能有极小值，如图所示。
?1
0
1
2
1 2 3 4 x /m
EP /J
保守力 势能
（ b） 当物体的总能量 E=-0.50J保持不变时，
令 Ep(x)=E就可求得物体的 Ek=E-Ep为 0的位置，
因此，令
由此解得
Jxbxa 50.02 ???
??
????
m
mmx
14.3
59.0)22(
保守力 势能
（ b） 当物体的总能量 E=-0.50J保持不变时，
令 Ep(x)=E就可求得物体的 Ek=E-Ep为 0的位置，
因此，令
由此解得
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保守力 势能
1,保守力
功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经
历的路径无关，这类力叫做 保守力。 不具备这种性
质的力叫做 非保守力。
设质量为 m的物
体在重力的作用下从 a
点任一曲线 abc运动到
b点 。
1.1 重力作功
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置有关, 而与运动物体
所经历的路径无关 。
重力作功
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设物体沿任一闭合
路径 运动一周,
重力所作的功为：
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重力作功
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动一周时重力所作的功为零 。
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1.2 弹性力的功
弹簧劲度系数为 k, 一端固定于墙壁, 另一端系
一质量为 m的物体, 置于光滑水平地面 。 设 两点
为弹簧伸长后物体的两个位置, 和 分别表示物
体在 两点时距 点的距离 。
ba、
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由此可见, 弹性力作功也仅仅与质点的始末
位置有关, 与具体路径无关 。
弹性力的功
1.3 万有引力的功
两个物体的质量分别为 M和 m,它们之间有万有
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由此可见, 万有引力作功也仅仅与质点的始
末位置有关, 与具体路径无关 。
2,成对力的功
设有两个质点 1和 2,质量分别为 和, 为
质点 1受到质点 2的作用力, 为质点 2受到质点 1的作
用力, 它们是一对作用力和反作用力 。
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成对力的功
表明：任何一对作用力和反作用力所作
的总功具有与参考系选择无关的不变性质 。
保守力的普遍定义：在任意的参考系中,
成对保守力的功只取决于相互作用质点的始
末相对位置, 而与各质点的运动路径无关 。
势能,质点在保守力场中与位置相关的能量 。
它是一种潜在的能量, 不同于动能 。
3,势能
几种常见的势能：
重力势能 m g hE
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弹性势能
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万有引力势能
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保守力的功
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成对保守内力的功等于系统势能的减少（或
势能增量的负值）。
注意,（ 1）势能既取决于系统内物体之间相互作用
的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势
能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。
（ 2）物体系统在两个不同位置的势能差具有
一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。
（ 3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意
义。势能零点可根据问题的需要来选择。
势 能
4,势能曲线
o
)(hEp
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E
重力势能
kE
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x
A B
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引力势能
势能曲线
势能曲线的作用：
（ 1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（ 2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置
所受保守力的大小和方向。
ppp EEEA ?????? )( 12
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E
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表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此
坐标的导数的负值。
例题 3-1 一质量为 m=1kg的物体，在保守力 F（ x）的作用下，
沿 x 轴正向运动（ x>0）。与该保守力相应的势能是
式中 x以 m为单位，势能以 J为单位 a =1J·m2,b=2J · m 。 （ a） 画
出物体的势能曲线； （ b） 设物体的总能量 E =-0.50J 保持不变，
这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图
和计算的方法求物体的运动范围。
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解 （ a) 根据 )0()(
2 ??? xx
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x
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取下列数据来 画出势能曲线
保守力 势能
x/m
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0.2 0.5
1.5 0
1
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2 3 4
现在，用式（ 3-8）求物体
的平衡位置
23
2
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令 F=0,解得 x=1m,这就是物体的平衡位置，在
该点，势能有极小值，如图所示。
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保守力 势能
（ b） 当物体的总能量 E=-0.50J保持不变时，
令 Ep(x)=E就可求得物体的 Ek=E-Ep为 0的位置，
因此，令
由此解得
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（ b） 当物体的总能量 E=-0.50J保持不变时，
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因此，令
由此解得
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14.3
59.0)22(
保守力 势能
