目 录
3,1 辅助位和辅助位方程
3,2 介质中的静态场 — 辅助场量方程
3,3 导体中的静态场 — 稳恒电流场和稳恒电场方程
3,4 静态场中的导体
3,5 静态场的边界条件
3,6 静态场的能量
3,7 静态场的计算方法
3,8 静态场的应用第三章 静态场自由空间中静止电荷和稳恒电流产生的静态场由场量基本方程来表述，它能反映源量和场量的相互作用规律和转化关系。
本章应用对比和比拟的方法，将场量基本方程推广到媒质中，进一步建立媒质在极化、磁化和传导条件下的辅助场量方程，它能反映源量、场量和媒质的相互作用规律和转化关系。由此涉及定义辅助场量和建立媒质边界条件的问题。在此基础上讨论静态场应用中的重要问题：静态场中导体的电容、电感和电阻、静态场的能量、静态场的计算方法和静态场的应用。为了分析计算这一系列复杂问题，首先必须引入简化分析计算的辅助位。
3.1 辅助位和辅助位方程
3.1.1静电场的标电量位及标量电位方程为简化分析计算，引入标量电位间接表示电场强度矢量 E，
其关系为单位为 V（伏特）。
() = ( ) ( 3,1 )E r r
比较式（ 3.1）和（ 2.20） ~ （ 2.23），得式中 。
3
1
RR
R
10
1
0
1
0
1
0
1
()
4
()1
( ) d
4
()1
( ) d
4
()1
( ) d
4
N
i
i
l
l
l
q
l
(3.2a)
(3.2b)
(3.2c)
(3.2d)
r
rr
r
r
rr
r
rS
rr
r
rV
rr
电位的物理意义图 3.1表示点 P1沿任意路径到点 P2，两点间的 电位差 或 电位
22
11
12( ) d d ( ) ( ) ( )
pp
PP
U
( 3.3)
E r l r
若场源电荷分布在有限区域，则应选取无限远处为电位参考点
0
0( ) ( ) ( ) d
r
r （ 3,4 a ）r r r E l
( ) dr (3.4b)r E l
选择场中任一使 为零的固定点（参考点），任意点 r与参考点的电位差就是该点的电位
0()? r
设电荷 q受电场力 F作用沿任意路径移至无限远处，则电场力作功即
ddrrW q qF l E l = r
看出 静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力作用下，自该点沿任意路径移至无限远过程中电场力所做的功。
W q (3.5)r
静电场的保守性 —— 静电力对点电荷所做的功仅与电荷始末位置有关，与电荷位移位置无关。这表明在无非静电场作用下，静电力对电荷沿任意闭合路径移动所做的功保持为零。
电位参考点的选择原则原则上可选任意点作电位参数点，总的要求场点和源点不能重合。
具体选择原则：
（ 1）在理想情况下，若电荷分布在有限区域（如点电荷），则应选取无限远处为电位参考点；
（ 2）在理想情况下，若电荷分布在无限区域（如无限大均匀带电平面和无限长均匀带电直线或圆柱），则应选取附近某一有限远处为电位参考点；
（ 3）在实际应用中（如电气设备），通常选取地面为电位参考点（机壳接地）；
（ 4）当对同时存在的几个静电场选取了不同的电位参考点时，可选取合成场电位函数式中的待定常数叠加值为电位参考点。
标量电位方程式（ 3.1）代入式（ 2.27），得电位的标量泊松方程在无源区,得电位的标量拉普拉斯方程( ) 0r
2
0
()()
(3.6)
rr
2 ( ) 0 (3.7)r
【 例 3.1】 电偶极子 是由两个相距很近的等量异性点电荷组成的系统，如图 3.2所示。
如果 q为每个点电荷的电量，
矢量 l的大小为 l，方向由 -q指向 +q，则电偶极子可以用 电偶极矩 （或 电矩 ） P=ql来表示。求电偶极子在离它很远的空间某点 P处（ r>>l）产生的电位和电场。
解：
取电偶极子沿 z轴正向放置于原点对称位置。正、负点电荷到任意点的距离分别为 r+和 r-，坐标原点到任意点的距离为 r。
电偶极子产生的电位为正、负点电荷产生的电位的合成值
00
1 1 1()
44
rrq
r r r r
r
电位表示式变为当 r>>l时，三矢量 r+,r-和 r近似于平行，可知
2
c o s
c o s c o s
22
r r l
ll
r r r r r
2
0
( ) c o s4 q lrr
利用式（ 3.1），将▽ Φ 表示为球坐标系的分量形式最为简单，此时仅与 r和 θ 有关。所以，电偶极子在空间任意点产生的电场为
( ) 0
2
当 时,表 示 在 电 偶 极 子 的 垂 直 平 分 线 上 电 位恒 等 于 零,原 因 是 该 面 上 任 意 点 到 正,负 点 电 荷 的 距 离 相 等,
它 们 各 自 产 生 的 电 位 相 互 抵 消 。
r
利用电偶极矩将电位表示为
23
00
co s()
44rr
P p rr
3
0
(
1
()
2 c o s
4
s i n )
r
r
rr
p
r
r
E r a a
aa
3
2
/4 o( P)= r （ ）,表 示 电 力 线 垂 直 于电 偶 极 子的 垂当 时直 分
，
平 面 。
aEr
从 Φ(r)和 E(r)的表示式看出它们随距离 r的变化遵循关系
Φ∝ 1/r2和 E ∝ 1/r3，它们随极角 θ变化而具方向性。
比较式（ 3.8）和（ 2.35） ~ （ 2.37），得
3.1.2 静磁场的矢量磁位和矢量磁位方程为简化分析计算，引入矢量磁位 A间接表示磁感应强度 B，
其关系为单位为 Wb/m（韦伯 /米）
( ) ( ) (3.8)B r A r
0
0
0
d
()
4
()
( ) d
4
()
( ) d
4
l
s
S
V
I
S
V
(3.9a)
(3.9b)
(3.9c)
l
Ar
rr
Jr
Ar
rr
Jr
Ar
rr
对于静磁场，可取 库仑规范式（ 3.8）代入式（ 3.42），得
0 () （ ） =A r J r
2
2
0
3,1 0
( ) ( ) 3,1 1?
