目 录
2,1 源量的定义和定律
2,2 静止电荷的实验定律
2,3 稳恒电流的实验定律
2,4 时变电流的实验定律第二章 电磁实验定律和场量基本方程基于观察和实验总结的电磁实验定律是建立和发展电磁理论的基础。本章基于电磁实验定律及对源量和基本场量的定义，综合和抽象出自由空间（或真空）中反映源量和场量相互作用规律及转化关系的场量基本方程。带电体电磁结构的变化状态确定了它所产生场的变化状态,
本章在介绍源量的变化规律基础上，依次介绍静止电荷、稳恒电流和时变电流的三大实验定律及自由空间中的场量基本方程。
2.1 源量的定义和定律
2.1.1 电荷和电荷分布
1．电荷微粒物质构成的带电体所带电量的多少称为 电荷量,其值为电子电荷的整数倍,（库仑）。自然界存在两种电荷,正电荷和负电荷。
191,6 0 2 1 0eC
2．体电荷密度图 2.1（ a）表示连续分布于体积 内的电荷量,
当 收缩至源点 时，定义 内 处的 体电荷密度 为比值极限
'V?
'r
q?
'V? 'V? 'r
单位为 。 内总电量
3Cm 'V
0
dl i m ( 2,1 )
dV
qq
VV
()r
= d ( 2,2 )Vq ρ ( ' ) V r
单位为 。 上总电量
3．面电荷密度图 2.1（ b）表示连续分布于面积 上的电荷量,当收缩至源点 时，定义 上 处的 面电荷密度 为比值极限
S?3Cm
S q?
Sr Sr
d( ' l i m ( 2,3 )
ds S
qqρ
S ' S '
) r Δ→ 0
( ) d ( 2,4 ) SSq r S
4．线电荷密度图 2.1（ c）表示连续分布于曲线 上的电荷量,
当 收缩至源点 时，定义 上 处的 线电荷密度 为比值极限
l q?
r Sr
单位为 。 上总电量Cm 'l
l
0
d( ) l i m ( 2,5 )
dl l
qq
ll
r
( ) d ( 2,6 )llql r
在连续分布的极限情况下，上式变为对体电荷密度取体积分的形式。
5．点电荷当观察点与带电体的距离远大于带电体尺度时，可将 点电荷 视为体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限，其总电量完全集中于球心处。带电体可想像为几何点。
空间区域中的总电量 q可离散为 N个点电荷电量 的叠加形式
()iiqr?
1
( ) ( ) ( 2,7 )
N
ii
i
q r q r
2.1.2 电流和电流密度
1．电流电荷作定向运动，形成 电流,其大小用电流强度来表示。
若时间 内通过截面 S的电荷量为,则定义 时通过 S的电流强度为比值极限单位为 A（安培）。
q?t? 0t
0
dl i m ( 2,8 )
dt
qqi
tt
2．体电流密度电流密度矢量 —— 其大小为通过某点单位面积的电流强度，其方向为垂直该点所在面积的法线方向。
体电流 —— 电荷在某体积内定向运动形成的电流。
图 2.2（ a）表示某点 体电流密度矢量 的大小为通过该点导体截面 的单位面积电流，其方向为该点正电荷运动的方向,其比值极限
'S?
