机械能守恒定律,如果一个系统内只有保守内
力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系
统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能
的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
??? PK EEE 常量或
PbPaKaKb EEEE ???
或
§ 3-3 机械能守恒定律 能量守恒定律
1,机械能守恒定律
条件 0??
ide AA
PbKbPaKa EEEE ???
定律
2,能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统
的所有能量的总和是不变的，能量只能从一
种形式变化为另外一种形式，或从系统内一
个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量
守恒定律 。
能量守恒定律
例题 3-5 起重机用钢丝绳吊运一质量为 m 的物体，以
速度 v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，
物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸
长？ (设钢丝绳的劲度系数为 k，钢丝绳的重力忽略不
计 )。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多
大？
x
0 h
G
T
v
0
守恒定律
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。
除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都
不作功，所以系统的机械能守恒。
x0
h
G
T
v0
守恒定律
现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停
止的那个瞬时位置，物体的动能为
2
01 2
1 mvE
k ?
设这时钢丝绳的伸长量为 x0，系统的弹性势能为
2
01 2
1 kxE
p ?
弹
如果物体因惯性继续下降的微小距离为 h，并
且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系
统这时的重力势能为
m g hE p ?重 1
守恒定律
所以，系统在这位置的总机械能为
m g hkxmvEEEE ppk ??? 20201111 2121重弹 ＋＋＝
在物体下降到最低位置时，物体的动能 Ek2=0，
系统的弹性势能应为
2
02 )(2
1 hxkE
p ??
弹
此时的重力势能 02 ?重pE
2
02222 )(2
1 hxkEEEE
ppk ??
重弹 ＋＋＝
所以在最低位置时，系统的总机械能为
守恒定律
按机械能守恒定律，应有 E1＝ E2，于是
2
0
2
0
2
0 )(2
1
2
1
2
1 hxkm g hkxmv ????
021)(21 2002 ???? mvhmgkxkh
由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长 x0量满足
x0=G/k=mg/k，代入上式后得
0202 ?? mvkh
0vk
mh ?即
守恒定律
钢丝绳对物体的拉力 T和物体对钢丝绳的拉力 T’是
一对作用力和反作用力。 T’和 T的大小决定于钢丝绳
的伸长量 x,T’=kx。现在，当物体在起重机突然刹车
后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量 x=x0+h
是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力
000 )()( vkmmgvk
m
k
mgkhxkT
m ???????
由此式可见，如果 v0较大,T’m也较大。所以对
于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度 v0不得超过
某一限值。
守恒定律
例题 3-6 用一弹簧将质量分别为 m1和 m2的上下两水
平木板连接如图所示，下板放在地面上。（ 1）如以
上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能
的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势
能。（ 2）对上板加多大的向下压力 F,才能因突然
撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？
x0
x
O
x
F
x1
x2
守恒定律
解（ 1）参看图 (a)，取上板的平衡位置为 x 轴的原点，
并设弹簧为原长时上板处在 x0位置。系统的弹性势
能
x0
x
O
x
F
x1
x2
0
22
0
2
0 2
1
2
1)(
2
1 kxxkxkxxxkE
pe ?????
gxmE pg 1?系统的重力势能
守恒定律
所以总势能为
gxmxkxkxEEE pgpep 10221 ???＋＝
考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得 kx0=m1g，代
入上式得
2
2
1 kxE
p ?
可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原
点和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单
一形式出现。
守恒定律
末态
初态
（ 2）参看图 (b)，以加力 F 时为初态，撤去力 F而
弹簧伸长最大时为末态，则
x0
x
O
x
F
x1
x2
守恒定律
2
111 2
10 kxEE
pk ??
2
222 2
10 kxEE
pk ??
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkx ?
根据能量守恒定律，应有
因恰好提起 m2时,k(x2-x0)=m2g，而 kx1=F,kx0=m1g
? ? gmmF 21 ??
这就是说 F?（ m1+m2)g时，下板就能被拉起 。
代入解得
守恒定律
2
2
2
1 2
1
2
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这就是说 F?（ m1+m2)g时，下板就能被拉起 。
代入解得
守恒定律
力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系
统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能
的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
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或
§ 3-3 机械能守恒定律 能量守恒定律
1,机械能守恒定律
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2,能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统
的所有能量的总和是不变的，能量只能从一
种形式变化为另外一种形式，或从系统内一
个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量
守恒定律 。
能量守恒定律
例题 3-5 起重机用钢丝绳吊运一质量为 m 的物体，以
速度 v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，
物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸
长？ (设钢丝绳的劲度系数为 k，钢丝绳的重力忽略不
计 )。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多
大？
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守恒定律
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。
除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都
不作功，所以系统的机械能守恒。
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守恒定律
现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停
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2
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设这时钢丝绳的伸长量为 x0，系统的弹性势能为
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如果物体因惯性继续下降的微小距离为 h，并
且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系
统这时的重力势能为
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守恒定律
所以，系统在这位置的总机械能为
m g hkxmvEEEE ppk ??? 20201111 2121重弹 ＋＋＝
在物体下降到最低位置时，物体的动能 Ek2=0，
系统的弹性势能应为
2
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此时的重力势能 02 ?重pE
2
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1 hxkEEEE
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所以在最低位置时，系统的总机械能为
守恒定律
按机械能守恒定律，应有 E1＝ E2，于是
2
0
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021)(21 2002 ???? mvhmgkxkh
由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长 x0量满足
x0=G/k=mg/k，代入上式后得
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守恒定律
钢丝绳对物体的拉力 T和物体对钢丝绳的拉力 T’是
一对作用力和反作用力。 T’和 T的大小决定于钢丝绳
的伸长量 x,T’=kx。现在，当物体在起重机突然刹车
后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量 x=x0+h
是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力
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由此式可见，如果 v0较大,T’m也较大。所以对
于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度 v0不得超过
某一限值。
守恒定律
例题 3-6 用一弹簧将质量分别为 m1和 m2的上下两水
平木板连接如图所示，下板放在地面上。（ 1）如以
上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能
的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势
能。（ 2）对上板加多大的向下压力 F,才能因突然
撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？
x0
x
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x1
x2
守恒定律
解（ 1）参看图 (a)，取上板的平衡位置为 x 轴的原点，
并设弹簧为原长时上板处在 x0位置。系统的弹性势
能
x0
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22
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守恒定律
所以总势能为
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考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得 kx0=m1g，代
入上式得
2
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可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原
点和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单
一形式出现。
守恒定律
末态
初态
（ 2）参看图 (b)，以加力 F 时为初态，撤去力 F而
弹簧伸长最大时为末态，则
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x
O
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x1
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守恒定律
2
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1
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根据能量守恒定律，应有
因恰好提起 m2时,k(x2-x0)=m2g，而 kx1=F,kx0=m1g
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这就是说 F?（ m1+m2)g时，下板就能被拉起 。
代入解得
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2
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因恰好提起 m2时,k(x2-x0)=m2g，而 kx1=F,kx0=m1g
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代入解得
守恒定律
