电磁场与电磁波基础教程 （符果行编著）
电子工业出版社版本说明由于电子教案必须在教材定稿后制作，为满足教学急需，暂时只能先提供过渡版供教师试用，
近期将更换为正式版。教案的编辑功能、文字与公式字体大小的统一规范及整体美化，在正式版中将得到完善。
电子教案使用建议
1、在整个教学过程中，始终把握突出物理概念，强调理论推导和计算方法的分析思路；
2、在教案中提出的“问题”，教师可按教材内容引导学生进行探讨；
3、电磁场与电磁波的工程应用十分广泛，对教材中应用部分提供的阅读材料，可根据教学和专业需要，要求学生自学，教师选讲或补充新的内容。
目 录
1,1 场的概念及其表示法
1,2 场的性质和描述
1,3 梯度、散度和旋度的比较
1,4 常用恒等式和公式
1,5 亥姆霍兹定理第一章 场论基础矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与场论密不可分。
本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定理。
1.1 场的概念及其表示法
1.1.1 场的分类场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数标量场 —— 空间各点仅有确定大小的物理量
（如温度场、密度场、气压场和电位场）
矢量场 —— 空间各点同时有大小和方向的物理量
（如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
静态场 —— 仅由空间位置确定，不随时间变化的场
（如静电场和 静磁场 ）
时变场（动态场） —— 同时随空间位置和时间变化的场（如时变电磁场）
（如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
1.1.2 矢量场的基本运算图 1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量 A，线段长度表示矢量 A的模 A，箭头指向表示 A的方向。一个模为 1的矢量称为 单位矢量 。
AAA A，
AA a a
图 1.1 点 p处的矢量
Aa
(1.1)
1．矢量加、减法图 1.2表示矢量 A和 B按平行四边行法则合成矢量 C=A+B。
图 1.2 矢量加法矢量加法服从交换律和结合律图 1.3表示借助于矢量加法可以实现矢量减法图 1.3 矢量减法
2
( ) + ( ) 3
A B = B A
A B C = A B C
( 1,)
( 1,)
( ) 4A B = A B ( 1,)
2．矢量乘法图 1.4表示矢量 A和 B的点积（或标积）为两个矢量相互投影之值取值范围为 。
矢量点积服从交换律和分配律图 1.4 矢量点积
0
c os ( 1.5 )ABA B =
( 1,6 )
) ( 1,7 )
A B = B A
A B + C = A B A C
(
图 1.5表示矢量 A和 B的叉积（或矢积）为一个按右旋法则确定的矢量矢量叉积只服从分配律
s in ( 1,8 )n ABA B = a
= ( 1,9 )
( + ) = ( 1,1 0 )
A B B A
A B C A B A C
1.1.3 常用正交坐标系引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分解为标量，可简化分析与计算。
1．直角坐标系
xa ya za
,,( 1,1 1 )x y z y z x z x ya a a a a a a a a
图 1.6表示直角坐标系，
其单位矢量,和指向 x,y和 z增加的方向，且满足右旋关系矢量 A和 B的直角分量及其代数运算
a
b
( ) ( ) ( 3
x x y y z z
x x y y z z
x x x y y y z z z
xx
A A A
B B B
A B A B A B
A
A a a a
B a a a
A B a a a
A B a
4
( ) ( ) (
y y z z x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z x x y y z z
x y z z y y z x x z z x y y x
x y z
x y z
x
A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B A B A B A B
A A A
B
a a a a a
A B a a a a a a
a a a
a a a
5
yz
BB
点 P的位置矢量及其微分
( 1,1 6 )
d d d d ( 1,1 7 )
x y z
x y z
x y z
x y z
r a a a
r a a a
2、圆柱坐标系图 1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量,和 指向,和 z增加的方向，且满足右旋关系
a?a za
8z z za a a a a a a a a
矢量 A和 B的圆柱坐标分量及其代数运算
a
b
( ) ( ) ( 20
zz
zz
z z z
A A A
B B B
A B A B A B
A
A a a a
B a a a
A B a a a
A B a
21
( ) ( ) (
z z z z
zz
z z z z
z z z z z
z
z
A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B A B A B A B
A A A
BB
a a a a a
A B a a a a a a
a a a
a a a
22
z
B
点 P的位置矢量圆柱、直角坐标系间的变换关系
23z zr a a
22
c o s,s in,2 4 a
,a r c ta n,2 4 b
x y z z
yx y z z
x
3．球坐标系图 1.8表示球坐标系，其单位矢量,和 指向 r、
和 增加的方向，且满足右旋关系
ra?a?a?
