§ 6–1 概述
§ 6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
§ 6–3 按叠加原理求梁的 挠度与转角
§ 6–4 梁的刚度校核第六章 弯曲变形
§ 6–5 梁内的弯曲应变能
§ 6–6 简单超静定 梁的求解方法
§ 6–7 梁内的弯曲应变能
§ 6－１ 概 述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 用 v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度 。用? 表示，顺时针转动为正,反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为,v =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：
一、度量梁变形的两个基本位移量
( 1 ) ddtg fxf
小变形
P
x
v
C
C1f
§ 6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
z
z
EI
xM )(1?
一、挠曲线近似微分方程
z
z
EI
xMxf )()(
式（ 2）就是挠曲线近似微分方程。
EI
xMxf )()( …… （ 2 ）
)(
)1(
)(1
232
xf
f
xf
小变形
f
xM>0
0)( xf
f
x
M<0
0)( xf
)()( xMxfEI
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
二、求挠曲线方程（弹性曲线）
)()( xMxfEI 1d))(()( CxxMxfEI
21d)d))((()( CxCxxxMxE I f
1.微分方程的积分
2.位移边界条件
P
A BC PD
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
支点位移条件：
连续条件：
光滑条件：
0?Af 0?Bf 0?Df 0?D?
CC ff
CC 右左或写成 CC
右左或写成 CC ff?
例 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
建立坐标系并写出弯矩方程
)()( LxPxM
写出 微分方程的积分并积分?应用位移边界条件 求积分常数
)()( xLPxMfEI
1
2)(
2
1 CxLPfEI
21
3)(
6
1 CxCxLPE I f
061)0( 23 CPLEIf
021)0()0( 12 CPLfEIEI?
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PLCPLC
解：
P
L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
323 3)(6)( LxLxLEIPxf
EI
PLLff
3)(
3
m a xEI
PLL
2)(
2
m a x
最大挠度及最大转角
x
f
P
L
解,?建立坐标系并写出弯矩方程
)( 0
)0( )()(
Lxa
axaxPxM
写出 微分方程的积分并积分
1
1
2)(
2
1
D
CxaP
fEI
21
21
3)(
6
1
DxD
CxCxaP
E I f
)( 0
)0( )(
Lxa
axxaPfEI
x
f
P
L
a
应用位移边界条件 求积分常数
061)0( 23 CPaE I f
021)0( 12 CPaEI?
3
22
2
11 6
1 ;
2
1 PaDCPaDC
)()( afaf
)()( aa 11 DC
2121 DaDCaC
P
L
a
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
)(a 3
6
)0( 3)(
6
)(
32
323
Lx axa
EI
P
ax axaxa
EI
P
xf
aLEIPaLff 36)( 2m a x
EI
Paa
2)(
2
m a x
最大挠度及最大转角
P
L
a
x
f
§ 6-3 按叠加原理求梁的 挠度与转角一、载荷叠加,多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
)()()()( 221121 nnn PPPPPP
)()()()( 221121 nnn PfPfPfPPPf
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
例 2 按叠加原理求 A点转角和 C点挠度。
解,?载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
EI
Paf
PC 6
3
EIPaPA 4 2
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
EI
Paf
PC 6
3
EIPaPA 4 2
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
叠加
qAPAA
)43(12
2
qaPEIa
EI
Pa
EI
qaf
C 624
5 34
例 3 按叠加原理求 C点挠度。 解,?载荷无限分解如图
由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
叠加
EI
bLbPf
d P C 48
)43()d( 32
bLbqxxqP d2d)(d 0
bEI bLqb d24 )43(
322?