na
0
dl i m ( 2,9 )
dnns
ii
SS
J a a
单位为 A/m2（安 /米 2）。
通过任意截面 S 的电流
d ( 2,1 0 )Si JS
单位为 （安 /米）。
面电流 —— 电荷在某薄层面积上定向运动形成的电流。
图 2.2（ b）表示某点 面电流密度矢量 的大小为通过该点导体截线 的单位长度电流，其方向为该正电荷运动的方向,其比值极限
A/m
通过任意有向截线 的电流矢量 指向所在点 的切线方向。?dnl
SJ
l
na
l
0
dl i m ( 2,1 1 )
ds n nl
ii
ll
J a a
( d ) ( 2,1 2 )Sli J n l
3．面电流密度
4．线电流密度线电流 —— 电流在某细导线上定向运动形成的电流。
线电流可以认为是集中于细导线轴线上流动。
2.1.3 电荷守恒定律与电流连续性方程电荷守恒性 —— 电荷不能自生自灭，只能在物体内不同区域、或不同物体间转移。
电荷守恒定律 —— 在一个无外界电荷交换的闭合系统内，
正、负电荷的代数和在任何电磁过程中均保持不变。
基于电荷守恒定律可以导出电流连续性方程的积分形式和微分形式（见图 2.3）
利用散度定理可由式（ 2.14）导出式（ 2.16）。式
（ 2.14）表示有限区域内电荷量的时间减少率转化为穿出有限区域界面的电流，式（ 2.16）表示某点体电荷密度的时间减少率转化为该点体电流密度的空间增加率。
d d ( 2,1 4 )
( ) d 0 ( 2,1 5 )
sV
V
V
t
V
t
t
应 用 散 度 定 理,得有
JS
J
J ( 2,1 6 )
2.2 静止电荷的实验定律
2.2.1 库仑和库仑定律的建立阅读材料：自学。
2.2.2 库仑定律和电场强度库仑定律描述自由空间中两个静止点电荷 和 （ 探测静电力的试验电荷 ） 的相互作用力 F与距离 R的平方成反比,与电量乘积 成正比 （ 见图 2.4）
0qq
q 0q
0
2
0
1
4
qq
FK
R
K
(2,17)
在 SI 国 际 单 位 制 中,取 比 例 系 数 =,得单位为 N（牛顿）。
00
23 = ( 2,1 8 )4 ε 4 εF a R R
q q q q
RR
应用库仑定律需注意下面几点：
（ 1）应用库仑定律的条件是 自由空间（或真空）、静止和点电荷 。这里所指点电荷不是几何点，而是物理点，
即带电粒子的尺度比它们间的距离小很多时，可以忽略其尺度，近似看做物理点；
（ 2）公式中 q和 q0交换位置不影响作用力的大小，但方向相反，与牛顿第三定律一致；
（ 3）当带电粒子的电荷为任意离散形式或连续形式分布时，库仑定律应结合叠加原理来应用。
点电荷间的作用力是一个点电荷产生的 电场 对另一个点电荷的作用力。 静止电荷在周围空间产生的电场称为静电场 。
问题：用试验点电荷 q0探测点电荷 q对 q0的静电力时，
这个作用力是如何传递的？是否存在一种传递媒介？
引入 电场强度 定量描述静电场的特性，定义为单位为 V/m（伏 /米）。
对 N个离散点电荷的电场，由叠加原理得
0
3
00
= ( 2,1 9 )4 εFER qqqR
对连续分布的带电体，其分布函数为,,
则可将带电体离散为无数点电荷的叠加，取积分形式
rSl和rr
31
0
()( ) ( 2,2 0 )
4 ε ||
N
ii
i i
q
rrEr
rr
3
0
3
0
3
0
()1
( ) ( ) d ( 2.21 )
4 ε ||
()1
( ) ( ) d ( 2.22 )
4 ε ||
()1
( ) ( ) d ( 2.23 )
4 ε ||
i
V
i
i
S
S
i
i
l
l
i
V
V
V
rr
E r r
rr
rr
E r r
rr
rr
E r r
rr
2.2.3 静电场基本方程
1、静电场的通量和散度在原点,积分相当于式（ 2.19）的的 的点积。22( 4 )
r o o r= q r r与E a S a
0'=?处r R r
● 静电场的通量（高斯定理的积分形式）
图 2.5表示点电荷产生的电场强度，穿过以点电荷为心的球面 S0，其电通量
0 0
d ( 2.24 )
S
q
ES
包围 S0作任意闭曲面 S，穿过 S0的电力线也必定全部穿过 S，即穿过任意闭曲面通量的有效值相当于在球面上的投影，
上式推广为
0
d ( 2,2 5 )
s
qES
S内含 N个点电荷或电荷体密度为 时，得()? r
1
0
d ( 2,26 a )
( ) d
( ) d ( 2,26 b)
N
i
s
i
V
s
q
V?
ES
r
E r S
看出自由空间中电场强度穿过任意闭曲面的电通量等于曲面内净电量与 的比值。
● 静电场的散度（高斯定理的微分形式）
利用散度定理，由式（ 2.26）导出
0?
0
() ( ) ( 2,2 7 )?
rEr
【 例 2.1】 如图 2.6所示，电荷均匀分布在半径为 a的金属球表面 S0上，带电球的面电荷密度为,求空间各点处的电场强度。
看出自由空间中某点电场强度的散度等于该点电荷密度与之比。
s?
