周次 第15-16周 课次 第15-16次 课时 5 时间 ?????????????? 任课教师  课程主题 第五章 单方程计量经济学应用模型 第一节 生产函数模型  教学方法 讲授、课堂讨论 教学环境 多媒体（普通）教室  教学目的 介绍计量经济分析在实际经济生活中典型应用案例，帮助学生深入了解计量经济学的作用和重要性  重点、难点 生产函数的概念、生产函数模型的发展  参考文献 李长风，《经济计量学》，上海财经大学出版社，1996 张晓峒，《计量经济学基础》，南开大学出版社，2001 孙敬水，《计量经济学》，清华大学出版社，2004  教学内容 一、几个重要概念 1．生产函数 2．要素替代弹性 3．要素产出弹性 4．技术进步 二、以要素之间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展 1．线性生产函数模型 2．投入产出生产函数模型 3．C-D生产函数模型 4．不变替代弹性(CES)生产函数模型 三、以技术要素的描述为线索的生产函数模型的发展 1．将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型 2．改进的C-D、CES生产函数模型 3．含体现型技术进步的生产函数模型 四、几个重要生产函数模型的参数估计方法 1．线性生产函数模型的估计 2．C-D生产函数模型及其改进型的估计  课后 作业 教材第243页本章思考题第一题、第二题、第五题 预习 内容 第二节 需求函数模型 第三节 消费函数模型  周次 第16-17周 课次 第16-17次 课时 4 时间 ??????????????? 任课教师  课程主题 第二节 需求函数模型 第三节 消费函数模型  教学方法 讲授、课堂讨论 教学环境 多媒体（普通）教室  教学目的 介绍计量经济分析在实际经济生活中典型应用案例，帮助学生深入了解计量经济学的作用和重要性  重点、难点 需求函数、消费函数的概念及主要估计方法  参考文献 李长风，《经济计量学》，上海财经大学出版社，1996 张晓峒，《计量经济学基础》，南开大学出版社，2001 孙敬水，《计量经济学》，清华大学出版社，2004  教学内容 一、需求函数的几个重要概念 1．需求函数 2．需求函数的0阶齐次性 3．效用函数与需求函数 二、几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计 1．线性需求函数模型 2．对数线性需求函数模型 3．耐用品的存量调整模型 三、消费函数的研究发展历程 四、几个重要的消费函数模型及其参数估计 1．绝对收入假说消费函数模型 2．相对收入假说消费函数模型 3．持久收入假说消费函数模型 4．生命周期消费函数模型 5．理性预期消费函数模型 6．误差修正机制消费函数 五、其他应用模型  课后 作业 教材第243页本章思考题第六题、第八题 预习 内容 第六章 宏观计量经济模型   第五章 单方程计量经济学应用模型 §5.1生产函数模型 一、几个重要概念 （一）、生产函数 1、定义 描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。即  其中：—— 产出量（如：粮食产量、GDP、总产值）  —— 技术要素的投入  ——— 资本要素的投入（价值形式）  ———劳动要素的投入（价值或实物形式） 注：（1）生产要素的投入是指在生产过程中发挥作用、对产出量产生贡献的生产要素之投入。 （2）“可能的最大产出量”是指这种要素组合应该形成的产出量，而非实际产量。 （3）生产函数的本质是生产过程中投入要素与产出量之间的技术关系。 （4）生产函数的不同表现在：函数形式的不同以及考虑的要素的不同。 （二）、生产函数的发展 美国数学家Charles Cobb与经济学家Paul Dauglas 首先提出生产函数的概念，并用美国1899～1922的数据资料导出了,著名的Cobb—Dauglas生产函数。 