25r r ra a a,a a a,a a a
( ) ( ) ( 2 7
28
( ) ( ) (
r
rr
rr
r r r r r
r
r
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B A B A B A B
A
A B a a a
AB
A B a a a
a a a
29
r
AA
B B B
矢量 A和 B的球坐标分量及其代数运算
= 2 6 a
= 2 6 b
rr
rr
A A A
B B B
A a a a
B a a a
球、直角坐标系间的变换关系
2 2 2
2 2 2
si n c os si n si n,c os 31 a
,a r c t a n,a r c t a n 31 b
x r y = r z r
zy
r x y z
xx y z
点 P的位置矢量
( 1,3 0 )r rra
1.2 场的性质和描述
1.2.1 场域性质场 域 性质是指场在 有限区域 的分布状况。
1．标量场的等值面引入等值面可以形象、直观地描述标量场的空间分布状况。
等值面 —— 在标量场中，使标量函数 u(x,y,z)取相同数值的点形成的空间曲面。
等值面方程 —— 描述给定常数 C确定的曲面的轨迹方程
,,3 2u x y z C
标量场的等值面特性：
(1)常数 C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因而形成充满标量场 u所在空间的等值面蔟（见图 1.9）；
(2)由于 u(x,y,z)是坐标的单值函数，场中任意一点只能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交；
(3)三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退化为等值线（曲线或直线）。
例如：
温度场中的等温面引力场中的等势面静电场中的等位面（见图 1.10 ）
气象图中的等压线地形图中的等高线（见图 1.1 1 ）
2．矢量场的矢量线引入矢量线可以形象、直观地描述矢量场的空间分布状况。
矢量线 —— 是一种有向曲线：某点矢量场的大小用该点附近矢量线分布的疏密度表示，方向与该点场矢量的方向一致。
如图 1.12所示。
矢量线方程 —— 描述矢量函数 分布曲线中某点 P的矢量分布方程，它是由与点 P相切（共线）的微分矢量满足 所确定的矢量线微分方程。
Fr
dr
drF
在直角坐标系中，取则矢量线方程为
,,,,,,1,3 3x x y y z zx,y,z F x y z F x y z F x y zF a a a
d,,d d dx y zx y z x y zr a a a
d d d 1,3 4
x y z
x y z
F F F
图 1.13和图 1.14表示点电荷的电力线和直线电流的磁力线是两类不同性质的源，它们的场也具有不同的性质。
问题：为什么要同时应用矢量场的通量和环量来描述矢量场的场域性质？
3．矢量场的通量和环量
● 矢量场的通量有向曲面 S—— 其大小为 S、方向沿曲面的垂直方向 的曲面。
na
未闭合曲面的 指向与其周线走向呈右旋关系（见图 1.15）；
闭合曲面的 指向其外法向（见图 1.16）。
有向曲面元 — 有向曲面 S上的微分有向曲面元 。
ddn S?Sa
na
na
dS
矢量场 F穿过有向曲面元 dS的通量曲面 S上各面元 dS叠加，分别得开曲面和闭曲面的通量看出 矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量 。
d d d c o s 1,3 5 aF S F S
d d 1.35b
d 1.35 c
nss
s
F S F a S
FS
（ 2）当 时，表示穿出闭合闭曲面 S的通量线少于穿入的通量线，闭曲面 S内必有汇聚通量线的 负通量源 （例如，
汇聚静电场力线的负电荷）；
讨论：
（ 1）当 时，表示穿出闭合闭曲面 S的通量线多于穿入的通量线，闭曲面 S内必有发出通量线的 正通量源 （例如，
发出静电场力线的正电荷）；
（ 3）当 时，表示穿出和穿入闭合闭曲面 S的通量线相等，闭曲面 S无通量源。
0
0
0
看出在有限空间区域内，穿过闭曲面的通量与闭曲面内产生矢量场的源存在相依关系（例如，高斯定理 ）。
● 矢量场的环量有向曲线 —— 其大小为,方向沿 的切线方向 的曲线。
d
S o
q
ES
l l l
dl
l
ddt l?la
ta
有向曲线元 —— 有向曲线 上的微分有向曲线元
（见图 1.17）。
看出 矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量。
矢量场 F沿开曲线和闭曲线切线方向上有向曲线 叠加后的环量
dl
讨论：
（ 1）当 时，,表示 F与 取向相同，沿闭曲线周线上形成 正环量源 ；
0 dl0
d 1,3 6 a
d 1,3 6 b
s
l
Fl
Fl
看出在有限空间区域内，沿闭曲线的环量与闭曲线所界定曲面产生矢量场的源存在相依关系（例如，安培环路定理 ）。
d ol I Bl
（ 2）当 时，,表示 F与 取向相反，沿闭曲线周线上形成 负环量源 ；
0 dl
（ 3）当 时，,表示 F与 正交，沿闭曲线周线上不存在环量源。
0
2
dl
1.2.2 场点性质场 点 性质是指场在 某点邻域 的空间变化率。
场域性质只能揭示场在有限区域内场与源的相依关系，当场源分布发生变化时不会影响它们的关系。为了揭示有限区域内某点场的物理性质，可以采用取极限的方法，将范围缩小至该点，考查该点的场点性质。
1．标量场的梯度引入方向导数描述标量场中某点在其邻域内沿各个方向的变化规律，如图 1.18所示。
图 1.18 方向导数
● 标量场方向导数的定义设标量场 中由定点引出的射线 上有一动点 P，相距为,当 P沿 趋近 时，
在 处沿 的方向导数定义为如下比值的极限
uP 0P
l?