应用高斯定理可求电荷或电力线具有特殊对称性（球、柱、
面对称）分布的问题。
0?
解：
电荷及其场具有球对称分布，应用高斯定理求场。包围带电球作同心球形高斯面，作高斯面的原则是要确保面上场强为常数（取高斯面与电力线正交或平行），此时场强可从积分符号内提出，复杂的积分式变为简单的代数式
0 0 0
d | | = εs QS E S E
式中,S0 是其法线与 E平行的球面,Q是球面上总的静电量。在处,Q为零，电场强度也为零；在 处，,而 <ra > ra
0
2 d 4r
s Er ES
= 4 2 sQ a
故由高斯定理得
2
22
00
= = 4 ε ε sr aQE r arr，
场强方向由 知，应沿球的径向。
rr=EEa
2．静电场的环量和旋度
● 静电场的环量图 2.7表示点电荷产生的电场强度，沿着以点电荷为圆心的圆周线 积分，则其环量
200( 4 ) 2rtq r r 与E a l a
积分相当于式 （ 2.19） 的的点积 。
0l
0
d 0 ( 2,2 8 )l El
包围 l0作任意闭曲线 l，沿圆周线切线方向的电力线数全部为零，同样电力线数沿任意闭曲线穿过的切线方向部分的代数和也必定为零，亦即沿任意闭曲线环量的有效值相当于在圆周上的投影，上式推广为
d 0 ( 2,3 0 )l El
● 静电场的旋度利用斯托克斯定理，由式（ 2.30）导出
( ) 0 ( 2,3 1 )Er
看出 静电场是无旋场，不存在旋涡源 。
静电场的基本性质
（ 1）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场；
（ 2）静电场是有源无旋场。
2.3 稳恒电流的实验定律
2.3.1 安培和安培定律的建立阅读材料：自学。
2.3.2 安培定律和磁感应强度稳恒电流 — 电荷作匀速运动、形成不随时间而变化的电流。
安培定律描述自由空间中两个稳恒电流元 和
（探测静磁力的检验线圈的电流元）的相互作用力 F与距离
R的平方成反比，与电流量乘积成正比；作用力的方向由两电流元和它们的相互距离三者的取向按右旋关系来确定。
对于两个稳恒电流导体回路，可理解为无数电流元叠加所形成，安培定律的数字表达式可以写成矢量积分形式
（见图 2.8）
dI l 0 d 0I l
0
0 0 0
2
d ( d ) ( 2,3 2 )
4
R
ll
I?
l I l aF
R
稳恒电流间的作用力是一个稳恒电流产生的 磁场 对另一个稳恒电流的作用力。 稳恒电流在周围空间产生的磁场不随时间变化，称为静磁场。
引入 磁感应强度 定量描述静磁场的特性，定义为
0
0
0
00 2
00
0
2
d
d
4
d (2.3 3 )
d
( 2,34)
4
R
l
l
l
R
l
I
I
R
la
F I l
R
I l B
la
B
式 (2.34)称为 毕奥一萨伐尔定律 。 B的单位为 T（特斯拉）
或 wb/m2（韦伯 /米 2）。
对连续分布的载流导体，其分布函数为 和,考虑到则可将载流导体的磁场表示为积分形式
d ( d d ) dd IJ V S l I lS
()?Jr ()S?Jr
0
3
0
3
0
3
d ( )
( ) ( 2,3 5 )
4 | |
( ) ( )
( ) d ( 2,3 6 )
4 | |
( ) ( )
( ) d
4 | ' |
l
V
S
S
I
V
S
l r r
Br
rr
J r r r
Br
rr
J r r r
Br
rr
( 2.3 7)
【 例 2.2】 求无限长直载流导线的直流电流 I 在周围产生的磁感应强度，如图 2.9所示。
ddz zla
解：
这是最简单的载流导体，可以应用式（ 2.35）来计算。为了便于计算，应当采用圆柱坐标系、设电流沿 z轴正向，由于圆柱对称，场的变化与 无关；三维问题退化为二维问题。无限长可以理解为有限长的极限问情况。因此，首先求有限长直载流导线的磁场。图中坐标原点已将导线长度等分。由于载流线段与 z轴重合，导线微分元长度,故电流元 z
至场点 p的位置矢量为
2 '
d ' d ' ( ')
d '
z r z
z
zz
z
r a a
l r a a a
a
代入式中（ 2.35），得
00
2 2 3 / 2 22
'
4 ( ' ) 2
L
L
I I Ldz
z L
B a a
对于无限长直导线，,故 。上式简化为L L?
