§ 3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律
1,质心
抛手榴弹的过程
C
O X
Y
质点系的质
量中心, 简称 质
心 。 具有长度的
量纲, 描述与质
点系有关的某一
空间点的位置 。
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于 N个质点组成的质点系：
Ni mmmm ??,,,,21
Ni rrrr
??????,,,,
21
Mxmx iic /??
Mymy iic /??
Mzmz iic /??
?
?? imM
Mrmr iic /?? ??
直角坐标系中
质 心
Mmrr c /d?? ??
对于质量连续分布的物体
分量形式
?
Mmxx c /d??
Mmyy c /d??
Mmzz c /d??
面分布
体分布
线分布 lm dd ??
Sm dd ??
Vm dd ??
质 心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关 。
刚体的质心相对自身位置确定不变 。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心 。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时,质
心与重心位置重合。
质 心
例题 3-7求腰长为 a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
a
x d x
dxx
dm
x d m
x
a
a
c 3
2
2
2
2/
0
2/
0
2
???
?
?
?
?
?
?
三角形质心坐标 xc是
dxxdm ?2?
dx
x
O x
y
a
解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，
所以质心位于此分角线上。以此分角线为 x轴，作坐
标轴如所示。 在离原点处取宽度为 dx的面积元，由
于面积元的高度为 2y，所以其面积为 2ydx=2xdx。设
薄板每单位面积的质量为,则此面积元的质量?
质 心
例 1,确定半径为 R的均质半球的质心位置。
解,建立如图所示坐标
已知薄圆盘的质心位
于圆心, 取厚度为 dy的
薄圆盘为质量微元 。
? ? yyRm dd 22 ????
R X
Y
O
dy
m
my
y c ??
d
质 心
3/2
d)(
3
0
22
R
yyRy
R
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d
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0
222
R
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R
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3
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4
)2/(3
R
yyR R?
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2/3
3
4
R
R?
8
3 R?
质心在距球
心 3R/8处 。
m
my
y c ??
d
质 心
2,质心运动定理
i
ii
c m
rmr
?
?? ??
设有一个质点系, 由 个质点组成, 它的质心
的位矢是,n
n
nn
mmm
rmrmrm
???
????
?
????
21
2211
质心的速度为
t
rv c
c d
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i
i
i
m
t
r
m
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d
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i
ii
m
vm
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质心的加速度为
t
va c
c d
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i
i
i
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v
m
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d
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i
ii
m
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由牛顿第二定律得
nfffFt
vmam
113121
1
111 d
d ??????? ??????
nfffFt
vmam
223222
2
222 d
d ??????? ??????
nnnnn
n
nnn fffFt
vmam ??????? ??????
32d
d
??
质心运动定理
质心运动定理
对于内力
iii Fam ?? ??
??
??????,0,,02112 ???? niin ffff
i
ii
c m
ama
?
?? ?? M
F
m
Fa i
i
i
c
?
?
? ??
??
?
ci aMF
?? ??
质心运
动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力
作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体
的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作
用其上的一个质点的运动一样。
3,动量守恒定律
M
vmv ii
c
??
?? =常矢量
??
i
iim vP
?? cvm ??
=常矢量
如果系统所受的外力之和为零 （ 即 ）,
则系统的总动量保持不变 。 这个结论叫做动量守恒
定律 。
0?? iF?
条件
0?? iF?
定律
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
nxnxx vmvmvm ??? ?2211
=常量
nynyy vmvmvm ??? ?2211
=常量
nznzz vmvmvm ??? ?2211
=常量
4,火箭飞行
前
苏
联
东
方
1
号
火
箭
长
征
三
号
运
载
火
箭
火
箭
发
射
4,火箭飞行
设在某一瞬时, 火箭的
质量为, 速度为, 在其
后 到 时间内, 火箭喷
出了质量为 的气体, 是
质量 在 时间内的增量,
喷出的气体相对于火箭的速
度为, 使火箭的速度增加
了 。
t
m
v?
t tt d?
md md
m
td
u?
v?d
喷气前总动量为,vm?
喷气后火箭的动量为,)d)(d( vvmm ?? ??
所喷出燃气的动量为,))(d( uvm ?? ??
v? vv ?? d?
M
t时刻
t+dt时刻
M-dm
dm
u?
由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不
变。根据动量受恒定律
))(d()d)(d( uvmvvmmmv ??????
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
m
muv dd ??
化简
?? ?? 2
1
2
1
dd m
m
v
v m
muv
2
1
12 ln m
muvv ??
火箭飞行
M
Mu
m
muv M
M
0lnd
0
??? ?
设火箭开始飞行的速度为零，质量为,燃
料烧尽时，火箭剩下的质量为,此时火箭能达
到的速度是
0M
M
火箭的
质量比
多级火箭
ii
n
i
n Nuv ln
1
?
?