代 入 式 （ ） 和 = （ ）,得磁 矢 位 的 矢 量 泊 松 方 程
=- （ ）
F F F
A r J r
3,1 0 =0 （ ）A
矢量磁位方程在无源区 J（ r） =0，得磁矢位的矢量拉普拉斯方程及其直角分量（取 i=x,y,z）
其解为
2
22
0
2
( ) 0
0
ii
i
AJ
A
(3.12)
(3.13a)
(3.13b)
Ar
0 d
4
i
i V
JAV?
(3.14)rr
【 例 3.2】 半径为 a的导体圆环载有稳恒电流 I，求圆电流回路在离它很远的空间某点处（ r>>a）产生的矢量磁位和磁感应强度，如图 3.4（ a）所示。
解：
设圆电流回路置于直角坐标系 xy平面上，其圆心在坐标原点处，则电流回路对 z轴旋转对称，它所产生的矢量磁位在球坐标系中只有分量,而且仅为距离 r和极角 θ
的函数，而与方位角 无关。由此可假设场点 P位于 xz
平面上并不失一般性。在此平面上，分量 与分量一致，即,如图 3.4(b)所示。对于以 r和 r′ 为邻边的三角形，式（ 3.9a）中的 和 应分别表示为如下形式
A
A yA
c o syaa
rrdl?
1
22 2
1
2 2
2
d c o s ( d )
c o s d
(
d
2)
12
y
y
la
a
ra
a
r
r r
aa
a
rr
r
l
rr
r
1
2 2
1
2
2
1
2
22
'
11
1 1 2
1
1 2 1
1
2
11
a
rr r
rr
a
r
r r a
r
上 式 中 。 在 远 区 （ ）,利 用 二 项 式 展 开,并 略去 高 次 项,
即 ( ） （ ）
,则得
rr
rr
r r r r
代入球与直角的坐标变换式
xx显 然,中 仅 留 下 的 项,则 得r ar a
式（ 3.9a）变为
s in c o s
c o s s in
r x z
r x y
r r r
a a a
r a a a
r a a a
11 1 s i n c o sa
rr
rr
20
0
c o s d 1 s i n c o s4y aI arr
Aa
上式与例 3.1中电偶极子表达式类似，都随距离按平方反比律变化，依照电偶极矩的定义由源和尺度的乘积来确定，此处也可引入磁偶极子的概念。磁偶极子的 磁偶极矩 （或 磁矩 ）
定义为
0,y由 于 在 面 上,上 式 变 为aa
22 2
00c os ' d ' 0 c os ' d '
已 知 和,得
22 20
00c o s d s i n c o s d4
Ia a
rr
Aa
2
0
2
() sin
4
Ia
r?