0
2
I
Ba
2.3.3 静磁场基本方程
1．静磁场的通量和散度
2( / 2 ) 4o o rI r r 与B a S a
● 静磁场的通量（静磁场高斯定理的积分形式）
图 2.9表示载流长直导线产生的磁场，穿过以坐标原点为心的球面 S0，其磁通量积分相当于 的点积。上式可推广到任意分布电流产生的磁场，穿过任意闭曲面 S的通量也满足
0
d 0 ( 2,3 8)S B S
看出自由空间中磁感应强度穿过任意闭曲面的磁通量为零，磁力线是无头无尾的闭曲线。
● 静磁场的散度（静磁场高斯定理的微分形式）
利用散度定理，由式（ 2.39）导出看出自由空间中某点的静磁场无散度源。
( ) d 0 ( 2,3 9 )S B r S
( ) 0 ( 2,4 0 )Br
2．静磁场的环量和旋度图 2.9表示载流长直导线产生的磁场，沿着以坐标原点为心的圆周线 积分，则其环量
( / 2 ) 2ooI 与B a l a
积分相当于 的点积。上式可推广于任意分布电流的磁场沿环绕电流的任意闭曲线 l 积分，其环量
● 静磁场的环量（安培环路定理的积分形式）
0l
0 0
d ( 2,41)l B l I
0( ) d ( 2,4 2 )l B r l I
● 静磁场的旋度（安培环路定理的微分形式）
利用斯托克斯定理，由式（ 2.42）导出静磁场的基本性质
（ 1）静磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的；
（ 2）静磁场是无源有旋场。
看出 静磁场是有旋场，稳恒电流是静磁场的旋涡源 。
0 ( ) ( 2,4 3 )B r J
应用安培环路定理可求电流或磁力线具有特殊对称性
（柱对称）分布的问题。
【 例 2.3】 半径为 a的无限长直导体通有稳恒电流 I，求导体内、外的磁感应强度，如图 2.10所示。
解：
电流及其场具有柱对称分布，
应用安培环路定理求场。环绕电流导体圆柱作同心圆周线，作圆周线的原则是要确保线上磁感应强度为常数（取闭曲线与磁力线平行或正交），此时磁感应强度可从积分符号内提出，积分式化简为代数式
00 d | |l L B l B I
式中，周线 与电流 取向符合右旋关系。对于柱对称，应选用圆柱坐标系，场与 无关；再考虑到导体为无限长，
场与 无关，仅为 的函数。以 和 分别作圆周线 和,就能确保在由 和 确定的圆周线 和 上 和为常数。在圆柱坐标系中，,。
在 处，通过 包围面积的电流为
l I
z 1 < a? 2 > a?
1l 2l 1? 2? 1l 2l 1B 2B
BBa d dla
a 1l
22
11 2
2
1 1 1 1 1
0
1
= = =
d ( d ) = 2
l
JS
aa
BB
II
Bl
得
1
01
11 2 2
IBb
a
，B a a
a在 处，通过 包围面积的电流为 I,又知2l 22
2
22
0
22
2
d 2
2
l
I
Bb
，
B l B
B a a
得
2.4 时变电流的实验定律
2.4.1 法拉第和法拉第电磁感应定律的建立阅读材料：自学。
2.4.2 法拉第电磁感应定律当穿过闭合回路所包围的磁感应强度的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电动势，并引起感应电流；闭合回路中的感应电动势等于与回路交链的磁通量增加率的负值 （见图 2.11）
dd d ( 2,4 4 )
ddin stt
BS
若只考虑磁场随时间变化，而导体回路静止不动，式
（ 2.44）改为偏导数又知静电场 满足cE
导体内感应电流由感应电场 引起，有
inE
d ( 2,4 5 a)in S t B S
d ( 2,4 5 b )i n i nl El
c d = 0 ( 2,4 6 )l El
合成场,式（ 2.45b）和（ 2.46）叠加后代入式（ 2.45a）
c in=?E E E
看出静止回路的磁通变化会产生感应电动势，表明空间任意点存在感应电场，它与导体回路存在与否无关。
d = d ( 2,4 7 )lS t BE l S
2,1 源量的定义和定律
2,2 静止电荷的实验定律
2,3 稳恒电流的实验定律
2,4 时变电流的实验定律第二章 电磁实验定律和场量基本方程基于观察和实验总结的电磁实验定律是建立和发展电磁理论的基础。本章基于电磁实验定律及对源量和基本场量的定义，综合和抽象出自由空间（或真空）中反映源量和场量相互作用规律及转化关系的场量基本方程。带电体电磁结构的变化状态确定了它所产生场的变化状态,
本章在介绍源量的变化规律基础上，依次介绍静止电荷、稳恒电流和时变电流的三大实验定律及自由空间中的场量基本方程。
2.1 源量的定义和定律
2.1.1 电荷和电荷分布
1．电荷微粒物质构成的带电体所带电量的多少称为 电荷量,其值为电子电荷的整数倍,（库仑）。自然界存在两种电荷,正电荷和负电荷。
191,6 0 2 1 0eC
2．体电荷密度图 2.1（ a）表示连续分布于体积 内的电荷量,
当 收缩至源点 时，定义 内 处的 体电荷密度 为比值极限
'V?