uP
l
l 0P
0P l
0
0 0l i m 1.37l
u P u Pu p
ll
看出 标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率 。
在标量场中给定点可以发出无限多个射线，不同方向的变化率是不相同的，方向导数具有不确定性。但在无限多个方向中必定只存在 一个 具有最大变化率的方向导数。
● 标量场梯度的定义设标量场 u在点 P变化率最大时的方向导为,
该变化率最大的方向用单位矢量 表示，则 u在 P的梯度定义为一个矢量式
m axu l
la
m a xg r a d 1,3 8l uu la
看出 标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大变化率的方向导数，其方向为变化率最大的方向 。
图 1.19表示直角坐标系中,分解为三个投影分量
,和,有
u
l
u
x
uy
u
z
● 梯度在直角坐标系中的表达式
c os c os c os 1.39au u x u y u z u u ual x l y l z l x y z
由几何关系知,和 。
co sxl c o syl co szl
图 1.19 方向导数的直角分量图 1.20表示直角坐标系中两个矢量 和 的点积。其中,为任意方向射线 l上的单位矢量,为与 u有关的 固定矢量，表示为
mGla
la mG
由式 (1.39a)得
1,39 b
1.39c
l x y z
m x y z
c os c os c os
u u u
x y z
a a a a
G a a a
m
c os,
m l x y z x y z
ml
u u u
c os c os c os
x y z
u u u
c os c os c os
x y z
u
l
G a a a a a a a
G G a
讨论：
（ 1）当矢量 旋向矢量 时，
是 的模，标量场 u有最大变化率,就是标量场 u的梯度，
由式（ 1.39c）知，梯度在直角坐标系中的表达式为
m a x
0m l mul，,G a Gl mG
mG mG
（ 2）当矢量 旋至与矢量 垂直时
，标量场 u在垂直于矢量 的方向无变化，是等值面所在位置。
m in
02ml ul，,Gal mG
mG
gr a d 1.40x y zu u uu x y za a a
图 1.21表示方向导数、梯度和等值面的关系。由图看出梯度具有如下特性：
（ 1）标量场 u的梯度 gradu是一个矢量场，称为梯度场；
（ 2）标量场 u在给定点 P沿 方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影（如图 1.20所示）；
（ 3）梯度方向的方向导数 为正值，梯度总是指向标量函数 u增大最快的方向； m a x
m
u
l
G
（ 4）标量场 u在点 P的梯度垂直于过该点的等值面，即在等值面的法线方向，标量场变化最快。
l
引入矢性微分算符作用于 u?
【 例 1.1】 已知 R为场点 P（ x,y,z） 与源点的距离,和 分别表示对场点和源点求导，如图 1.23所示。计算 和 之值，并表示出它们间的关系。
P x y z，,
1
R
1
R
1,4 1xyzx y za a a
gr a d 1.42x y zu u uuux y za a a
解：
点 p 和 p′ 点 的位置矢量为则对场点和源点求导的算符为
=
' ' ' '
x y z
x y z
x y z
x y z
r a a a
r a a a
2 2 2
= ' ' '
= ' ' '
x y z' = x x y y z z
x x y y z z
R r r a a a
RR
=
'
' ' '
xyz
xyz
x y z
x y z
a a a
a a a
将代入式（ 1.42），得式中对 y,z求导可得类似关系式，故有
2 2 2
11=
' ' 'R x x y y z z
1 1 1 1=
xyzR x R y R z R
a a a
3
2 2 2
1 xx
xR x x y y z z
同理，对 x′,y′和 z′做类似微分运算时，必须反号，故得由此可知
3
2 2 2
3
1 x y zx x y y z z
R
x x y y z z
R
a a a
R
3
1
RR
R
11
RR
【 例 1.2】 如图 1.24所示，已知点电荷 q在场点 P的电位为
4 o
q
R
求 的梯度，并讨论 E和 的关系。?
解：
按上例的结果可知又因为该点电荷产生的电场强度为因此有图 1.24中场点 P处的梯度方向指向等位球面之值增加的方向，而电场强度则指向径向方向，刚好等值反向，故上式中出现负号。
3
11g r a d
44oo
q
RR
R
34
o
q
RER
E
2．矢量场的散度和旋度
● 矢量场散度的定义设矢量场 F中任一点 P由闭曲面 S包围,当 S所界定的体积趋近于零时,F在 P处的散度定义为如下比值的极限V?
看出 散度是一个标量，可理解为通过单位体积闭曲面的通量（通量体密度或通量源强度）。
图 1.25表示散度的意义（流体速度场与静电场比拟）。
0
d
d i v l i m ( 1,4 3 )S
V V
FS
F
● 散度在直角坐标系中的表达式（证明略）
【 例 1.3】 已知点电荷 q产生的电位移矢量为
34
q
RDR
式中，
2 2 2
x y zx x y y z z
R x x y y z z
，R a a a
R
求 D的散度，并讨论在 和 处的物理意义。0?R 0R=
d iv yx zFF Fx y zFF
解：
由 知
x x y y z zD D DD a a a
( ')xx?
( ')yy? ( ')zz?
3
2 2 2
22
5
4
3
4
x
x
q x x
D
x x y y z z
q R x xD
xR
同理，其 y,z分量有类似表示式，只需将分子中的换为 和,故根据式（ 1.44）可知
2 2 22
5
3
4
yx zDD D
x y z
q
x x y y z z
D
R
R
0
d
l i m ( 1,4 5 )ln
S S
Fl
na
S?
l l
S?
