§ 4-5 刚体的自由度和平面平行运动
1,自由度
所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所
需要的独立坐标的数目。
考虑到刚体既有平动又有
转动, 其独立坐标数由质心坐
标, 转轴的方位角与刚体绕转
轴的转动角度决定 。
o
x
y
z
C(x,y,z)
首先确定质心位置 。 空间
任何一个点需要三个独立坐标
来确定位置, 因此用三个坐标
如 C(x,y,z)来决定质心位置 。
其次刚体的方位由其轴的取向决定, 确定空间直
线的方位坐标有两个, 借用纬度角与经度角来描述,
在直角坐标系中, 采用用 ?,?,如图所示：
o
x
y
z
?
?
p ?
最后, 刚体绕定轴转动时,
需要一个坐标来描述, 选定参考
方向后, 转动位置用 ?表示 。
总的说来, 刚体共有 6个自由
度, 其中 3个平动自由度, 3个转
动自由度 。
物体有几个自由度,
它的运动定律可归结为几
个独立的方程 。
自由度
2,刚体的平面平行运动
定义,当刚体运动时, 其中各点始终和某一平面保
持一定的距离, 或者说刚体中各点都平行于某一平
面运动, 这就叫刚体的平面平行运动 。
根据平面运动的定义, 刚体平面运动的自由度
有三个, 两个坐标决定质心位置, 一个坐标决定转
动角度 。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相
对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加 。
设质心在 Oxy平面内运动, 则平动方程
Cxx maF ??
Cyy maF ??
可以证明, 定轴转动定律在此仍适用
?CC JM ?
刚体的平面平行运动
车轮的纯滚动
Cv?AR GR
BR
A
B
G
AR? BR?
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
?Rx ?
则 ?Rvc ?
刚体的平面平行运动
车轮上任意一点的速度
rvv C ???? ??? ?
Cv?AR GR
BR
A
B
G
AR? BR?G点的速度
0???? rvv CG ???? ?
B点的速度
CCB vRvv 2??? ?
A点的速度
CCA vRvv 2)( 22 ??? ?
刚体的平面平行运动
刚体的动能
2)(
2
1 ??
i iik
vmE ?? ])()(2[21 22 iiCC
i i
rrvvm ?????? ?????? ? ???
22 )(
2
1)()(
2
1
ii ii iiCi Ci rmrmvvm
????? ?????? ??? ?? ???
质心是基点 0?? i
i i
rm ?? 且 i
i
mm ?? ?
所以 22 2
1
2
1 ?
CCk JmvE ??
刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动
动能之和 。
刚体的平面平行运动
例题 4-9 讨论一匀
质实心的圆柱体在斜
面上的运动。
N
?
aCx
G=mg
r
x
y
O
fr
?解 圆柱体所受的力共有三个：
重力 G,斜面的支承力 N 和
摩擦力 f r，如图所示。设圆柱体的质量为 m，半径
为 r，那么，它对其几何的转动惯量
2
2
1 mrJ ?
刚体的平面平行运动
这样可得 rC fmgma
x ?? ?s i n
?c o smgNma yC ??
rfJ r??
以上三式中, aCx和 aCy是圆柱体质心在 x轴和 y轴方
向的加速度, ?是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度 。 因斜面粗糙, 圆柱体下降时没有滑
动, 只能在斜面上作纯粹滚动, 那么此时
0?yCma
解上列五个式子, 得
0?yCma
我们取和斜面平行而向下的方向为 x轴的方向，和
斜面垂直而向上为 y轴的方向
刚体的平面平行运动
，
2
1
s in
mr
J
g
a
xC
?
?
?
r
mr
J
g
?
?
?
?
?
? ?
?
2
1
s in ?
?
，?s in2 mgJmr Jf r ??? ?c o smgN ?
代入上式得因
2
2
1 mrJ ?
r
g ?? s in
3
2?
，?s in31 mgf r ?
，?s in32 ga
xC
?
刚体的平面平行运动
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离 x
,与之相应, 下降的竖直距离是 h=xsin?,这时质心
的速度由
ghgxxav
xC 3
4s in
3
422 ??? ?
求得
ghv 34?
如果斜面是光滑的, 对圆柱体没有摩擦力, 即
fr=0,则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
?s i nga xC ?
刚体的平面平行运动
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
，0?? 0??
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是
x,则质心所获得的速度由
ghgxxav xC 2s in222 ??? ?
求得 ghv 2?
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，
我们看到，两者加速度之比是 2/3，两者速度
之比是 32
刚体的平面平行运动
本题也可用机械能守恒定律讨论 。 圆柱体在斜面
上作纯粹滚动下落时, 所受到的斜面的摩擦力和正压
力都不作功, 满足机械能守恒的条件 。 圆柱体从静止
滚下, 它没有初动能, 只有重力势能 mgh,当它滚动
下降这段高度时, 全部动能是
22
2
1
2
1 ?
Ck JmvE C ??
对纯粹滚动而言, vc=r?,以此代入得
2
212
1
Cvmr
JmE C
k ??
??
?
? ??
由机械能守恒定律得
刚体的平面平行运动
2
212
1
Cvmr
Jmm g h C
?????? ??
求得
2
1
2
mr
J
gh
v
C
C
?
?