'r
q?
'V? 'V? 'r
单位为 。 内总电量
3Cm 'V
0
dl i m ( 2,1 )
dV
VV
()r
= d ( 2,2 )Vq ρ ( ' ) V r
单位为 。 上总电量
3．面电荷密度图 2.1（ b）表示连续分布于面积 上的电荷量,当收缩至源点 时，定义 上 处的 面电荷密度 为比值极限
S?3Cm
S q?
Sr Sr
d( ' l i m ( 2,3 )
ds S
qqρ
S ' S '
) r Δ→ 0
( ) d ( 2,4 ) SSq r S
4．线电荷密度图 2.1（ c）表示连续分布于曲线 上的电荷量,
当 收缩至源点 时，定义 上 处的 线电荷密度 为比值极限
l q?
r Sr
单位为 。 上总电量Cm 'l
l
0
d( ) l i m ( 2,5 )
dl l
ll
r
( ) d ( 2,6 )llql r
在连续分布的极限情况下，上式变为对体电荷密度取体积分的形式。
5．点电荷当观察点与带电体的距离远大于带电体尺度时，可将 点电荷 视为体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限，其总电量完全集中于球心处。带电体可想像为几何点。
空间区域中的总电量 q可离散为 N个点电荷电量 的叠加形式
()iiqr?
1
( ) ( ) ( 2,7 )
N
ii
i
q r q r
2.1.2 电流和电流密度
1．电流电荷作定向运动，形成 电流,其大小用电流强度来表示。
若时间 内通过截面 S的电荷量为,则定义 时通过 S的电流强度为比值极限单位为 A（安培）。
q?t? 0t
0
dl i m ( 2,8 )
dt
qqi
tt
2．体电流密度电流密度矢量 —— 其大小为通过某点单位面积的电流强度，其方向为垂直该点所在面积的法线方向。
体电流 —— 电荷在某体积内定向运动形成的电流。
图 2.2（ a）表示某点 体电流密度矢量 的大小为通过该点导体截面 的单位面积电流，其方向为该点正电荷运动的方向,其比值极限
'S?
