周次 第10周 课次 第14次 课时 3 时间 ????????????? 任课教师  课程主题 第三章 扩展的单方程计量经济学模型理论与方法  教学方法 讲授  教学目的 掌握虚拟变量、非线性回归模型常见形式及解决方法了解变参数模型  重点、难点 虚拟变量设置的原则、非线性回归模型的参数估计  参考文献 李长风，《经济计量学》，上海财经大学出版社，1996 张晓峒，《计量经济学基础》，南开大学出版社，2001 孙敬水，《计量经济学》，清华大学出版社，2004  教学内容 一、变参数单方程计量经济学模型 1．确定性变参数模型 二、虚拟变量的引入 1．虚拟变量 2．设置原则 3．参数估计 三、非线性回归模型 1、常见形式 2、可线性化的非线性回归模型 3、非线性最小二乘法  课后 作业 教材谱p132思考题1、3  周次 第11周 课次 第15次 课时 3 时间 ???????????? 任课教师  课程主题  非因果关系的单方程模型、时间序列模型概述  教学方法 讲授  教学目的 掌握逻辑增长曲线、龚泊兹曲线模型，了解时间序列模型  重点、难点 辑增长曲线、龚泊兹曲线模型的参数估计  参考文献 张晓峒，《计量经济学基础》，南开大学出版社，2001 张晓峒，《计量经济学软件Eviews使用指南》，南开大学出版社，2003 孙敬水，《计量经济学》，清华大学出版社，2004  教学内容 一、增长曲线模型概述 二、逻辑增长曲线模型 1．模型 2．适用问题 3．参数估计 三、龚泊兹曲线 1．模型 2．适用问题 3．参数估计 四、时间序列模型 1、AR模型 2、MA模型 3、MA模型 4、AR、MA、MA的识别  课后 作业 教材p132思考题5、6  周次 第11周 课次 第16次 课时 3 时间 ????????????? 任课教师  课程主题  协整理论与误差修正模型  教学方法  讲授  教学目的 掌握单整、协整的检验 了解计量经济学的当代学科前沿了解贝叶斯估计方法  重点、难点 协整、协整的检验与误差修正模型  参考文献 张晓峒，《计量经济学基础》，南开大学出版社，2001 张晓峒，《计量经济学软件Eviews使用指南》，南开大学出版社，2003 孙敬水，《计量经济学》，清华大学出版社，2004  考核内容  一、单整 1．稳定序列 2．单整 3．单整的检验 二、协整 1．定义 2．意义 3．协整的检验 三、误差修正模型（ECM） 1、ECM模型 2、ECM与协整的关系 四、单方程计量经济学模型的贝叶斯估计  课后 作业 教材P132思考题8、10   扩展的单方程计量经济学模型与方法 扩展的含义 将常参数扩展为变参数 将线性关系扩展为非线性关系 将因果关系扩展为非因果关系 将决定模型结构的依据由经济理论与行为规律扩展为数据关系 §3.1 变参数单方程计量经济学模型 一、确定性变参数模型 以一元线性回归为例，设  （1） 如果是确定性变量而非随机变量，那么称上述模型为确定性变参数模型，其常见形式有: 1、参数随某一个变量呈规律性变化 如果有   （2） 其中参数 是常数，那么（1）变为：  （3） 表明（1）中的回归系数不再是常数，而是随变量pt的改变而变化。在实际问题中pt通常是一个政策变量。 将（2）代如（1）得到：  (4) 以OLS估计（4）的参数，并通过检验是否为零来检验变量pt对是否有影响。 2、参数作间断性变化 如果有    （5） 表示（1）中得参数在n0 处发生了变化，在实际经济问题中通常表示某项政策的实施所产生的影响。这类变参数模型的估计分为3种不同情况： 1）n0已知 设  t=1,2,…,n0  t=n0+1,…,n 进行参数估计。一般建立一个统一的模型：  （6） 其中D为虚拟变量，其观测值为：  直接估计（6）即可得参数的估计量。 