?
iu 第 i级火箭喷气速率
iN
第 i级火箭质量比
火箭飞行
第一宇宙速度
人造卫星
星下点轨迹
人造卫星
多颗卫星组成的全球定位系统 （ GPS)
人造卫星
例题 3-8 如图所示,设炮车以仰角 ?发射一炮弹，炮车
和炮弹的质量分别为 M和 m，炮弹的出口速度为 v，求
炮车的反冲速度 V。炮车与地面间的摩擦力不计。
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖
直方向上的外力有重力 和地面支持力,而
且,在发射过程中 并不成立
（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为
零，所以这一系统的总动量不守恒。
NG NG ??
NG ??
?
v
mM
动量守恒定律
Vvu ??
它的水平分量为 Vvu
x ?? ?c o s
于是，炮弹在水平方向的动量为 m(vcos ?-V)，而
炮车在水平方向的动量为 -MV。根据动量守恒定理
有
经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速
度,按速度变换定理为u
?c o svMm mV ??
由此得炮车的反冲速度为
? ? 0c o s ???? VvmMV ?
动量守恒定律
解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，
它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此
可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍
等于零，即
例题 3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，
且以相同速度 30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块
的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速
度（大小和方向）。
所以，这三个动量必处于
同一平面内，且第三块的动量
必和第一、第二块的合动量大
小相等方向相反，如图所示。
因为 v1和 v2相互垂直所以
0332211 ??? vmvmvm
m3v3
m2v2
m1v1
?
?
动量守恒定律
222211233 )()()( vmvmvm ??
smvvv /2.2130302121 2222213 ?????
由于 和 所成角 ?由下式决定：1v 3v
?? ?? 01 8 0,45,1 0
1
2 ??? ??
v
vtg
因 所以
0135??
即 和 及 都成 且三者都在同一平面内01353v?1v? 2v?
由于,所以 的大小为3v mmmmm 2,
321 ???
动量守恒定律
例题 3-10 质量为 m1 和 m2的两个小孩，在光滑水平冰面
上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 l。问他们将
在何处相遇？
解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不
受外力，此方向的动量守恒。
建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右
为 x轴为正方向。设开始时质量为 m1 的小孩坐标为 x10,
质量为 m2的小孩坐标为 x20，他们在任意时刻的速度分
别 v1为 v2,相应坐标为 x1和 x2由运动学公式得
Cm2
m1
x10x20 xO
动量守恒定律
?? ??? tt dtvxdtvx 0 2200 110
??? t dtvxx 0 1101 (1)
??? t dtvxx 0 2202 (2)
在相遇时,x1=x2=xc，于是有
即 ? ??? t dtvvxx
0 122010 )(
(3)
因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（ 3）得
?? ????? tt dtvm mmdtvmmxx 0 1
2
21
0 1
2
1
2010 )1( －－
动量守恒定律
21
102202
0 1 mm
xmxmdtvt
?
???即
代入式（ 1）,并令 x1=xc得
21
101202
21
102202
10 mm
xmxm
mm
xmxmxx
c ?
??
?
??? (4)
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们
共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定
律求出
动量守恒定律
例 一质量 的人站在一条质量为,
长度 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走
到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
kgm 501 ? kgm 2002 ?
ml 4?
o
1x?
1x
2x?
2x
d
x
y
bcbc?
解：
设 表示
船本身的质心 bc
动量守恒定律
当人站在船的左端时
21
2211
mm
xmxm
cx ?
??
当人站在船的右端时
21
2211
mm
xmxm
cx ?
?????
对船和人这一
系统，在水平方向上
不受外力，因而在水
平方向的质心速度不
变。又因为原来质心
静止，所以在人走动
过程中质心始终静止，
因而质心的坐标值不
变。
cc xx ??
o
1x?
1x
2x?
2x
d
x
y
bcbc?
动量守恒定律
22112211 xmxmxmxm ?????
)()( 222111 xxmxxm ?????
l-d d
)(8.0
21
1 mld
mm
m ??
?
o
1x?
1x
2x?
2x
d
x
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动量守恒定律
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1,质心
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C
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质点系的质
量中心, 简称 质
心 。 具有长度的
量纲, 描述与质
点系有关的某一
空间点的位置 。
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于 N个质点组成的质点系：
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21
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质 心
Mmrr c /d?? ??
对于质量连续分布的物体
分量形式
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Mmxx c /d??
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面分布
体分布
线分布 lm dd ??
Sm dd ??
Vm dd ??
质 心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关 。
刚体的质心相对自身位置确定不变 。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心 。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时,质
心与重心位置重合。
质 心
例题 3-7求腰长为 a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
a
x d x
dxx
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解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，
所以质心位于此分角线上。以此分角线为 x轴，作坐
标轴如所示。 在离原点处取宽度为 dx的面积元，由
于面积元的高度为 2y，所以其面积为 2ydx=2xdx。设
薄板每单位面积的质量为,则此面积元的质量?