d P CqC ff EIqLbE I L bLqbL 2 4 0d24 )43(
45.0
0
322
q0
0.5L 0.5L
x dx
b
x
f
C
例 4 结构形式叠加（逐段刚化法 ) 原理说明。
=
+
PL1 L2
A BC
BC
PL2
f1
f2
等价等价
x
f
x
f
21 ffff
PL1 L2
A BC刚化 AC段
PL1 L2
A BC
刚化 BC段
PL1 L2
A BC M x
f
§ 6-4 梁的刚度校核
))1 0 0 01~250 1(,对土建工程( ma x LfLfLf
m a x
一、梁的刚度条件其中 [?]称为许用转角； [f/L]称为许用挠跨比。通常 依此条件进行如下三种刚度计算：
,校核刚度：
,设计截面尺寸；
,设计载荷。
L
f
L
f m a xm a x
(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
刚度常处于从属地位。特殊构件例外）
PL=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
例 5 下图为一空心圆杆，内外径分别为,d=40mm,D=80mm，
杆的 E=210GPa，工程规定 C点的 [f/L]=0.00001,B点的]=0.001
弧度,试 核此杆的刚度。
=
++
=
P1=1kN
A BD C
P2
B CDA
P2=2kN
B CDA
P2
B C
a
P2
B CDA
M
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
EI
aLPaf
BC 16
2
1
11EI
LP
B 16
2
1
1
EI
L a P
EI
ML
B 33
2
3
EI
LaPaf
BC 3
2
2
33
解,?结构变换，查表求简单载荷变形。
02?B? EIaPf C 3
3
2
2
PL=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A BD C
P2
B CDA
M
x
f
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
PL=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A BD C
P2
B CDA
M
x
f
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C 3316
2
2
3
2
2
1
EI
LaP
EI
LP
B 316
2
2
1
叠加求复杂载荷下的变形
48
1244
44
m101 8 8
10)4080(
64
14.3
)(
64
dDI
m1019.53316 6
2
2
3
2
2
1
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C
)(104 2 3.0)32 0 0164 0 0(1 8 8 02 1 0 4.0316 42
2
1 弧度
EI
LaP
EI
LP
B?
001.010423.0 4m ax
L
f
L
f m a x
m10m1019.5 56m ax ff
校核刚度
dx
x
Q Q+dQ
M M+dM
一、弯曲应变能的计算：
§ 6–5 梁内的弯曲应变能
EI
xM )(1?
d)(21dd xMWU
xEI xMU d2 )(d
2
L xEI xMU d2 )( 2
xdd?
应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去?dd?M
d?
M(x)
P1
M x
f
P2 dx
d
例 6 用能量法求 C点的挠度。梁为等截面直梁。
CPfW 2
1?
解：外力功等于应变能
L xEI xMU d2 )(
2
)0(; 2)( axxPxM
在应用对称性，得,EIaPxxPEIU a 12d)2(2 12 320 2
EI
PafUW
C 6
3
思考：分布荷载时，可否用此法求 C点位移？
P
a a
q
x
f
二,梁的冲击问题 1.假设：
冲击物为钢体；
不计被冲击物的重力势能和动能；
冲击物不反弹；
不计声、光、热等能量损耗（能量守恒）。
0)(
2
1
冲击前
2
111
dfhmgmv
UVT
mg
L
hA BC
A BC x
f
fd
22
2
222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
00
冲击后
d
j
d
j
j
ddd
f
f
mg
f
f
P
fkfP
UVT
冲击前、后，能量守恒，所以：
A BC x
f
fd
22 )(
2)(2
1
d
j
d ff
mgfhmgmv
jdj
j
fKff hgvf )2)(11(
2
d
jj
d
d f
hgv
f
fK 2)2(11,动荷系数
jf
h
dK
211:)1(自由落体 2:)2(?dK突然荷载
h
BA C
mgE =P
三、动响应计算：
解,?求 C点静挠度
221
1 ;
2 PACj RCC
AAf
动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积,
例 7 结构如图,AB=DE=L,A,C 分别为 AB 和 DE 的中点，
求梁在重物 mg 的冲击下,C 面的动应力。
ABDE
A
EI
PL
EI
LR
9648
33
EI
PL
192
5 3?
