§ 3-2 功能原理
1,质点系统动能定理
设系统由两个质点 1和 2组成，它们的质量
分别为 m1 和 m2。
1m
2m
12f
?
21f
?
2s
1s
1F
?
2F
?
1m
2m
12f
?
21f
?
2s
1s
1F
?
2F
?
对质点 1应用动能定理：
? ? ????? 111211 dd kErfrF ????
对质点 2应用动能定理：
? ? ????? 222122 dd kErfrF ????
? ??? ??????????? 212211122211 dddd kk EErfrfrFrF ????????
系统外
力的功
系统内
力的功
系统动能
的增量
kie EAA ???
质点系统动能定理
质点系统的动能定理,系统的外力和内力作
功的总和等于系统动能的增量 。
kie EAA ???
质点系统动能定理
2,系统的功能原理
因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保
守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和
非保守内力的功 。
icA
idA
idici AAA ??
pic EA ????
EEEAA pkide ????????
系统的功能原理,当系统从状态 1变化到状态 2
时, 它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力
的功的总和, 这个结论叫做系统的功能原理 。
注意：
(1)当我们取物体作为研究对象时，使用的是单
个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用
在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包
括重力、弹性力的一切外力所作的功。
(2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了
系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统
势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算
了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；
反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力
的功。
系统的功能原理
例题 3-2 一汽车的速度 v0=36km/h,驶至一斜率为
0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦
阻力为车重 G的 0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？
解 解法一：取汽车为研究
对象。汽车上坡时，受到三
个力的作用,一是沿斜坡方
向向下的摩擦力,二是
重力,方向竖直向下，
三是斜坡对物体的支持
力,如图所示。设汽车
能冲上斜坡的距离为 s，此
时汽车的末速度为 0。根据
动能定理
rf
N
G s
G G1
G2
N
fr
?
系统的功能原理
上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗
摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因
fr=?N= ?G1,所以
按题意,tg?=0.010，表示斜坡与水平面的夹角很
小，所以 sin ?≈ tg ?,G1 ≈ G,并因 G=mg,上式
可化成
2
02
10s i n mvGssf
r ????? ?
（ 1）
2
01 2
1s i n mvGssG ?? ?? （ 2）
2
02
1 vg s t ggs ?? ?? （ 3）
系统的功能原理
mms 85)0 1 0.005.0(8.92 10
2
????
)(2
2
0
?? tgg
vs
??
或
代入已知数字得
)021()s i n0 20 ????? mvGssf r ?＝（
（ 4）即 ?? s i n
2
1 2
0 GsmvGs ??
解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系
统内只有汽车受到 和 两个力的作用，运用系统
的功能原理，有 rf
N
系统的功能原理
解 在物体从 A到 B的下滑过程中，不仅有重力 G 的作用，
而且还有摩擦力 F和正压力 N 的作用,F与 N 两者都是变
力 N 处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功。正压
力的，但摩擦力所作的功却因它是变力而使计算
复杂起来，比较方便的方法是采用功
能原理进行计算，把物体和地球作为
系统，则物体在 A点时系统的能量 EA是
系统的势能 mgR，而在 B点时系统的能
量 EB则是动能 mv2/2，它们的差值就是
摩擦力所作的功，由此
例题 3-3 在图中，一个质量 m=2kg的物体从静止开始，
沿四分之一的圆周从 A滑到 B，已知圆的半径 R=4m，设
物体在 B处的速度 v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所
作的功。
? O
RA
B
N
G
fr
v
系统的功能原理
JJJ
m gRmvEEA AB
4.4248.9262
2
1 2
1
2
2
????????
????
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦
力作功 42.4J
系统的功能原理
例题 3-4 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它
说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某
点的压强 p、流速 v和高度 h三个量之间的关系为
式中 ?是流体的密度,g是重力加速度。试用功能原
理导出伯努利方程。
常量??? hgvgp 2
2
?
