目 录
4,1 静态场方程在时变条件下的推广
4,2 辅助动态位
4,3 时变电磁场的边界条件
4,4 时变电磁场的能量、能流和能量守恒定律
4,5 时谐电磁场
4,6 动态场的应用
4,7 麦克斯韦和麦克斯韦理论建立的意义第四章 动态场在静止电荷和稳恒电流产生的静态场中，其电场和磁场相互无关，彼此独立存在，称为静态电、磁场。在时变电流产生的动态场中，变化磁场能激发电场，变化电场也能激发磁场，
电场和磁场构成了不可分割的统一整体，称为时变电磁场。一般时变电磁场可以随时间做任意变化，它能够分解为时谐电磁场的线性叠加。随时间做特殊的时谐（稳态正弦或余弦）变化的场称为时谐电磁场。
本章在时变条件下将仅有空间变化的静态场基本方程进行修正，引出涡旋电场概念和位移电流假设，进而推广为具有时空变化的动态场基本方程 —— 麦克斯韦方程。 在此基础上讨论动态场应用中的重要问题：辅助动态位、时变电磁场的边界条件、时变电磁场的能量、能流和能量守恒定律、
时谐电磁场、动态场的应用。最后介绍麦克斯韦和麦克斯韦理论建立的意义。
问题：如何推广静态场基本方程？
4.1.1 法拉第电磁感应定律的启示 — 涡旋电场实验观察发现 电磁感应现象,穿过导体回路的磁通量随时间变化，会在导体回路中引起感应电动势和感应电流。
4.1 静态场方程在时变条件下的推广静态场基本方程麦克斯韦深入研究电磁感应现象后得到新的启示：唯有电场才能在导体回路上引起感应电流，而这个电场正是由变化磁场激励的感应电场，它与导体回路的存在无关。
对静止导体回路，由式（ 2.44）和（ 2.45a）
利用斯托克斯定理得
Ein—— 涡旋电场（变化磁场产生的感应电场，他是非保守的有旋场）。
式（ 4.2）中将保守的静电场 EC考虑进去，其合成场
，得
c inE E E
看出静态场方程（ 4.1a）在时变条件（ ）下，只须加上修正项 （激励涡旋电场的旋涡源），即推广为动态场方程。
0t
t
B
4.1.2 问题的提出 — 位移电流问题：既然变化磁场能产生涡旋电场，那么变化电场能否产生磁场呢？图 4.1中接交变电源的电容器的断路回路上为什么存在传导电流？
看出静磁场的安培环路定理不满足普适的电流连续性原理，如何解决这个矛盾？
图 4.1（ b）中穿过 S1的导线上存在 J，而穿过电容器极板间的 S2中不存在 J，但交变电流在极板上形成的交变电荷土 Q
要产生交变的电场变化,麦克斯韦将这个附加项考虑进去，
得
t
D
t
DHJ
两边取散度，得
()ttJD
比较
( ) 0
t
取 散 度
J
H J J H
满足电流连续性原理。
令附加假设项为位移电流加于式（ 4.1a）右边，得动态场的全电流定律看出静态场方程（ 4.1b）在时变条件（ ）下，只需加上修正项 （激励有旋磁场的漩涡源）,即推广为动态场方程。
0t
t
D
4.1.3 动态场基本方程 —— 麦克斯韦方程
● 麦克斯韦方程由静态场方程推广而成的动态场方程，构成麦克斯韦理论的核心，是宏观电磁理论的普适性方程。
● 电荷守恒定律和本构方程式（ 4.7a～ e）构成一个完备方程组，它完量描述了场量、
源量和媒质间的相互作用规律和转化关系，全面反映了电磁场与波的基本性质和普遍的运动规律，是宏观电磁理论的基础，
所有的电磁现象都可以由它得到说明。
4.2 辅助动态位
4.2.1 时变电磁场的标量电位和矢量磁位由麦克斯韦方程引入辅助动态位可简化分析和计算。已知
（ 1）由磁场的无散性引入矢量磁位将方程（ 4.8d）与矢量恒等式 对比,令,得
（ 4.9a）
式中 A为时变电磁场的矢量磁位。
FA
BA
( ) 0F
（ 2）将电场的旋度式变为无旋性方程式（ 4.9a）代入方程（ 4.8a），得将电场的旋度式变为无旋性方程
（ 4.9b）
t
AE
( ) 0tAE
建立辅助动态位与电磁场量微分关系的步骤：
（ 3）由电磁场的无旋性引入标量电位将式（ 4.9b）与矢量恒等式 对比，令,得
，写为
（ 4.9c）
0u u
t?
AE
t?
