§ 4-6 刚体角动量和角动量守恒定律
1,定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理,? ??J
dt
dM
z ?
则该系统对该轴的角动量为：
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给
定轴的角动量分别为,, …,
11?J 22?J
ii iz JL ??? ?,2,1?i
对于该系统还有 ???????? ?
i
ii
Z
Z Jtt
LM ?
d
d
d
d
0
0
d ?? JJtMt
t
???
?tt tM0 d
为 时间内力矩 M 对给定轴的冲量矩。
0ttt ???
角动量定理的微分形式：
在外力矩作用下，从 tt ?0
角动量 ? ?00 ?JL z ? 变为 ?JL Z ?
，
，
则由 ? ?
?JdtdM z ? 得
定轴转动刚体的角动量定理
2,定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律,若一个系统一段时间
内所受合外力矩 M 恒为零，则此系统的总角
动量 L 为一恒量。
?? ?JL 恒量
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因 J 保持不变，
当合外力矩为零时，其角速度恒定。
时，当 0?zM
时，当 0?zM J =恒量 ? =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。 J 大 → 小,J 小 → 大。? ?
时，当 0?zM 恒量??? 2211 ?? JJL z
c.若系统内既有平动也有转动现象
发生，若对某一定轴的合外力矩为
零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
L
A
B
A
BCC
常平架上的回转仪
应用事例：
定轴转动刚体的角动量守恒定律
精确制导
应用事例：
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直升飞机
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 刚体的定轴转动
t
xv
d
d?
2
2
d
d
d
d
t
x
t
va ??
td
d?? ? 22dddd tt ??? ??
mvP ? 2
2
1 mvE
K ?
?JL ? 2
2
1 ?JE
K ?
F m M J
xFA dd ? tFd ?dd MA ? tMd
maF ? ?JM ?
? ?? 0d PPtF ? ?? 0d LLtM
? ?? 202 2121d mvmvxF ?
?? 202 2121d ??? JJM
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-11 一匀质细棒长为 l, 质量为 m,可绕通过其端
点 O的水平轴转动, 如图所示 。 当棒从水平位置自由释
放后, 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞 。 该物
体的质量也为 m, 它与地面的摩擦系数为 ?。 相撞后物
体沿地面滑行一距离 s而停止 。 求相撞后棒的质心 C 离地
面的最大高度 h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆
的条件 。
解,这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
C
O
定轴转动刚体的角动量守恒定律
零点，用 ?表示棒这时的角速度,则
222
3
1
2
1
2
1
2 ?? ??
??
?
?? mlJlmg ＝（ 1）
第二阶段是 碰撞过程 。 因碰撞时间极短, 自由
的冲力极大, 物体虽然受到地面的摩擦力, 但可以
忽略 。 这样, 棒与物体相撞时, 它们组成的系统所
受的对转轴 O的外力矩为零, 所以, 这个系统的对 O
轴的角动量守恒 。 我们用 v表示物体碰撞后的速度,
则
（ 2）
?? ??
?
??
?
????
?
??
?
? 22
3
1
3
1 mlm vlml
式中 ?棒在碰撞后的角速度, 它可正可负 。 ?’ 取
正值, 表示碰后棒向左摆；反之, 表示向右摆 。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
第三阶段是物体在碰撞后的 滑行过程 。 物体作匀减
速直线运动, 加速度由牛顿第二定律求得为
mamg ?? ? （ 3）
由匀减速直线运动的公式得
asv 20 2 ??
gsv ?22 ? （ 4）亦即
由式 （ 1）, （ 2） 与 （ 4） 联合求解, 即得
l
gsgl ?? 233 ???
（ 5）
定轴转动刚体的角动量守恒定律
亦即 l>6?s；当 ?’ 取负值, 则棒向右摆, 其条件
为
0233 ?? gsgl ? 亦即 l <6?s
棒的质心 C上升的最大高度, 与第一阶段情
况相似, 也可由机械能守恒定律求得：
22
3
1
2
1 ? ??
?
??
?
?? mlm g h
把式（ 5）代入上式，所求结果为
slslh ?? 632 ???