解 如图所示，我们研究管
道中一段流体的运动。设在
某一时刻，这段流体在 a1a2
位置，经过极短时间 ?t后，
这段流体达到 b1b2位置
v
1
v
2p2 S2
p2 S2
h1
h2
a1 b1
a2
b2
系统的功能原理
现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假
设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对
这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。
所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体
对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正
功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
因为时间 ?t极短，所以 a1b1和 a2b2是两段极短的位移，
在每段极短的位移中，压强 p、截面积 S和流速 v都可看作
不变。设 p1,S1,v1和 p2,S2,v2分别是 a1b1与 a2b2处流体
的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是 p1S1，位
移是 v1 ?t,所作的正功是 p1S1v1 ?t,而前面流体作用力
作的负功是 -p2S2v2 ?t,由此，外力的总功是
系统的功能原理
其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定流动
来说，在 b1a2间的流体的动能和势能是不改变的。由此，
就能量的变化来说，可以看成是原先在 a1b1处的流体，
在时间 ?t内移到了 a2b2处，由此而引起的能量增量是
因为流体被认为不可压缩。所以 a1b1和 a2b2两小段流体
的体积 S1v1?t和 S2v2?t必然相等，用 ?V表示，则上式
可写成 ? ? VPPA ???
21
)]
2
1
()
2
1
[(
)
2
1
()
2
1
(
1
2
12
2
1
2
2
2
12
2
12
ghvghvV
m g hmvm g hmvEE
?????
?????
?
? ? tVSPVSPA ??? 222111
系统的功能原理
)]21()21[()( 1212221 2 ghvghvVVpp ??????? ?
2
2
21
2
11 22
1
2
1 ghvpghvp ???? ?????
从功能原理得
整理后得
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，
流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个
常量。在工程上，上式常写成
常量??? hgvgp 2
2
?
系统的功能原理
、gp? h
g
v,
2
2
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、
速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想
流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很
大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有
广泛的应用。
系统的功能原理
、gp? h
g
v,
2
2
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头,
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、
速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想
流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很
大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有
广泛的应用。
系统的功能原理
1,质点系统动能定理
设系统由两个质点 1和 2组成，它们的质量
分别为 m1 和 m2。
1m
2m
12f
?
21f
?
2s
1s
1F
?
2F
?
1m
2m
12f
?
21f
?
2s
1s
1F
?
2F
?
对质点 1应用动能定理：
? ? ????? 111211 dd kErfrF ????
对质点 2应用动能定理：
? ? ????? 222122 dd kErfrF ????
? ??? ??????????? 212211122211 dddd kk EErfrfrFrF ????????
系统外
力的功
系统内
力的功
系统动能
的增量
kie EAA ???
质点系统动能定理
质点系统的动能定理,系统的外力和内力作
功的总和等于系统动能的增量 。
kie EAA ???
质点系统动能定理
2,系统的功能原理
因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保
守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和
非保守内力的功 。
icA
idA
idici AAA ??
pic EA ????
EEEAA pkide ????????
系统的功能原理,当系统从状态 1变化到状态 2
时, 它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力
的功的总和, 这个结论叫做系统的功能原理 。
注意：
(1)当我们取物体作为研究对象时，使用的是单
个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用
在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包
括重力、弹性力的一切外力所作的功。
(2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了
系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统
势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算
了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；
反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力
的功。
系统的功能原理
例题 3-2 一汽车的速度 v0=36km/h,驶至一斜率为
0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦
阻力为车重 G的 0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？
解 解法一：取汽车为研究
对象。汽车上坡时，受到三
个力的作用,一是沿斜坡方
向向下的摩擦力,二是
重力,方向竖直向下，
三是斜坡对物体的支持
力,如图所示。设汽车
能冲上斜坡的距离为 s，此
时汽车的末速度为 0。根据
动能定理
rf
N
G s
G G1
G2
N
fr
?
系统的功能原理
上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗
摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因
fr=?N= ?G1,所以
按题意,tg?=0.010，表示斜坡与水平面的夹角很
小，所以 sin ?≈ tg ?,G1 ≈ G,并因 G=mg,上式
可化成
2
02
10s i n mvGssf
r ????? ?