na
0
dl i m ( 2,9 )
dnns
ii
SS
J a a
单位为 A/m2（安 /米 2）。
通过任意截面 S 的电流
d ( 2,1 0 )Si JS
单位为 （安 /米）。
面电流 —— 电荷在某薄层面积上定向运动形成的电流。
图 2.2（ b）表示某点 面电流密度矢量 的大小为通过该点导体截线 的单位长度电流，其方向为该正电荷运动的方向,其比值极限
A/m
通过任意有向截线 的电流矢量 指向所在点 的切线方向。?dnl
SJ
l
na
l
0
dl i m ( 2,1 1 )
ds n nl
ii
ll
J a a
( d ) ( 2,1 2 )Sli J n l
3．面电流密度
4．线电流密度线电流 —— 电流在某细导线上定向运动形成的电流。
线电流可以认为是集中于细导线轴线上流动。
2.1.3 电荷守恒定律与电流连续性方程电荷守恒性 —— 电荷不能自生自灭，只能在物体内不同区域、或不同物体间转移。
电荷守恒定律 —— 在一个无外界电荷交换的闭合系统内，
正、负电荷的代数和在任何电磁过程中均保持不变。
基于电荷守恒定律可以导出电流连续性方程的积分形式和微分形式（见图 2.3）
利用散度定理可由式（ 2.14）导出式（ 2.16）。式
（ 2.14）表示有限区域内电荷量的时间减少率转化为穿出有限区域界面的电流，式（ 2.16）表示某点体电荷密度的时间减少率转化为该点体电流密度的空间增加率。
d d ( 2,1 4 )
( ) d 0 ( 2,1 5 )
sV
V
V
t
V
t
t
应 用 散 度 定 理,得有
JS
J
J ( 2,1 6 )
2.2 静止电荷的实验定律
2.2.1 库仑和库仑定律的建立阅读材料：自学。
2.2.2 库仑定律和电场强度库仑定律描述自由空间中两个静止点电荷 和 （ 探测静电力的试验电荷 ） 的相互作用力 F与距离 R的平方成反比,与电量乘积 成正比 （ 见图 2.4）
0qq
q 0q
0
2
0
1
4
FK
R
K
(2,17)
在 SI 国 际 单 位 制 中,取 比 例 系 数 =,得单位为 N（牛顿）。
00
23 = ( 2,1 8 )4 ε 4 εF a R R
q q q q
RR
应用库仑定律需注意下面几点：
（ 1）应用库仑定律的条件是 自由空间（或真空）、静止和点电荷 。这里所指点电荷不是几何点，而是物理点，
即带电粒子的尺度比它们间的距离小很多时，可以忽略其尺度，近似看做物理点；
（ 2）公式中 q和 q0交换位置不影响作用力的大小，但方向相反，与牛顿第三定律一致；
（ 3）当带电粒子的电荷为任意离散形式或连续形式分布时，库仑定律应结合叠加原理来应用。
点电荷间的作用力是一个点电荷产生的 电场 对另一个点电荷的作用力。 静止电荷在周围空间产生的电场称为静电场 。
问题：用试验点电荷 q0探测点电荷 q对 q0的静电力时，
这个作用力是如何传递的？是否存在一种传递媒介？
引入 电场强度 定量描述静电场的特性，定义为单位为 V/m（伏 /米）。
对 N个离散点电荷的电场，由叠加原理得
0
3
00
= ( 2,1 9 )4 εFER qqqR
对连续分布的带电体，其分布函数为,,
则可将带电体离散为无数点电荷的叠加，取积分形式
rSl和rr
31
0
()( ) ( 2,2 0 )
4 ε ||
N
ii
i i
q
rrEr
rr
3
0
3
0
3
0
()1
( ) ( ) d ( 2.21 )
4 ε ||
()1
( ) ( ) d ( 2.22 )
4 ε ||
()1
( ) ( ) d ( 2.23 )
4 ε ||
i
V
i
i
S
S
i
i
l
l
i
V
V
V
rr
E r r
rr
rr
E r r
rr
rr
E r r
rr
2.2.3 静电场基本方程
1、静电场的通量和散度在原点,积分相当于式（ 2.19）的的 的点积。22( 4 )
r o o r= q r r与E a S a
0'=?处r R r
● 静电场的通量（高斯定理的积分形式）
图 2.5表示点电荷产生的电场强度，穿过以点电荷为心的球面 S0，其电通量
0 0
d ( 2.24 )
S
q
ES
包围 S0作任意闭曲面 S，穿过 S0的电力线也必定全部穿过 S，即穿过任意闭曲面通量的有效值相当于在球面上的投影，
上式推广为
0
d ( 2,2 5 )
s
qES
S内含 N个点电荷或电荷体密度为 时，得()? r
1
0
d ( 2,26 a )
( ) d
( ) d ( 2,26 b)
N
i
s
i
V
s
q
V?
ES
r
E r S
看出自由空间中电场强度穿过任意闭曲面的电通量等于曲面内净电量与 的比值。
● 静电场的散度（高斯定理的微分形式）
利用散度定理，由式（ 2.26）导出
0?
0
() ( ) ( 2,2 7 )?
rEr
【 例 2.1】 如图 2.6所示，电荷均匀分布在半径为 a的金属球表面 S0上，带电球的面电荷密度为,求空间各点处的电场强度。
看出自由空间中某点电场强度的散度等于该点电荷密度与之比。
s?