AE
式中,为时变电磁场的标量位。
4.2.2 时变电磁场动态位的波动方程先由动态位的波动方程解得动态位，再由位场关系得到时变场量。方法是用位场关系代入麦克斯韦方程，以动态位置换时变场量后，得到动态位的波动方程。
将式（ 4.9c）代入方程（ 4.8c），并交换?和 的运算次序，得
（ 4.10a）
()t
2 ()
t
A
再将式（ 4.9a,c）代入方程（ 4.8b），并利用式（ 4.8e，
f），可得应用矢量恒等式,令 F=A，移项整理后，得
（ 4.10b）
tt
AAJ
2()F F F
22
2 () tt
AA J A
按亥姆霍兹定理,A只取了旋度，尚未确定其散度，方程（ 4.10）的解具有多值性。
问题：如何得动态位波动方程的单值解？按什么原则选择 A的散度之值？
选择 等于,可 分离 和 简化 方程（ 4.10）。令A
t
得动态场方程与静态场方程的区别：动态场方程中比静态场方程多了一突变量 和,这个方程的附加项在边界面上为 有限量 。表明跨边界面闭合回路所围面积 ds趋于零时，附加项与无限小面积元点积的积分零。方程（ 4.7a,b）中的附加积分项为零。例如
tD t
B
li m li m 0nss o s odstt DDSa
4.3 时变电磁场的边界条件
4.3.1 边界条件的一般形式边界面上场量在时间变化上的突变性不会影响原来边界条件形式的改变，得
4.3.2 边界条件的特殊形式理想介质 —— 电导率极小的低耗介质（?,?为实数,?=0）；
理想导体 —— 电导率极大的良导体（? =?）。
● 不同理想介质边界面（?s=0,J=0）：
● 理想介质和理想导体边界面（?s≠0,J≠0）：
SJuv
4.4 时变电磁场的能量、能流和能量守恒定律在均匀、线性和各向同性媒质中，已知静电场的能量密度
（单位体积电场能量）、静磁场的能量密度（单位体积磁场能量）和稳恒电场损耗功率密度（单位体积损耗电能）为
4.4.1 时变电磁场的能量
（ 4.16a）
（ 4.16b）
（ 4.16c）
21( ) ( )
2e Errw
21( ) ( )
2e Hrrw
2( ) ( )pErr
将静态场公式（ 4.16）推广到时变电磁场中，有
（ 4.17a）
（ 4.17b）
22
(,) (,) (,)
1
[ (,) (,) ]
2
emt t t
E t H t
r r r
rr
w w w
2(,) (,)p t E trr
4.4.2 时变电磁场的能流和坡印廷矢量为了描述时变电磁场能量流动的大小和方向，引入能量流动密度矢量，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的能量，
或重直穿过单位面积的功率，其方向为能量流动的方向，所以能量流动密度矢量（或能流密度矢量）又称为功率流密度矢量，
通常称为 坡印廷矢量由式（ 4.18）可知,S 和 E,H相互正交，且成右旋关系，
如图 4.2所示。 S的单位为 W/m2（瓦特 /米 2）。
（ 4.18）
(,) (,) (,)t t tS r E r H r
4.4.3 时变电磁场的能量守恒定律 —— 坡印廷定理已知麦克斯韦方程的旋度式代入恒等式经运算得（？）
( ) ( ) ( )E H H E E H
式（ 4.20）称为时变电磁场坡印廷定理的微分形式。它表示媒质空间某点能流密度的空间减少率转化为该点电磁能量密度的时间增长率与电磁损耗功率密度之和。
图 4.3表示由曲面 S 包围的有限媒质空间体积 V。将式（ 4.20）
两边在体积 V上进行积分，并利用散度定理可得式（ 4.21a,b）称为时变电磁场坡印廷定理的积分形式。
它表示进入有限媒质空间体积的电磁能流转化为该体积内电磁能量随时间的增长率与电磁损耗功率之和。也可以说，它表示单位时间内流入有限媒质空间体积的电磁能量转化为该体积内电磁储能的增量与损耗的电磁能量。
VSd V dF F S
【 例 4.1】 一段长直圆柱导体上通过稳恒电流 I。假设导体半径为 a，长度为 l，电导率为?，如图 4.4所示。（ 1）求导体表面附近的坡印廷矢量；（ 2）求导体的损耗功率。
解：
（ 1）选择圆柱坐标系，令圆柱轴线为圆柱坐标系的 z轴，
则导体内的稳恒电流场和稳恒电场为
2z
IJ
azzJ a a
利用电场切向分量的边界条件可知 E内 =E外,得利用安培环路定理，可以求出导体内、外的磁场强度为
2
I
a内 z
JEa
2
I
a外 zEa
看出坡印廷矢量的方向处处沿径向指向导体轴线。
（ 2）在导线表面 处，,沿圆柱导体表面对 S求面积分，利用,有
a 2
232r
I
aSa
lR
S
2
23d d 22ss
IS a l
a
S S S a
22
2()
lI I R
a
式中,表示半径为,长度为 的圆柱导体的电阻。进入导体的稳恒电场能流转化为导体的电能损耗功率，完全服从坡印廷定理。
2/ ( )R l a a l
4.5 时谐电磁场时谐电磁场 —— 场强方向与时间无关，而场强大小仅按角频率随时间作正弦或余弦变化的稳态正弦或余弦电磁场。
问题：为什么在工程应用中常采用时谐电磁场求解电磁问题？
● 电路理论的复数表示法沿 z向传输随时间 t作余弦（或正弦）变化的电压（或电流）是一维标量瞬时值
4.5.1 时谐电磁场的复数表示法
0(,) ( ) c o s ( )u z t U z t
式中 为振幅,为角频率,?为余弦初相位。
0()Uz 2 f
为简化运算，引入具有实、虚轴的复平面，并以欧拉公式为基础，建立复数运算法，将具有时空变化的瞬时值运算转化为仅具空间变化的复数值运算。
在 中令,上式改写为式中
c o s s injxe x j x xt
0(,) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]j j t j tou z t U z e e U z e
( ) ( ) joU z U z e&
称为 复振幅（复标量） 。它表示物理量的振幅和初相位只有空间变化关系，与具有时间变化的时间变化和时谐因子实施了时空分离。 所以 只需对复振幅进行运算，再将结果乘以,并取实部（或虚部），即可得相应的瞬时值。
jt?
jte?
