1
2
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§ 4–2 梁的剪力和弯矩
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图弯曲内力习题课第四章 弯曲内力
3
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念
1,弯曲,杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2,梁,以 弯曲变形为主的构件通常称为梁。
4
4,平面弯曲,杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内 。
对称弯曲（如下图） —— 平面弯曲的特例。
纵向对称面M
P1 P2q
5
非对称弯曲 —— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
6
二、梁的计算简图梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1,构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。
2,载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3,支座简化
7
① 固定铰支座
2个约束,1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
② 可动铰支座
1个约束,2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
8
③ 固定端
3个约束,0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。
XA
YA
MA
4,梁的三种基本形式
① 简支梁
M —集中力偶
q(x)— 分布力
② 悬臂梁
9
③ 外伸梁
— 集中力Pq— 均布力
5,静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
10
[例 1]贮液罐如图示，罐长 L=5m，内径 D=1m，壁厚 t =10mm，
钢的密度为,7.8g/cm3，液体的密度为,1g/cm3,液面高
0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐 的计算简图。
解,q— 均布力
11
L
gLAgLA
L
gV
L
mgq 2211
r a d85513106 0,,
gRRgDt 2221 )]s i n(21[
gAgA 2211
( k N/ m ) 9?
9,81000)]s in 1 0 6,3( 1,8 5 50,521
0,5[ 3,1 48978000101143
2
2
,..
q— 均布力
12
§ 4–2 梁的剪力和弯矩一、弯曲内力：
[举例 ]已知：如图,P,a,l。
求：距 A端 x处截面上内力。
Pa
P
l
YA
XA
RB
A
A B
B
解：①求外力
l
alP
YY
l
Pa
Rm
XX
A
BA
A
)(
,0
,0
0,0
13
A B
P
YA
XA
RBm
m
x
② 求内力 ——截面法
xYMm
l
alPYQY
AC
A
,0
)(,0
A
YA
Q
M
RB
P
M
Q
∴ 弯曲构件内力剪力弯矩
1,弯矩,M
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
C
C
14
2,剪力,Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定,
① 剪力 Q,绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
② 弯矩 M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
Q(+) Q(–)
Q(–)Q(+)
M(+) M(+)
M(–) M(–)
15
[例 2],求图 （ a）所 示梁 1--1,2--2截面处的内力。
xy
qLQ
QqLY
1
1
0
解,截面法求内力。
1--1截面处截取的分离体如图（ b） 示。
图（ a）
11
11
0)(
q L xM
Mq L xFm iA
二、例题
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q1
A
M1
图（ b）x1
16
L)axq Q 22 (
axqMq Lx
Fm iB
0)(
2
1
,0)(
2
222
2--2截面处截取的分离体如图（ c）
)ax(qQqLY 022
2
2
22 )(2
1 q L xaxqM
xy 图（ a）
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q2
B
M2
x2
图（ c）
17
1,内力方程：内力与截面位置坐标（ x）间的函数关系式。
2,剪力图和弯矩图：
)(xQQ? 剪力方程
)(xMM? 弯矩方程
)(xQQ?剪力图 的图线表示
)(xMM?弯矩图 的图线表示
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
18
[例 3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
PY)x(Q O
解：①求支反力
)Lx(P
MxY)x(M OO
② 写出内力方程
PL MPY OO ;
P
YO
L
③ 根据方程画内力图
M(x)
x Q(x)
Q(x)
M(x)
x
x
P
–PL
MO
19
解：①写出内力方程
② 根据方程画内力图
qx)x(Q
221 qx)x(M
L
q
M(x)
x Q(x)
Q(x)
x
M(x) x
– qL
2
2qL?
20
)3(6 220 xLLq)x(Q
解：①求支反力
② 内力方程
3 ; 6 00
Lq RLqR
BA
q0
RA
③ 根据方程画内力图
RB
L
)xL(LxqxM 2206)(x
L33
Q(x)
x
6
20Lq
3
20Lq
27
3 20Lq
M(x)
21
一,剪力、弯矩与分布荷载间的关系对 dx 段进行平衡分析，有：
0dd
0
)x(Q)x(Qx)x(q)x(Q
Y
)x(Qx)x(q dd?
