1
2
§ 3–1 概述
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能第三章 扭 转
3
§ 3–1 概 述轴,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A B O
mm
OBA?
4
扭转角（?）,任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（?）,直角的改变量。
mm
OBA?
5
工程实例
6
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m)( k N559 nP.m
m)( k N0 2 47 nP.m
m)( k N1217 nP.m
其中,P — 功率，千瓦（ kW）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ PS）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ HP）
n — 转速，转 /分（ rpm）
1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS
7
3 扭矩的符号规定：
,T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作,T”。
2 截面法求扭矩
mm
m T
mT
mT
m x
0
0
x
8
4 扭矩 图,表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
9
[例 1]已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩图。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
m)15,9( kN
30 0
50 09,55559 1
1
nP.m
m)( k N 7843001509,5 5559 232,nP.mm
m)( k N 3763002009,5 5559 44,nP.m
10
n
A B C D
m2 m3 m1 m41
1
2
2 3
3
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
.)..mmT
mmT
mkN376
,0
42
43
.mT
mT
11
③ 绘制扭矩图
mkN 569m a x,T BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
–
–
12
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒,壁厚
010
1 rt? （ r0,为平均半径）
一、实验：
1.实验前：
① 绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
13
2.实验后：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3.结论：① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
14
a
c d
dx
b
dy
′
′
① 无正应力
②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力?，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
4,? 与? 的关系：
L
R
RL
微小矩形单元体如图所示：
15
二、薄壁圆筒剪应力?大小：
tA
T
tr
T
TtrrAr
TrA
A
A
2 2
2d
d
0
2
0
000
0
A0：平均半径所作圆的面积。
16
三、剪应力互等定理：
0
故
d x d ytd x d yt
m z
上式称 为剪应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
dy
′
′
t
z
17
四、剪切虎克定律：
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为 纯剪切应力状态。
18
T=m
)( ) 2(
0 R
LtA
T
剪切虎克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
19
G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因? 无量纲，故 G的量纲与?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
)1(2
EG
20
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件等直圆杆横截面应力
① 变形几何方面
②物理关系方面
③静力学方面
1,横截面变形后仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
一、等直圆杆扭转实验观察：
21
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1,变形几何关系：
xx
GG
d
d
dtg 1
xd
d
距圆心为?任一点处的与到圆心的距离?成正比。
xd
d? —— 扭转角沿长度方向变化率。
22
2,物理关系：
虎克定律：
代入上式得：
G
xGxGG d
d
d
d
xG d
d
23
3,静力学关系：
O
dA
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
AI Ap d2令
xGI T p d
d pGI
T
x? d
d?
代入物理关系式 得：
xG d
d
pI
T
24
pI
T
—横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。
4,公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
② 式中,T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
25
单位,mm4,m4。
AI Ap d2
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是 Ip值不同。
4
4
2
0
2
2
10
32
d2
d
D.
D
AI
D
Ap
对于实心圆截面：
D?
d?
O
26
对于空心圆截面：
)1(10)1(
32
)(
32
d2
d
444
4
44
2
2
2
2
D.
D
dD
AI
D
d
Ap
)( Dd
d DO
d?
27
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
28
⑤ 确定最大剪应力：
pI
T
由 知：当
m a x,2
dR
)
2
(
2
2
m a x
dIW
W
T
dI
T
I
dT
p
t
p
p
令?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面,33 2016 D.DRIW
pt
对于空心圆截面,)-(12016)1( 4343 D.DRIW
pt
29
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：
沿横截面断开。
铸铁试件：
沿与轴线约成 45?的螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
30
1,点 M的应力单元体如图 (b)：
(a)
M
(b)
′ ′
(c)
2,斜截面上的应力；
取分离体如图 (d)：
(d)
′
x
31
(d)
′
x
n
t
转角规定：
轴正向转至截面外法线 逆时针：为,+”
顺时针：为,–”
由平衡方程：
0) c o ss i nd() s i nc o sd(d ; 0 AAAF n
0) s i ns i nd() c o sc o sd(d ; 0 AAAF t
解得：
2c o s ; 2s i n
32
2c o s ; 2s i n
分析,当? = 0° 时,
m a x00,0
当? = 45° 时,0,
45m i n45
当? = – 45° 时,0,
45m a x45
当? = 90° 时,
m a x9090,0
′
45°
由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角? =? 45?的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。
33
四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：
对于等截面圆轴：
][ma x
][m a x
tW
T
([?] 称为许用剪应力。 )
强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
][m a xm a x
tW
T
][m a x?