代入上式得因
2
2
1 mrJ ?
ghv 34?
和以前的结果完全一致 。
刚体的平面平行运动
例 4-10 一质量为 m、半径为 R 的均质圆柱，在水平
外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作
用线与圆柱中心轴线的垂直距离为 l，如图所示。求
质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力 f的方向如图所示，则由质心运
动方程,CmafF ??
圆柱对质心的转动定律 ?CJRflF ??
纯滚动条件为 ?Ra C ?
圆柱对质心的转动惯量为
?
FaC2
2
1 mRJ
C ?
联立以上四式，解得
刚体的平面平行运动
mR
lRFa
C 3
)(2 ?? F
R
lRf
3
2??
由此可见
l<r/2,f>0,静摩擦力向后
l>r/2,f<0,静摩擦力向前
l=r/2,f=0
刚体的平面平行运动
mR
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C 3
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R
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由此可见
l<r/2,f>0,静摩擦力向后
l>r/2,f<0,静摩擦力向前
l=r/2,f=0
刚体的平面平行运动
1,自由度
所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所
需要的独立坐标的数目。
考虑到刚体既有平动又有
转动, 其独立坐标数由质心坐
标, 转轴的方位角与刚体绕转
轴的转动角度决定 。
o
x
y
z
C(x,y,z)
首先确定质心位置 。 空间
任何一个点需要三个独立坐标
来确定位置, 因此用三个坐标
如 C(x,y,z)来决定质心位置 。
其次刚体的方位由其轴的取向决定, 确定空间直
线的方位坐标有两个, 借用纬度角与经度角来描述,
在直角坐标系中, 采用用 ?,?,如图所示：
o
x
y
z
?
?
p ?
最后, 刚体绕定轴转动时,
需要一个坐标来描述, 选定参考
方向后, 转动位置用 ?表示 。
总的说来, 刚体共有 6个自由
度, 其中 3个平动自由度, 3个转
动自由度 。
物体有几个自由度,
它的运动定律可归结为几
个独立的方程 。
自由度
2,刚体的平面平行运动
定义,当刚体运动时, 其中各点始终和某一平面保
持一定的距离, 或者说刚体中各点都平行于某一平
面运动, 这就叫刚体的平面平行运动 。
根据平面运动的定义, 刚体平面运动的自由度
有三个, 两个坐标决定质心位置, 一个坐标决定转
动角度 。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相
对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加 。
设质心在 Oxy平面内运动, 则平动方程
Cxx maF ??
Cyy maF ??
可以证明, 定轴转动定律在此仍适用
?CC JM ?
刚体的平面平行运动
车轮的纯滚动
Cv?AR GR
BR
A
B
G
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车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
?Rx ?
则 ?Rvc ?
刚体的平面平行运动
车轮上任意一点的速度
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Cv?AR GR
BR
A
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G
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B点的速度
CCB vRvv 2??? ?
A点的速度
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刚体的平面平行运动
刚体的动能
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2
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所以 22 2
1
2
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CCk JmvE ??
刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动
动能之和 。
刚体的平面平行运动
例题 4-9 讨论一匀
质实心的圆柱体在斜
面上的运动。
N
?
aCx
G=mg
r
x
y
O
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?解 圆柱体所受的力共有三个：
重力 G,斜面的支承力 N 和
摩擦力 f r，如图所示。设圆柱体的质量为 m，半径
为 r，那么，它对其几何的转动惯量
2
2
1 mrJ ?
刚体的平面平行运动
这样可得 rC fmgma
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以上三式中, aCx和 aCy是圆柱体质心在 x轴和 y轴方
向的加速度, ?是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度 。 因斜面粗糙, 圆柱体下降时没有滑
动, 只能在斜面上作纯粹滚动, 那么此时
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解上列五个式子, 得
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我们取和斜面平行而向下的方向为 x轴的方向，和
斜面垂直而向上为 y轴的方向
刚体的平面平行运动
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刚体的平面平行运动
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离 x
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的速度由
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求得
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如果斜面是光滑的, 对圆柱体没有摩擦力, 即
fr=0,则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
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刚体的平面平行运动
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
，0?? 0??
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是
x,则质心所获得的速度由
ghgxxav xC 2s in222 ??? ?
求得 ghv 2?
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，
我们看到，两者加速度之比是 2/3，两者速度
之比是 32
刚体的平面平行运动
本题也可用机械能守恒定律讨论 。 圆柱体在斜面
上作纯粹滚动下落时, 所受到的斜面的摩擦力和正压
力都不作功, 满足机械能守恒的条件 。 圆柱体从静止
滚下, 它没有初动能, 只有重力势能 mgh,当它滚动
下降这段高度时, 全部动能是
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和以前的结果完全一致 。
刚体的平面平行运动
例 4-10 一质量为 m、半径为 R 的均质圆柱，在水平
外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作
用线与圆柱中心轴线的垂直距离为 l，如图所示。求
质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力 f的方向如图所示，则由质心运
动方程,CmafF ??
圆柱对质心的转动定律 ?CJRflF ??
纯滚动条件为 ?Ra C ?
圆柱对质心的转动惯量为
?
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2
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联立以上四式，解得
刚体的平面平行运动
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刚体的平面平行运动
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刚体的平面平行运动
