§ 5-5 狭义相对论动力学基础
1,相对论力学的基本方程
牛顿力学中，动量 vmp ?? ?
a.在洛氏变换下保持不变 ;
b.在 的条件下，还原为牛顿力学的
动量形式。
0?cv
m,不随物体运动状态而改变的恒量。
相对论动量必须满足以下两个条件：
10 vc
p mv c v? ? 02 21
p mv?
P
相对论性质量：
cv
mm
22
0
1 ?
?
m0 —— 静止质量
由此，得相对论动量：
vp
cv
m ??
22
0
1 ?
?
0 vc1
m mv c? ? 02 21m
0m
相对论力学的基本方程
说明：
b.当 时,即不论对物体加多大的力，
也不可能再使它的速度增加 。
cv? m ? ?
c.当 时，必须 即以光速运动的物
体是没有静止质量的。
v c? 00 ?m
d,相对论力学基本方程
vmp ?? ? Fvt cv
m ?? ?
?
)( 220
1d
d
上式方程满足相对性原理
amF ?? 0?
a.在 时, 。
0mm ?
v c??
在 的条件下：v c??
相对论力学的基本方程
2,质量与能量的关系
2.1 相对论动能
设一质点在变力作用下，由静止开始沿 X 轴作
一维运动，根据动能定律：
??? ???? pvxtpxFE xk ddddd
?
?
?
?
?
?
??
v
v
v
vppv
cv
m
cv
vm
0 22
0
22
2
0 d
11
d
cmcmE k 202 ??
相对论动能
)(
)(
1
8
3
2
1
1
1
1
4
4
2
2
2
0
22
2
0
?????
?
?
?
?
c
v
c
v
cm
cv
cmE k
上式表明：质点以速率 运动时所具有的
能量,与质点静止时所具有的能量
之差，等于质点相对论性的 动能
v
2mc cm 20
在 的条件下：v c?? vmE k
2
02
1?
相对论动能
EEE k 0?? cmEmc k
202 ??
mcE 2?
2.2 相对论总能量
说明：
a,物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当
可观的静能量。
b,相对论中的质量不仅是惯性的量度，而且
还是总能量的量度。
c,如果一个系统的质量发生变化，能量必有
相应的变化。
d,对一个孤立系统而言，总能量守恒，总质
量也守恒。
相对论总能量
相对论总能量
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
3.动量与能量的关系
在相对论中,cv
m vmvp
22
0
1 ???
cv
cmmcE
22
2
02
1 ?
??
cvmcmmc 22222 )()( 202 ??
cpEE 2222 0 ??
由以上两式消去 可得：v
动量与能量的关系
E
0E
pc
对于以光速运动的物体：
pcE ?光子：
?hE ? cc
hEm
22
???
?
h
c
Ep ??
00 ?m
22202 CPE ??
动量与能量的关系
例题 5-3 原子核的结合能 。 已知质子和中子的质量分
别为,
uM
uM
n
P
660 0 0 8.1
280 0 0 7.1
?
?
两个质子和两个中子组成一氦核, 实验测得它的
质量为 MA=4.0001 50u,试计算形成一个氦核时放出
的能量 。 (1u=1.660?10-27kg)
He24
而从实验测得氦核质量 MA小于质子和中子的总质量
M,这差额称 ?M=M-MA为原子核的质量亏损 。 对
于 核He24
kg
uMMM A
27106 6 0.1380 3 0.0
380 3 0.0
???
????
＝
uMMM nP 880 0 3 1.422 ???
解, 两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
相对论动力学基础
根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量
之间有一定的关系，当系统质量改变 ?M 时，一
定有相应的能量改变 2McE ?? ＝
? ?
J
JE
11
2827
1094 5 3.0
103106 6 0.1380 3 0.0
?
?
??
??????
由此可知, 当质子和中子组成原子核时, 将有
大量的能量放出, 该能量就是原子核的结合能 。 所
以形成一个氦核时所放出的能量为
相对论动力学基础
例题 5-4 设有两个静止质量都是 m0 的粒子，以大小
相同,方向相反的速度相撞，反应合成一
个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量
和一定速度。
2
2
02
1
2
??
? cmMc MVvmvm ?
00 －
2
0
0 1
2
??
? mM 0
MM ?
式中 M 和 V 分别是复合粒子的质量和速度 。
显然 V=0,这样
而
解,设两个粒子的速率都是 v,由动量守恒和能
量守恒定律得
相对论动力学基础
这表明复合粒子的静止质量 M0 大于 2m0,两者
的差值
2
2
0
2
21
0
2
0
2
0 c
K
E
m
m
mM ?
?
? －－
?
式中 Ek 为两粒子碰撞前的动能 。 由此可见, 与
动能相应的这部分质量转化为静止质量, 从而使
碰撞后复合粒子的静止质量增大了 。
相对论动力学基础
? ??