当 ?‘ 取正值，则棒向左摆，其条件为
0233 ?? gsgl ?
(6)
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-12 工程上, 两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动 。 如图所示, A和 B两飞轮的
轴 杆 在 同 一 中 心 线 上, A 轮 的 转 动 惯 量 为
JA=10kg?m2,B的转动惯量为 JB=20kg?m2 。 开始时 A
轮的转速为 600r/min,B轮静止 。 C为摩擦啮合器 。
求两轮啮合后的转速；在啮合过程中, 两轮的机械
能有何变化？
?A ? ?
A
C
B A
C
B
定轴转动刚体的角动量守恒定律
解 以飞轮 A,B和啮合器 C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的
切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴
有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外
力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律
可得 ? ?
??? BABBAA JJJJ ?? ＝
?为两轮啮合后共同转动的角速度, 于是
BA
BBAA
JJ
JJ
?
?? ???
以各量的数值代入得 sr a d /9.20??
定轴转动刚体的角动量守恒定律
或共同转速为
m i n/200 rn ?
在啮合过程中, 摩擦力矩作功, 所以机
械能不守恒, 部分机械能将转化为热量, 损
失的机械能为 ? ?
J
JJJJE BABA
BA
4
222
1032.1
2
1
2
1
2
1
??
????? ???
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-13 恒星晚期在一定条件下, 会发生超新星
爆发, 这时星体中有大量物质喷入星际空间, 同时
星的内核却向内坍缩, 成为体积很小的中子星 。 中
子星是一种异常致密的星体, 一汤匙中子星物体就
有几亿吨质量 ！ 设某恒星绕自转轴每 45天转一周,
它的内核半径 R0约为 2?107m,坍缩成半径 R仅为
6?103m的中子星 。 试求中子星的角速度 。 坍缩前后
的星体内核均看作是匀质圆球 。
解 在星际空间中, 恒星不会受到显著的外力矩, 因
此恒星的角动量应该守恒, 则它的内核在坍缩前后的
角动量 J0?0和 J?应相等 。 因
22
0 5
2
5
2
0 mRJmRJ ＝，＝
定轴转动刚体的角动量守恒定律
代入 J0?0=J?中，整理后得
sr
sr
R
R
/3
/
606024
1
106
102
45
1
2
3
7
2
0
0
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
＝
＝ ??
由于中子星的致密性和极快的自转角速度, 在
星体周围形成极强的磁场, 并沿着磁轴的方向发出
很强的无线电波, 光或 X射线 。 当这个辐射束扫过地
球时, 就能检测到脉冲信号, 由此, 中子星又叫脉
冲星 。 目前已探测到的脉冲星超过 300个 。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-14 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为
J= 2?103kg?m2, 它以 ?=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋
转 。 宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转 。
每个喷管的位置与轴线距离都是 r=1.5m。 两喷管的喷
气流量恒定, 共是 ?=2kg/s 。 废气的喷射速率 （ 相对
于飞船周边 ） u=50m/s,并且恒定 。 问喷管应喷射多
长时间才能使飞船停止旋转 。
r
dm/2
dm/2
u
?u
?L
0Lg
解 把飞船和排出的
废气看作一个系统，
废气质量为 m。可以
认为废气质量远小于
飞船的质量，
定轴转动刚体的角动量守恒定律
所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等
于飞船自身的角动量，即
在喷气过程中, 以 dm表示 dt时间内喷出
的气体, 这些气体对中心轴的角动量为 dm ?
r(u+v), 方向与飞船的角动量相同 。 因
u=50m/s远大于飞船的速率 v(= ?r), 所以此
角动量近似地等于 dm ? ru。 在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量 Lg应为
mr urudmL mg ???0＝
?JL ＝0
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时, 其角动量为零 。 系统这时
的总角动量 L1就是全部排出的废气的总角动量, 即
为
m r uLL g＝?1
在整个喷射过程中, 系统所受的对于飞船中心轴的
外力矩为零, 所以系统对于此轴的角动量守恒, 即
L0=L1, 由此得
m ruJ ＝?