Aa
2()zzI a I S Im a a S
sinzrP因 为 场 点 处,所 以 矢 量 磁 位 可 以 写 成两 个 矢 量 的 叉 积 形 式
a a a
0
3
11
( ) ( s in ) ( )
s in
( 2 c o s s in )
4
r
r
r
A r A
r r r
m
r
利 用 式 （ 3.8 ）,将 表 示 为 球 坐 标 系 的 分 量 形 式 最 为 简 单,此 时场 仅 与 和 有 关 。 所 以,磁 偶 极 子 在 空 间 任 意 点 产 生 的 磁 场 为
=
A
B r a a
aa
0
24
r
r
maA
3.2 介质中的静态场 — 辅助场量方程
3.2.1 电介质中的静电场
1．电介质的极化自由空间中表征源量和场量相互作用的场量基本方程可推广到物质媒质中表征源量、场量与媒质相互作用的场量辅助方程。
物质媒质分为 导体,半导体 和 绝缘体,可从其微观机理分析在场力作用下介质的极化、磁化及导体的传导问题。
罗伦兹的电子论物质媒质中的带电粒子分为三类：
（ 1）传导带电粒子 —— 它是能自由移动的自由电荷，
不具有电偶极矩和磁偶极矩；
（ 2）极化带电粒子 —— 分子中的正、负电荷构成电偶极子，分子中总电量为零；
（ 3）磁化带电粒子 —— 带电粒子作旋转运动形成磁偶极子，分子中总电流为零。
物质的分子原子论物质媒质的基本单元是分子中的原子，它由带正电的原子核与带等量负电、绕核运转的电子组成，彼此以场力相互作用维系在一起，无外场作用时不显电性。
① 导体中的 自由电荷 （或 自由电子 ） — 它能在电场作用下克服与原子核的引力脱离电子轨道作定向移动；
② 介子中的 束缚电荷 — 它只能在电场作用下在原子核周围作弹性移动。
两类电荷
① 无极分子 — 无外场作用下，分子中的原子的正、负电荷重心重合，不显电性，合成场为零；
② 有极分子 — 无外场作用下原子的正、负电荷不重合而形成固有电偶极矩，大量分子电偶极矩的无序排列使其电偶极矩矢量和为零，宏观上不显电性，合成场仍为零，
如图 3.5（ a）所示。
两类分子电介质的极化 —— 在外电场作用下使正、负电荷分别沿相反方向位移的现象，如图 3.5（ b）所示。
电介质的极化形式
（ 1）电子位移极化 —— 这是无极分子在外场作用下，
核外电子的轨道发生畸变，电子云重心相对于原子核产生的位移极化。无极分子极化后电矩不再等于零；
（ 2）离子位移极化 —— 这是无极分子中靠离子键结合的正、负离子在外场作用下，正、负离子间的距离发生改变而引起的位移极化。极化后电矩不再等于零。离子极化若是永久的，称为 永久极化 。铁电物质和驻极体都可以永久极化；
（ 3）转向极化 —— 这是有极分子的固有电偶极矩不为零的分子，在无外场作用下形成无序排列而不显电性，在外场作用下的取向发生变化，使电矩转向与外场方向一致的转向极化。极化后总电矩不为零。
极化强度矢量为描述电介质的极化程度，定义电介质中点 r 处单位体积内分子电矩的矢量和为 极化强度矢量
0
( ) l i m ii
V V
（ 3.1 5 ）ppr
单位为 C/m2（库仑 /米 2）。
① 束缚体电荷密度（或极化体电荷密度） — 媒质或外加场不均匀时，极化电介质内分子电矩 pi 分布不均匀，相邻区域内电矩的正、负电荷不能全部抵消所致，如图 3.6
所示；
② 束缚面电荷密度（或极化面电荷密度） — 介质面上有序排列的分子电矩一端的正电荷或负电荷未被自由空间中不存在的异性电荷抵消所致，如图 3.6所示。
() r
()S r
两类束缚电荷外加场 E0与束缚电荷在介质内、外产生的附加场 E′构成合成场 E= E0+ E′,E′与 E0反向而总是使 E减弱。实验证明，
极化强度与合成场的关系
( ) ( )
( ) ( )Sn
(3.16a)
(3.16b)
r p r
r a p r
可以证明
0e （ 3.17 ）pE
1．静电场方程的推广电介质在外加场作用下发生的极化现象，可归结为电介质内出现了束缚电荷，场与电介质的相互作用等 效 为场与束缚电荷的相互作用。这样，自由空间静电场的场量基本方程中只需将电介质 中束缚电荷考虑进去，即可推广到存在电介质的情况。方程（ 2.25）推广为由散度定理知 （证明略），上式变为d
S q pS
0
1d ( )
S
qq (3.18a)ES
0( ) dS q (3.18b)E p S
可 以 定 义 为 （ 辅 助 矢复 合 量 量矢 ）o Ep 电 位 移 矢 量单位为 C/m3（库仑 /米 2）。 P已隐合在 D中，引入辅助矢量可得到电介质中静电场高斯定理积分和微分的简洁形式看出电介质中电位移矢量穿过任意闭曲面的电通量等于曲面内 自由电荷 的 净 电量,与 束缚电荷 无关；电介质中某点电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度，且电位移线起于正自由电荷而止于负自由电荷。
0( ) ( ) ( ) (3.19)D r E r p r
( ) d
( ) ( )
S
q
(3.20)
(3.21)
D r S
D r r
式（ 3.17）代入式（ 3.19），有式中
—— 电介质 的介 电常数，单位为 Fm （法拉 / 米）；
ro —— 电介质的相对介质电常数，无量 纲 。
只考虑均匀、线性、各向同性电介质：
均匀 ——
r
是 不随 空间 位置变化的恒定值；
线性 ——
r
不随 E 变化；
各向同性 —— D 与 E 同方向时
r
是标量。
0 0 0 0( 1 )e e r
（ ）3,2 2
D E E = E E
E
电介质中静电场的辅助场量方程、本构关系和电位的标量泊松方程看出电介质中静电场的电位移矢量与自由空间中的电场强度性质相同，都是由通量源而非旋涡源产生的有源无旋场，
其场矢量线都是起于正电荷而止于负电荷。
2
( ) d
( ) d 0 a
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 b
( ) ( )
()
()
S
l
q
（ 3,23 ）
（ 3,23 ）
（ 3,24 ）
D r S
E r l
D r E r
D r r
Er
D r E r
r
r
【 例 3.3】 在无限大均匀、线性、各向同性的电介质空间中有一电量为 q的点电荷，求电场强度、电位移、电极化强度和束缚体电荷密度。假如以点电荷所在点为心，挖出一个半径为 a的空心小球，求小球内介质面上的束缚面电荷密度。
解：
由于具有球对称性，可应用高斯定理求解。在线性介质中 E,D和 P取向一致，假设均沿 方向。于是，由式
（ 3.20）可得
ra
有
2(4 )rD r q
24 r
q
rDa
由式（ 3.22）得看出电介质的存在，使极化强度产生的附加场抵消了一部分点电荷产生的场，电场 E减弱了 倍，但 D仍保持不变。 1/ r?