● 矢量场环量面密度设矢量场 F中任一点 P由有向闭曲线 包围,的正向与其所界定面积 的法向矢量 呈右旋关系（见图 1.26），当趋近于零时,F在 P处的环量面密度定义为如下比值的极限在 处，场点和源点不重合，,表示源点外处处无电荷；在 处，场点和源点重合，
表示 D之值为无限大，无意义，所以 也不存在。
0 ( )R r r
D
0D
0 ( )R r r
在矢量场中过给定点可以存在无数方位的有向曲面，
其相应法线也有无数个方向，表明 是与方向有关的不确定的标量值。但在无数个方向中必定只存在 一个 具有最大变化率的环量面密度，它是由特定方向确定的矢量。
n?
● 矢量场旋度的定义设矢量场 F在点 P 变化率最大时的环量面密为,
该变化率最大的方向用单位矢量 表示，则 F在 P 的旋度定义为一个矢量式,记为
na
max?
m a xmnRa
0
m a x
d
r o t l i m ( 1,4 6 )ln
S S
FlFa
当 时,与 重合。此时,说明指向环量面密度最大的方向。
看出 旋度是一个矢量，其大 小为沿单位面积上的最大环量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面取向使环量最大时，该曲面的法线方向 。
旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋涡源的无头无尾的闭曲线，其绕行方向与旋涡源方向呈右旋关系。
0mn?，Ra na mR m ax m R mR
mR n
由图 1.26看出 与 的投影关系
n c o s (,) ( 1,4 7 )m n m m nR a R R a
例如：
气流和水流速度场的激励源（轮船和直升飞机的螺旋桨,
洗衣机的涡轮,龙卷风） ；
静磁场的电流源 。
● 旋度在直角坐标系中的表达式（证明略）
r ot
( 1.48 )
yy xxzz
x y z
x y z
x y z
FF FFFF
y z z x x y
x y z
F F F
F a a a
a a a
F
【 例 1.4】 求例 1.3中电位移矢量 D的旋度。
解：
已知式中,有类似形式，根据式（ 1.47），有
34 x y zq x x y y z zRD a a a
3,4x y z
q x xD D D
R?
和
3 3 3
4
x y z
q
x x z
x x y y z z
R R R
a a a
D
5
5
5
3
4
3
3
0
x
y
z
z z y y z z y yq
R
z z x x z z x x
R
y y x x y y x x
R
a
a
a
显然，上式要求满足在 处的条件，结合例 1.3可知，
点电荷的电位移矢量在无源区 这一特定条件下，是一个无散无旋场。
0R?
0R?
1.3 梯度、散度和旋度的比较
1,三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，揭示了场的特性也不同。
问题：由梯度、散度和旋度的定义式和直角坐标式说明，
为什么在数学上可以引入矢性微分算符,”来统一表示？
图 1.27表示梯度场、散度场和旋度场变化方式的比较。
2,三个度均用于表述某点场与场源的相依关系，不同变化规律的场对应于不同性质的场源。
散度场（或无旋场）～散度源（或通量源）
旋度场（或无散场）～散度源（或旋涡源）
标量场的梯度场（或位场）～散度源（或通量源）
3,标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场的旋度是矢量函数 。 这些函数分别表示梯度场、
散度场和旋度场。
1.4 常用恒等式和公式引入拉普拉斯算符,”，在直角坐标中2?
2 2 2
2
2 2 2x y z
（ 1.49a）
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
x y z x y z
x y z x y z
x y z
a a a a a a
（ 1.49b）
1．微分形式
2．积分形式
2
( 1,5 0 )
0 ( 1,5 1 )
0 ( 1,5 2 )
uu
u
F
FF
2
( 1,5 3 )F
d d ( 1,5 4 )
d d ( 1,5 5 )
VS
Vl
F V F S
F S F l
1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯一确定 。
式中纵场 表示无旋场，横场 表示无散场。
设 g和 G分别表示通量源（例如 ）和旋涡源（例如 J），
则无旋场和无散场分别满足方程
nF tF
+ ( 1,5 6 )ntF F F
,( 1,5 7 a )
0,( 1,5 7 b )
nn
tt
g
FF
F F G
对式（ 1.56）分别取散度和旋度，由式（ 1.57a,b）知看出矢量场 F由 g和 G产生的无旋场和无散场唯一确定。
若引入标量位 和矢量位 A来表示矢量场 和,则将式（ 1.51）和 对比，将式（ 1.52）和式对比，可得
0nF 0tF
nF tF
( 1,5 8 a )
( 1,5 8 b )
n
t
g
FF
F F G
( 1,5 9 )ntF F A
式（ 1.59）代入式（ 1.56）得亥姆霍兹定理是矢量场的场点性质的判别准则。
按场的无旋性和无散性可将场分为如下类型：
（ 1）无散无旋场,如无源空间中的静电场；
（ 2）有散无旋场,如有源空间 中的静电场；
（ 3）无散有旋场,如有源空间 中的静磁场；
00，FF
0g，FF0
0，F F G0?J
( 1,6 0 )FA
（ 4）有散有源场,如有源空间和时变磁场 中的电场。
亥姆霍兹定理总结了矢量场的场点性质，是研究电磁场与电磁波的重要基础。
g，F F G0
0tB
电子工业出版社版本说明由于电子教案必须在教材定稿后制作，为满足教学急需，暂时只能先提供过渡版供教师试用，