TW
t?
][m a x?tWT?
）（空：
实：
4
3
3
116
16
D
D
W t
34
[例 2] 功率为 150kW，转速为 15.4转 /秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 [?]=30M Pa,试校核其强度。
n
NmT
BC?2
10 3
m)( k N551
m)(N4151432 101 5 0
3
.
..
T
m
解：①求扭矩及扭矩图
② 计算并校核剪应力强度
③ 此轴满足强度要求。
D3 =135 D2=75 D1=70
A B C
m m
x
][M P a2316070 10551 3
3
m a x
.
.
W
T
t
35
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件一、扭转时的变形由公式
pGI
T
x? d
d?
知,长为 l一段杆两截面间相对扭转角?为值不变）若 (
d d
0
T
GI
Tl
x
GI
T
p
l
p
36
二、单位扭转角?：
( r a d / m ) dd
pGI
T
x
/ m )( 1 8 0 dd
pGI
T
x
或三、刚度条件
( r a d / m ) m a x
pGI
T
/ m )( 1 8 0 m a x
pGI
T
或
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为 截面的抗扭刚度 。
[?]称为许用单位扭转角。
37
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
m a x
] [ m a x?GT I p?
] [ m a x?pGIT?
有时，还可依据此条件进行选材。
38
[例 3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为? =0.8,G=80GPa,许用剪应力
[?]=30MPa，试设计杆的外径；若 [?]=2o/m,试校核此杆的刚度，并求右端面转角。
解,①设计杆的外径
][m a x?
TW
t?
116D 43 ）（tW
3
1
4
m a x
][ 1
16?
）（
TD
39
3
1
4
m a x
][ 1
16?
）（
TD
40Nm
x
T
代入数值得：
D? 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
180m a x
m a x
PGI
T
40
40Nm
x
T
180m a x
m a x
PGI
T
891
11080
1804032
4429,)(D
③ 右端面转角 为：
弧度）( 0 3 30
4102040 202200
.
)xx(
GI
dx
GI
xdx
GI
T
PP
L
P
41
[例 4] 某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500
马力,输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa,[? ]=70M Pa,[? ]=1o/m,试确定：
① AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？
② 若全轴选同一直径，应为多少？
③ 主动轮与从动轮如何安排合理？
解,① 图示状态下,扭矩如图,由强度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T x
–7.024 – 4.21
(kNm)
m)( k N0247 nN.m
42
][16
31
TdW
t
mm4671070143 4 2 1 01616 3 632,.Td
] [ 32
4
G
TdI
p
mm801070143 7 0 2 41616 3 631,Td
由刚度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T
x
–7.024 –4.21
(kNm)
43
mm47411080143 1 8 04 2 1 032] [ 32 4 9242,.G Td
mm8411080143 180702432] [ 32 4 9241,G Td
mm75 mm85 21 d,d综上：
② 全轴选同一直径时 mm85
1 dd
44
③ 轴上的 绝对值 最大 的 扭矩 越小越 合理，所以,1轮和 2轮应该 换 位。 换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为 75mm。
T
x
– 4.21
(kNm)
2.814
45
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：
平衡方程；
几何方程 ——变形协调方程；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
物理方程；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
46
[例 5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为? =0.8,外径 D=0.0226m,G=80GPa，
试求固端反力偶。
解,①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。
平衡方程为：
02 BA mmm
47
② 几何方程 ——变形协调方程 0?
BA?
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
040220200
P
A
P
AL
P
BA GI
mdx
GI
xmdx
GI
T?
mN 20 Am
④ 由平衡方程和补充方程得,
另,此题可由对称性直接求得结果。
mN 20Bm
48
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能
G?
dV)dx(d z d y)(dW 2121
22121dddd GVWVUu
应变能与能密度
a
c d
dx
b
dy
′
′
dz
z
x
y 单元体微功：
应变比能：
49
2
§ 3–1 概述
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能第三章 扭 转
3
§ 3–1 概 述轴,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A B O
mm
OBA?