由式（ 3.19）可知
2
2
1
3,1 6 a ( 0
)0
rrPrr
式 （ ） 中 的 ）,有
（
P
r
2
04
r
r
q
rEa
0 2 ( 1 )4 rr
r
q
rP D E = a
电介质的两个表面中，在 处外表面上的束缚面电荷密度，由于太远，它所产生的附加场不影响整个介质区域的电场 E，只有点电荷周围小球内表面上的束缚面电荷密度会影响电场 E。由式（ 3.16b）可知
r
00rr在 处,即 处 存 在 奇 异 点 。 这 是 理 想 情 况,
实 际 情 况 是 带 电 体 可 以 看 做 忽 略 其 尺 度 的 物 理 点 。
PP
2
2
( ) ( ) ( ) ( 1 )
4
( 1 )
4
S n r r r
r
r
r
q
a
q
a
r a P r a a
3.2.2磁介质中的静磁场
1．磁介质的磁化轨道磁矩 —— 磁介质中原子的电子绕核运转形成环形电流，
其所等效的磁偶极矩。
自旋磁矩 —— 电子和原子核自身自旋形成自旋电流，其所等效的磁偶极矩。
电子磁矩 —— 忽略原子核的自旋效应，仅由电子轨道运动和自旋运动形成的环形电流，其所等效的磁偶极矩。
固有磁矩 —— 分子中所有电子磁矩的矢量和。
固有磁矩为零的磁介质分子在外加场作用下形成的分子流；
两类分子电流 固有磁矩不为零的磁介质分子在外加场作用下形成的分子流，如图 3.7（ a）所示。
磁介质的磁化 —— 在外磁场作用下使所有电子运转轨道重新分布，导致分子固有磁矩沿外磁场取向，其合成磁矩不为零而对外显示磁性的现象，如图 3.7（ b）所示。
磁介质的磁化形式
（ 1）抗磁性在无外磁场时分子固有磁矩为零的磁介质中，相邻电子的自旋磁矩总是方向相反，相互抵消，只存在无序排列的轨道磁矩，宏观上也相互抵消为零。在外磁场作用下电子轨道发生变形，使各分子轨道磁矩的合成值不再等于零，而且总磁矩的取向总是与外磁场方向相反，因而使磁介质内的磁感应强度减弱。这就是磁介质的 抗磁性,具有抗磁性的磁介质称为 抗磁质 或 抗磁体,如铜、银和锌等。可以看出，抗磁性主要来源于减弱磁效应的电子轨道磁矩。
（ 2）顺磁性在无外磁场时分子固有磁矩不为零的磁介质中，相邻电子的自旋磁矩存在着未被抵消的永久磁矩，永久磁矩的无序排列，宏观上也相互抵消为零。在外磁场作用下，永久磁矩的有序排列使其合成值不再等于零，而且总磁矩的取向与外磁场方向一致，因而使磁介质的磁感应强度增强。这就是磁介质的 顺磁性,具有 顺磁性 的磁介质称为 顺磁质 或 顺磁体,
如铝、镁和钛等。可以看出，顺磁性主要来源于增强磁效应的电子自旋磁矩。虽然出现顺磁效应同时也出现抗磁效应，
不过顺磁性磁介质的顺磁效应胜过抗磁效应。
（ 3）铁磁性在无外磁场时分子固有磁矩不为零的磁介质中，由于相邻电子自旋磁矩的强耦合作用，形成在小区域内彼此平行的自旋磁矩的紧密结合，表现为强磁性，这些小区域称为 磁畴,
如图 3.8所示。每一磁畴包含甚多的分子，所有电子自旋形成的固有磁矩的磁效应大大超过了顺磁质的磁效应，但由于磁场的无序化排列，总磁矩仍等于零。在外磁场的作用下，
磁化方向与外磁场一致的磁畴逐渐扩大其体积，与外磁场不一致的磁畴则逐渐缩小其体积，直至磁畴开始向外磁场方向转动，一直延续到所有磁畴都转到外磁场方向，即达到饱和为止。外磁场使强耦合自旋磁矩形成的磁畴取向与外磁场方向一致，因而使磁介内的磁感应强度大大增强。这就是磁介质的 铁磁性,具有铁磁性的 磁介质 称为 铁磁质 或 铁磁体,如铁、钴和镍等。
磁化强度矢量为描述磁介质的磁化程度，定义磁介质中点 r 处单位体积内分子磁矩的矢量和为 磁化强度矢量单位为 A/m（安培 /米）。
0
( ) l i m ii
V V
（ 3,2 5 ）mMr
两类束缚电流
② 束缚面电流密度（或磁化面电流密度） — 介质面上有序排列的分子电流方向一致，自由空间中不存在与之等值而反向的电流抵消它所致，如图 3.9
所示。