● 电磁场理论的复数表示法在一定条件下，复数表示法可从电路理论推广到电磁场理论中。
在直角坐标系中，取 i=x,y和 z,E 的分量形式
（ 4.22）(,,,) (,,,) (,,,) (,,,)
x x y y z zx y z t E x y z t E x y z t E x y z tE a a a
式中沿 ax,ay和 az方向的标量分量可以写成时谐场的瞬时形式
（ 4.23a）
（ 4.23b）
（ 4.23c）
0(,,,) ( ) c o s [ ( ) ]x x zE x y z t E r t r
0(,,,) ( ) c o s [ ( ) ]y y yE x y z t E r t r
0(,,,) ( ) c o s [ ( ) ]z z zE x y z t E r t r
按欧拉公式将式（ 4.23）写成如下指数形式
（ 4.24a）
（ 4.24b）
（ 4.24c）
() j0(,) R e ( ) xjr txxE t E r e er
() j0(,) Re ( ) yjr tyyE t E r e er
() j0(,) R e ( ) zjr tzzE t E r e er
定义
（ 4.25a）
（ 4.25b）
（ 4.25c）
()0( ) ( ) xjrxxE r E r e&
()0( ) ( ) yjryyE r E r e&
()0( ) ( ) zjrzzE r E r e&
则式（ 4.24）可以写成
（ 4.26a）
（ 4.26b）
（ 4.26c）
(,) R e [ ( ) ]jtxxE r t E r e &
(,) R e [ ( ) ]jtyyE r t E r e &
(,) R e [ ( ) ]jtzzE r t E r e &
式中,和 称为,和 的 复标量 。
式（ 4.26a～ c）分别乘 ax,ay和 az相叠加，即可将式（ 4.22）按复数形式合成为如下瞬时形式
()xEr& ()yEr& ()zEr& (,)xE r t (,)
yE r t
(,)zE r t
（ 4.27）
（ 4.28）
(,) R e [ ( ) ( ) ( ) ]
R e [ ( ) ]
jt
x y z
jt
E t E r E r E r e
E r e
g
& & &
x y zr a a a
( ) ( ) ( ) ( )x y zE E r E r E r& & & &x y zr a a a
是时谐电场瞬时形式 E（ r,t） 的 复矢量 。
问题：推广复数法的“一定条件”是指什么？为什么？
对于任意时谐场矢量或位矢量，可以用 F将式（ 4.27）
和（ 4.28）推广为如下一般形式
3
1
3
1
(,) (,)
R e [ ( )]
R e[ ( ) ]
i
i
jt
i
i
jt
t F t
Fe
e
g
&
i
i
F r a r
ar
Fr
（ 4.29）
式中
（ 4.30）33
()
0
11
( ) ( ) ( ) jri i
ii
F F F e?
gg iir a r a r
式中,是 Fi（ r,t） 的 复标量,是 F(r,t)的 复矢量 。其中
(r)不能写成? i(r)，表示 Fi(r)的各初相位相等。
()iF r&
在时谐电磁场中，对空间的导数可用复数形式表示，交换?与 Re的顺序后，得
（ 4.31a）j(,) R e [ ( ) ]tteF r F r&
t
对时间的导数则交换 与 Re的顺序，得
（ 4.31b）
j
j
(,)
R e [ ( ) ]
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
t
j t t
t
e
tt
e j e
t
Fr
Fr
F r F r
&
&&
()&Fr
式（ 4.31b）表明时谐场对时间的微分用复数形式来表示时，
相当于将 代换为 j?；同理可知，对于积分，则相当于将代换为 1/j?。
4.5.2 时谐电磁场的麦克斯韦方程和本构方程式（ 4.31a,b）应用于时变电磁场方程（ 4.8），可以转化为时谐电磁场的复数形式。例如，对方程（ 4.8a），可做如下运算
t dt?