近期将更换为正式版。教案的编辑功能、文字与公式字体大小的统一规范及整体美化，在正式版中将得到完善。
电子教案使用建议
1、在整个教学过程中，始终把握突出物理概念，强调理论推导和计算方法的分析思路；
2、在教案中提出的“问题”，教师可按教材内容引导学生进行探讨；
3、电磁场与电磁波的工程应用十分广泛，对教材中应用部分提供的阅读材料，可根据教学和专业需要，要求学生自学，教师选讲或补充新的内容。
目 录
1,1 场的概念及其表示法
1,2 场的性质和描述
1,3 梯度、散度和旋度的比较
1,4 常用恒等式和公式
1,5 亥姆霍兹定理第一章 场论基础矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与场论密不可分。
本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定理。
1.1 场的概念及其表示法
1.1.1 场的分类场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数标量场 —— 空间各点仅有确定大小的物理量
（如温度场、密度场、气压场和电位场）
矢量场 —— 空间各点同时有大小和方向的物理量
（如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
静态场 —— 仅由空间位置确定，不随时间变化的场
（如静电场和 静磁场 ）
时变场（动态场） —— 同时随空间位置和时间变化的场（如时变电磁场）
（如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
1.1.2 矢量场的基本运算图 1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量 A，线段长度表示矢量 A的模 A，箭头指向表示 A的方向。一个模为 1的矢量称为 单位矢量 。
AAA A，
AA a a
图 1.1 点 p处的矢量
Aa
(1.1)
1．矢量加、减法图 1.2表示矢量 A和 B按平行四边行法则合成矢量 C=A+B。
图 1.2 矢量加法矢量加法服从交换律和结合律图 1.3表示借助于矢量加法可以实现矢量减法图 1.3 矢量减法
2
( ) + ( ) 3
A B = B A
A B C = A B C
( 1,)
( 1,)
( ) 4A B = A B ( 1,)
2．矢量乘法图 1.4表示矢量 A和 B的点积（或标积）为两个矢量相互投影之值取值范围为 。
矢量点积服从交换律和分配律图 1.4 矢量点积
0
c os ( 1.5 )ABA B =
( 1,6 )
) ( 1,7 )
A B = B A
A B + C = A B A C
(
图 1.5表示矢量 A和 B的叉积（或矢积）为一个按右旋法则确定的矢量矢量叉积只服从分配律
s in ( 1,8 )n ABA B = a
= ( 1,9 )
( + ) = ( 1,1 0 )
A B B A
A B C A B A C
1.1.3 常用正交坐标系引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分解为标量，可简化分析与计算。
1．直角坐标系
xa ya za
,,( 1,1 1 )x y z y z x z x ya a a a a a a a a
图 1.6表示直角坐标系，
其单位矢量,和指向 x,y和 z增加的方向，且满足右旋关系矢量 A和 B的直角分量及其代数运算
a
b
( ) ( ) ( 3
x x y y z z
x x y y z z
x x x y y y z z z
xx
A A A
B B B
A B A B A B
A
A a a a
B a a a
A B a a a
A B a
4
( ) ( ) (
y y z z x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z x x y y z z
x y z z y y z x x z z x y y x
x y z
x y z
x
A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B A B A B A B
A A A
B
a a a a a
A B a a a a a a
a a a
a a a
5
yz
BB
点 P的位置矢量及其微分
( 1,1 6 )
d d d d ( 1,1 7 )
x y z
x y z
x y z
x y z
r a a a
r a a a
2、圆柱坐标系图 1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量,和 指向,和 z增加的方向，且满足右旋关系
a?a za
8z z za a a a a a a a a
矢量 A和 B的圆柱坐标分量及其代数运算
a
b
( ) ( ) ( 20
zz
zz
z z z
A A A
B B B
A B A B A B
A
A a a a
B a a a
A B a a a
A B a
21
( ) ( ) (
z z z z
zz
z z z z
z z z z z
z
z
A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B A B A B A B
A A A
BB
a a a a a
A B a a a a a a
a a a
a a a
22
z
B
点 P的位置矢量圆柱、直角坐标系间的变换关系
23z zr a a
22
c o s,s in,2 4 a
,a r c ta n,2 4 b
x y z z
yx y z z
x
3．球坐标系图 1.8表示球坐标系，其单位矢量,和 指向 r、
和 增加的方向，且满足右旋关系
ra?a?a?