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
dxx
q(x)
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
yxq
x
xQ?
d
d
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
22
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
y
0)](d)([)()) ( d(21)d(
,0)(
2
xMxMxMxxqxxQ
Fm iA
)(d )(d xQx xM?
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
)(d )(d 2
2
xqx xM?
弯矩与荷载集度的关系是：
23
二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图特征
M
图特征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数曲线
x
M
坟状
x
M
盆状自左向右折角 自左向右突变与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM 21
24
简易作图法,利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
[例 4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解,利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。
特殊点,
端点、分区点（外力变化点）和驻点等。
a a
qa q
A
25
2
2
30 qaM;Q
0 ; MqaQ
2 ; qaMqaQ
2
2
3; 0 qaMQ
a a
qa q
A
左端点：
线形,根据
)(d )(d xQx xM? )(d )(d 22 xqx xM?；
xqx xQ?dd ；
及集中载荷点的规律确定。
分区点 A：
M 的驻点,
右端点：
Q x
223qa
qa2
–
qa
–
x
M
26
[例 5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：求支反力
2 ; 2 qaRqaR DA
0;2 MqaQ
左端点 A：
2
2
1;
2 qaM
qaQ
B点左：
2
2
1;
2 qaM
qaQ
B点右：
2
2
1;
2 qaM
qaQ
C点左：
M 的驻点,
2
8
3; 0 qaMQ
2
2
1;
2 qaM
qaQ
C点右：
0 ; 21 MqaQ
右端点 D：
q qa2
qaRA RD
Q x
qa/2 qa/2
qa/2
– –
+
A B
C D
qa2/2
xM qa2/2
qa2/23qa2/8
–
+
27
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图一、叠加原理,
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM
适用条件,所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
28
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理
——叠加方法步骤：
①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；
②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
29
[例 6]按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力 P作用在梁 AB的中点处）。
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B x
M2
x
M1
x
M
2Pa
+
+
+
2
2qa
22
2qaPa?
=
+
30
三、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
31
[例 7] 作下列图示梁的内力图。
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0
Q x
Q1 x
Q2 x
–
0.5P
0.5P
0.5P
–
+
–
P
32
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0 M
x
M1
x
M2
x
0.5PL
PL
0.5PL
–
+
+
0.5PL
+
33
[例 8] 改内力图之错。
a 2aa
qqa2A
B
Q x
x
M
– –
+
+
qa/4 qa/4
3qa/4
7qa/4
qa2/4
49qa2/32
3qa2/2
5qa2/4
47;4 qaRqaR BA
34
[例 9] 已知 Q图，求外载及 M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
x
1m 1m2m
2
3
1
5kN 1kN
q=2kN/m
+
–
+
M(kN·m)
x
+
1
1
1.25
–
35
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架
1,平面刚架,同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。
特点,刚架各杆的内力有,Q,M,N。
2,内力图规定：
弯矩图,画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图,可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
36
[例 10] 试作图示刚架的内力图。
P1P
2
a
l
A
B C –
N 图
P2
+
Q 图
P 1 +
P1
P1a
M 图
P 1
a
P1a+ P2 l
37
二、曲杆,轴线为曲线的杆件 。
内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例 11] 已知：如图所示,P及 R 。试绘制 Q,M,N 图。
O
PR
x
解：建立极坐标,O为极点,OB
极轴,?表示截面 m–m的位置。
)(0 )c o s1()c o s()( PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 PPN
)(0 s i n)( 1 PPQ
A B
38
O
PR
x
)(0 )c o s1()c o s()( PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 PPN
)(0 s i n)( 1 PPQ
A B
A B
O
M图
O O
+ Q图 N图
2PR
P P
– +
39
一、内力的直接求法：
求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，
内力计算式如下，其中 Pi,Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。
剪力图和弯矩图弯曲内力习题课
iiA PPQ
)( )( iAiAA PmPmM
40
)(d )(d 22 xqx xM?
剪力、弯矩与分布荷载间的关系：
q(x)xq
x
xQ?
d
d
)(d )(d xQx xM?