1、关于生函数的一些主要成果 1928年 Cobb,Dauglas C—D生产函数 1937年 Dauglas,Durand C—D生产函数的改进型 1957年 Solow C—D生产函数的改进型 1960年 Solow 含体现型技术进步生产函数 1961年 Arrow等 两要素CES生产函数 1967年 Sato 二级CES生产函数 1968年 Sato,Hoffman VES生产函数 1968年 Aiger,Chu 边界生产函数 1971年 Revanker VES生产函数 1973年 Christensen,Jorgensen 超越对数生产函数 1980年 三级VES生产函数 （三）、生产函数是经验的产物 见书P186～187 （四）、生产函数的一阶齐次性 1、生产函数的一阶齐次性  2、规模报酬不变 当投入的要素同时增长倍，那么相应的产出量同时增长倍。也就等同于生产函数的一阶齐次性。 注： 在现实的经济活动中，存在规模报酬递增以及规模报酬递减。在生产函数中分别表现为：  其中＞1（递增）  其中＜1（递减） 3、要素替代弹性 概念：是描述投入要素之间替代性质的一个量，以说明要素之间替代能力的大小（替代难度大小）。 性质：因样本点和样本区间、对象的不同而不同（要素替代弹性假设的不同是生产函数发展的一个重要途径） 要素的边际产量 概念：其它要素的投入及条件不变时，某一要素的投入增加一个单位时导致的产出的增加量（某一要素的边际效益） 公式（表达）： ▲——资本的边际产出 ▲——劳动的边际产出 3） 性质 ▲≥0，≥0——边际产量的非负 ▲≤0 ≤ 即边际产量递减律（随要素投入的增加边际产量逐渐减少） （2）要素的边际替代率 1）概念：在产量不变的条件下，某一要素的增加与另一要素的减少之间的比例，记为。 2）形式 ▲——对的边际替代率，表明为维持产量的不变，每减少1单位的所需要增加的数量（每减少一单位劳动力所需增加的资本数量，一般而言是递增的，高级阶段的替代） ▲——对的边际替代率，表明为了维持产量不变，每减少一单位的所需增加的数量（每减少一单位的资本投入所需增加的劳动投入量,一般而言是递减的，但这种替代与人类生产活动中的替代相反—初级阶段的替代，而很少讨论） 公式 ▲ ▲ 显然 × =1 即二者互为倒数。 【例1】有生产函数如下  要求（1）求边际产量；（2）要素替代弹性（） 解：（1）边际产量 显然是和的函数。 要素的边际替代弹性   显然与技术装备系数有关。于是： 它表明在技术装备系数为1.25的条件下，每减少一单位的劳动投入，需要增加1.2958单位的资本，来填补劳动的作用，以保持产出水平的不变。或者说，一单位的劳动等于1.2958单位的资本。 （3）要素替代弹性 1）定义：两种要素比率的变化率与边际替代率的变化率之比，一般用表示。表明在保持产量不变的条件下要素的投入每减少1%时，要素的投入量所要增加的百分数。 2）公式：  其中：——技术装备系数，是因变量 —要素边际替代率，是自变量 3）范围：一般为有限正数，表明要素之间具有有限可替代性；，表明要素间完全不可替代；，表明要素间可以无限替代。 （五）、要素的产出弹性 概念：当其它要素投入量不变时，该要素的投入量增加1%所导致的产出量增加的百分数。提供人们对投入方向选择的依据。 种类：▲资本的产出弹性； ▲劳动的产出弹性； 3、公式   4、理论范围：0＜＜1 （六）技术进步 1、概念 狭义的技术进步 指要素质量的提高或进步，即由于技术的进步使资本的功效改进，文化及教育的发展使劳动的贡献提高。 广义的技术进步 除了要素质量提高外，还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，对产出量的贡献。（独立于要素之外，在生产函数中需单独处理） 中性技术进步 a)相对资本密集度 假设在生产活动中除技术外，只投入资本和劳动，资本的相对密集度定义为两种要素的产出弹性之比，记为，即  b)技术进步的种类 如果＞1，称为节约劳动型技术进步；如果＜1，称为节约资本型技术进步 如果，称为中性技术进步。 c)中性技术进步的种类 希克斯中性技术进步（技术装备系数不变） 索洛中型技术进步（劳动生产率不变） 哈罗德中性技术进步（资本产出率不变） 二、以要素间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展 模型的基本假定 要素间的替代弹性（不同生产函数源自于要素替代弹性的不同；生产函数由替代弹性的假设求解而得——微分方程求解） （一）、线性生产函数模型 1、假设 ，即资本和劳动之间可以无限替代。 