j
j
R e [ ( ) ] R e [ j ( ) ]
R e [ ( ) ] R e [ j ( ) ]
t j t
t j t
ee
&&E r B r
E r B r
对于任意时刻 t，上式均成立，故可以消去方程两边的实部。对方程（ 4.8）所有各式做同样运算，最后得时谐电磁场的复数形式为由于复数与实数两种形式的方程之间存在明显区别，方程（ 4.32）已略去所加,·” 的符号，并不会引起混淆。
4.5.3 时谐电磁场的辅助动态位由式（ 4.12a,b）和（ 4.11）得动态位的非齐次波动方程和洛仑兹条件令,方程（ 4.33）变为非齐次亥姆霍兹方程22k
在无源区（?=0,J=0），得齐次亥姆霍兹方程由洛伦兹条件式（ 4.34）可知,再由式
（ 4.9a,b）便得时谐电磁场解的复数形式
Φ =j A
2
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )j j j
k
(4.37a )
( 4,3 4 b )
B r A r
A r A rE r A r A r
【 例 4.2】 假定自由空间中时谐电磁场的电场强度瞬时值为求,（ 1）电场强度的复数形式；（ 2）磁场强度的复数形式和瞬时形式；（ 3）当 E0y=3V/m，
电场强度和磁场强度的复数值和瞬时值。
0(,) c o s ( )yyz t E t k zEa
92 1 0 3H z k = 和 时,
解：
（ 1）将 E（ z,t） 的瞬时形式改写为可知电场强度的复矢量为
（ 4.38）
（ 2）式（ 4.38）代入麦克斯韦方程的旋度式（ 4.32a），得
（ 4.39）
0(,) R e [ ( e ) e ]- j k z j tyyz t EEa
0( ) e - j k zyyzE?Ea
0
0
()
00
x y z
x x y y z z
jk z
y
j H H H
x y z
Ee
a a a
a a a
由式（ 4.39）得 的分量为零，而 的分量故得磁场强度的复数形式将复数形式,取实部,即得 的瞬时形式为
zy和aa xa
j00- k zyxk E e H
jj 0
00
00
0 j
0
( ) e e
e
- k z - k z
x y x y
y - k z
z
k
z E E
E
Z
H a a
a
j() tze?乘 以H (,)ztH
0
0
(,) R e [ ( )e ] c o s ( )yjt x Ez t z t k zZH H a
（ 3）已知 的值为求得波阻抗代入数字计算，最后得
00和
79
00
14 1 0 H / m 1 0 F / m
36
，
7
0
0 19
0
4 10 120
( 36 ) 10Z
j
3
j
3
9
9
( ) 3 e ( )
1
( ) e ( )
40
(,) 3 c os( 2 10 ) ( )
3
1
(,) c os( 2 10 ) ( )
40 3
z
y
z
x
y
x
z
z
z t t z
z t t z
V/m
A/m
V/m
A/m
Ea
Ha
Ea
Ha
4.5.4 时谐电磁场的复坡印廷定理
● 瞬时形式
1．坡印廷矢量的三种表示形式可得
（ 4.41）
00
(,) (,) (,)
[ (,) (,) ] c o s ( ) c o s ( )eh
t t t
t t t t
S r E r H r
E r H r
1c o s c o s [ c o s ( ) c o s ( ) ],
2
,eht - t -
利 用 三 角 函 数 公 式并 令 和 得
2 ( ) ( ),e h e ht和 式 （ 4.41 ） 变 为问题：在功率运算中为什么不能采用瞬时形式？
麦克斯韦方程是线性方程，其解要求满足线性叠加性，
而在 S（ r,t） 中涉及 的功率运算，其运算结果中出现的 二次谐波是 非线性项,违背了时谐量运算的线性要求，
需寻求其他表示法。
2ωt
对周期函数在一个周期 内对时间 dt 取积分，得
S（ r,t） 的 时间平均值,或 时均形式
2πT
ω?
EH
● 时均形式
001(,) ( ) ( ) c o s( ) c o s( 2 )2 e h e ht r r t ( 4,4 2 a )S r E H
上式右边倍频余弦项在一个周期内积分的时均值为零，使该式变为与时间无关的恒定量。取时均值消除了二次谐波，满足了时谐场的线性叠加要求。
● 复数形式为避免时均形式的积分运算困难，也可采用复数共轭运算消除二次谐波。
问题：为什么采用复数共轭运算可以消除二次谐波的非线性项？
观察
*
( ) ( )
( ) ( ) 1
j t j t j 2 t
j t j t
e e e
ee
E r H r
E r H r
:
:
2．坡印廷矢量三种形式的关系上式表示 坡印廷矢量的复数形式等于其时均形式之半 。
所以,能流密度矢量用复数值和时均值表示是等效的，但复数形式比时均形式更简单 。
3．复坡印廷定理应用取复数共轭的方法，式（ 4.17a,b）写为利用式（ 4.42c）和（ 4.44a,b），可将式（ 4.21b）
写为或