二,简易作图法,
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
41
三,叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM
四、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
42
五、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图特征
M
图特征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
x
Q
C
自左向右突变 无变化斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
x
M
x
M
x
M
x
M
曲线坟状 盆状自左向右折角折向与 P反向
M1
M2
自左向右突变与
m
反
mMM 21
43
[例 1] 绘制下列图示梁的弯矩图。
2P
a a P
=
2P
P
+
x
M
xM
1
x
M2
=
+
–
+
+
2Pa
2Pa
Pa
(1)
44
(2)
a
a
q
q
q
q
=
+ xM1
=
xM
+
–
+
–
xM
2
3qa2/2
qa2/2
qa2
45
(3) P
a a
PL/2
=
+
P
xM
2
xM
=
+
PL/2
PL/4
PL/2
xM
1
–
+
–
PL/2
46
(4) 50kN
a a
20kNm
=
+
x
M2
xM
=
+
20kNm
50kNm
xM1
20kNm
50kN
20kNm20kNm
+
+
–
20kNm
30kNm
20kNm
47y
zh
b )
4(2
2
2 yh
I
Q
bI
QS
zz
z
解,（ 1） 横截面的剪应力为：
[例 2]结构如图，试证明：
（ 1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力；
（ 2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩；
（ 3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的合力由哪个力来平衡？
q
48
h.
h,zA
yByhIQA
50
50
2
2
d)4(2d?
MIIMAIMyM z
z
h.
h,z
z
50
50
2
d
(2) 横截面上的合剪力为：
Q)h(hIQB
z
]2324[2 33
(3) 合力偶
49
)(bhqx.A xQ, 51)(51m a x
h
qLx)qx(
hAQ
LL
AB 4
3d
2
3d 2
00
z
A W
AMAN
22
1 1m a x
1m a x 1
1AAB NQ?
(4)中面上的剪应力为：
纵 面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡 。
(5) 纵 截面上的合剪力 大小 为：
max
h
qLbh
bh
qL
4
3
2
6
22
1 2
2
2
50
2
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§ 4–2 梁的剪力和弯矩
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图弯曲内力习题课第四章 弯曲内力
3
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念
1,弯曲,杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2,梁,以 弯曲变形为主的构件通常称为梁。
4
4,平面弯曲,杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内 。
对称弯曲（如下图） —— 平面弯曲的特例。
纵向对称面M
P1 P2q
5
非对称弯曲 —— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
6
二、梁的计算简图梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1,构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。
2,载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3,支座简化
7
① 固定铰支座
2个约束,1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
② 可动铰支座
1个约束,2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
8
③ 固定端
3个约束,0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。
XA
YA
MA
4,梁的三种基本形式
① 简支梁
M —集中力偶
q(x)— 分布力
② 悬臂梁
9
③ 外伸梁
— 集中力Pq— 均布力
5,静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
10
[例 1]贮液罐如图示，罐长 L=5m，内径 D=1m，壁厚 t =10mm，
钢的密度为,7.8g/cm3，液体的密度为,1g/cm3,液面高
0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐 的计算简图。
解,q— 均布力
11
L
gLAgLA
L
gV
L
mgq 2211
r a d85513106 0,,
gRRgDt 2221 )]s i n(21[
gAgA 2211
( k N/ m ) 9?
9,81000)]s in 1 0 6,3( 1,8 5 50,521
0,5[ 3,1 48978000101143
2
2
,..