??
co s1
00
???
cm
hcc
c
h 0?
c
h? ?
例题 5-5 一束具有能量为, 动量为 的光
子流, 与一 个静止的电子作弹性碰撞, 散射光子
的能量为, 动 量为 。 试证光子的散射角 满
足下式：
0?h
?h
此处 m0 是电子的静止质量,h 为普朗克常量,
电子 x
0
0 e
c
hv ?
echv?
mv
?
?
相对论动力学基础
与此同时电子向着某一角度 ?的方向飞去, 它的能
量和动量分别变为 mc2 和 vm
即在二者作弹性碰撞时, 应满足能量守恒和动量守
恒两个定律,
证明,在图中, 入射光子的能量和动量分别为
和,与物质中质量为 m0的静止自由电子发生
碰撞 。 碰撞后, 设光子散射开去而和原来入射方向
成 角, 这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量 。
0?h
00 ec
h?
? e
c
h??h
0e e
2200 mchcmh ??? ?? （ 1）
相对论动力学基础
echechvm ?? ?? 00
? ? ????? co s2 0
22
02
c
h
c
h
c
h
c
hmv ?
??????????????
ech?
0
0 e
c
h? 从图中可以看出, 矢量 是矢量 和
所组成平行四边形的对角线, 所以
vm
或
（ 1） 也可改写为
????? c o s2 0222202222 hhhcvm ???
? ? 2002 cmhmc ?? ?? －
（ 3）
（ 4）
相对论动力学基础
（ 2）
将式 （ 4） 平方再减去式 （ 3）, 得到
上式可写成
由此可得
亦即
? ? ? ?????? －－－ 02002420420 212 hcmhcmcm ?? c o s
? ? ? ?????? －－－ 020024202
2
42 2121 hcmhcm
c
vcm ???
?
??
?
? ? co s
? ??
??
co s??? 1
00 cm
hcc
? ? ? ??
??
?? co s??? 1
00
0
cm
hc
相对论动力学基础
将式 （ 4） 平方再减去式 （ 3）, 得到
上式可写成
由此可得
亦即
? ? ? ?????? －－－ 02002420420 212 hcmhcmcm ?? c o s
? ? ? ?????? －－－ 020024202
2
42 2121 hcmhcm
c
vcm ???
?
??
?
? ? co s
? ??
??
co s??? 1
00 cm
hcc
? ? ? ??
??
?? co s??? 1
00
0
cm
hc
相对论动力学基础
1,相对论力学的基本方程
牛顿力学中，动量 vmp ?? ?
a.在洛氏变换下保持不变 ;
b.在 的条件下，还原为牛顿力学的
动量形式。
0?cv
m,不随物体运动状态而改变的恒量。
相对论动量必须满足以下两个条件：
10 vc
p mv c v? ? 02 21
p mv?
P
相对论性质量：
cv
mm
22
0
1 ?
?
m0 —— 静止质量
由此，得相对论动量：
vp
cv
m ??
22
0
1 ?
?
0 vc1
m mv c? ? 02 21m
0m
相对论力学的基本方程
说明：
b.当 时,即不论对物体加多大的力，
也不可能再使它的速度增加 。
cv? m ? ?
c.当 时，必须 即以光速运动的物
体是没有静止质量的。
v c? 00 ?m
d,相对论力学基本方程
vmp ?? ? Fvt cv
m ?? ?
?
)( 220
1d
d
上式方程满足相对性原理
amF ?? 0?
a.在 时, 。
0mm ?
v c??
在 的条件下：v c??
相对论力学的基本方程
2,质量与能量的关系
2.1 相对论动能
设一质点在变力作用下，由静止开始沿 X 轴作
一维运动，根据动能定律：
??? ???? pvxtpxFE xk ddddd
?
?
?
?
?
?
??
v
v
v
vppv
cv
m
cv
vm
0 22
0
22
2
0 d
11
d
cmcmE k 202 ??
相对论动能
)(
)(
1
8
3
2
1
1
1
1
4
4
2
2
2
0
22
2
0
?????
?
?
?
?
c
v
c
v
cm
cv
cmE k
上式表明：质点以速率 运动时所具有的
能量,与质点静止时所具有的能量
之差，等于质点相对论性的 动能
v
2mc cm 20
在 的条件下：v c?? vmE k
2
02
1?
相对论动能
EEE k 0?? cmEmc k
202 ??
mcE 2?
2.2 相对论总能量
说明：
a,物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当
可观的静能量。
b,相对论中的质量不仅是惯性的量度，而且
还是总能量的量度。
c,如果一个系统的质量发生变化，能量必有
相应的变化。
d,对一个孤立系统而言，总能量守恒，总质
量也守恒。
相对论总能量
相对论总能量
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
3.动量与能量的关系
在相对论中,cv
m vmvp
22
0
1 ???
cv
cmmcE
22
2
02
1 ?
