§ 4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
1,刚体的角动量
图为以角速度 ?绕定轴 oz转
动的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第 i
个质点的质量为
im?
当细棒以 ?转动时，该质点绕轴的半径为 ir
它相对于 o点的位矢为 iR?
z
iR
L?
?
im?
iL?
izL?
O
?ir
? ?iiii vmRL ??? ????
因 ii Rv ?? ?, 所以 的大小为iL??
iiii vRmL ???
方向如图所示。
刚体的角动量
则 对 o点的角动量为：im?
z
iR
L?
?
im?
iL?
izL?
O
?ir
从图中可以看出, ?c o s
iix LL ???
因此 ? ?
?
??
??
? ?
????
????
2
co sco s
iiiii
iiiiz
rmvrm
vRmLL
而这个分量 实际上就是各质点的角动量沿
轴的分量 之和。
zL Oz
ziL?
刚体的角动量
对于定轴转动，我们感兴趣的只是 对沿 轴
的分量,叫做刚体绕定轴转动的角动量。
Oz
zL
L
刚体对 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量
和。
o
刚体转动惯量,
? ?? 2ii rmJ
刚体绕定轴的角动量表达式：
?JL z ?
式中 叫做刚体对 轴的转动惯
量，用 J表示。
2iirm? ? Oz
刚体的角动量
刚体的转动动能
2,刚体的转动动能
2
2
1
iivm?
ii rv ??
因此整个刚体的动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之和。 设刚体中第 i个质点的质量为,
速度为,则该质点的动能为：
im?
iv
刚体做定轴转动时，各质点的角速度 ?相同。
设质点 离轴的垂直距离为,则它的线速度im? ir
? ? 222 2121 ??? ???? iiiiK rmvmE
2
2
1 ?JE
K ?
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因
此叫刚体的转动动能。
刚体的转动动能
式中 是刚体对转轴的转动惯量,
所以上式写为
2iirm? ? J
mrJ d?? 2
dm — 质元的质量
r — 质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可
写成积分形式
3,转动惯量的计算
按转动惯量的定义有
? ?? ii mrJ 2
转动惯量是转动中惯性大小的量度 。
质量是平动中惯性大小的量度。
转动惯量的计算
区别,
平动,平动动能
2
2
1 mv 线动量 mv
转动,转动动能
2
2
1 ?J
角动量 ?J
例题 4-3 求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对下面
三种转轴的转动惯量：
（ 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；
（ 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直 ；
（ 3） 转轴通过棒上距中心为 h的一点
并和棒垂直。
l l
O x
dx
l
O x
dx
A
l
x dx
A A
B
h
l l
O x
dx
l
O x
dx
A
l
x dx
A A
B
h
解 如图所示, 在棒上离轴 x处, 取一长度元 dx,如
棒的质量线密度为 ?,这长度元的质量为 dm=?dx。
（ 1） 当转轴通过中心并和棒垂直时, 我们有
转动惯量的计算
12
3
2/
2/
22
0
lxxmrJ l
l
?? ??? ? ? ?
? dd
2
0 12
1 mlJ ?
因 ?l=m,代入得
转动惯量的计算
（ 2） 当转轴通过棒的一端 A并和棒垂直时, 我们有
33
23
0
2 mlldxxJ l
A ??? ?
??
l
x dx
A
转动惯量的计算
（ 3） 当转轴通过棒上距中心为 h的 B点并和棒垂
直时, 我们有
2
2
2/
2/
2
12 mh
mldxxJ hl
hlB ??? ?
?
?? ?
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
l
O x
dx
A B
h
转动惯量的计算
回转半径
考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
22
Gi ii mrrmJ ??? ?
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在
离轴距离为 rG 的圆环上。
转动惯量的计算
例题 4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的
转动惯量 。 设圆盘的半径为 R,质量为 m,密度均匀 。
r R
dr
解 设圆盘的质量面密度为 ?，在圆盘上取一半径为 r、
宽度为 dr的圆环（如图），环的面积为 2?rdr，环的
质量 dm= ?2?rdr 。可得 24
0
32
2
1
22 mR
RdrrdmrJ R ???? ? ? ????
转动惯量的计算
回转半径
考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
22
Gi ii mrrmJ ??? ?
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在
离轴距离为 rG的圆环上。
1,刚体的角动量
图为以角速度 ?绕定轴 oz转
动的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第 i
个质点的质量为
im?
当细棒以 ?转动时，该质点绕轴的半径为 ir
它相对于 o点的位矢为 iR?
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而这个分量 实际上就是各质点的角动量沿
轴的分量 之和。
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刚体的角动量
对于定轴转动，我们感兴趣的只是 对沿 轴
的分量,叫做刚体绕定轴转动的角动量。
Oz
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刚体对 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量
和。
o
刚体转动惯量,
? ?? 2ii rmJ
刚体绕定轴的角动量表达式：
?JL z ?
式中 叫做刚体对 轴的转动惯
量，用 J表示。
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刚体的角动量
刚体的转动动能
2,刚体的转动动能
2
2
1
iivm?
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因此整个刚体的动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之和。 设刚体中第 i个质点的质量为,
速度为,则该质点的动能为：
im?
iv
刚体做定轴转动时，各质点的角速度 ?相同。
设质点 离轴的垂直距离为,则它的线速度im? ir
? ? 222 2121 ??? ???? iiiiK rmvmE
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1 ?JE
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上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因
此叫刚体的转动动能。
刚体的转动动能
式中 是刚体对转轴的转动惯量,
所以上式写为
2iirm? ? J
mrJ d?? 2
dm — 质元的质量
r — 质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可
写成积分形式
3,转动惯量的计算
按转动惯量的定义有
? ?? ii mrJ 2
转动惯量是转动中惯性大小的量度 。
质量是平动中惯性大小的量度。
转动惯量的计算
区别,
平动,平动动能
2
2
1 mv 线动量 mv
转动,转动动能
2
2
1 ?J
角动量 ?J
例题 4-3 求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对下面
三种转轴的转动惯量：
（ 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；
（ 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直 ；
（ 3） 转轴通过棒上距中心为 h的一点
并和棒垂直。
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解 如图所示, 在棒上离轴 x处, 取一长度元 dx,如
棒的质量线密度为 ?,这长度元的质量为 dm=?dx。
（ 1） 当转轴通过中心并和棒垂直时, 我们有
转动惯量的计算
12
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1 mlJ ?
因 ?l=m,代入得
转动惯量的计算
（ 2） 当转轴通过棒的一端 A并和棒垂直时, 我们有
33
23
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转动惯量的计算
（ 3） 当转轴通过棒上距中心为 h的 B点并和棒垂
直时, 我们有
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这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
l
O x
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A B
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转动惯量的计算
回转半径
考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
22
Gi ii mrrmJ ??? ?
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在
离轴距离为 rG 的圆环上。
转动惯量的计算
例题 4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的
转动惯量 。 设圆盘的半径为 R,质量为 m,密度均匀 。
r R
dr
解 设圆盘的质量面密度为 ?，在圆盘上取一半径为 r、
宽度为 dr的圆环（如图），环的面积为 2?rdr，环的
质量 dm= ?2?rdr 。可得 24
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转动惯量的计算
回转半径
考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
22
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rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在
离轴距离为 rG的圆环上。