（ 1）
2
01 2
1s i n mvGssG ?? ?? （ 2）
2
02
1 vg s t ggs ?? ?? （ 3）
系统的功能原理
mms 85)0 1 0.005.0(8.92 10
2
????
)(2
2
0
?? tgg
vs
??
或
代入已知数字得
)021()s i n0 20 ????? mvGssf r ?＝（
（ 4）即 ?? s i n
2
1 2
0 GsmvGs ??
解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系
统内只有汽车受到 和 两个力的作用，运用系统
的功能原理，有 rf
N
系统的功能原理
解 在物体从 A到 B的下滑过程中，不仅有重力 G 的作用，
而且还有摩擦力 F和正压力 N 的作用,F与 N 两者都是变
力 N 处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功。正压
力的，但摩擦力所作的功却因它是变力而使计算
复杂起来，比较方便的方法是采用功
能原理进行计算，把物体和地球作为
系统，则物体在 A点时系统的能量 EA是
系统的势能 mgR，而在 B点时系统的能
量 EB则是动能 mv2/2，它们的差值就是
摩擦力所作的功，由此
例题 3-3 在图中，一个质量 m=2kg的物体从静止开始，
沿四分之一的圆周从 A滑到 B，已知圆的半径 R=4m，设
物体在 B处的速度 v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所
作的功。
? O
RA
B
N
G
fr
v
系统的功能原理
JJJ
m gRmvEEA AB
4.4248.9262
2
1 2
1
2
2
????????
????
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦
力作功 42.4J
系统的功能原理
例题 3-4 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它
说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某
点的压强 p、流速 v和高度 h三个量之间的关系为
式中 ?是流体的密度,g是重力加速度。试用功能原
理导出伯努利方程。
常量??? hgvgp 2
2
?
解 如图所示，我们研究管
道中一段流体的运动。设在
某一时刻，这段流体在 a1a2
位置，经过极短时间 ?t后，
这段流体达到 b1b2位置
v
1
v
2p2 S2
p2 S2
h1
h2
a1 b1
a2
b2
系统的功能原理
现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假
设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对
这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。
所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体
对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正
功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
因为时间 ?t极短，所以 a1b1和 a2b2是两段极短的位移，
在每段极短的位移中，压强 p、截面积 S和流速 v都可看作
不变。设 p1,S1,v1和 p2,S2,v2分别是 a1b1与 a2b2处流体
的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是 p1S1，位
移是 v1 ?t,所作的正功是 p1S1v1 ?t,而前面流体作用力
作的负功是 -p2S2v2 ?t,由此，外力的总功是
系统的功能原理
其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定流动
来说，在 b1a2间的流体的动能和势能是不改变的。由此，
就能量的变化来说，可以看成是原先在 a1b1处的流体，
在时间 ?t内移到了 a2b2处，由此而引起的能量增量是
因为流体被认为不可压缩。所以 a1b1和 a2b2两小段流体
的体积 S1v1?t和 S2v2?t必然相等，用 ?V表示，则上式
可写成 ? ? VPPA ???
21
)]
2
1
()
2
1
[(
)
2
1
()
2
1
(
1
2
12
2
1
2
2
2
12
2
12
ghvghvV
m g hmvm g hmvEE
?????
?????
?
? ? tVSPVSPA ??? 222111
系统的功能原理
)]21()21[()( 1212221 2 ghvghvVVpp ??????? ?
2
2
21
2
11 22
1
2
1 ghvpghvp ???? ?????
从功能原理得
整理后得
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，
流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个
常量。在工程上，上式常写成
常量??? hgvgp 2
2
?
系统的功能原理
、gp? h
g
v,
2
2
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、
速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想
流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很
大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有
广泛的应用。
系统的功能原理
、gp? h
g
v,
2
2
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头,
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、
速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想
流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很
大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有
广泛的应用。
系统的功能原理