2）n0未知，但Var 可以选择不同的n0按照1）的方法进行试估计，根据两个方程的残差平方和之和最小选择最优者。 3、n0未知，且Var时，将n0视为未知参数，构造专用似然函数，并将n0的不同取值代入，确定似然函数最大的值为n0 。 §3.2 非线性单方程计量经济学模型 非线性模型的线性化问题 非线性估计问题 一、非线性单方程计量经济学模型概述 （一）、变量非线性问题 1、特征：关于变量是非线性的（变量的指数不为1）但关于参数却是线性的。如：  2、解决方法：1）变量置换 2）使用软件的非线性回归功能 （二）、可线性化的参数非线性问题 特征：关于参数是非线性的，但经过适当变换后 可以被线性化，关于变量没有限制。 解决方法：1）传统方法：见第二章相关问题 2）使用软件相关功能 3）非线性最小二乘法或非线性最大或然法 （三）、不可线性化的参数非线性问题 特征：关于参数是非线性的，而且用常规方法无法使其线性化。 解决方法：非线性最小二乘法与非线性最大或然 法 二、非线性普通最小二乘法 （一）、普通最小二乘原理 设一个只含一个参数的非线性模型：   （7） 中的误差项满足所有古典假定。如果参数的估计已经得到，则应使残差平方和最小。即  （8） 最小。（8）去最小值的一阶条件为 =0 即  (9) 估计的关键在于方程（9）的求解（如果是线性函数，则就是第二章中的OLS）。多元的表述见书p104。 （二）、高斯—牛顿（Gauss—Newton）迭代法 1、高斯—牛顿迭代法的原理（以方程（7）为例） 第一、据经验给出参数的初始值，将在初始值处展为泰勒级数，取一阶近似：  （10） 同时，记   则（8）最小等价于  （11） 最小，也等价于  （12） 的残差平方和最小。 第二、求（12）的OLS估计。 第三、以第二步求得的参数的估计为新的初始值重复第一、第二步直到参数的估计值收敛为止，即  （一个事先设定的正数）（二）、高斯—牛顿迭代法的步骤（见P105） (三)、牛顿—拉夫森（Newton—Raphson）迭代法 第一、给定的初始值，将在处展为泰勒级数，取二阶近似值，即  ————（13） 第二、利用使（13）达到最小值的条件  解得  （14） 第三、以（14）为新的初始值重复第一、第二步得再重复第一、第二步直到迭代值收敛为止。 §3.3 非因果关系的当方程模型 一、增长曲线模型概述 ——非因果关系模型 （一）、多项式曲线增长模型 1、模型的一般形式：  （3.3.1） 其中：是对应于第t个时间单位的某个经济指标（如GDP） t是时间单位 为模型参数 k一般取0，1，2等值 2、参数估计 按变量非线性问题解决 用软件的非线性回归功能 （二）简单指数型增长曲线模型 1、模型为  （3.3.2） 其中：a＞0,b＞1时适于描述随时间推延而无限增大的指标；a＞0,b＜1时适于描述随时间推延而递减的指标。 2、参数估计：1）线性化后变量置换，OLS估计 2）非线性回归法。 （三）、修正指数增长曲线模型 1、模型的数学表达  （3.3.3） 其中：k是y的逼近值（初始值）； a＞0,b＞1时y随时间推延递增； a＞0,b＞1时y随时间推延递减 适用问题：与（二）相似，不过此时y有初始值而已。 参数估计：1）把模型变形为：  （3.3.4） 给定k值，取对数后变量置换以OLS估计之，取其中残差平方和最小者。 2）使用有非线性估计功能的软件直接估计 （四）、逻辑（Logistics）增长曲线模型 （五）、龚珀兹（Gompertz）增长曲线模型 二、逻辑（Logistics）增长曲线模型 （一）、数学形式及其特征 1、数学形式：  （3.3.5） 一般称之为狭义的逻辑增长曲线模型，其中K,a,b均为大于零的常数。俗称为“S型曲线”，由Verhulst于1845年提出。 2、曲线的特征 1),即K是y的饱和值；。 