q— 均布力
12
§ 4–2 梁的剪力和弯矩一、弯曲内力：
[举例 ]已知：如图,P,a,l。
求：距 A端 x处截面上内力。
Pa
P
l
YA
XA
RB
A
A B
B
解：①求外力
l
alP
YY
l
Pa
Rm
XX
A
BA
A
)(
,0
,0
0,0
13
A B
P
YA
XA
RBm
m
x
② 求内力 ——截面法
xYMm
l
alPYQY
AC
A
,0
)(,0
A
YA
Q
M
RB
P
M
Q
∴ 弯曲构件内力剪力弯矩
1,弯矩,M
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
C
C
14
2,剪力,Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定,
① 剪力 Q,绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
② 弯矩 M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
Q(+) Q(–)
Q(–)Q(+)
M(+) M(+)
M(–) M(–)
15
[例 2],求图 （ a）所 示梁 1--1,2--2截面处的内力。
xy
qLQ
QqLY
1
1
0
解,截面法求内力。
1--1截面处截取的分离体如图（ b） 示。
图（ a）
11
11
0)(
q L xM
Mq L xFm iA
二、例题
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q1
A
M1
图（ b）x1
16
L)axq Q 22 (
axqMq Lx
Fm iB
0)(
2
1
,0)(
2
222
2--2截面处截取的分离体如图（ c）
)ax(qQqLY 022
2
2
22 )(2
1 q L xaxqM
xy 图（ a）
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q2
B
M2
x2
图（ c）
17
1,内力方程：内力与截面位置坐标（ x）间的函数关系式。
2,剪力图和弯矩图：
)(xQQ? 剪力方程
)(xMM? 弯矩方程
)(xQQ?剪力图 的图线表示
)(xMM?弯矩图 的图线表示
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
18
[例 3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
PY)x(Q O
解：①求支反力
)Lx(P
MxY)x(M OO
② 写出内力方程
PL MPY OO ;
P
YO
L
③ 根据方程画内力图
M(x)
x Q(x)
Q(x)
M(x)
x
x
P
–PL
MO
19
解：①写出内力方程
② 根据方程画内力图
qx)x(Q
221 qx)x(M
L
q
M(x)
x Q(x)
Q(x)
x
M(x) x
– qL
2
2qL?
20
)3(6 220 xLLq)x(Q
解：①求支反力
② 内力方程
3 ; 6 00
Lq RLqR
BA
q0
RA
③ 根据方程画内力图
RB
L
)xL(LxqxM 2206)(x
L33
Q(x)
x
6
20Lq
3
20Lq
27
3 20Lq
M(x)
21
一,剪力、弯矩与分布荷载间的关系对 dx 段进行平衡分析，有：
0dd
0
)x(Q)x(Qx)x(q)x(Q
Y
)x(Qx)x(q dd?
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
dxx
q(x)
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
yxq
x
xQ?
d
d
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
22
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
y
0)](d)([)()) ( d(21)d(
,0)(
2
xMxMxMxxqxxQ
Fm iA
)(d )(d xQx xM?
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
)(d )(d 2
2
xqx xM?
弯矩与荷载集度的关系是：
23
二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图特征
M
图特征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数曲线
x
M
坟状
x
M
盆状自左向右折角 自左向右突变与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM 21
24
简易作图法,利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
[例 4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解,利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。
特殊点,
端点、分区点（外力变化点）和驻点等。
a a
qa q
A
25
2
2
30 qaM;Q
0 ; MqaQ
2 ; qaMqaQ
2
2
3; 0 qaMQ
a a
qa q
A
左端点：
线形,根据
)(d )(d xQx xM? )(d )(d 22 xqx xM?；
xqx xQ?dd ；
及集中载荷点的规律确定。
分区点 A：
M 的驻点,
右端点：
Q x
223qa
qa2
–
qa
–
x
M
26
[例 5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：求支反力
2 ; 2 qaRqaR DA
0;2 MqaQ
左端点 A：
2
2
1;
2 qaM
qaQ
B点左：
2
2
1;
2 qaM
qaQ
B点右：
2
2
1;
2 qaM
qaQ
C点左：
M 的驻点,
2
8
3; 0 qaMQ
2
2
1;
2 qaM
qaQ
C点右：
0 ; 21 MqaQ
右端点 D：
q qa2
qaRA RD
Q x
qa/2 qa/2
qa/2
– –
+
A B
C D
qa2/2
xM qa2/2
qa2/23qa2/8
–
+
27
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图一、叠加原理,
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM
适用条件,所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
28
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理
——叠加方法步骤：
①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；
②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
29
[例 6]按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力 P作用在梁 AB的中点处）。
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B x
M2
x
M1
x
M
2Pa
+
+
+
2
2qa
22
2qaPa?