即 ru
Jm ??
定轴转动刚体的角动量守恒定律
于是所需的时间为
ssruJmt 67.2505.12 2.0102
3
??? ????? ? ??
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例 1 一长为 l,质量为 m 的匀质细杆，可绕光滑轴 O 在
铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为 m0 的子弹水
平射入与轴相距为 a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏
转到 ?=300，求子弹的初速 v0。
解：分两个阶段进行考虑
avmL 000 ? ?JL ? 22
0 3
1 mlamJ ??其中
a
0m
(1)子弹射入细杆,使细杆获得初
速度 。 因这一过程进行得很快,细
杆发生偏转极小,可认为杆仍处于
竖直状态 。 子弹和细杆组成待分
析的系统,无外力矩,满足角动量
守恒条件 。 子弹射入细杆前, 后
的一瞬间,系统角动量分别为
定轴转动刚体的角动量守恒定律
(2)子弹随杆一起绕轴 O 转
动。以子弹、细杆及地球构
成一系统，只有保守内力作
功，机械能守恒。选取细杆
处于竖直位置时子弹的位置
为重力势能零点，系统在始
末状态的机械能为：
?
由角动量守恒，得,avmJ
00??
(1)
)2(21 20 lamgJE ??? ?
势能零点 )c o s
2()c o s1(0 ??
lamggamE ????
a
0m
定轴转动刚体的角动量守恒定律
由机械能守恒,E=E0,代入 ?=300,得：
)212()211()2(21 02 lamggamlamgJ ???????
gammlamml
am
v )3)(2(
6
321 2
0
2
0
0
0 ??
??
将上式与 联立，并代入 J值，得
avmJ 00??
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例 2 A,B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别
为,?A=50rad.s-1,?B=200rad.s-1。已知 A 圆盘半径
RA=0.2m,质量 mA=2kg,B 圆盘的半径 RB=0.1m,质量
mB=4kg,试求两圆盘对心衔接后的角速度 ?,
A B
A? B?
?
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接
过程中有重力、轴对圆盘支持力及
轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因
此系统角动量守恒，得到
?
?
?
??
???
2,2
)(
22
BBBAAA
BABBAA
RmJRmJ
JJJJ ???
22
22
BBAA
BBBAAA
RmRm
RmRm
?
?? ??? 1sra d100 ???
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例 2 A,B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别
为,?A=50rad.s-1,?B=200rad.s-1。已知 A 圆盘半径
RA=0.2m,质量 mA=2kg,B 圆盘的半径 RB=0.1m,质量
mB=4kg,试求两圆盘对心衔接后的角速度 ?,
A B
A? B?
?
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接
过程中有重力、轴对圆盘支持力及
轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因
此系统角动量守恒，得到
?
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BBAA
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
1,定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理,? ??J
dt
dM
z ?
则该系统对该轴的角动量为：
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给
定轴的角动量分别为,, …,
11?J 22?J
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对于该系统还有 ???????? ?
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为 时间内力矩 M 对给定轴的冲量矩。
0ttt ???
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在外力矩作用下，从 tt ?0
角动量 ? ?00 ?JL z ? 变为 ?JL Z ?
，
，
则由 ? ?
?JdtdM z ? 得
定轴转动刚体的角动量定理
2,定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律,若一个系统一段时间
内所受合外力矩 M 恒为零，则此系统的总角
动量 L 为一恒量。
?? ?JL 恒量
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因 J 保持不变，
当合外力矩为零时，其角速度恒定。
时，当 0?zM
时，当 0?zM J =恒量 ? =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。 J 大 → 小,J 小 → 大。? ?