① 束缚体电流密度（或磁化体电流密度） — 媒质或外加场不均匀时，相邻区域内分子电流回路上电流反相而不相等，不能完全抵消所致；
()?Jr
()S?Jr
可以证明
0
0=+
外 加 场 与 束 缚 电 流 在 介 质 内,外 产 生 的 附 加 场 构 成合 成 场 。 磁 介 质 的 磁 化 程 度 最 终 决 定 于 合 成 场 。
B
B B B B
B
( ) ( ) a
( ) ( ) bSn
（ 3,2 6 ）
（ 3,2 6 ）
J r M r
J r M r a
2．静磁场方程的推广磁介质在外加场作用下的磁化效应导致磁化电流的出现，
自由空间静磁场的场量方程中只需将磁介质中的磁化电流考虑进去，即可推广为磁介质静磁场的场量方程
dl I由 斯 （ 证 明托 克 斯 略 ）,为理 知 变定 上 式Ml
0( ) d ( ) al II （ 3,2 7 ）B r l
0
( ) d bl I （ 3,2 7 ）B Ml
0
0
()
) ( )
复 合 矢 量 可 定 义 为 （ 辅 助 矢 量 ）
（ （ 3.28 ）
B
M
Br
H r M r
磁 场 强 度单位为 A/m（安培 /米）。 M已隐含在 H中，引入辅助矢量可得到磁介质中磁场安培环路定理积分和微分的简洁形式看出磁介质中磁场强度沿任意闭曲线的环量等于与该曲面交链的传导电流，与磁化电流无关；磁介质中某点磁场强度矢量的旋度等于该点的传导电流密度。
d
( ) ( )
l
I
（ 3,2 9 ）
（ 3,3 0 ）
Hl
H r J r
实验证明是 磁化率,是无量纲的数。
m?
式（ 3.31）代入式（ 3.28）
式中
—— 磁介质的 磁导率,单位为 HM （亨利 / 米）
ro —— 相对磁导率,无量纲。
00
0
() m
r
( 1 + )
( 3,3 2 )
B H M H
H = H
m (3.31)MH
磁介质中静磁场的辅助场量方程、本构关系和磁矢位的矢量泊松方程看出磁介质中静磁场的磁场强度矢量与自由空间中的磁感应强度矢量性质相同，都是由旋涡源而非通量源产生的无源有旋场，其场矢量线都是无头无尾的闭合线。
2
( ) d
( ) d 0 a
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 b
( ) ( )
( ) ( )
l
S
I
（ 3,33 ）
（ 3,33 ）
（ 3,34 ）
H r l
B r S
B r H r
H r J r
Br
B r H r
A r J r
【 例 3.4】 具有磁导率 μ的铁磁质无限长空心导磁管通过稳恒电流
I，管的内、外半径分别为 a和 b，
如图 3.10所示。求各个区域的磁场强度和磁感应强度，并求导磁管内部的磁化强度和束缚体电流密度及管壁上的束缚面电流密度。
将式（ 3.29）应用于三个区域，有
1
0
a
（ ） 0 区 域,
HB
解：
选择与管形一致的圆柱坐标系，设管轴与 z 轴重合，
则具有轴对称性，可以用安培环路定理求磁场。按对称性要求，磁力线是同心圆簇，并沿 方向。由于电流均匀分布在导磁管截面上，其体电流密度为
22() z
I
baJa
由式（ 3.32）得
22
22
22
22
22
22
2
2 ( )
()
2
2
ab
I
H J S a
ba
aI
ba
aI
ba
（ ） 区 域,
Ha
B H = a
2
2
00
2
21 2
B H aI
ba
M a a
0
2
2
b
I
I
（ 3 ） 区 域,
Ha
Ba
由式（ 3.26）得
22
0
0
1
()
1
()
( ) 0
1
2
z
z
Sa
S b z
M
I
ba
I
b
J M a
a
J M a
J M a a
3.3 导体中的静态场 — 稳恒电流场和稳恒电场方程
3.3.1 导体的传导性和欧姆定律导电媒质的传导性 —— 在外场作用下导电媒质中的自由电子或自由电荷作定向运动形成传导电流的效应 。