4
扭转角（?）,任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（?）,直角的改变量。
mm
OBA?
5
工程实例
6
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m)( k N559 nP.m
m)( k N0 2 47 nP.m
m)( k N1217 nP.m
其中,P — 功率，千瓦（ kW）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ PS）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ HP）
n — 转速，转 /分（ rpm）
1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS
7
3 扭矩的符号规定：
,T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作,T”。
2 截面法求扭矩
mm
m T
mT
mT
m x
0
0
x
8
4 扭矩 图,表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
9
[例 1]已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩图。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
m)15,9( kN
30 0
50 09,55559 1
1
nP.m
m)( k N 7843001509,5 5559 232,nP.mm
m)( k N 3763002009,5 5559 44,nP.m
10
n
A B C D
m2 m3 m1 m41
1
2
2 3
3
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
.)..mmT
mmT
mkN376
,0
42
43
.mT
mT
11
③ 绘制扭矩图
mkN 569m a x,T BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
–
–
12
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒,壁厚
010
1 rt? （ r0,为平均半径）
一、实验：
1.实验前：
① 绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
13
2.实验后：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3.结论：① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
14
a
c d
dx
b
dy
′
′
① 无正应力
②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力?，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
4,? 与? 的关系：
L
R
RL
微小矩形单元体如图所示：
15
二、薄壁圆筒剪应力?大小：
tA
T
tr
T
TtrrAr
TrA
A
A
2 2
2d
d
0
2
0
000
0
A0：平均半径所作圆的面积。
16
三、剪应力互等定理：
0
故
d x d ytd x d yt
m z
上式称 为剪应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
dy
′
′
t
z
17
四、剪切虎克定律：
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为 纯剪切应力状态。
18
T=m
)( ) 2(
0 R
LtA
T
剪切虎克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
19
G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因? 无量纲，故 G的量纲与?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
)1(2
EG
20
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件等直圆杆横截面应力
① 变形几何方面
②物理关系方面
③静力学方面
1,横截面变形后仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
一、等直圆杆扭转实验观察：
21
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1,变形几何关系：
xx
GG
d
d
dtg 1
xd
d
距圆心为?任一点处的与到圆心的距离?成正比。
xd
d? —— 扭转角沿长度方向变化率。
22
2,物理关系：
虎克定律：
代入上式得：
G
xGxGG d
d
d
d
xG d
d
23
3,静力学关系：
O
dA
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
AI Ap d2令
xGI T p d
d pGI
T
x? d
d?
代入物理关系式 得：
xG d
d
pI
T
24
pI
T
—横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。
4,公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
② 式中,T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
25
单位,mm4,m4。
AI Ap d2
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是 Ip值不同。
4
4
2
0
2
2
10
32
d2
d
D.
D
AI
D
Ap
对于实心圆截面：
D?
d?
O
26
对于空心圆截面：
)1(10)1(
32
)(
32
d2
d
444
4
44
2
2
2
2
D.
D
dD
AI
D
d
Ap
)( Dd
d DO
d?
27
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
28
⑤ 确定最大剪应力：
pI
T
由 知：当
m a x,2
dR
)
2
(
2
2
m a x
dIW
W
T
dI
T
I
dT
p
t
p
p
令?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面,33 2016 D.DRIW
pt
对于空心圆截面,)-(12016)1( 4343 D.DRIW
pt
29
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：
沿横截面断开。
铸铁试件：
沿与轴线约成 45?的螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
30
1,点 M的应力单元体如图 (b)：
(a)
M
(b)
′ ′
(c)
2,斜截面上的应力；
取分离体如图 (d)：
(d)
′
x
31
(d)
′
x
n
t
转角规定：
轴正向转至截面外法线 逆时针：为,+”
顺时针：为,–”
由平衡方程：
0) c o ss i nd() s i nc o sd(d ; 0 AAAF n
0) s i ns i nd() c o sc o sd(d ; 0 AAAF t
解得：
2c o s ; 2s i n
32
2c o s ; 2s i n
分析,当? = 0° 时,
m a x00,0
当? = 45° 时,0,
45m i n45
当? = – 45° 时,0,
45m a x45
当? = 90° 时,
m a x9090,0
′
45°
由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角? =? 45?的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。
33
四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：
对于等截面圆轴：
][ma x
][m a x
tW
T
([?] 称为许用剪应力。 )
强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
][m a xm a x
tW
T
][m a x?