时，当 0?zM 恒量??? 2211 ?? JJL z
c.若系统内既有平动也有转动现象
发生，若对某一定轴的合外力矩为
零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
L
A
B
A
BCC
常平架上的回转仪
应用事例：
定轴转动刚体的角动量守恒定律
精确制导
应用事例：
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直升飞机
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 刚体的定轴转动
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-11 一匀质细棒长为 l, 质量为 m,可绕通过其端
点 O的水平轴转动, 如图所示 。 当棒从水平位置自由释
放后, 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞 。 该物
体的质量也为 m, 它与地面的摩擦系数为 ?。 相撞后物
体沿地面滑行一距离 s而停止 。 求相撞后棒的质心 C 离地
面的最大高度 h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆
的条件 。
解,这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
C
O
定轴转动刚体的角动量守恒定律
零点，用 ?表示棒这时的角速度,则
222
3
1
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第二阶段是 碰撞过程 。 因碰撞时间极短, 自由
的冲力极大, 物体虽然受到地面的摩擦力, 但可以
忽略 。 这样, 棒与物体相撞时, 它们组成的系统所
受的对转轴 O的外力矩为零, 所以, 这个系统的对 O
轴的角动量守恒 。 我们用 v表示物体碰撞后的速度,
则
（ 2）
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式中 ?棒在碰撞后的角速度, 它可正可负 。 ?’ 取
正值, 表示碰后棒向左摆；反之, 表示向右摆 。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
第三阶段是物体在碰撞后的 滑行过程 。 物体作匀减
速直线运动, 加速度由牛顿第二定律求得为
mamg ?? ? （ 3）
由匀减速直线运动的公式得
asv 20 2 ??
gsv ?22 ? （ 4）亦即
由式 （ 1）, （ 2） 与 （ 4） 联合求解, 即得
l
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（ 5）
定轴转动刚体的角动量守恒定律
亦即 l>6?s；当 ?’ 取负值, 则棒向右摆, 其条件
为
0233 ?? gsgl ? 亦即 l <6?s
棒的质心 C上升的最大高度, 与第一阶段情
况相似, 也可由机械能守恒定律求得：
22
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把式（ 5）代入上式，所求结果为
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当 ?‘ 取正值，则棒向左摆，其条件为
0233 ?? gsgl ?
(6)
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-12 工程上, 两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动 。 如图所示, A和 B两飞轮的
轴 杆 在 同 一 中 心 线 上, A 轮 的 转 动 惯 量 为
JA=10kg?m2,B的转动惯量为 JB=20kg?m2 。 开始时 A
轮的转速为 600r/min,B轮静止 。 C为摩擦啮合器 。
求两轮啮合后的转速；在啮合过程中, 两轮的机械
能有何变化？
?A ? ?
A
C
B A
C
B
定轴转动刚体的角动量守恒定律
解 以飞轮 A,B和啮合器 C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的
切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴
有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外
力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律
可得 ? ?
??? BABBAA JJJJ ?? ＝
?为两轮啮合后共同转动的角速度, 于是
BA
BBAA
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?? ???
以各量的数值代入得 sr a d /9.20??
定轴转动刚体的角动量守恒定律
或共同转速为
m i n/200 rn ?
在啮合过程中, 摩擦力矩作功, 所以机
械能不守恒, 部分机械能将转化为热量, 损
失的机械能为 ? ?
J
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BA
4
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1032.1
2
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-13 恒星晚期在一定条件下, 会发生超新星
爆发, 这时星体中有大量物质喷入星际空间, 同时
星的内核却向内坍缩, 成为体积很小的中子星 。 中
子星是一种异常致密的星体, 一汤匙中子星物体就
有几亿吨质量 ！ 设某恒星绕自转轴每 45天转一周,
它的内核半径 R0约为 2?107m,坍缩成半径 R仅为
6?103m的中子星 。 试求中子星的角速度 。 坍缩前后
的星体内核均看作是匀质圆球 。
解 在星际空间中, 恒星不会受到显著的外力矩, 因
此恒星的角动量应该守恒, 则它的内核在坍缩前后的
角动量 J0?0和 J?应相等 。 因
22
0 5
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
代入 J0?0=J?中，整理后得
sr
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606024
1
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由于中子星的致密性和极快的自转角速度, 在
星体周围形成极强的磁场, 并沿着磁轴的方向发出
很强的无线电波, 光或 X射线 。 当这个辐射束扫过地
球时, 就能检测到脉冲信号, 由此, 中子星又叫脉
冲星 。 目前已探测到的脉冲星超过 300个 。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题 4-14 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为
J= 2?103kg?m2, 它以 ?=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋
转 。 宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转 。
每个喷管的位置与轴线距离都是 r=1.5m。 两喷管的喷
气流量恒定, 共是 ?=2kg/s 。 废气的喷射速率 （ 相对
于飞船周边 ） u=50m/s,并且恒定 。 问喷管应喷射多
长时间才能使飞船停止旋转 。
r
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u
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解 把飞船和排出的
废气看作一个系统，
废气质量为 m。可以
认为废气质量远小于
飞船的质量，
定轴转动刚体的角动量守恒定律
所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等
于飞船自身的角动量，即
在喷气过程中, 以 dm表示 dt时间内喷出
的气体, 这些气体对中心轴的角动量为 dm ?