稳恒电流除产生稳恒磁场 （ 静磁场 ） 外,还形成稳恒电流场和稳恒电场 。
稳恒电流类型传导电流 —— 导电媒质中的自由电子作定向运动形成；
运流电流 —— 真空中电子或离子作定向运动形成。
欧姆定律在导电媒质中,大量自由电子在场力作用下作定向运动的过程中,不断与较重的离子或中性分子发生不规则的碰撞,
由此形成传导电流的电子运动速度应当是平均速度 。 电荷在导电媒质中平均速度与作用于它的电场强度成正比 。 定量分析表明 J与 E成正比关系为导体的电导率,单位为 S/M（ 西门子 /米 ） 。
上式称为 导电媒质的本构方程 （ 或 媒质特性方程 ）,又称为 欧姆定律的微分形式 。
( ) ( ) （ 3,3 5 ）J r E r
图 3.11表示在体积 V=lS
的载流导体圆柱中取体积元
dV=dlds，柱端外加电压,通过的电流,得导电媒质的电阻
dlU E l El
dsI E S Js
上式称为 欧姆定律的积分形式 。 为电阻率 。
1
a
/b
U l lR
I S S
I U R
（ 3,3 6 ）
（ 3,3 6 ）
3.3.2 导体的能量损耗和焦耳定律导电媒质中作定向运动的电子在与其他离子或分子碰撞的过程中,将能量传递给它们而转化为热运动,导致导电媒质温度升高,形成 电流的热效应 。 这种由电场能量转化而来的热能称为 焦耳热 。
焦耳定律图 3.11表示在时间 dt内穿过体积元截面的电荷 dq作功
d ( d ) dW q E l?
对应的功率
dd
d d d d
dd
( d ) d d
Wq
p E l IE l
tt
J s E l JE V
电荷在单位体积所作功率为,此功率转化为热损耗功率 。 导体内电流导致单位体积的热损耗功率
P JE?
( ) ( ) ( )p r J r E r (3.37a)
上式称为 焦耳定律的微分形式 。
对圆柱体积积分,得
2d d d
V l sP J E V E l J S U I I R (3.37b)
上式称为 焦耳定律的积分形式 。
焦耳定律用于描述导体中电能转化为热能时,导体能量损耗的定量表达式 。
3.3.3 含源电流回路的电源电动势导体内的电场为电荷运动形成电流提供能量,电流热效应又导致能量不断损耗 。 为维持稳定电流,必须给导体回路接上电源,持续不断地为电荷运动提供能量 。
含源电流回路的作用
( 图 3,1 2 )
外部电源提供非保守场 E ′ 形成 局外力 — 使电源内部正、负电荷分离，将正电荷移至 A 极，负电荷移至 B 极，使电极和导电介质两端正、负电荷不断得到补充；
电源两极积累的正、负电荷在电源内、外建立保守场 E 形成静电力 — 使电源两极正、负电荷复原，将正电荷移至 B 极，负电荷移至 A 极，使电极和导电介质两端正、负电荷不断减少。
含源闭合电流回路中建立的保守场
E增加至与反向非保守场 E′相等时（ E=
－ E′），外部电源中合成场为零，电荷的补充和减少达到 动态平衡 。此时任意点流来多少电荷，同时也流走多少电荷，
进而获得稳恒电流。
稳恒电流回路中不可能存在体电荷密度分布，电荷只能处于导体回路极板表面上，这是处于动态平衡的电荷密度分布，称为驻立电荷 。驻立电荷的分布虽然不变，但它不是静止电荷，它们是在不断更替中保持分布特性不变。导电介质中的稳恒电场就是这种驻立电荷产生的。
电源电动势式中仅对非保守场 E′的回路积分不为零 。 这表示非保守场的局外力将单位负电荷从正极移至负极,局外力要做功 。
这个功定义为 电源电动势
1d d d
l l l?
E l E l J l (3.38)
对含源回路应用欧姆定律 时应取积分
''或J E E E E J
dBA (3.39)El
看出电源内非保守场产生的电动势维持着外电路的电流,
从而出现 A,B间的电压降 。
当回路中含多个电动势和电阻时,则上式推广为 基尔霍夫电压定律式 （ 3.38） 变为
11
mn
ij
ij
IR?