C1
A1
D
EIEIEI DEAB
L
C2
动荷系数
3
64
11
2
11
PL
E I h
f
h
d
K
Cj
求 C面的动应力
zz
C
dCjdCd W
PL
PL
E I h
W
MKK
4)
6411(
3m a xm a x
h
BA C
mgE =P
C1
A1
D
EIEIEI DEAB
L
C2
§ 6-6 简单超静定 梁的求解方法
1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。
解,?建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构 —
— 静定基。
=
EI
q0
LA
B
L
q0MA
BA
q0
L RBA
B
x
f
几何方程 —— 变形协调方程
0 BBRBqB fff
+
q0
L RBA
B
=
RB
A B
q0
A B
物理方程 —— 变形与力的关系
补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3;8
34
038
34
EILREIqL B 83 qLR B
求解其它问题（反力、应力、
变形等）
几何方程
—— 变形协调方程：
解,?建立静定基
BCBRBqB Lfff B
=
例 8 结构如图，求 B点反力。L
BCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
q0
L RBA
B
EI =
RB
A B
+ q0
A B
=
LBCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
RB
A B+
q0
A B
物理方程 —— 变形与力的关系
补充方程
求解其它问题（反力、应力、
变形等）
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3; 8
34
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB
38
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
LI
qLR
BC
B
EA
LRL BCB
BC
§ 6-7 如何提高梁的承载能力强度：正应力：
剪应力：
m a x
zW
M
z
z
bI
QS *
zEI
XMf )(
刚度：
稳定性：
都与内力和截面性质有关 。
一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于 1100年著?营造法式?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著?自然哲学与机械技术讲义?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 bhbh
R
b
h
一般的合理截面
A
Q
3
433.1
mm a x 32
3
1
DW
z
1
32
2 1,1 8 6
)(
6 zz W
RbhW
mm a x 5.1
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD 时当
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
z
D
za
a
1,0 512 1
3
2 zz I
bhI
mma x 2
1
4
3
3 75.2 )0,8-(132 zz W
DW 12221 67.1,4 ])8.0([4 DDDDD 时当
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW
mm a x 5.1
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
59.4)8.01(64 14
4
3 zz I
DI
2,0 912812 z1
4
1
3
4 I
abh I
z
55.9 15 zz II?
)(= 3.2 mm a x
fA
Q
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D 时当?
0.8a2
a2
1.6
a 22a 2 z
2、根据材料特性选择截面形状
G
z
如铸铁类材料，常用 T字形类的截面，如下图：
二、采用变截面梁最好是等强度梁，即
][)( )()(m a x xW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
b
xMxh?
同时 ][
)(5.1m a x xbh
Q
][5.1)(?b
Qxh
P
x
EI
PLy 3
m a x 021.0?
EI
PLy 3
m a x 014.0?
EI
PLy 3
m a x 0 0 7 3.0?
三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。
P
L/2 L/2 M
x
+
PL/4
P
L/4 3L/4 M
x
3PL/16
P=qL
L/5 4L/5
对称
M
x
qL2/10
EI
qLy 4
m a x 013.0?
EI
qLy 43
m a x 107 8 7 5.0
EI
qLy 43
m a x 10326.0
M
x
8
2qL
q
L
L/5
q
L/5 40
2qL
502qL?
M
x
q
L/2 L/2
322qL?
M
x
512/9 2qL
Z
Y
cr I
I
L
GEb
四、梁的侧向屈曲
1.矩形纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
h
Z
Y
Z
Y
Z
Y
cr I
I
I
IEG
I
I
L
E
L 2
2
2
2
)(
2
h
由上可见,I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。
五、选用高强度材料，提高许用应力值同类 材料,,E”值相差不多,,?jx”相差较大,故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性 。
不同类材料,E和 G都相差很多（钢 E=200GPa,铜
E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其 原料费用 也会随之发生很大的改变！