25r r ra a a,a a a,a a a
( ) ( ) ( 2 7
28
( ) ( ) (
r
rr
rr
r r r r r
r
r
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B A B A B A B
A
A B a a a
AB
A B a a a
a a a
29
r
AA
B B B
矢量 A和 B的球坐标分量及其代数运算
= 2 6 a
= 2 6 b
rr
rr
A A A
B B B
A a a a
B a a a
球、直角坐标系间的变换关系
2 2 2
2 2 2
si n c os si n si n,c os 31 a
,a r c t a n,a r c t a n 31 b
x r y = r z r
zy
r x y z
xx y z
点 P的位置矢量
( 1,3 0 )r rra
1.2 场的性质和描述
1.2.1 场域性质场 域 性质是指场在 有限区域 的分布状况。
1．标量场的等值面引入等值面可以形象、直观地描述标量场的空间分布状况。
等值面 —— 在标量场中，使标量函数 u(x,y,z)取相同数值的点形成的空间曲面。
等值面方程 —— 描述给定常数 C确定的曲面的轨迹方程
,,3 2u x y z C
标量场的等值面特性：
(1)常数 C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因而形成充满标量场 u所在空间的等值面蔟（见图 1.9）；
(2)由于 u(x,y,z)是坐标的单值函数，场中任意一点只能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交；
(3)三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退化为等值线（曲线或直线）。
例如：
温度场中的等温面引力场中的等势面静电场中的等位面（见图 1.10 ）
气象图中的等压线地形图中的等高线（见图 1.1 1 ）
2．矢量场的矢量线引入矢量线可以形象、直观地描述矢量场的空间分布状况。
矢量线 —— 是一种有向曲线：某点矢量场的大小用该点附近矢量线分布的疏密度表示，方向与该点场矢量的方向一致。
如图 1.12所示。
矢量线方程 —— 描述矢量函数 分布曲线中某点 P的矢量分布方程，它是由与点 P相切（共线）的微分矢量满足 所确定的矢量线微分方程。
Fr
dr
drF
在直角坐标系中，取则矢量线方程为
,,,,,,1,3 3x x y y z zx,y,z F x y z F x y z F x y zF a a a
d,,d d dx y zx y z x y zr a a a
d d d 1,3 4
x y z
x y z
F F F
图 1.13和图 1.14表示点电荷的电力线和直线电流的磁力线是两类不同性质的源，它们的场也具有不同的性质。
问题：为什么要同时应用矢量场的通量和环量来描述矢量场的场域性质？
3．矢量场的通量和环量
● 矢量场的通量有向曲面 S—— 其大小为 S、方向沿曲面的垂直方向 的曲面。
na
未闭合曲面的 指向与其周线走向呈右旋关系（见图 1.15）；
闭合曲面的 指向其外法向（见图 1.16）。
有向曲面元 — 有向曲面 S上的微分有向曲面元 。
ddn S?Sa
na
na
dS
矢量场 F穿过有向曲面元 dS的通量曲面 S上各面元 dS叠加，分别得开曲面和闭曲面的通量看出 矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量 。
d d d c o s 1,3 5 aF S F S
d d 1.35b
d 1.35 c
nss
s
F S F a S
FS
（ 2）当 时，表示穿出闭合闭曲面 S的通量线少于穿入的通量线，闭曲面 S内必有汇聚通量线的 负通量源 （例如，
汇聚静电场力线的负电荷）；
讨论：
（ 1）当 时，表示穿出闭合闭曲面 S的通量线多于穿入的通量线，闭曲面 S内必有发出通量线的 正通量源 （例如，
发出静电场力线的正电荷）；
（ 3）当 时，表示穿出和穿入闭合闭曲面 S的通量线相等，闭曲面 S无通量源。
0
0
0
看出在有限空间区域内，穿过闭曲面的通量与闭曲面内产生矢量场的源存在相依关系（例如，高斯定理 ）。
● 矢量场的环量有向曲线 —— 其大小为,方向沿 的切线方向 的曲线。
d
S o
q
ES
l l l
dl
l
ddt l?la
ta
有向曲线元 —— 有向曲线 上的微分有向曲线元
（见图 1.17）。
看出 矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量。
矢量场 F沿开曲线和闭曲线切线方向上有向曲线 叠加后的环量
dl
讨论：
（ 1）当 时，,表示 F与 取向相同，沿闭曲线周线上形成 正环量源 ；
0 dl0
d 1,3 6 a
d 1,3 6 b
s
l
Fl
Fl
看出在有限空间区域内，沿闭曲线的环量与闭曲线所界定曲面产生矢量场的源存在相依关系（例如，安培环路定理 ）。
d ol I Bl
（ 2）当 时，,表示 F与 取向相反，沿闭曲线周线上形成 负环量源 ；
0 dl
（ 3）当 时，,表示 F与 正交，沿闭曲线周线上不存在环量源。
0
2
dl
1.2.2 场点性质场 点 性质是指场在 某点邻域 的空间变化率。
场域性质只能揭示场在有限区域内场与源的相依关系，当场源分布发生变化时不会影响它们的关系。为了揭示有限区域内某点场的物理性质，可以采用取极限的方法，将范围缩小至该点，考查该点的场点性质。
1．标量场的梯度引入方向导数描述标量场中某点在其邻域内沿各个方向的变化规律，如图 1.18所示。
图 1.18 方向导数
● 标量场方向导数的定义设标量场 中由定点引出的射线 上有一动点 P，相距为,当 P沿 趋近 时，
在 处沿 的方向导数定义为如下比值的极限
uP 0P
l?