TW
t?
][m a x?tWT?
）（空：
实：
4
3
3
116
16
D
D
W t
34
[例 2] 功率为 150kW，转速为 15.4转 /秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 [?]=30M Pa,试校核其强度。
n
NmT
BC?2
10 3
m)( k N551
m)(N4151432 101 5 0
3
.
..
T
m
解：①求扭矩及扭矩图
② 计算并校核剪应力强度
③ 此轴满足强度要求。
D3 =135 D2=75 D1=70
A B C
m m
x
][M P a2316070 10551 3
3
m a x
.
.
W
T
t
35
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件一、扭转时的变形由公式
pGI
T
x? d
d?
知,长为 l一段杆两截面间相对扭转角?为值不变）若 (
d d
0
T
GI
Tl
x
GI
T
p
l
p
36
二、单位扭转角?：
( r a d / m ) dd
pGI
T
x
/ m )( 1 8 0 dd
pGI
T
x
或三、刚度条件
( r a d / m ) m a x
pGI
T
/ m )( 1 8 0 m a x
pGI
T
或
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为 截面的抗扭刚度 。
[?]称为许用单位扭转角。
37
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
m a x
] [ m a x?GT I p?
] [ m a x?pGIT?
有时，还可依据此条件进行选材。
38
[例 3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为? =0.8,G=80GPa,许用剪应力
[?]=30MPa，试设计杆的外径；若 [?]=2o/m,试校核此杆的刚度，并求右端面转角。
解,①设计杆的外径
][m a x?
TW
t?
116D 43 ）（tW
3
1
4
m a x
][ 1
16?
）（
TD
39
3
1
4
m a x
][ 1
16?
）（
TD
40Nm
x
T
代入数值得：
D? 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
180m a x
m a x
PGI
T
40
40Nm
x
T
180m a x
m a x
PGI
T
891
11080
1804032
4429,)(D
③ 右端面转角 为：
弧度）( 0 3 30
4102040 202200
.
)xx(
GI
dx
GI
xdx
GI
T
PP
L
P
41
[例 4] 某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500
马力,输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa,[? ]=70M Pa,[? ]=1o/m,试确定：
① AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？
② 若全轴选同一直径，应为多少？
③ 主动轮与从动轮如何安排合理？
解,① 图示状态下,扭矩如图,由强度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T x
–7.024 – 4.21
(kNm)
m)( k N0247 nN.m
42
][16
31
TdW
t
mm4671070143 4 2 1 01616 3 632,.Td
] [ 32
4
G
TdI
p
mm801070143 7 0 2 41616 3 631,Td
由刚度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T
x
–7.024 –4.21
(kNm)
43
mm47411080143 1 8 04 2 1 032] [ 32 4 9242,.G Td
mm8411080143 180702432] [ 32 4 9241,G Td
mm75 mm85 21 d,d综上：
② 全轴选同一直径时 mm85
1 dd
44
③ 轴上的 绝对值 最大 的 扭矩 越小越 合理，所以,1轮和 2轮应该 换 位。 换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为 75mm。
T
x
– 4.21
(kNm)
2.814
45
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：
平衡方程；
几何方程 ——变形协调方程；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
物理方程；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
46
[例 5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为? =0.8,外径 D=0.0226m,G=80GPa，
试求固端反力偶。
解,①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。
平衡方程为：
02 BA mmm
47
② 几何方程 ——变形协调方程 0?
BA?
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
040220200
P
A
P
AL
P
BA GI
mdx
GI
xmdx
GI
T?
mN 20 Am
④ 由平衡方程和补充方程得,
另,此题可由对称性直接求得结果。
mN 20Bm
48
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能
G?
dV)dx(d z d y)(dW 2121
22121dddd GVWVUu
应变能与能密度
a
c d
dx
b
dy
′
′
dz
z
x
y 单元体微功：
应变比能：
49