r(u+v), 方向与飞船的角动量相同 。 因
u=50m/s远大于飞船的速率 v(= ?r), 所以此
角动量近似地等于 dm ? ru。 在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量 Lg应为
mr urudmL mg ???0＝
?JL ＝0
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时, 其角动量为零 。 系统这时
的总角动量 L1就是全部排出的废气的总角动量, 即
为
m r uLL g＝?1
在整个喷射过程中, 系统所受的对于飞船中心轴的
外力矩为零, 所以系统对于此轴的角动量守恒, 即
L0=L1, 由此得
m ruJ ＝?
即 ru
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
于是所需的时间为
ssruJmt 67.2505.12 2.0102
3
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
例 1 一长为 l,质量为 m 的匀质细杆，可绕光滑轴 O 在
铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为 m0 的子弹水
平射入与轴相距为 a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏
转到 ?=300，求子弹的初速 v0。
解：分两个阶段进行考虑
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(1)子弹射入细杆,使细杆获得初
速度 。 因这一过程进行得很快,细
杆发生偏转极小,可认为杆仍处于
竖直状态 。 子弹和细杆组成待分
析的系统,无外力矩,满足角动量
守恒条件 。 子弹射入细杆前, 后
的一瞬间,系统角动量分别为
定轴转动刚体的角动量守恒定律
(2)子弹随杆一起绕轴 O 转
动。以子弹、细杆及地球构
成一系统，只有保守内力作
功，机械能守恒。选取细杆
处于竖直位置时子弹的位置
为重力势能零点，系统在始
末状态的机械能为：
?
由角动量守恒，得,avmJ
00??
(1)
)2(21 20 lamgJE ??? ?
势能零点 )c o s
2()c o s1(0 ??
lamggamE ????
a
0m
定轴转动刚体的角动量守恒定律
由机械能守恒,E=E0,代入 ?=300,得：
)212()211()2(21 02 lamggamlamgJ ???????
gammlamml
am
v )3)(2(
6
321 2
0
2
0
0
0 ??
??
将上式与 联立，并代入 J值，得
avmJ 00??
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例 2 A,B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别
为,?A=50rad.s-1,?B=200rad.s-1。已知 A 圆盘半径
RA=0.2m,质量 mA=2kg,B 圆盘的半径 RB=0.1m,质量
mB=4kg,试求两圆盘对心衔接后的角速度 ?,
A B
A? B?
?
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接
过程中有重力、轴对圆盘支持力及
轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因
此系统角动量守恒，得到
?
?
?
??
???
2,2
)(
22
BBBAAA
BABBAA
RmJRmJ
JJJJ ???
22
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BBAA
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RmRm
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?? ??? 1sra d100 ???
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例 2 A,B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别
为,?A=50rad.s-1,?B=200rad.s-1。已知 A 圆盘半径
RA=0.2m,质量 mA=2kg,B 圆盘的半径 RB=0.1m,质量
mB=4kg,试求两圆盘对心衔接后的角速度 ?,
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解：以两圆盘为系统，尽管在衔接
过程中有重力、轴对圆盘支持力及
轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因
此系统角动量守恒，得到
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定轴转动刚体的角动量守恒定律