??
cvmcmmc 22222 )()( 202 ??
cpEE 2222 0 ??
由以上两式消去 可得：v
动量与能量的关系
E
0E
pc
对于以光速运动的物体：
pcE ?光子：
?hE ? cc
hEm
22
???
?
h
c
Ep ??
00 ?m
22202 CPE ??
动量与能量的关系
例题 5-3 原子核的结合能 。 已知质子和中子的质量分
别为,
uM
uM
n
P
660 0 0 8.1
280 0 0 7.1
?
?
两个质子和两个中子组成一氦核, 实验测得它的
质量为 MA=4.0001 50u,试计算形成一个氦核时放出
的能量 。 (1u=1.660?10-27kg)
He24
而从实验测得氦核质量 MA小于质子和中子的总质量
M,这差额称 ?M=M-MA为原子核的质量亏损 。 对
于 核He24
kg
uMMM A
27106 6 0.1380 3 0.0
380 3 0.0
???
????
＝
uMMM nP 880 0 3 1.422 ???
解, 两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
相对论动力学基础
根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量
之间有一定的关系，当系统质量改变 ?M 时，一
定有相应的能量改变 2McE ?? ＝
? ?
J
JE
11
2827
1094 5 3.0
103106 6 0.1380 3 0.0
?
?
??
??????
由此可知, 当质子和中子组成原子核时, 将有
大量的能量放出, 该能量就是原子核的结合能 。 所
以形成一个氦核时所放出的能量为
相对论动力学基础
例题 5-4 设有两个静止质量都是 m0 的粒子，以大小
相同,方向相反的速度相撞，反应合成一
个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量
和一定速度。
2
2
02
1
2
??
? cmMc MVvmvm ?
00 －
2
0
0 1
2
??
? mM 0
MM ?
式中 M 和 V 分别是复合粒子的质量和速度 。
显然 V=0,这样
而
解,设两个粒子的速率都是 v,由动量守恒和能
量守恒定律得
相对论动力学基础
这表明复合粒子的静止质量 M0 大于 2m0,两者
的差值
2
2
0
2
21
0
2
0
2
0 c
K
E
m
m
mM ?
?
? －－
?
式中 Ek 为两粒子碰撞前的动能 。 由此可见, 与
动能相应的这部分质量转化为静止质量, 从而使
碰撞后复合粒子的静止质量增大了 。
相对论动力学基础
? ??
??
co s1
00
???
cm
hcc
c
h 0?
c
h? ?
例题 5-5 一束具有能量为, 动量为 的光
子流, 与一 个静止的电子作弹性碰撞, 散射光子
的能量为, 动 量为 。 试证光子的散射角 满
足下式：
0?h
?h
此处 m0 是电子的静止质量,h 为普朗克常量,
电子 x
0
0 e
c
hv ?
echv?
mv
?
?
相对论动力学基础
与此同时电子向着某一角度 ?的方向飞去, 它的能
量和动量分别变为 mc2 和 vm
即在二者作弹性碰撞时, 应满足能量守恒和动量守
恒两个定律,
证明,在图中, 入射光子的能量和动量分别为
和,与物质中质量为 m0的静止自由电子发生
碰撞 。 碰撞后, 设光子散射开去而和原来入射方向
成 角, 这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量 。
0?h
00 ec
h?
? e
c
h??h
0e e
2200 mchcmh ??? ?? （ 1）
相对论动力学基础
echechvm ?? ?? 00
? ? ????? co s2 0
22
02
c
h
c
h
c
h
c
hmv ?
??????????????
ech?
0
0 e
c
h? 从图中可以看出, 矢量 是矢量 和
所组成平行四边形的对角线, 所以
vm
或
（ 1） 也可改写为
????? c o s2 0222202222 hhhcvm ???
? ? 2002 cmhmc ?? ?? －
（ 3）
（ 4）
相对论动力学基础
（ 2）
将式 （ 4） 平方再减去式 （ 3）, 得到
上式可写成
由此可得
亦即
? ? ? ?????? －－－ 02002420420 212 hcmhcmcm ?? c o s
? ? ? ?????? －－－ 020024202
2
42 2121 hcmhcm
c
vcm ???
?
??
?
? ? co s
? ??
??
co s??? 1
00 cm
hcc
? ? ? ??
??
?? co s??? 1
00
0
cm
hc
相对论动力学基础
将式 （ 4） 平方再减去式 （ 3）, 得到
上式可写成
由此可得
亦即
? ? ? ?????? －－－ 02002420420 212 hcmhcmcm ?? c o s
? ? ? ?????? －－－ 020024202
2
42 2121 hcmhcm
c
vcm ???
?
??
?
? ? co s
? ??
??
co s??? 1
00 cm
hcc
? ? ? ??
??
?? co s??? 1
00
0
cm
hc
相对论动力学基础