【 例 4.3】 已知无源空间区域电场强度的瞬时值求：（ 1）复坡印廷矢量；（ 2）时均坡印廷矢量。
s i n c o syox z t E a x t k z，,Ea
解：
将上式改写为复数形式由
0(,) s in e - j k zyx z E a x?Ea
( ) j ( ) 可 得E r H r
00(,) si n e c os e- jk z - jk z
xz
k E aEx z ax j ax
H a a
（ 1）复坡印廷矢量 *
2
200
2
200
1
(,) [ (,) (,) ]
2
1
[ si n j si n c o s ]
2
si n j si n c o s
2
y x y z
zx
x z x z x z
k E a E
a x a x a x
k E a E
a x a x a x
S E H
a a a a
aa
（ 2）时均坡印廷矢量
2
20(,) 2 R e (,) s in
a v z
kEx z x z a x
S S a
4.6 动态场的应用阅读材料：自学或选讲。
选讲用图：
4.7 麦克斯韦和麦克斯韦理论建立的意义阅读材料：自学。
4,1 静态场方程在时变条件下的推广
4,2 辅助动态位
4,3 时变电磁场的边界条件
4,4 时变电磁场的能量、能流和能量守恒定律
4,5 时谐电磁场
4,6 动态场的应用
4,7 麦克斯韦和麦克斯韦理论建立的意义第四章 动态场在静止电荷和稳恒电流产生的静态场中，其电场和磁场相互无关，彼此独立存在，称为静态电、磁场。在时变电流产生的动态场中，变化磁场能激发电场，变化电场也能激发磁场，
电场和磁场构成了不可分割的统一整体，称为时变电磁场。一般时变电磁场可以随时间做任意变化，它能够分解为时谐电磁场的线性叠加。随时间做特殊的时谐（稳态正弦或余弦）变化的场称为时谐电磁场。
本章在时变条件下将仅有空间变化的静态场基本方程进行修正，引出涡旋电场概念和位移电流假设，进而推广为具有时空变化的动态场基本方程 —— 麦克斯韦方程。 在此基础上讨论动态场应用中的重要问题：辅助动态位、时变电磁场的边界条件、时变电磁场的能量、能流和能量守恒定律、
时谐电磁场、动态场的应用。最后介绍麦克斯韦和麦克斯韦理论建立的意义。
问题：如何推广静态场基本方程？
4.1.1 法拉第电磁感应定律的启示 — 涡旋电场实验观察发现 电磁感应现象,穿过导体回路的磁通量随时间变化，会在导体回路中引起感应电动势和感应电流。
4.1 静态场方程在时变条件下的推广静态场基本方程麦克斯韦深入研究电磁感应现象后得到新的启示：唯有电场才能在导体回路上引起感应电流，而这个电场正是由变化磁场激励的感应电场，它与导体回路的存在无关。
对静止导体回路，由式（ 2.44）和（ 2.45a）
利用斯托克斯定理得
Ein—— 涡旋电场（变化磁场产生的感应电场，他是非保守的有旋场）。
式（ 4.2）中将保守的静电场 EC考虑进去，其合成场
，得
c inE E E
看出静态场方程（ 4.1a）在时变条件（ ）下，只须加上修正项 （激励涡旋电场的旋涡源），即推广为动态场方程。
0t
t
B
4.1.2 问题的提出 — 位移电流问题：既然变化磁场能产生涡旋电场，那么变化电场能否产生磁场呢？图 4.1中接交变电源的电容器的断路回路上为什么存在传导电流？
看出静磁场的安培环路定理不满足普适的电流连续性原理，如何解决这个矛盾？
图 4.1（ b）中穿过 S1的导线上存在 J，而穿过电容器极板间的 S2中不存在 J，但交变电流在极板上形成的交变电荷土 Q
要产生交变的电场变化,麦克斯韦将这个附加项考虑进去，
得
t
D
t
DHJ
两边取散度，得
()ttJD
比较
( ) 0
t
取 散 度
J
H J J H
满足电流连续性原理。
令附加假设项为位移电流加于式（ 4.1a）右边，得动态场的全电流定律看出静态场方程（ 4.1b）在时变条件（ ）下，只需加上修正项 （激励有旋磁场的漩涡源）,即推广为动态场方程。
0t
t
D
4.1.3 动态场基本方程 —— 麦克斯韦方程
● 麦克斯韦方程由静态场方程推广而成的动态场方程，构成麦克斯韦理论的核心，是宏观电磁理论的普适性方程。
● 电荷守恒定律和本构方程式（ 4.7a～ e）构成一个完备方程组，它完量描述了场量、
源量和媒质间的相互作用规律和转化关系，全面反映了电磁场与波的基本性质和普遍的运动规律，是宏观电磁理论的基础，
所有的电磁现象都可以由它得到说明。
4.2 辅助动态位
4.2.1 时变电磁场的标量电位和矢量磁位由麦克斯韦方程引入辅助动态位可简化分析和计算。已知
（ 1）由磁场的无散性引入矢量磁位将方程（ 4.8d）与矢量恒等式 对比,令,得
（ 4.9a）
式中 A为时变电磁场的矢量磁位。
FA
BA
( ) 0F
（ 2）将电场的旋度式变为无旋性方程式（ 4.9a）代入方程（ 4.8a），得将电场的旋度式变为无旋性方程
（ 4.9b）
t
AE
( ) 0tAE
建立辅助动态位与电磁场量微分关系的步骤：
（ 3）由电磁场的无旋性引入标量电位将式（ 4.9b）与矢量恒等式 对比，令,得
，写为
（ 4.9c）
0u u
t?
AE
t?