(3.40b)
看出任意闭合回路中电动势 （ 电压升 ） 的代数和等于该回路中电压降的代数和 （ 回路绕行方向可任意选定 ） 。
11 ddBB
AA
Il l I R I
SS （ 3,4 0 a ）J l =
3.3.4 稳恒电流场和稳恒电场方程
电源电动势适合电源外部导体媒质 的稳恒电流场方程和本构方程0
( ) d 0
( ) d 0
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
S
S
（ 3,4 1 a ）
（ 3,4 1 b ）
J r S
E r l
J r E r
Jr
Er
J r E r
稳恒电场方程适合电源外部整个空间的稳恒电场方程和本构方程
( ) d 0
( ) d
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
l
S
q
（ 3,4 2 a ）
（ 3,4 2 b ）
E r l
D r S
D r E r
Er
D r r
D r E r
稳恒电流场和稳恒电场的基本性质
（ 1）在电源外部的均匀导体中，稳恒电流场和稳恒电场都是无散无旋场；
（ 2）在电源外部导体周围介质中，稳恒电场是有散无旋场。
无源区的稳恒电场与静电场一样都是具有无旋性的保守场,
满足标量电位的拉普拉斯方程
2 ( ) 0 （ 3,4 3 ）r
表示通过任意曲面的净稳恒电流为零,将闭合曲面收缩成某一点,可派生出 基尔霍夫电流定律
d = 0s JS
看出流经电路中某节点所有电流的代数和为零 。
1
0
m
i
I
（ 3,4 4 ）
3.4 静态物中的导体
3.4.1 电容和电容器描述静态场中导体宏观属性的量是可测量,它是表示电路基本元件的物理量,在实际应用中有重要意义 。
静电感应 —— 外加静电场使导体中自由电荷重新分布的现象。
感应电荷 —— 静电感应使不带电导体某些不同部分表面出现的等值异号电荷。
静电平衡 —— 外加静电场使导体感应电荷产生与其反向的感应电场，当这两种场的合成值达到零时，导体内不再有电荷宏观运动的现象。
导体在静电平衡状态下的特性：
（ 1）导体内无体电荷分布，而以面电荷形式分布于导表面。
这是因为静电力使正、负电荷分离，彼此排斥到尽可能远的导体边缘表面之故。
（ 2）导体内无电场强度，而在导体外表面法线方向存在电场强度。这是因为导体内无体电荷，自然也不可能有电场。如果导体面电荷分布产生的电场不垂直于导体外表面，那么，它在导体界面的切向场必定会使导体中的电荷沿导体界面移动，
然而这并非静电平衡状态。
（ 3）导体为等位体，导体面为等位面。导体内或导体面上任意两点的电位差可以通过电场强度的线积分得到，由于导体内无电场，导体面上也无电场切向分量，所以任意两点的电位差为零。
处于静电平衡状态下的闭合导体腔（相当于内部挖去一部分的导体）内部电场强度为零，外部静电场对腔体内不产生影响。
静电屏蔽 —— 闭合导体腔能用于屏蔽外部静电场影响的效应。
导体的电容向线性电介质（?为常数）中的孤立导体充电：
电荷增量 dq增长?倍 → 电位移增量 dD增长?倍 → 电位增量 d?增长?倍。
0＜?＜ 1对应于 0＜ q＜ Q和 0＜?＜?,Q和?为达到静电平衡时的静止电荷和电位，定义其比值为孤立导体的电容
d
d
S
r
Q
C
C
（ 3,4 5 a )
（ 3,4 5 b )
ES
El
上式表示达到静电平衡时,孤立导体增加单位电位所能容纳的电荷量,是用于描述孤立导体容纳电荷能力的物理量,所以称为 电容 。
看出电容的大小与积分量表示的尺寸和形状及周围电介质特性参量有关，与外加电位和电量无关，所以它是用于描述导体宏观属性的物理量。单位为 F（法拉）。
问题：地球可看成半径 a、介电常数?、充电量 Q的均匀媒质大球。地球的电容为多少？为什么可以将地球取作电位参考点？
带等量异性电荷的双导体可构成双导体电容器,其电容
d
d
AB
S
B
A
QQ
C
U
C
= （ 3.4 6a)
（ 3.4 6b)
ES
El
电容器电容求解步骤：
（ 1）选择适合带电体形状的坐标系；
（ 2）假定单、双带电体的带电量 Q或 ± Q；
（ 3）根据假定电量求 E；
（ 4）由 E的线积分求?或 U；
（ 5）根据电容定义求 C。
由式（ 3.45b）和（ 3.46b）看出，计算导体的电容归纳结为首先求导体电荷的电场。
电容器是电路中重要的基本储能元件，它将充电荷时所做的功转换为电场能量储存起来。
【 例 3.5】 已知同轴线内、外导体半径分别为 a和 b，内、
外导体间填充介电常数为?的均匀电介质，如图 3.13所示。求同轴线单位长度的电容。
因此
d2s QE El
解：
选用适合同轴线形状的圆柱坐标，令内、外导体轴心线沿
z轴。
设单位长度内、外导体带电量分别为 和 。
由于满足柱对称条件，可采用高斯定理积分形式求两导体间的电场强度。在内、外导体间作具有相同轴心线的单位长度闭合圆柱高斯面 S，高斯面半径为,则在该闭曲面上应用高斯定理，可得
Q? Q?
