§ 4-4 定轴转动的动能定理
1.力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转
动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
力 对 P点作功：F?
rF ?? dd ??A
?s ind sF?
? ??? ?? 2c o sd sF
?dd rs ?
0‘
0
?d
r? ?
F?
r?d
P
因
MFr ??s in
?dd MA ??
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力矩作功：
对于刚体定轴转动
情形，因质点间无相对
位移，任何一对内力作
功为零。
力矩的功
0‘
0
?d
r? ?
F?
r?d
P
2.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理 ? ?
?J
dt
dM ?
外力矩所做元功为：
? ? ??????? dJdtdJddJdtdMddA ????
总外力矩对刚体所作的功为：
2
1
2
2 2
1
2
12
1
2
1
?????
?
?
?
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JJdJMdA ???? ? ?
则物体在 时间内转过角位移 时td tdd ?? ?
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对
刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
2
1
2
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1
2
12
1
????? JJMdA ??? ?
定轴转动的动能定理
cp mg hE ??
表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集
中在质心时所具有的势能一样。
3.刚体的重力势能
即：
质心高度为,m
hmh ii
c
?? ?
对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力
势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
m
2r1 2r
2
d
例题 4-7如图, 冲床上配置一质量为 5000kg的飞轮,
r1=0.3m,r2=0.2m.今用转速为 900r/min的电动机借皮带
传动来驱动飞轮, 已知电动机的传动轴直径为 d=10cm。
（ 1） 求飞轮的转动动能 。
（ 2） 若冲床冲断 0.5mm厚
的薄钢片需用冲力 9.80?104
N,所消耗的能量全部由飞
轮提供, 问冲断钢片后飞轮
的转速变为多大？
定轴转动的动能定理
解 （ 1） 为了求飞轮的转动动能, 需先求出它的转
动惯量和转速 。 因飞轮质量大部分分别布在轮缘上,
由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式, 得
? ? ? ?
2
2222
2
2
1
325
2.03.05000
2
1
2
mkg
mkgrr
m
J
??
???????
皮带传动机构中, 电动机的传动轴是主动轮,
飞轮是从动轮 。 两轮的转速与轮的直径成反比, 即
飞轮的转速为
飞
电
电飞 d
dnn ?
定轴转动的动能定理
由此得飞轮的角速度
飞
电电飞
d
dnn
60
2
60
2 ??? ??
这样飞轮的转动动能是
J
JE
k
4 0 0 5 5
6060
109 0 014.32
3 2 5
2
1
2
1
2
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???
???
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（ 2） 在冲断钢片过程中, 冲力 F所作的功为
J
JFdA
49
105.01080.9 34
?
????? ?
定轴转动的动能定理
这就是飞轮消耗的能量, 此后飞轮的能量变为
? ? JJE k 400064940055 ????
J
E k??? 2?由 求得此时间的角速度 ?
’‘
为
2
2
1 ? ??? JE
k
而飞轮的转速变为
m i n/8.1 4 9
m i n/
3 2 5
2 4 0 0 0 6
2
60
2
60
r
rn
?
????
?
?
?飞
定轴转动的动能定理
解 先对细棒 OA所受的力作
一分析；重力 作用在棒
的中心点 C,方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力
,轴对棒作用的支承力
垂直于棒和轴的接触面且
通过 O点, 在棒的下摆过程
中, 此力的方向和大小是
随时改变的 。
N
G
例题 4-8 一根质量为 m,长为 l 的均匀细棒 OA（ 如
图 ）, 可绕通过其一端的光滑轴 O在竖直平面内转
动, 今使棒从水平位置开始自由下摆, 求细棒摆到
竖直位置时其中点 C和端点 A的速度 。
?
G
A
A?
O
?
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，对转轴 O而言，支撑力 N通过
O点，所以支撑力 N的力矩等于零，重力 G的力矩则是
变力矩，大小等于 mg(l /2) cos ?,棒转过一极小
的角位移 d ?时，重力矩所作的元功是
?? dlmgdA co s2?
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中, 重力
矩所作的功是
2co s2
20
lmgdlmgdAA ??? ?? ? ??
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功, 也可
用重力势能的差值来表示 。 棒在水平位置时的角
速度 ?0＝ 0,下摆到竖直位置时的角速度为 ?, 按
力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
2
2
1
2 ?J
lmg ?
由此得 J
m g l??
代入上式得因 2
3
1 mlJ ? J
g3??
所以细棒在竖直位置时, 端点 A和中心点 C的速度
分别为 gllv
A 3?? ?
gllv C 3212 ?? ?
定轴转动的动能定理
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即：
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势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
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传动来驱动飞轮, 已知电动机的传动轴直径为 d=10cm。
（ 1） 求飞轮的转动动能 。
（ 2） 若冲床冲断 0.5mm厚
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轮提供, 问冲断钢片后飞轮
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定轴转动的动能定理
解 （ 1） 为了求飞轮的转动动能, 需先求出它的转
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