AE
式中,为时变电磁场的标量位。
4.2.2 时变电磁场动态位的波动方程先由动态位的波动方程解得动态位，再由位场关系得到时变场量。方法是用位场关系代入麦克斯韦方程，以动态位置换时变场量后，得到动态位的波动方程。
将式（ 4.9c）代入方程（ 4.8c），并交换?和 的运算次序，得
（ 4.10a）
()t
2 ()
t
A
再将式（ 4.9a,c）代入方程（ 4.8b），并利用式（ 4.8e，
f），可得应用矢量恒等式,令 F=A，移项整理后，得
（ 4.10b）
tt
AAJ
2()F F F
22
2 () tt
AA J A
按亥姆霍兹定理,A只取了旋度，尚未确定其散度，方程（ 4.10）的解具有多值性。
问题：如何得动态位波动方程的单值解？按什么原则选择 A的散度之值？
选择 等于,可 分离 和 简化 方程（ 4.10）。令A
t
得动态场方程与静态场方程的区别：动态场方程中比静态场方程多了一突变量 和,这个方程的附加项在边界面上为 有限量 。表明跨边界面闭合回路所围面积 ds趋于零时，附加项与无限小面积元点积的积分零。方程（ 4.7a,b）中的附加积分项为零。例如
tD t
B
li m li m 0nss o s odstt DDSa
4.3 时变电磁场的边界条件
4.3.1 边界条件的一般形式边界面上场量在时间变化上的突变性不会影响原来边界条件形式的改变，得
4.3.2 边界条件的特殊形式理想介质 —— 电导率极小的低耗介质（?,?为实数,?=0）；
理想导体 —— 电导率极大的良导体（? =?）。
● 不同理想介质边界面（?s=0,J=0）：
● 理想介质和理想导体边界面（?s≠0,J≠0）：
SJuv
4.4 时变电磁场的能量、能流和能量守恒定律在均匀、线性和各向同性媒质中，已知静电场的能量密度
（单位体积电场能量）、静磁场的能量密度（单位体积磁场能量）和稳恒电场损耗功率密度（单位体积损耗电能）为
4.4.1 时变电磁场的能量
（ 4.16a）
（ 4.16b）
（ 4.16c）
21( ) ( )
2e Errw
21( ) ( )
2e Hrrw
2( ) ( )pErr
将静态场公式（ 4.16）推广到时变电磁场中，有
（ 4.17a）
（ 4.17b）
22
(,) (,) (,)
1
[ (,) (,) ]
2
emt t t
E t H t
r r r
rr
w w w
2(,) (,)p t E trr
4.4.2 时变电磁场的能流和坡印廷矢量为了描述时变电磁场能量流动的大小和方向，引入能量流动密度矢量，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的能量，
或重直穿过单位面积的功率，其方向为能量流动的方向，所以能量流动密度矢量（或能流密度矢量）又称为功率流密度矢量，
通常称为 坡印廷矢量由式（ 4.18）可知,S 和 E,H相互正交，且成右旋关系，
如图 4.2所示。 S的单位为 W/m2（瓦特 /米 2）。
（ 4.18）
(,) (,) (,)t t tS r E r H r
4.4.3 时变电磁场的能量守恒定律 —— 坡印廷定理已知麦克斯韦方程的旋度式代入恒等式经运算得（？）
( ) ( ) ( )E H H E E H
式（ 4.20）称为时变电磁场坡印廷定理的微分形式。它表示媒质空间某点能流密度的空间减少率转化为该点电磁能量密度的时间增长率与电磁损耗功率密度之和。
图 4.3表示由曲面 S 包围的有限媒质空间体积 V。将式（ 4.20）
两边在体积 V上进行积分，并利用散度定理可得式（ 4.21a,b）称为时变电磁场坡印廷定理的积分形式。
它表示进入有限媒质空间体积的电磁能流转化为该体积内电磁能量随时间的增长率与电磁损耗功率之和。也可以说，它表示单位时间内流入有限媒质空间体积的电磁能量转化为该体积内电磁储能的增量与损耗的电磁能量。
VSd V dF F S
【 例 4.1】 一段长直圆柱导体上通过稳恒电流 I。假设导体半径为 a，长度为 l，电导率为?，如图 4.4所示。（ 1）求导体表面附近的坡印廷矢量；（ 2）求导体的损耗功率。
解：
（ 1）选择圆柱坐标系，令圆柱轴线为圆柱坐标系的 z轴，
则导体内的稳恒电流场和稳恒电场为
2z
IJ
azzJ a a
利用电场切向分量的边界条件可知 E内 =E外,得利用安培环路定理，可以求出导体内、外的磁场强度为
2
I
a内 z
JEa
2
I
a外 zEa
看出坡印廷矢量的方向处处沿径向指向导体轴线。
（ 2）在导线表面 处，,沿圆柱导体表面对 S求面积分，利用,有
a 2
232r
I
aSa
lR
S
2
23d d 22ss
IS a l
a
S S S a
22
2()
lI I R
a
式中,表示半径为,长度为 的圆柱导体的电阻。进入导体的稳恒电场能流转化为导体的电能损耗功率，完全服从坡印廷定理。
2/ ( )R l a a l
4.5 时谐电磁场时谐电磁场 —— 场强方向与时间无关，而场强大小仅按角频率随时间作正弦或余弦变化的稳态正弦或余弦电磁场。
问题：为什么在工程应用中常采用时谐电磁场求解电磁问题？
● 电路理论的复数表示法沿 z向传输随时间 t作余弦（或正弦）变化的电压（或电流）是一维标量瞬时值
4.5.1 时谐电磁场的复数表示法
0(,) ( ) c o s ( )u z t U z t
式中 为振幅,为角频率,?为余弦初相位。
0()Uz 2 f
为简化运算，引入具有实、虚轴的复平面，并以欧拉公式为基础，建立复数运算法，将具有时空变化的瞬时值运算转化为仅具空间变化的复数值运算。
在 中令,上式改写为式中
c o s s injxe x j x xt
0(,) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]j j t j tou z t U z e e U z e
( ) ( ) joU z U z e&
称为 复振幅（复标量） 。它表示物理量的振幅和初相位只有空间变化关系，与具有时间变化的时间变化和时谐因子实施了时空分离。 所以 只需对复振幅进行运算，再将结果乘以,并取实部（或虚部），即可得相应的瞬时值。
jt?
jte?