应用高斯定理可求电荷或电力线具有特殊对称性（球、柱、
面对称）分布的问题。
0?
解：
电荷及其场具有球对称分布，应用高斯定理求场。包围带电球作同心球形高斯面，作高斯面的原则是要确保面上场强为常数（取高斯面与电力线正交或平行），此时场强可从积分符号内提出，复杂的积分式变为简单的代数式
0 0 0
d | | = εs QS E S E
式中,S0 是其法线与 E平行的球面,Q是球面上总的静电量。在处,Q为零，电场强度也为零；在 处，,而 <ra > ra
0
2 d 4r
s Er ES
= 4 2 sQ a
故由高斯定理得
2
22
00
= = 4 ε ε sr aQE r arr，
场强方向由 知，应沿球的径向。
rr=EEa
2．静电场的环量和旋度
● 静电场的环量图 2.7表示点电荷产生的电场强度，沿着以点电荷为圆心的圆周线 积分，则其环量
200( 4 ) 2rtq r r 与E a l a
积分相当于式 （ 2.19） 的的点积 。
0l
0
d 0 ( 2,2 8 )l El
包围 l0作任意闭曲线 l，沿圆周线切线方向的电力线数全部为零，同样电力线数沿任意闭曲线穿过的切线方向部分的代数和也必定为零，亦即沿任意闭曲线环量的有效值相当于在圆周上的投影，上式推广为
d 0 ( 2,3 0 )l El
● 静电场的旋度利用斯托克斯定理，由式（ 2.30）导出
( ) 0 ( 2,3 1 )Er
看出 静电场是无旋场，不存在旋涡源 。
静电场的基本性质
（ 1）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场；
（ 2）静电场是有源无旋场。
2.3 稳恒电流的实验定律
2.3.1 安培和安培定律的建立阅读材料：自学。
2.3.2 安培定律和磁感应强度稳恒电流 — 电荷作匀速运动、形成不随时间而变化的电流。
安培定律描述自由空间中两个稳恒电流元 和
（探测静磁力的检验线圈的电流元）的相互作用力 F与距离
R的平方成反比，与电流量乘积成正比；作用力的方向由两电流元和它们的相互距离三者的取向按右旋关系来确定。
对于两个稳恒电流导体回路，可理解为无数电流元叠加所形成，安培定律的数字表达式可以写成矢量积分形式
（见图 2.8）
dI l 0 d 0I l
0
0 0 0
2
d ( d ) ( 2,3 2 )
4
R
ll
I?
l I l aF
R
稳恒电流间的作用力是一个稳恒电流产生的 磁场 对另一个稳恒电流的作用力。 稳恒电流在周围空间产生的磁场不随时间变化，称为静磁场。
引入 磁感应强度 定量描述静磁场的特性，定义为
0
0
0
00 2
00
0
2
d
d
4
d (2.3 3 )
d
( 2,34)
4
R
l
l
l
R
l
I
I
R
la
F I l
R
I l B
la
B
式 (2.34)称为 毕奥一萨伐尔定律 。 B的单位为 T（特斯拉）
或 wb/m2（韦伯 /米 2）。
对连续分布的载流导体，其分布函数为 和,考虑到则可将载流导体的磁场表示为积分形式
d ( d d ) dd IJ V S l I lS
()?Jr ()S?Jr
0
3
0
3
0
3
d ( )
( ) ( 2,3 5 )
4 | |
( ) ( )
( ) d ( 2,3 6 )
4 | |
( ) ( )
( ) d
4 | ' |
l
V
S
S
I
V
S
l r r
Br
rr
J r r r
Br
rr
J r r r
Br
rr
( 2.3 7)
【 例 2.2】 求无限长直载流导线的直流电流 I 在周围产生的磁感应强度，如图 2.9所示。
ddz zla
解：
这是最简单的载流导体，可以应用式（ 2.35）来计算。为了便于计算，应当采用圆柱坐标系、设电流沿 z轴正向，由于圆柱对称，场的变化与 无关；三维问题退化为二维问题。无限长可以理解为有限长的极限问情况。因此，首先求有限长直载流导线的磁场。图中坐标原点已将导线长度等分。由于载流线段与 z轴重合，导线微分元长度,故电流元 z
至场点 p的位置矢量为
2 '
d ' d ' ( ')
d '
z r z
z
zz
z
r a a
l r a a a
a
代入式中（ 2.35），得
00
2 2 3 / 2 22
'
4 ( ' ) 2
L
L
I I Ldz
z L
B a a
对于无限长直导线，,故 。上式简化为L L?