质 心
例 1,确定半径为 R的均质半球的质心位置。
解,建立如图所示坐标
已知薄圆盘的质心位
于圆心, 取厚度为 dy的
薄圆盘为质量微元 。
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R X
Y
O
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质 心
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质心在距球
心 3R/8处 。
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质 心
2,质心运动定理
i
ii
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设有一个质点系, 由 个质点组成, 它的质心
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质心运动定理
质心运动定理
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质心运
动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力
作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体
的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作
用其上的一个质点的运动一样。
3,动量守恒定律
M
vmv ii
c
??
?? =常矢量
??
i
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=常矢量
如果系统所受的外力之和为零 （ 即 ）,
则系统的总动量保持不变 。 这个结论叫做动量守恒
定律 。
0?? iF?
条件
0?? iF?
定律
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
nxnxx vmvmvm ??? ?2211
=常量
nynyy vmvmvm ??? ?2211
=常量
nznzz vmvmvm ??? ?2211
=常量
4,火箭飞行
前
苏
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方
1
号
火
箭
长
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三
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载
火
箭
火
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设在某一瞬时, 火箭的
质量为, 速度为, 在其
后 到 时间内, 火箭喷
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质量 在 时间内的增量,
喷出的气体相对于火箭的速
度为, 使火箭的速度增加
了 。
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变。根据动量受恒定律
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设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
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化简
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火箭飞行
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料烧尽时，火箭剩下的质量为,此时火箭能达
到的速度是
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M
火箭的
质量比
多级火箭
ii
n
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1
?
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iu 第 i级火箭喷气速率
iN
第 i级火箭质量比
火箭飞行
第一宇宙速度
人造卫星
星下点轨迹
人造卫星
多颗卫星组成的全球定位系统 （ GPS)
人造卫星
例题 3-8 如图所示,设炮车以仰角 ?发射一炮弹，炮车
和炮弹的质量分别为 M和 m，炮弹的出口速度为 v，求
炮车的反冲速度 V。炮车与地面间的摩擦力不计。
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖
直方向上的外力有重力 和地面支持力,而
且,在发射过程中 并不成立
（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为
零，所以这一系统的总动量不守恒。
NG NG ??
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v
mM
动量守恒定律
Vvu ??
它的水平分量为 Vvu
x ?? ?c o s
于是，炮弹在水平方向的动量为 m(vcos ?-V)，而
炮车在水平方向的动量为 -MV。根据动量守恒定理
有
经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速
度,按速度变换定理为u
?c o svMm mV ??
由此得炮车的反冲速度为
? ? 0c o s ???? VvmMV ?
动量守恒定律
解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，
它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此
可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍
等于零，即
例题 3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，
且以相同速度 30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块
的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速
度（大小和方向）。
所以，这三个动量必处于
同一平面内，且第三块的动量
必和第一、第二块的合动量大
小相等方向相反，如图所示。
因为 v1和 v2相互垂直所以
0332211 ??? vmvmvm
m3v3
m2v2
m1v1
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动量守恒定律
222211233 )()()( vmvmvm ??
smvvv /2.2130302121 2222213 ?????
由于 和 所成角 ?由下式决定：1v 3v
?? ?? 01 8 0,45,1 0
1
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v
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因 所以
0135??
即 和 及 都成 且三者都在同一平面内01353v?1v? 2v?
由于,所以 的大小为3v mmmmm 2,
321 ???
动量守恒定律
例题 3-10 质量为 m1 和 m2的两个小孩，在光滑水平冰面
上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 l。问他们将
在何处相遇？
解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不
受外力，此方向的动量守恒。
建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右
为 x轴为正方向。设开始时质量为 m1 的小孩坐标为 x10,
质量为 m2的小孩坐标为 x20，他们在任意时刻的速度分
别 v1为 v2,相应坐标为 x1和 x2由运动学公式得
Cm2
m1
x10x20 xO
动量守恒定律
?? ??? tt dtvxdtvx 0 2200 110
??? t dtvxx 0 1101 (1)
??? t dtvxx 0 2202 (2)
在相遇时,x1=x2=xc，于是有
即 ? ??? t dtvvxx
0 122010 )(
(3)
因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（ 3）得
?? ????? tt dtvm mmdtvmmxx 0 1
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21
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动量守恒定律
21
102202
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上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们
共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定
律求出
动量守恒定律
例 一质量 的人站在一条质量为,
长度 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走
到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
kgm 501 ? kgm 2002 ?
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解：
设 表示
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动量守恒定律
当人站在船的左端时
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当人站在船的右端时
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对船和人这一
系统，在水平方向上
不受外力，因而在水
平方向的质心速度不
变。又因为原来质心
静止，所以在人走动
过程中质心始终静止，
因而质心的坐标值不
变。
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动量守恒定律