● 电磁场理论的复数表示法在一定条件下，复数表示法可从电路理论推广到电磁场理论中。
在直角坐标系中，取 i=x,y和 z,E 的分量形式
（ 4.22）(,,,) (,,,) (,,,) (,,,)
x x y y z zx y z t E x y z t E x y z t E x y z tE a a a
式中沿 ax,ay和 az方向的标量分量可以写成时谐场的瞬时形式
（ 4.23a）
（ 4.23b）
（ 4.23c）
0(,,,) ( ) c o s [ ( ) ]x x zE x y z t E r t r
0(,,,) ( ) c o s [ ( ) ]y y yE x y z t E r t r
0(,,,) ( ) c o s [ ( ) ]z z zE x y z t E r t r
按欧拉公式将式（ 4.23）写成如下指数形式
（ 4.24a）
（ 4.24b）
（ 4.24c）
() j0(,) R e ( ) xjr txxE t E r e er
() j0(,) Re ( ) yjr tyyE t E r e er
() j0(,) R e ( ) zjr tzzE t E r e er
定义
（ 4.25a）
（ 4.25b）
（ 4.25c）
()0( ) ( ) xjrxxE r E r e&
()0( ) ( ) yjryyE r E r e&
()0( ) ( ) zjrzzE r E r e&
则式（ 4.24）可以写成
（ 4.26a）
（ 4.26b）
（ 4.26c）
(,) R e [ ( ) ]jtxxE r t E r e &
(,) R e [ ( ) ]jtyyE r t E r e &
(,) R e [ ( ) ]jtzzE r t E r e &
式中,和 称为,和 的 复标量 。
式（ 4.26a～ c）分别乘 ax,ay和 az相叠加，即可将式（ 4.22）按复数形式合成为如下瞬时形式
()xEr& ()yEr& ()zEr& (,)xE r t (,)
yE r t
(,)zE r t
（ 4.27）
（ 4.28）
(,) R e [ ( ) ( ) ( ) ]
R e [ ( ) ]
jt
x y z
jt
E t E r E r E r e
E r e
g
& & &
x y zr a a a
( ) ( ) ( ) ( )x y zE E r E r E r& & & &x y zr a a a
是时谐电场瞬时形式 E（ r,t） 的 复矢量 。
问题：推广复数法的“一定条件”是指什么？为什么？
对于任意时谐场矢量或位矢量，可以用 F将式（ 4.27）
和（ 4.28）推广为如下一般形式
3
1
3
1
(,) (,)
R e [ ( )]
R e[ ( ) ]
i
i
jt
i
i
jt
t F t
Fe
e
g
&
i
i
F r a r
ar
Fr
（ 4.29）
式中
（ 4.30）33
()
0
11
( ) ( ) ( ) jri i
ii
F F F e?
gg iir a r a r
式中,是 Fi（ r,t） 的 复标量,是 F(r,t)的 复矢量 。其中
(r)不能写成? i(r)，表示 Fi(r)的各初相位相等。
()iF r&
在时谐电磁场中，对空间的导数可用复数形式表示，交换?与 Re的顺序后，得
（ 4.31a）j(,) R e [ ( ) ]tteF r F r&
t
对时间的导数则交换 与 Re的顺序，得
（ 4.31b）
j
j
(,)
R e [ ( ) ]
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]
t
j t t
t
e
tt
e j e
t
Fr
Fr
F r F r
&
&&
()&Fr
式（ 4.31b）表明时谐场对时间的微分用复数形式来表示时，
相当于将 代换为 j?；同理可知，对于积分，则相当于将代换为 1/j?。
4.5.2 时谐电磁场的麦克斯韦方程和本构方程式（ 4.31a,b）应用于时变电磁场方程（ 4.8），可以转化为时谐电磁场的复数形式。例如，对方程（ 4.8a），可做如下运算
t dt?