uP
l
l 0P
0P l
0
0 0l i m 1.37l
u P u Pu p
ll
看出 标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率 。
在标量场中给定点可以发出无限多个射线，不同方向的变化率是不相同的，方向导数具有不确定性。但在无限多个方向中必定只存在 一个 具有最大变化率的方向导数。
● 标量场梯度的定义设标量场 u在点 P变化率最大时的方向导为,
该变化率最大的方向用单位矢量 表示，则 u在 P的梯度定义为一个矢量式
m axu l
la
m a xg r a d 1,3 8l uu la
看出 标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大变化率的方向导数，其方向为变化率最大的方向 。
图 1.19表示直角坐标系中,分解为三个投影分量
,和,有
u
l
u
x
uy
u
z
● 梯度在直角坐标系中的表达式
c os c os c os 1.39au u x u y u z u u ual x l y l z l x y z
由几何关系知,和 。
co sxl c o syl co szl
图 1.19 方向导数的直角分量图 1.20表示直角坐标系中两个矢量 和 的点积。其中,为任意方向射线 l上的单位矢量,为与 u有关的 固定矢量，表示为
mGla
la mG
由式 (1.39a)得
1,39 b
1.39c
l x y z
m x y z
c os c os c os
u u u
x y z
a a a a
G a a a
m
c os,
m l x y z x y z
ml
u u u
c os c os c os
x y z
u u u
c os c os c os
x y z
u
l
G a a a a a a a
G G a
讨论：
（ 1）当矢量 旋向矢量 时，
是 的模，标量场 u有最大变化率,就是标量场 u的梯度，
由式（ 1.39c）知，梯度在直角坐标系中的表达式为
m a x
0m l mul，,G a Gl mG
mG mG
（ 2）当矢量 旋至与矢量 垂直时
，标量场 u在垂直于矢量 的方向无变化，是等值面所在位置。
m in
02ml ul，,Gal mG
mG
gr a d 1.40x y zu u uu x y za a a
图 1.21表示方向导数、梯度和等值面的关系。由图看出梯度具有如下特性：
（ 1）标量场 u的梯度 gradu是一个矢量场，称为梯度场；
（ 2）标量场 u在给定点 P沿 方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影（如图 1.20所示）；
（ 3）梯度方向的方向导数 为正值，梯度总是指向标量函数 u增大最快的方向； m a x
m
u
l
G
（ 4）标量场 u在点 P的梯度垂直于过该点的等值面，即在等值面的法线方向，标量场变化最快。
l
引入矢性微分算符作用于 u?
【 例 1.1】 已知 R为场点 P（ x,y,z） 与源点的距离,和 分别表示对场点和源点求导，如图 1.23所示。计算 和 之值，并表示出它们间的关系。
P x y z，,
1
R
1
R
1,4 1xyzx y za a a
gr a d 1.42x y zu u uuux y za a a
解：
点 p 和 p′ 点 的位置矢量为则对场点和源点求导的算符为
=
' ' ' '
x y z
x y z
x y z
x y z
r a a a
r a a a
2 2 2
= ' ' '
= ' ' '
x y z' = x x y y z z
x x y y z z
R r r a a a
RR
=
'
' ' '
xyz
xyz
x y z
x y z
a a a
a a a
将代入式（ 1.42），得式中对 y,z求导可得类似关系式，故有
2 2 2
11=
' ' 'R x x y y z z
1 1 1 1=
xyzR x R y R z R
a a a
3
2 2 2
1 xx
xR x x y y z z
同理，对 x′,y′和 z′做类似微分运算时，必须反号，故得由此可知
3
2 2 2
3
1 x y zx x y y z z
R
x x y y z z
R
a a a
R
3
1
RR
R
11
RR
【 例 1.2】 如图 1.24所示，已知点电荷 q在场点 P的电位为
4 o
q
R
求 的梯度，并讨论 E和 的关系。?
解：
按上例的结果可知又因为该点电荷产生的电场强度为因此有图 1.24中场点 P处的梯度方向指向等位球面之值增加的方向，而电场强度则指向径向方向，刚好等值反向，故上式中出现负号。
3
11g r a d
44oo
q
RR
R
34
o
q
RER
E
2．矢量场的散度和旋度
● 矢量场散度的定义设矢量场 F中任一点 P由闭曲面 S包围,当 S所界定的体积趋近于零时,F在 P处的散度定义为如下比值的极限V?
看出 散度是一个标量，可理解为通过单位体积闭曲面的通量（通量体密度或通量源强度）。
图 1.25表示散度的意义（流体速度场与静电场比拟）。
0
d
d i v l i m ( 1,4 3 )S
V V
FS
F
● 散度在直角坐标系中的表达式（证明略）
【 例 1.3】 已知点电荷 q产生的电位移矢量为
34
q
RDR
式中，
2 2 2
x y zx x y y z z
R x x y y z z
，R a a a
R
求 D的散度，并讨论在 和 处的物理意义。0?R 0R=
d iv yx zFF Fx y zFF
解：
由 知
x x y y z zD D DD a a a
( ')xx?
( ')yy? ( ')zz?
3
2 2 2
22
5
4
3
4
x
x
q x x
D
x x y y z z
q R x xD
xR
同理，其 y,z分量有类似表示式，只需将分子中的换为 和,故根据式（ 1.44）可知
2 2 22
5
3
4
yx zDD D
x y z
q
x x y y z z
D
R
R
0
d
l i m ( 1,4 5 )ln
S S
Fl
na
S?
l l
S?
