Z
转
动
平
面 r
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F?
M?
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F?
M?
?ZM
沿 Z 轴分量为 对 Z
轴力矩 ZM
M? F?
?s inrFM ?
FrM ??? ??对 O 点的力矩,F
?
§ 4-3 力矩 刚体定轴转动定律
1,力矩
O
力不在转动平面内
注 （ 1）在定轴动问题中
，如不加说明，所指的力矩
是指力在转动平面内的分力
对转轴的力矩。
FrM ??? ??
只能引起轴的
变形,对转动无贡献 。
1Fr
???
转动
平面
1F
? F?
2F
?
)( 21 FFr ??? ???
21 FrFr
???? ????
r?
力矩
是转轴到力作
用线的距离，称为力臂 。
?sinrd ?
dFrFM Z 22 s in ?? ?（ 2）
（ 3） 对转轴的力矩为零，1F?
在定轴转动中不予考虑。
（ 4） 在转轴方向确定后，力对
转轴的力矩方向可用 +,-号表示。
转动
平面
1F
? F?
2F
?
r?
力矩
2,刚体定轴转动定律
应用牛顿第二定律，可得：
ω
O
iF
?
if
?
i?
i?
im?
ir
?
对刚体中任一质量元
im?
-外力
iF
?
-内力
if
?
iiii m afF
??? ???
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
??? ? iiiiiiii rmamfF ????? s ins in
O’
定轴转动定律
用 乘以上式左右两端：
ir
??? 2s ins in iiiiiiii rmrfrF ???
设刚体由 N 个点构成，对每个质点可写出上述
类似方程，将 N 个方程左右相加，得：
??? ???
???
???
N
i
ii
N
i
iii
N
i
iii rmrfrF
1
2
11
)(s ins in
根据内力性质 (每一对内力等值、反向、共
线,对同一轴力矩之代数和为零 )，得：
0s in
1
??
?
N
i
iii rf ?
定轴转动定律
?? ??
??
??
N
i
ii
N
i
iii rmrF
1
2
1
)(s in
得到：
上式左端为刚体所受外力的合外力矩, 以 M 表
示；右端求和符号内的量与转动状态无关, 称为刚
体转动惯量, 以 J 表示 。 于是得到
t
JJM
d
d ?? ?? 刚体定轴
转动定律
定轴转动定律
讨论：
（ 4） J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转
动惯量不同。
（ 3） J 和质量分布有关；
（ 2） M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速
的力矩为正；
t
JJM
d
d ?? ??
惯性大小的量度；
β 转动惯量是转动（ 1） M 一定,J
定轴转动定律
例题 4-5 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的
两端分别悬有质量为 m1和 m2的物体 1和 2,m1< m2 如图
所示 。 设滑轮的质量为 m, 半径为 r,所受的摩擦阻力
矩为 m。 绳与滑轮之间无相对滑动 。 试求物体的加速度
和绳的张力 。
m
1 m
2
T
2?
T
1?T
1
T
2
G
2
G
1
a a
a
m
1 m
2
解,滑轮具有一定的转动惯
量 。 在转动中受到阻力矩
的作用, 两边的张力不再
相等, 设物体 1这边绳的张
力为 T1,T1’(T1’= T1),
物体 2这边的张力为
T2,T2’(T2’= T2)
定轴转动定律
因 m2>m1，物体 1向上运动，物体 2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转,Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
?? JMrTrT
amTG
amGT
?????
??
??
12
222
111
式中 ?是滑轮的角加速度, a是物体的加速度 。 滑轮
边缘上的切向加速度和物体的加速度相等, 即
从以上各式即可解得
?ra ?
定轴转动定律
? ? ? ?
mmm
rMgmm
r
J
mm
rMgmm
a r
2
1
//
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定轴转动定律
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2
1
/
12
12 ??
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 m=0,M?=0时, 有
g
mm
mmTT
12
21
21
2
?
?? g
mm
mma
12
12
?
??
上题中的装置叫阿特伍德机, 是一种可用来测
量重力加速度 g的简单装置 。 因为在已知 m1,m2,
r和 J的情况下, 能通过实验测出物体 1和 2的加速度 a，
再通过加速度把 g算出来 。 在实验中可使两物体的 m1
和 m2相近, 从而使它们的加速度 a和速度 v都较小,
这样就能角精确地测出 a来 。
定轴转动定律
例题 4-6 一半径为 R,质量为 m匀质圆盘, 平放在
粗糙的水平桌面上 。 设盘与桌面间摩擦系数为 ?，
令圆盘最初以角速度 ?0绕通过中心且垂直盘面的轴
旋转, 问它经过多少时间才停止转动？
r R
dr
?
d? e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点, 而是分布在
整个圆盘与桌子的接触面上, 力矩的计算要用积分
法 。 在图中, 把圆盘分成许多环形质元, 每个质元
的质量 dm=?rd?dre,所受到的阻力矩是 r?dmg 。
定轴转动定律
此处 e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
3
2
0 0
2
3
2
Reg
drrdeg
drr e drgd m grM
R
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因 m=?e?R2,代入得 m g RM ?? 3
2?
根据定轴转动定律, 阻力矩使圆盘减速, 即
获得负的角加速度,
定轴转动定律
dt
dmRJm g R ??? 2
2
1
3
2 ???
设圆盘经过时间 t停止转动, 则有
?? ?? 00 02132 ? ?? dRdtg t
由此求得
04
3 ?
? g
Rt ?
定轴转动定律
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§ 4-3 力矩 刚体定轴转动定律
1,力矩
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注 （ 1）在定轴动问题中
，如不加说明，所指的力矩
是指力在转动平面内的分力
对转轴的力矩。
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只能引起轴的
变形,对转动无贡献 。
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（ 3） 对转轴的力矩为零，1F?
在定轴转动中不予考虑。
（ 4） 在转轴方向确定后，力对
转轴的力矩方向可用 +,-号表示。
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2,刚体定轴转动定律
应用牛顿第二定律，可得：
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用 乘以上式左右两端：
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转动定律
定轴转动定律
讨论：
（ 4） J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转
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（ 2） M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速
的力矩为正；
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惯性大小的量度；
β 转动惯量是转动（ 1） M 一定,J
定轴转动定律
例题 4-5 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的
两端分别悬有质量为 m1和 m2的物体 1和 2,m1< m2 如图
所示 。 设滑轮的质量为 m, 半径为 r,所受的摩擦阻力
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定轴转动定律
因 m2>m1，物体 1向上运动，物体 2向下运动，滑轮以
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程
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式中 ?是滑轮的角加速度, a是物体的加速度 。 滑轮
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量重力加速度 g的简单装置 。 因为在已知 m1,m2,
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再通过加速度把 g算出来 。 在实验中可使两物体的 m1
和 m2相近, 从而使它们的加速度 a和速度 v都较小,
这样就能角精确地测出 a来 。
定轴转动定律
例题 4-6 一半径为 R,质量为 m匀质圆盘, 平放在
粗糙的水平桌面上 。 设盘与桌面间摩擦系数为 ?，
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旋转, 问它经过多少时间才停止转动？
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解 由于摩擦力不是集中作用于一点, 而是分布在
整个圆盘与桌子的接触面上, 力矩的计算要用积分
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此处 e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
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