2、函数形式  3、要素替代弹性 ， 故而   从而  从函数形式可以看出，即便其中一个要素为零，也可以用另一要素替代之，保持产出量的不变。 （二）、投入产出生产函数 1、假设： ，即要素间是完全不可替代的 2、函数形式  其中： 为生产1单位的产出所必需投入的资本、劳动的数量（类似于会计学中的单耗） 注： 一只水桶的容量取决于最短的一块木板的高度。 例如：设某一时期，某地区可以投入的资本是2000亿元，劳动力数量为50000万工时，又已知每创造1元的GDP需投入4元资本，投入0.5个工时，于是 资本可以支持的GDP产出为 （亿元） 劳动可以支持的GDP产出为 亿元 因为生产中必须同时投入劳动与资本，而且二者间又是不可替代的，所以该地区的GDP只能为500亿元。  3、要素替代弹性  于是   （三）、C—D生产函数 1、模型形式  2、参数含义 ——资本的产出弹性 ——劳动的产出弹性  ——反映广义技术进步水平的效率系数 3、参数的范围 0≤≤1， 0≤≤1  ＞0 4、参数的关系及其意义 1）———生产函数的一阶齐次性，经济学的规模报酬不变。 2）＞1———生产函数的非一阶齐次性，经济学的规模报酬递增 3）＜1———生产函数的非一阶齐次性，经济学的规模报酬递减 5、要素替代弹性  又   它表明C—D生产函数模型的要素替代弹性为不变弹性，其值为1（注意：上述证明过程中并未用到与 的关系，因此，无论规模报酬的状况如何要素替代弹性均为1） 6、模型的评价 优点：▲与线性生产函数模型的完全可替代及投入产出生产函数模型的完全不可替代相比，C—D生产函数的要素替代弹性为1，是更加接近于生产实际。 参数有明确的经济意义。 简单变换之后即可线性化。 基于前面三点，有广泛的应用。 缺点：其要素替代弹性假设为1，意味着无论对象是什么，样本区间在那儿，也不管样本观测值为何，要素替代弹性均为1，这与实际不符。 （四）、不变替代弹性（Constant Elasticity of Substitution缩写CES)生产函数 模型与参数含义 一般形式  其中：待估计参数为效率系数，是广义技术进步水平的反映；  和为分配系数，0＜＜1，0＜＜1，且； 为替代参数；  为规模参数：1）时规模报酬不变 2）＜1时规模报酬递减 3）＞1时规模报酬递增 基本形式（,即规模报酬不变）  是一般研究CES生产函数时使用的形式。 2、要素替代弹性  注：1）由此可见-1＜＜+（称为弹性参数的理由） 2）此结论与的值无关 3）时，表明此时CES生产函数退化为C—D生产函数。（即CES生产函数包含C—D函数） 3、CES生产函数的评价 （1）与C—D生产函数相比的优点 随研究对象的不同及样本区间的不同而改变，要素间不再是等幅替代的，考虑了技术装备系数对要素替代弹性的影响，比C—D生产函数更接近实际。 (2)局限性 仍假设要素替代弹性与样本点无关（此为不变替代弹性的含义），与实际仍有差异，还需改进与发展。 （五）、变替代弹性（VES）生产函数 1、要素替代弹性的假设 （1）假定要素替代弹性为要素比例的线性函数，即  表明要素比例不同，替代弹性不同，当要素比例较大时，资本替代劳动困难，而当要素比例较小时，资本替代劳动就较容易。 （2）、假设要素替代弹性为时间的函数，即  2、VES生产函数的一般形式 假设2之下的生产函数 此假设之下的函数与实际有较多不符，使用较少，故只介绍其函数形式。  （2）、假设1之下的生产函数模型 1）一般形式 （无约束） 其中的含义与前面函数中相同，为假设中的斜率，c为常数。当时，函数退化为基本形式。 2)基本形式 i通式 （约束最少） 其中：（劳动生产率），要素比例（技术装备系数）。该式是在关于要素替代弹性的假设1之下，求解微分方程而得的 ▲如果在假设中，假定，即，则通式退化成VES生产函数的常见形式。 ii常见形式 （约束次少） 特款 ▲如果在假设中有，则函数由通式退化为CES生产函数。 （约束较多） 其中：，， ▲如果在假设中有则通式退化为：  （约束最多） （规模报酬不变的）C—D生产函数。（） 注解：以上讨论表明，VES生产函数是CES、C—D生产函数的一般形式；CES生产函数和C—D生产函数是VES生产函数在不同强度的约束之下的特款。 (六)、多要素生产函数 1、含义 所谓多要素是指投入的要素多于2个，以三要素（资本K,劳动L,能源E）为例说明 2、多要素线性生产函数 （1）、形式：  （2）、要素替代弹性：（可无限替代） 3、多要素投入产出生产函数 （1）、形式  其中：a、b、c分别为每生产一单位产出所需耗费的资本、劳动和能源。 （2）、要素替代弹性：（完全不能替代） 4、多要素C—D生产函数 （1）、形式 （为产出弹性） （2）、要素替代弹性 （与替代的要素无关，资本替代劳动或者资本替代能源皆为1，与是否等于1无关，即与规模报酬的状况无关） （五）、多要素一级生产函数 1、形式  其中：为分配系数，均在0到1之间，且  为规模报酬系数（等于1时不变，大于1时递增，而小于1时递减） 2、要素替代弹性  与替代要素、规模报酬状况无关。明显与实际不符。 （六）、多要素二级CES生产函数（适于三要素） 1、假设 资本对劳动的替代弹性与资本对能源的替代弹性彼此不同，但相同两种要素间的替代弹性保持不变（和分别为常数）。 2、形式   其中：为第一级生产函数，在第二级生产函数中将其视为一个组合要素。 3、局限 由于的经济意义不清，从而使得函数中的参数的含义不清。 （七）、多要素三级生产函数 (八)、超越对数生产函数 1、形式 2、特点：易估计—关于参数是线性的，可直接用OLS 包容性——增加一些约束就可以变为其它的生产函数 参数的意义明确。 三、以技术要素的描述为线索的生产函数模型的发展 （一）、将技术要素作为一个不变参数的生产函数 1、假设 （1）技术进步是广义的 （2）技术进步是中性的 （3）技术进步改变生产效率 （4）技术进步的作用在所有样本点上相同 2、形式 （1）C—D生产函数 （2）CES生产函数 3、局限 技术进步在不同样本点上是不同的，但在上述两个函数中没有反映这种不同。 各种要素质量提高的速度是不同，但此二生产函数却认为不同要素的进步速度是相同的。 （二）、改进的C—D、CES生产函数 1、改进的C—D生产函数（Solow生产函数） （1）总体形式  （2）技术进步的表达形式 1） 其中：为技术的年进步速度（与的大小无关） 2） 其中：可以理解为技术进步速度（前提：技术进步速度较低）。 （3）具体形式  或  改进的CES生产函数   或  （三）含体现型技术进步的生产函数模型 总量增长方程 （1）假设：产出量的增长是资本、劳动数量的增长及技术的进步共同贡献的结果。 （2）形式：  其中：和分别为资本和劳动的产出弹性。 表示资本和劳动数量的增长对产出增长的总贡献。 被用来度量技术进步对产出增长的贡献——技术年进步速度。实际上是产出中除去资本和劳动数量增长导致的产出增长后余下的全部，一个“大杂烩”，解释为技术进步是不准确的、勉强的。 例：已知资本的产出弹性为，劳动的产出弹性为。如果某地区2002年的GDP年增长率为，而同时资本投入的增长率为，劳动投入的增长率为。要求计算该地区2002年的技术进步速度。 解：，   技术进步的年速度为 ：    也就是说，在该地区目前的技术水平之下，技术的年进步速度约为。但这其中并不能完全解释为技术进步，因为其中包含除去资本投入增长和劳动投入增长对GDP增长贡献之外的技术进步和其他因素的影响的全部。为了准确地测定技术进步速度，就应该设法将其中除技术进步以外的其他因素的作用予以剔除。 2、分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数 （1）函数形式  其中：——以质量加权的资本数量（即有效资本） —扣除资本质量提高以外的技术效率系数 （2）有效资本的计算公式  其中：—第年形成的第年仍然使用的资本数量 ——因资本质量提高带来的资本效率年提高速度 （3）实际中的计算公式  其中：——资本平均年龄的变化（当资本平均年龄降低时为负值—质量提高） ——实际资本数量的年变化率 （4）总量增长方程的变形  其中：括号内的部分相当于原方程中的，现在从这个“垃圾箱”中分离了资本质量提高所导致的技术进步。 常见形式 —————（※） 其中：——剔除资本质量提高导致的技术进步之后的技术进步。 （5）技术进步速度计算  例如：假设在前例中，问分离资本质量后的技术进步速度为多少？ 解：        显然,此处的数值小于前面的，明显地，此处的数值更为接近实际。 