第十章 压杆稳定
§ 10–1 压杆稳定性的概念
§ 10–2 细长压杆临界力的欧拉公式
§ 10–3 超过比例极限时压杆临界应力
§ 10-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§ 10–1 压杆稳定性的概念构件的承载能力,① 强度
②刚度
③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、
刚度，却不一定能安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡,
1,不稳定平衡
2,稳定平衡
3,稳定平衡和不稳定平衡二、压杆失稳与临界压力,
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳定平衡不稳定平衡
3.压杆失稳,4.压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力,Pcr
过 度对应的压力
§ 10–2 细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力,
PyyxM?),(
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
yEIPEIMy
① 弯矩：
② 挠曲线近似微分方程：
02 ykyyEIPy
EI
Pk?2:其中
P P
x
P
x
y
PM
③ 微分方程的解：
④ 确定积分常数：
xBxAy c o ss i n
0)()0( Lyy
0c o ss i n
00:
kLBkLA
BA即 0
c o s s i n
1 0
kLkL
0s in kL
EI
P
L
nk
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力,故，只能取 n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2
m i n
2
LEIP cr
二、此公式的应用条件：
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
—长度系数 （ 或约束系数 ） 。
两端铰支压杆临界力的欧拉公式压杆临界力欧拉公式的一般形式
2
2
L
EIP
cr
m i n
2
2
)(
m i n
L
EIP
cr?
0.5
l
表 10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由 两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状
Pcr
A
B
l
临界力 Pcr
欧拉公式长度系数 μ
2
2
l
EIP
cr
2
2
)7.0( l
EIP
cr
2
2
)5.0( l
EIP
cr
2
2
)2( l
EIP
cr
2
2
l
EIP
cr
=10.7?=0.5?=2?=1
Pcr
A
B
l
Pcr
A
B
l0.7
l
C C
D
C—挠曲线拐点
C,D—挠曲线拐点
0.5
l
PcrPcr
l
2l l
C—挠曲线拐点
P
MkykyEI 22
MPyxMyEI )(
EI
Pk?2:令
kxdkxcy s i nc o s
0,;0,0 yyLxyyx
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
边界条件为,
例 1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力公式。
P
L
x
P
M0
P
M0
P
M0
xP
M0
nkLnkLdPMc 2,0,并
2
2
2
2
)2/(
4
L
EI
L
EIP
cr
2?kL
为求最小临界力,,k” 应取除零以外的最小值,即取：
所以，临界力为：
2?nkL
= 0.5
③ 压杆的临界力例 2 求下列细长压杆的临界力。
,12
3 hb
I y=1.0，
解,① 绕 y 轴，两端铰支,
2
2
2
L
EI
P yc ry
,12
3bh
I z?
=0.7，
② 绕 z 轴，左端固定，右端铰支,
2
1
2
)7.0( L
EIP z
c r z
),m i n ( c r zc r ycr PPP?
y
z
L1
L2
y
z h
b
x
4912
3
m i n m1017.41012
1050I
2
1
m i n
2
)( l
EIP
cr?
48m i n m1089.3 zII
2
2
m i n
2
)( l
EIP
cr?
例 3 求下列细长压杆的临界力。
图 (a) 图 (b)
解：图 (a)
图 (b)
kN14.67)5.07.0( 20017.4 2
2
kN8.76)5.02( 200389.0 2
2
30
10
P
L
P
L
(45?45?6)
等边角钢
yz
§ 10–3 超过比例极限时压杆临界应力
A
Pcr
cr
一,基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
3.柔度：
2
2
2
2
2
2
)/()(?
E
iL
E
AL
EI
A
P cr
cr
2.细长压杆的 临界应力：
—惯性半径。— AIi?
）—杆的柔度（或长细比— i L
2
2
E
cr?即：
4.大 柔度杆的分界：
Pcr
E?
2
2
欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P
P
P
E?
2
求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
①?P<?<?S 时：
scr ba
s
s
b
a
界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps
bacr
i
L
cr?
界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临 S
2
2
E
cr
③ 临界应力总图
②?S<?时：
scr
bacr
P?
S?
b
as
s
P
P
E
2
2.抛物线型经验公式
211 bacr
S
c
EAA
56.0
43.016
2
53,锰钢：钢和钢、对于
。时，由此式求临界应力 c
我国建筑业常用：
①?P<?<?s 时：
2
1
c
scr?
②?s<?时：
scr
例 4 一压杆长 L=1.5m，由两根 56?56?8 等边角钢组成，两端铰支，压力 P=150kN，角钢为 A3钢，试用 欧拉公式或抛物线公式求 临界压力和安全系数。
4121 cm63.23,cm3 6 7.8 yIA
zy II?
cm68.13 6 7.82 26.47m i n AIi 1233.8968.1150 ci l
解：一个角钢：
两根角钢图示组合之后
41m i n cm26.4763.2322 yy III
所以，应由抛物线公式求 临界压力。
y
z
M P a7.18])1 2 33.89(43.01[2 3 5])(43.01[ 22
c
scr?
kN3 0 4107.1 8 1103 6 7.82 64crcr AP?
02.21 5 03 0 4 PPn cr
安全系数
§ 10–4 压杆的稳定校核及其合理截面一、压杆的稳定容许应力,
1.安全系数法确定容许应力,
W
cr
W n
2.折减系数法确定容许应力,
W
的函数。它是折减系数,?
二、压杆的稳定条件,
WAP
例 6 图示起重机,AB 杆为圆松木，长 L= 6m,[? ] =11MPa，直径为,d = 0.3m,试 求此杆的容许压力。
803.0 461 iLxy
解,折减系数法
① 最大柔度
x y面内,?=1.0
z y面内,?=2.0
1 6 03.0 462 iLzy
T1
A
B
W
T2
x
y
z
O
W
kN9110111 1 7.04 3.0 62 WBCBC AP
② 求折减系数
③ 求容许压力
117.016030003000,80,22 时木杆四、压杆的合理截面,
iL
2
m i n
2
)( L
EIP
cr?
m i nAIi?
ma xmi n II?
合理保国寺大殿的拼柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面为八角形。经历了 1305年的八级地震。
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
yz II
zA
41 cm6.3 9 63.1 9 822 zz II
])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9,a
例 7 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座,试问 a=？时，立柱的 临界压力最大，值为多少？
解,对于单个 10号槽钢,形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后，
cm32.4?a
P
L
z0
y y
1
zC1
a
5.106
1074.122
106.396
67.0
2
67.0
4
8
1
A
Ii
L
z
3.9910200 10200 6
922
P
p
E
kN8.4 4 3)67.00( 106.3 9 62 0 0)( 2
2
2
2
lEIP cr
求临界力：
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