j
j
R e [ ( ) ] R e [ j ( ) ]
R e [ ( ) ] R e [ j ( ) ]
t j t
t j t
ee
&&E r B r
E r B r
对于任意时刻 t，上式均成立，故可以消去方程两边的实部。对方程（ 4.8）所有各式做同样运算，最后得时谐电磁场的复数形式为由于复数与实数两种形式的方程之间存在明显区别，方程（ 4.32）已略去所加,·” 的符号，并不会引起混淆。
4.5.3 时谐电磁场的辅助动态位由式（ 4.12a,b）和（ 4.11）得动态位的非齐次波动方程和洛仑兹条件令,方程（ 4.33）变为非齐次亥姆霍兹方程22k
在无源区（?=0,J=0），得齐次亥姆霍兹方程由洛伦兹条件式（ 4.34）可知,再由式
（ 4.9a,b）便得时谐电磁场解的复数形式
Φ =j A
2
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )j j j
k
(4.37a )
( 4,3 4 b )
B r A r
A r A rE r A r A r
【 例 4.2】 假定自由空间中时谐电磁场的电场强度瞬时值为求,（ 1）电场强度的复数形式；（ 2）磁场强度的复数形式和瞬时形式；（ 3）当 E0y=3V/m，
电场强度和磁场强度的复数值和瞬时值。
0(,) c o s ( )yyz t E t k zEa
92 1 0 3H z k = 和 时,
解：
（ 1）将 E（ z,t） 的瞬时形式改写为可知电场强度的复矢量为
（ 4.38）
（ 2）式（ 4.38）代入麦克斯韦方程的旋度式（ 4.32a），得
（ 4.39）
0(,) R e [ ( e ) e ]- j k z j tyyz t EEa
0( ) e - j k zyyzE?Ea
0
0
()
00
x y z
x x y y z z
jk z
y
j H H H
x y z
Ee
a a a
a a a
由式（ 4.39）得 的分量为零，而 的分量故得磁场强度的复数形式将复数形式,取实部,即得 的瞬时形式为
zy和aa xa
j00- k zyxk E e H
jj 0
00
00
0 j
0
( ) e e
e
- k z - k z
x y x y
y - k z
z
k
z E E
E
Z
H a a
a
j() tze?乘 以H (,)ztH
0
0
(,) R e [ ( )e ] c o s ( )yjt x Ez t z t k zZH H a
（ 3）已知 的值为求得波阻抗代入数字计算，最后得
00和
79
00
14 1 0 H / m 1 0 F / m
36
，
7
0
0 19
0
4 10 120
( 36 ) 10Z
j
3
j
3
9
9
( ) 3 e ( )
1
( ) e ( )
40
(,) 3 c os( 2 10 ) ( )
3
1
(,) c os( 2 10 ) ( )
40 3
z
y
z
x
y
x
z
z
z t t z
z t t z
V/m
A/m
V/m
A/m
Ea
Ha
Ea
Ha
4.5.4 时谐电磁场的复坡印廷定理
● 瞬时形式
1．坡印廷矢量的三种表示形式可得
（ 4.41）
00
(,) (,) (,)
[ (,) (,) ] c o s ( ) c o s ( )eh
t t t
t t t t
S r E r H r
E r H r
1c o s c o s [ c o s ( ) c o s ( ) ],
2
,eht - t -
利 用 三 角 函 数 公 式并 令 和 得
2 ( ) ( ),e h e ht和 式 （ 4.41 ） 变 为问题：在功率运算中为什么不能采用瞬时形式？
麦克斯韦方程是线性方程，其解要求满足线性叠加性，
而在 S（ r,t） 中涉及 的功率运算，其运算结果中出现的 二次谐波是 非线性项,违背了时谐量运算的线性要求，
需寻求其他表示法。
2ωt
对周期函数在一个周期 内对时间 dt 取积分，得
S（ r,t） 的 时间平均值,或 时均形式
2πT
ω?
EH
● 时均形式
001(,) ( ) ( ) c o s( ) c o s( 2 )2 e h e ht r r t ( 4,4 2 a )S r E H
上式右边倍频余弦项在一个周期内积分的时均值为零，使该式变为与时间无关的恒定量。取时均值消除了二次谐波，满足了时谐场的线性叠加要求。
● 复数形式为避免时均形式的积分运算困难，也可采用复数共轭运算消除二次谐波。
问题：为什么采用复数共轭运算可以消除二次谐波的非线性项？
观察
*
( ) ( )
( ) ( ) 1
j t j t j 2 t
j t j t
e e e
ee
E r H r
E r H r
:
:
2．坡印廷矢量三种形式的关系上式表示 坡印廷矢量的复数形式等于其时均形式之半 。
所以,能流密度矢量用复数值和时均值表示是等效的，但复数形式比时均形式更简单 。
3．复坡印廷定理应用取复数共轭的方法，式（ 4.17a,b）写为利用式（ 4.42c）和（ 4.44a,b），可将式（ 4.21b）
写为或
【 例 4.3】 已知无源空间区域电场强度的瞬时值求：（ 1）复坡印廷矢量；（ 2）时均坡印廷矢量。
s i n c o syox z t E a x t k z，,Ea
解：
将上式改写为复数形式由
0(,) s in e - j k zyx z E a x?Ea
( ) j ( ) 可 得E r H r
00(,) si n e c os e- jk z - jk z
xz
k E aEx z ax j ax
H a a
（ 1）复坡印廷矢量 *
2
200
2
200
1
(,) [ (,) (,) ]
2
1
[ si n j si n c o s ]
2
si n j si n c o s
2
y x y z
zx
x z x z x z
k E a E
a x a x a x
k E a E
a x a x a x
S E H
a a a a
aa
（ 2）时均坡印廷矢量
2
20(,) 2 R e (,) s in
a v z
kEx z x z a x
S S a
4.6 动态场的应用阅读材料：自学或选讲。
选讲用图：
4.7 麦克斯韦和麦克斯韦理论建立的意义阅读材料：自学。