0
2
I
Ba
2.3.3 静磁场基本方程
1．静磁场的通量和散度
2( / 2 ) 4o o rI r r 与B a S a
● 静磁场的通量（静磁场高斯定理的积分形式）
图 2.9表示载流长直导线产生的磁场，穿过以坐标原点为心的球面 S0，其磁通量积分相当于 的点积。上式可推广到任意分布电流产生的磁场，穿过任意闭曲面 S的通量也满足
0
d 0 ( 2,3 8)S B S
看出自由空间中磁感应强度穿过任意闭曲面的磁通量为零，磁力线是无头无尾的闭曲线。
● 静磁场的散度（静磁场高斯定理的微分形式）
利用散度定理，由式（ 2.39）导出看出自由空间中某点的静磁场无散度源。
( ) d 0 ( 2,3 9 )S B r S
( ) 0 ( 2,4 0 )Br
2．静磁场的环量和旋度图 2.9表示载流长直导线产生的磁场，沿着以坐标原点为心的圆周线 积分，则其环量
( / 2 ) 2ooI 与B a l a
积分相当于 的点积。上式可推广于任意分布电流的磁场沿环绕电流的任意闭曲线 l 积分，其环量
● 静磁场的环量（安培环路定理的积分形式）
0l
0 0
d ( 2,41)l B l I
0( ) d ( 2,4 2 )l B r l I
● 静磁场的旋度（安培环路定理的微分形式）
利用斯托克斯定理，由式（ 2.42）导出静磁场的基本性质
（ 1）静磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的；
（ 2）静磁场是无源有旋场。
看出 静磁场是有旋场，稳恒电流是静磁场的旋涡源 。
0 ( ) ( 2,4 3 )B r J
应用安培环路定理可求电流或磁力线具有特殊对称性
（柱对称）分布的问题。
【 例 2.3】 半径为 a的无限长直导体通有稳恒电流 I，求导体内、外的磁感应强度，如图 2.10所示。
解：
电流及其场具有柱对称分布，
应用安培环路定理求场。环绕电流导体圆柱作同心圆周线，作圆周线的原则是要确保线上磁感应强度为常数（取闭曲线与磁力线平行或正交），此时磁感应强度可从积分符号内提出，积分式化简为代数式
00 d | |l L B l B I
式中，周线 与电流 取向符合右旋关系。对于柱对称，应选用圆柱坐标系，场与 无关；再考虑到导体为无限长，
场与 无关，仅为 的函数。以 和 分别作圆周线 和,就能确保在由 和 确定的圆周线 和 上 和为常数。在圆柱坐标系中，,。
在 处，通过 包围面积的电流为
l I
z 1 < a? 2 > a?
1l 2l 1? 2? 1l 2l 1B 2B
BBa d dla
a 1l
22
11 2
2
1 1 1 1 1
0
1
= = =
d ( d ) = 2
l
JS
aa
BB
II
Bl
得
1
01
11 2 2
IBb
a
，B a a
a在 处，通过 包围面积的电流为 I,又知2l 22
2
22
0
22
2
d 2
2
l
I
Bb
，
B l B
B a a
得
2.4 时变电流的实验定律
2.4.1 法拉第和法拉第电磁感应定律的建立阅读材料：自学。
2.4.2 法拉第电磁感应定律当穿过闭合回路所包围的磁感应强度的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电动势，并引起感应电流；闭合回路中的感应电动势等于与回路交链的磁通量增加率的负值 （见图 2.11）
dd d ( 2,4 4 )
ddin stt
BS
若只考虑磁场随时间变化，而导体回路静止不动，式
（ 2.44）改为偏导数又知静电场 满足cE
导体内感应电流由感应电场 引起，有
inE
d ( 2,4 5 a)in S t B S
d ( 2,4 5 b )i n i nl El
c d = 0 ( 2,4 6 )l El
合成场,式（ 2.45b）和（ 2.46）叠加后代入式（ 2.45a）
c in=?E E E
看出静止回路的磁通变化会产生感应电动势，表明空间任意点存在感应电场，它与导体回路存在与否无关。
d = d ( 2,4 7 )lS t BE l S