=
+
30
三、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
31
[例 7] 作下列图示梁的内力图。
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0
Q x
Q1 x
Q2 x
–
0.5P
0.5P
0.5P
–
+
–
P
32
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0 M
x
M1
x
M2
x
0.5PL
PL
0.5PL
–
+
+
0.5PL
+
33
[例 8] 改内力图之错。
a 2aa
qqa2A
B
Q x
x
M
– –
+
+
qa/4 qa/4
3qa/4
7qa/4
qa2/4
49qa2/32
3qa2/2
5qa2/4
47;4 qaRqaR BA
34
[例 9] 已知 Q图，求外载及 M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
x
1m 1m2m
2
3
1
5kN 1kN
q=2kN/m
+
–
+
M(kN·m)
x
+
1
1
1.25
–
35
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架
1,平面刚架,同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。
特点,刚架各杆的内力有,Q,M,N。
2,内力图规定：
弯矩图,画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图,可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
36
[例 10] 试作图示刚架的内力图。
P1P
2
a
l
A
B C –
N 图
P2
+
Q 图
P 1 +
P1
P1a
M 图
P 1
a
P1a+ P2 l
37
二、曲杆,轴线为曲线的杆件 。
内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例 11] 已知：如图所示,P及 R 。试绘制 Q,M,N 图。
O
PR
x
解：建立极坐标,O为极点,OB
极轴,?表示截面 m–m的位置。
)(0 )c o s1()c o s()( PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 PPN
)(0 s i n)( 1 PPQ
A B
38
O
PR
x
)(0 )c o s1()c o s()( PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 PPN
)(0 s i n)( 1 PPQ
A B
A B
O
M图
O O
+ Q图 N图
2PR
P P
– +
39
一、内力的直接求法：
求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，
内力计算式如下，其中 Pi,Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。
剪力图和弯矩图弯曲内力习题课
iiA PPQ
)( )( iAiAA PmPmM
40
)(d )(d 22 xqx xM?
剪力、弯矩与分布荷载间的关系：
q(x)xq
x
xQ?
d
d
)(d )(d xQx xM?
二,简易作图法,
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
41
三,叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM
四、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
42
五、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图特征
M
图特征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
x
Q
C
自左向右突变 无变化斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
x
M
x
M
x
M
x
M
曲线坟状 盆状自左向右折角折向与 P反向
M1
M2
自左向右突变与
m
反
mMM 21
43
[例 1] 绘制下列图示梁的弯矩图。
2P
a a P
=
2P
P
+
x
M
xM
1
x
M2
=
+
–
+
+
2Pa
2Pa
Pa
(1)
44
(2)
a
a
q
q
q
q
=
+ xM1
=
xM
+
–
+
–
xM
2
3qa2/2
qa2/2
qa2
45
(3) P
a a
PL/2
=
+
P
xM
2
xM
=
+
PL/2
PL/4
PL/2
xM
1
–
+
–
PL/2
46
(4) 50kN
a a
20kNm
=
+
x
M2
xM
=
+
20kNm
50kNm
xM1
20kNm
50kN
20kNm20kNm
+
+
–
20kNm
30kNm
20kNm
47y
zh
b )
4(2
2
2 yh
I
Q
bI
QS
zz
z
解,（ 1） 横截面的剪应力为：
[例 2]结构如图，试证明：
（ 1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力；
（ 2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩；
（ 3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的合力由哪个力来平衡？
q
48
h.
h,zA
yByhIQA
50
50
2
2
d)4(2d?
MIIMAIMyM z
z
h.
h,z
z
50
50
2
d
(2) 横截面上的合剪力为：
Q)h(hIQB
z
]2324[2 33
(3) 合力偶
49
)(bhqx.A xQ, 51)(51m a x
h
qLx)qx(
hAQ
LL
AB 4
3d
2
3d 2
00
z
A W
AMAN
22
1 1m a x
1m a x 1
1AAB NQ?
(4)中面上的剪应力为：
纵 面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡 。
(5) 纵 截面上的合剪力 大小 为：
max
h
qLbh
bh
qL
4
3
2
6
22
1 2
2
2
50