● 矢量场环量面密度设矢量场 F中任一点 P由有向闭曲线 包围,的正向与其所界定面积 的法向矢量 呈右旋关系（见图 1.26），当趋近于零时,F在 P处的环量面密度定义为如下比值的极限在 处，场点和源点不重合，,表示源点外处处无电荷；在 处，场点和源点重合，
表示 D之值为无限大，无意义，所以 也不存在。
0 ( )R r r
D
0D
0 ( )R r r
在矢量场中过给定点可以存在无数方位的有向曲面，
其相应法线也有无数个方向，表明 是与方向有关的不确定的标量值。但在无数个方向中必定只存在 一个 具有最大变化率的环量面密度，它是由特定方向确定的矢量。
n?
● 矢量场旋度的定义设矢量场 F在点 P 变化率最大时的环量面密为,
该变化率最大的方向用单位矢量 表示，则 F在 P 的旋度定义为一个矢量式,记为
na
max?
m a xmnRa
0
m a x
d
r o t l i m ( 1,4 6 )ln
S S
FlFa
当 时,与 重合。此时,说明指向环量面密度最大的方向。
看出 旋度是一个矢量，其大 小为沿单位面积上的最大环量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面取向使环量最大时，该曲面的法线方向 。
旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋涡源的无头无尾的闭曲线，其绕行方向与旋涡源方向呈右旋关系。
0mn?，Ra na mR m ax m R mR
mR n
由图 1.26看出 与 的投影关系
n c o s (,) ( 1,4 7 )m n m m nR a R R a
例如：
气流和水流速度场的激励源（轮船和直升飞机的螺旋桨,
洗衣机的涡轮,龙卷风） ；
静磁场的电流源 。
● 旋度在直角坐标系中的表达式（证明略）
r ot
( 1.48 )
yy xxzz
x y z
x y z
x y z
FF FFFF
y z z x x y
x y z
F F F
F a a a
a a a
F
【 例 1.4】 求例 1.3中电位移矢量 D的旋度。
解：
已知式中,有类似形式，根据式（ 1.47），有
34 x y zq x x y y z zRD a a a
3,4x y z
q x xD D D
R?
和
3 3 3
4
x y z
q
x x z
x x y y z z
R R R
a a a
D
5
5
5
3
4
3
3
0
x
y
z
z z y y z z y yq
R
z z x x z z x x
R
y y x x y y x x
R
a
a
a
显然，上式要求满足在 处的条件，结合例 1.3可知，
点电荷的电位移矢量在无源区 这一特定条件下，是一个无散无旋场。
0R?
0R?
1.3 梯度、散度和旋度的比较
1,三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，揭示了场的特性也不同。
问题：由梯度、散度和旋度的定义式和直角坐标式说明，
为什么在数学上可以引入矢性微分算符,”来统一表示？
图 1.27表示梯度场、散度场和旋度场变化方式的比较。
2,三个度均用于表述某点场与场源的相依关系，不同变化规律的场对应于不同性质的场源。
散度场（或无旋场）～散度源（或通量源）
旋度场（或无散场）～散度源（或旋涡源）
标量场的梯度场（或位场）～散度源（或通量源）
3,标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场的旋度是矢量函数 。 这些函数分别表示梯度场、
散度场和旋度场。
1.4 常用恒等式和公式引入拉普拉斯算符,”，在直角坐标中2?
2 2 2
2
2 2 2x y z
（ 1.49a）
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
x y z x y z
x y z x y z
x y z
a a a a a a
（ 1.49b）
1．微分形式
2．积分形式
2
( 1,5 0 )
0 ( 1,5 1 )
0 ( 1,5 2 )
uu
u
F
FF
2
( 1,5 3 )F
d d ( 1,5 4 )
d d ( 1,5 5 )
VS
Vl
F V F S
F S F l
1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯一确定 。
式中纵场 表示无旋场，横场 表示无散场。
设 g和 G分别表示通量源（例如 ）和旋涡源（例如 J），
则无旋场和无散场分别满足方程
nF tF
+ ( 1,5 6 )ntF F F
,( 1,5 7 a )
0,( 1,5 7 b )
nn
tt
g
FF
F F G
对式（ 1.56）分别取散度和旋度，由式（ 1.57a,b）知看出矢量场 F由 g和 G产生的无旋场和无散场唯一确定。
若引入标量位 和矢量位 A来表示矢量场 和,则将式（ 1.51）和 对比，将式（ 1.52）和式对比，可得
0nF 0tF
nF tF
( 1,5 8 a )
( 1,5 8 b )
n
t
g
FF
F F G
( 1,5 9 )ntF F A
式（ 1.59）代入式（ 1.56）得亥姆霍兹定理是矢量场的场点性质的判别准则。
按场的无旋性和无散性可将场分为如下类型：
（ 1）无散无旋场,如无源空间中的静电场；
（ 2）有散无旋场,如有源空间 中的静电场；
（ 3）无散有旋场,如有源空间 中的静磁场；
00，FF
0g，FF0
0，F F G0?J
( 1,6 0 )FA
（ 4）有散有源场,如有源空间和时变磁场 中的电场。
亥姆霍兹定理总结了矢量场的场点性质，是研究电磁场与电磁波的重要基础。
g，F F G0
0tB