2）增长曲线由一个拐点，在拐点之前，y的增长速度越来越快；在拐点之后增长速度越来越慢，逐渐趋于零。 3、适用问题：1）新技术，新产品的普及率 2）耐用品的存（有）量 （二）、参数估计问题 1、线性化估计 1）将（3.3.5）变形为  （3.3.6） 则有  （3.3.7） 其中：    而K为一个事先给定的数值（取使得（3.3.7）残差平方和最小的一个） 2）以OLS估计上述的（3.3.7） 2、“三和法” 1）将样本值均分为三段：t = 1,2,…,r；t = r+1,r+2,…,2r；t = 2r+1,2r+2,…,n。分别计算每段中（3.3.6）式的和    2)由此可得  其中：  3、非线性回归估计 TSP6.5中可以直接估计（3.3.5）。首先选择并输入a,b,K的初始值，然后输入方程的形式即可 完成。 三、龚珀兹（Gompertz）增长曲线模型 （一）数学形式及适用问题 1、数学形式   其中：a,b,K为待估计参数；K为y的极限逼近值。与逻辑增长曲线模型相似，只是拐点的位置不同。 2、适用数据 时间序列中发展水平对数的一级增长量的环比近似一个常数。与逻辑增长曲线模型相似。 （二）、参数估计 给定K值线性化后以OLS估计之； “三和法”  其中：依次为的自然对数均分后第一、第二和第三部分的总和；n为每部分包含的数据个数。 例、设某公司销售资料如下：单位（百万元） 年度  时间序号 销售额   1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.88 12.42 14.36 16.04 17.50 18.40 19.24 19.80 20.20  拟合回归模型，预测1996年该公司销售额。 经模型识别，最佳拟合模型为龚珀兹曲线增长模型。 根据下表数据计算得：   =－0.7593  =3.0533 为估计参数，对数据进行变换： 新编序号         0 1 2 3 4 5 6 7 8  2.2905 2.5193 2.6644 2.7751 2.8622 2.9124 2.9570 2.9857 3.0057      9.63 12.07 14.24 15.92 17.27 18.32 19.31 19.68 20.10 25 35 12 12 23 08 －0.07 12 0.10  取反对数得：    于是曲线方程为：  1996年的预测值即为： （百万元） 最大相对误差仅为2.84%，可见精度是非常高的—龚珀兹增长曲线，对正常成长企业业绩的拟合程度是很好的。 四、时间序列模型分析概述 （一）、确定性时间序列分析模型 内容见书 （二）、随机时间序列模型 内容见书 §3.4 协整理论与误差修正模型 一、协整理论概述 （一）、地位与贡献 是20世纪80年代以来计量经济学模型建模理论的一个重大发现。也是计量经济学目前较为活跃的前沿性研究领域。 （二）、与传统计量经济学建模理论的区别 传统计量经济学建模的基础是经济学理论和行为学规律——事先有若干模具，然后将现实的数据（坯子）添入一个做出一个坯子与模具间缝隙最小的产品。 协整理论与误差修正模型建模的基础是经济变量数据中所显示的关系——根据坯子的形状为其创作一个形神一体的一件作品。 二、单整（Integration） 1、稳定序列——如果一个时间序列是稳定的，则： 其均值与时间t无关； 其方差,且与时间无关。 直观解释为：时间序列趋于返回它的均值，以一种相对不变的振幅围绕均值波动。 2、单整 （1）定义 如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过d次差分，则该序列被称为d阶单整，记为~I(d)。换言之，如果序列是 非稳定的，而序列是稳定序列，则 ~I(d)。 （2）性质：如果序列和分别为d阶单整和e阶单 整，即 ~I（d）, ~I(e), 且e＞d 则二序列的线性组合是e阶单整序列，亦即  ~ I(max(d,e)) 3、单整的检验 1） 对于时间序列，建立方程  或者  构造服从Dickey—Fuller 分布的t统计量，查D—F分布确定临界值，如果t统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝假设，序列至少为1阶单整I(1)。 2）通过了1阶单整检验后，再建立如下方程  进行同样的检验，如果通过检验（被拒绝），则序列至少为2阶单整I(2)… …直到检验不能通过为止。此时也就确定了序列的单整的阶数。 三、协整（Cointegration） （一）、定义及意义 1、定义：如果序列(k个序列)都是d阶单整，存在一个向量，使得～I（d-b） , 其中b＞0,, 则认为序列是（d,b）阶协整，记为～CI(d,b),为协整向量。 即如果的线性组合的单整的阶数低于其中任何一个序列的单整的阶数则称序列是协整的，且其阶数为（d,b） b——等于经线性组合之后降低的协整阶数。 例如 居民收入时间序列为1阶单整，居民消费时间序列也为1阶单整，如果二者的线性组合 构成的新序列为0阶单整序列，于是认为序列与是（1，1）阶协整。 一般而言，流量是1阶单整的，而存量是2阶单整的。 2、协整的条件 如果两个变量都是单整变量，它们协整的必要条件为：它们单整的阶数相同。 3、协整的经济意义 两个有各自的长期波动规律的变量，如果它们是协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。 4、计量经济学意义：1）如果变量之间是协整，模型的常数有合理的经济学解释，否则模型的常数就缺乏合理的经济学解释。 2）如果变量之间是（1，1）阶协整的，就可以用线性模型拟合，因为此时的随机误差项是“白噪声”（零均值，方差不变的稳定随机变量序列） 3）丛变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其估计量的统计性质是优良的。 如：使用传统经济学理论建立消费函数模型时一般会 使用收入与储蓄余额做解释变量，而丛协整理论出发， 在建立消费函数模型时就不会选择储蓄余额做解释变 量因为它与消费额不是协整的。 （二）、协整的检验 1、两变量的Engle—Granger(恩格尔—格兰杰)检验 第一步，用OLS估计下列方程：  得到   称为协整回归。 第二步 检验的单整性。（方法就是D—F检验） 如果为稳定序列，那么与是（1，1）阶协整的；如果是1阶单整，那么与是（2，1）阶协整的；… …。 2、多变量协整关系的检验 Johansen检验 四、误差修正模型（ECM） (一)、误差修正模型（其主要形式为DHSY模型） 以（1，1）阶自回归分布滞后模型为例说明，此时模 型为：  （3.4.1） 移项后得到   （3.4.2） 方程（3.4.2）即为误差修正模型。其中称 为误差修正项。 它表明被解释变量的波动被分成两部分：一部分 为短期波动，另一部分为长期均衡。 模型（3.4.2）一般写成  （3.4.3） 其中表示误差修正项。因为＜1，所以有＜0 由此可得的修正作用：1）若（t-1）时刻大于其 长期均衡解，为正，×为负，使得 减少。 2）若（t-1）时刻小于其 长期均衡解， 为负，×为正，使 得增大。体现了长期均衡误差对的控制。 （二）、与协整的关系 对于上述的（1，1）阶自回归分布滞后模型，如果有 ～I(1) ,  ～I(1) 此时： 为协整系数 为均衡误差 （三）、从协整理论到误差修正模型 历史上是先有误差修正模型，后有协整理论的； 而今天却是先以协整理论为基础，对变量进行协整分析，并求出协整系数，构成误差修正项然后建立起误差修正模型。 §3.5 单方程计量经济学模型的贝叶斯估计 简要介绍（教材为主）