3、分离劳动质量的体现型技术进步的生产函数 出于与2类似的考虑将（※）式改写为：  其中：—因管理水平提高对产出增长的贡献 ——劳动者素质提高带来的劳动效率的年进步速度 ——劳动者素质提高的年改变量（如劳动者受教育年限的改变量或劳动年龄的该变量） 例如：在上例中如果添加  问技术进步的年速度为多少？  （四）、边界生产函数模型 1、概念： （1）平均生产函数：根据要素投入数量以及相应的产出量的样本数据（实际产出量）估计而得的生产函数称为平均生产函数。——样本生产函数 （2）边界生产函数：称要素投入量与相对的最大产出量之间的生产函数为“边界生产函数”。—生产函数 (3)二者的关系：边界生产函数实质上是平均生产函数向上的平移。 2、种类： 边界生产函数 3、形式 （1）确定性边界生产函数  其中：——实际产出量 ——边界生产函数 0≤≤1——生产非效率 由此可见，实际产出量总在的下方，也就是说边界生产函数为确定的。 （2）随机生产函数： 其中：——实际产出量 ——边界生产函数 0≤≤1——生产非效率 由此可见，实际产出量总在边界生产函数的下方；但是可能处于的上方。 四、几个主要生产函数的参数估计 （一）、线性生产函数 直接使用OLS估计之 （二）C—D生产函数 包括初始形式及改进形式，其估计方法相似，区别主要来自随机误差项的形式的不同。 误差项为乘积因子时 第一、对方程取对数，  第二、变量置换    模型变为：  第三、以OLS估计变换后的模型，并作参数和模型的还原。 注：有时为了避免多重共线性而在规模报酬不变的假定（之下，将模型变为：  其中：，  以OLS估计上述方程之参数然后换算 ，  （三）、CES生产函数模型及其改进型的估计 以一般形式为例说明，主要方法有两种：边际生产力条件估计法和直接估计法。 边际生产力条件法 将条件  应用于模型的初始形式，导出线性计量经济学模型，然后估计之。其他模型也可运用“边际生产力” 求解。 ★2、直接估计法 设CES生产函数的计量经济学形态为  第一步、两边取对数  + 将其中的 在处展开为泰勒级数，取0阶、1阶和2阶项代入前式得：  以变量置换将该式变为  注 原方程有四个待估计的独立参数，因而展开为包含四个系数的回归模型。 第二步、以估计  然后利用参数关系体系和关系推算出 待估计参数的估计值。即     ★（四）、生产函数的估计 设函数的形式为  步骤：第一步、计算数据   第二步、以估计方程  求得 第三步、利用参数关系体系推算待估计参数即     （五）、二级生产函数模型的估计 第一步、计算数据  第二步、以估计方程：  求得六个参数的估计值。 第三步、利用参数关系体系及和推算待估参数：         (六)、含体现型技术进步的生产函数模型的估计 第一步、计算数据    其中：的值可根据经验给定 第二步、用估计  的未知参数 第三步、计算的估计值，从中选择残差平方和最小的以及参数估计值，写出最终模型。 ★（七）、确定性边界生产函数模型的修正的普通最小二乘估计 1、方法 第一、首先用原始数据估计出平均生产函数：  然后计算所有样本点处实际的与平均生产函数的之差，最后，取其中最大的一个作为，即  第二步、将上述所得的加到平均生产函数常数项。 五、生产函数模型在技术进步分析中的应用 （一）、应用的内容 1、内容： 1）结构分析 2）生产预测 2、技术进步分析 技术进步速度及其对经济增长的贡献 2）部门间、企业间技术进步水平的比较 （二）、技术进步速度的测定 技术进步速度的定义  其中：——为技术进步速度  ——为经济增长率  ———资本的产出弹性 ———劳动的产出弹性  ——资本投入增速  ———劳动投入的增速 2、注解： 1）由此可见被经济学界称为技术进步速度的，实质上是经济增长中除去投入要素所决定的部分后，剩余的全部。 2）该公式的使用并未对生产函数的形式作任何限制，，只要要素产出弹性能够计算即可。 【例】利用某市国有工业企业1978～1989年的数据经估计而得生产函数： 要求：在技术装备系数，经济增长率为，资本投入增长率为，劳动投入增长率的条件下，计算技术进步的年增长速度。 解：首先计算要素替代弹性    技术进步速度为   它表明，技术进步速度实际上是由于技术进步等因素的贡献而使得经济的增长速度。 （三）、技术进步对（经济）增长的贡献★★★ 1、定义：技术进步速度与经济增长率之比被定义为技术进步对经济增长的贡献 2、公式： 3、前例中： 其余内容以教材为中心。