拉 （压） 扭 转 平面弯曲内力应力变形
N
N > 0
x—杆轴
A
Mn > 0
x—杆轴
A M
n A M
Q M > 0
Q > 0x—平行于杆轴
x
s
A
xN )(?s
L
xxEA xNL L d)( )(d
O
tr
p
n
I
M rrt?)(
z
x I
My?s
s
t x
y
z
z
y bI
QSt
A B
xGIM
ABL p
n
AB d
qn
f
x
q? f′
n? f
EI
xMxf )()(
拉 （压） 扭 转 平面弯曲强度条件刚度条件变形能
][max ss?
][
m a x
m i n s
NA?
][m a x sAN?
][max tt?
][
|| m a x
t
n
t
MW?
][| m a x ttn WM?
][max ss? ][max tt?
][
m a x
s
MW
z?
][m a x szWM?
][max qq?
][m a x qq?



L
f
L
f || m a x
xEAxNU L d2 )(
2?
xGI xMU
L
n d
2
)(2 x
EI
xMU
L d2
)(2
拉压扭转平面弯曲内力计算以 A点左侧部分为对象,A点的内力由下式计算：
(其中,Pi,Pj”均为 A 点左侧部分的所有外力 )
) () ( jiAn mmM
)( )( jAiAA PmPm M
jiA PP Q
)()( jiA PPN
弯曲剪力、弯矩与外力间的关系
xq
x
xQ?
d
d
)(d )(d xQx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
剪力,弯矩与外力间的关系外力无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图特征
M
图特征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数曲线
x
M
坟状
x
M
盆状自左向右折角 自左向右突变与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM 21
超静定问题的方法步骤：
① 平衡方程
② 几何方程 —— 变形协调方程
③ 物理方程 —— 变形与力的关系
④ 补充方程
⑤ 解由平衡方程和补充方程组变形的应用：
求位移和解决超静定问题变形能的应用：
求位移和解决动载问题
j
h
d
K

2
11
,( 1 ) 自由落体
jg
v
d
K
2
,)2( 水平冲击
△ j:冲击物落点的静位移材料试验
sp se ss
sb
s
a
b
ep
et
ee
st
f
g h
e
s?MPa?
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
低碳钢 s?e曲线线上特征点
p
e

n
jxss?
,1,容许应力
},,2.0{,2 bsjx ssss?、极限应力
3,安全系数,n
泊松比（或横向变形系数）
een
三个弹性常数
t?G
e
s?E
)1(2
EG
n n
（合力）
（合力）
P
P
Pc
n n
Q
h?
b
h
t 1 T
tmax
注意,b
剪切与挤压的实用计算
tt AQ
c
c
c
c A
P ss
矩形截面杆约束扭转
3m a x
m a x,bpWW
M
P
n?t 其中
4,,bI
GI
M
P
P
n?q 其中 m a x1 ntt?
64
,
64
3
4
4
3
nR
Gd
K
K
P
Gd
nPR

其中圆柱形密圈螺旋弹簧的计算为弹簧常数其中：精确值：;
615.0
44
14;
8
3m a x
d
D
C
CC
C
k
d
DP
k

t
非对称截面梁发生平面 弯曲的条件
① 外力必须作用在主惯性面内 ;
② 中性轴为形心主轴 ;
③ 若是横向力，还必须过弯曲中心。
P
x
y
z
O
3m a x
8)1
2( d
DP
D
d
t近似值：
共轭梁法 —— 实梁与虚梁的关系
① x 轴指向及 坐标原点完全相同。 ② 几何形状完全相同。
④ 依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。
AAAA QEIMEI f q ;
EI
Q
EI
Mf x
x
x
x q ;
⑤ 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。
a,固定端 自由端
b,铰支座 铰支座
c,中间铰支座 中间铰链载荷。依此建立虚梁上的分布令,)()( xMxq③
例 1 拐杆如图,A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知,E=210Gpa,G=0.4E,[s]=160MPa,[t]=80MPa
,试校核此杆的强度并求 B点的垂直位移。
5
10
20
A
P=60N
B
x500
C
x1
解,B点的垂直位移由两部分组成，即,BA弯曲和 CA杆扭转,A截面转动而引起。
P
AC
L
f
A B
q0
LEI EI
qLf
B 8
4
EI
PLf
B 3
3
P=60N
A
B
C ABAABBBB LEIPLfff 3 321
P
ACAB
AB
AB
GI
LPLL
EI
PL
3
3
33
3
101052103 123.060
3
4 10202104.0
325.03.0603.0?


mm22.8?
A
P
fB1
B
P
A
B
C
MA=PLAB
fB2
P
n
W
Mτ m a x
m a x?
M P a46.110,0 21618 3
m a xm a x
zW
M?s
M P a2 1 60,0 10 0 5.0 618 2
m a x ss? 强度不足
P=60N
A
B
C
18 Nm
例 2 结构如图,E=210Gpa,ss=240MPa,LBC=1m,ABC=1cm2,
AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m,q0=20 kN/m,求结构的安全系数。
解,一次静不定梁,
BCBNBqB BCfff
BC
BCBCBC
EA
LN
EI
LN
EI
Lq
38
34
0
kN14.8?BCN
q0
L NBCA
B
EI
q0
LA
BEI
m a xm a x
z
AB W
Ms
M P a8.150,30,1 62 3 7 2 0 2
M P a4.81
10
8 1 4 0
4

BC
BC
BC
A
N
s
94.24.81240
m a x
ss sn
弯矩如图,q0
L NBCA
B
EI
–23.72kN·m
1.64kN·m
x
M
y1zC
yC
y2
例 3 梁及截面如图,y2=2y1,IZC,q
,L均已知,[sy]=3[sL]、试确定 a的合理长度； 如果 y2=4y1,a的合理长度又是多少？
解,弯矩如图,
2
2
1
qaM?
)4(2 222 aLqM
危险面的应力同时达到极限状态合理。
L3y2 5.1 ssss Ly若
a
q
a
M
xM1
M2
L
A B
D1
x
D2
D3
y1zC
yC
y2a
q
a
M
xM1
M2
L
A B
D1
x
D2
D3
L211 ss
z
L I
yM
y123 ss
z
L I
yM
时，合理。
6
3La?
如果 y2=4y1,a的合理长度又是多少？
:合理条件应为?
L211 ss
z
L I
yM
4
La? 时，合理。
y222 ss
z
y I
yM
2
2
1
qaM? )
4(2
22
2 a
LqM
y2L3 33.1 ssss yL若
,
合理条件应为
M
xM1
M2
D1
x
D2
D3
例 4 用叠加法求下列等截面直梁 A
,D,E（ BD之中点）点的挠度。
EI
qaf
A 8
4
1?
解,结构和载荷分解如图。
EI
qaa
EI
aqa
f A
33
2
2 4
2
2?
EI
qaf
E 8
4
2
EI
qaff A
D 62
4
2
2
q=P/a
A
B
C D
aEa 2a
A B
q
P
A
B
C D
Pqa2/2
EI
qaf
D 8
4
3?
EI
qaf
A 3
4
4?
EI
qaf
E 4
4
4
EI
qaff
AD 3
22 4
44
EI
qaff
i
AiA 24
19 44
1

EI
qaff
i
EiE 8
3 44
1

EI
qaff
i
DiD 6
7 44
1

C D
P
C
BA DP Pa