由上式可得知，电场强度矢量线为起始于内导体表面，终止于外导体内表面的柱对称径向线。沿此径向线求 E的线积分，
可得两导体间的电压
Q= E =
2E a a
dd
2
ln
2
bb
aa
Q
Qb
a
U E a a
代入式（ 3.46a），可得同轴线单位长度电容
0
2 ( F / m )
l n ( / )
QC
U b a
3.4.2 电感和电感器
● 导体回路的电感向线性磁介质（?为常数）中的单导体回路充电流：
电流增量 di增长? 倍 → 磁感应强度增量 dB增长?倍 → 磁通量增量 d?增长? 倍。
0＜?＜ 1对应于 0＜ i＜ I和 0＜?＜?,I和?为达到动态平衡时的稳恒电流和磁通，定义其比值为单导体回路的电感
dd
d
d
Sl
S
l
L
I
I
L=
( 3,4 7 a ）
利 用 式 和,又 可 得
( 3.47b)
B S H l
HS
Hl
ψ
ψ
上式表示达到动态平衡时，单导体回路增加单位电流所能产生的磁通量，是用于描述单导体回路中缓变电流感应电动势的能力，所以称为 电感 。
看出自感的大小只与积分量表示的尺寸和形状及周围磁介质特性参量有关，与外加电流和磁通无关，所以它是用于描述导体回路宏观属性的物理量。单位为 H（享利）。
粗导体回路需同时考虑穿过导体内、外的磁通?0和?i，其总自感为内、外自感之和
0
0
i
iL L L II （ 3,4 7 c ）
ψ ψ
图 3.14表示双导体回路构成双导体回路电感器。两载流回路的电流产生的磁力线，除穿过自身回路引起自感外，还同时穿过彼此的回路引起互感或互感系数单位为 H（亨利）。双导体回路的互感与其几何参量，
周围媒质参量和相对位置有关。
21
21
1
12
12
2
a
b
M
I
M
I
（ 3,4 8 ）
（ 3,4 8 ）
ψ
ψ
● 电感器电感求解步骤：
（ 1）选择适合载流导体回路形状的坐标系；
（ 2）假定单、双载流导体回路的电流量 I或 I1,I2；
（ 3）根据假定电流量求 B；
（ 4）由 B的面积分求? 或? 21,? 12；
（ 5）根据电感定义求 L或 M21,M12。
计算导体的电感归结为首先求导体回路电流的磁场。
电感器是电路中重要的基本储能元件，它将充电流时所做的功转换为磁场能量储存起来。
【 例 3.6】 已知同轴线内、外导体半径分别为 a和 b（已忽略薄外导体厚度不计），内、外导体间填充磁导率为?的均匀磁介质，如图 3.13所示。求同轴线单位长度的外自感。
解：
选用适合同轴线形状的圆柱坐标，令内、外导体轴心线沿
z轴。
设电流 I 在由内、外导体构成的回路中流动。由于场具有轴对称性，可以利用安培环路定理积分形式求环绕轴心的磁感应强度。在内、外导体间 ( )的磁介质中，有
ab
0 d l n
b
0 Sa
I I b
a
= = =BSψ d22
于是得到与内、外导体间的磁通所对应的单位长度外自感为
0 l n ( )2
bL
a
H / m
解：
建立圆柱坐标系，取 I1沿 z轴方向。
电流 I1的磁感应强度为环绕它的闭合圆矢量线，单独考虑 I1产生的 B1具有柱对称性，所以利用安培环路定理积分形式或毕奥 -萨伐尔定律，求得 I1产生的磁感应强度
【 例 3.7】 无限长直导线与矩形线圈的长边平行。设它们分别带电流为 I1和 I2，矩形线圈的面积为 a× b，它与长直导线的最近距离为 D，周围为自由空间，如图 3.15所示。求无限长直导线与矩形线圈之间的互感。
01
1 2
I
Ba
与线圈电流 I2交 链的磁通
22 1 1
dS BSψ
按图示线圈电流方向，可知线圈有向面积的方向一致。在线圈上取矩形微分面元,从 D至 D+b
积分，得
1dd S? 与S = a B
dd?S = a
0 1 0 1
21
1 d l n
22
Db
D
I a I a Db
D
ψ
由此得互感
21
21
1
ln2 a D bM IDψ
当 I1和 I2产生的穿过线圈的互磁通方向一致时，合成磁通增加，
M21为正，反之，只要改变 I1或 I2任一个电流的方向，它们所产生的合成磁通因部分抵消而减少,M21为负。但在任何线形磁介质中，都有
M21=M12=M。显然，本例的 M21＞ 0
是由 I1和 I2的相对取向所致。
3.4.3 电阻和电阻器
● 导体的电阻图 3.11所示载流回路导体端点 a比 b的电位高，由式（ 3.36a）
及 和 得电阻
dlU El dsI JS?
d
a
d
d
b
d
a
ab
b
a
b
S
U
R
I
R
（ 3,4 9 ）
（ 3,4 9 ）
El
JS
El
ES
式（ 3.49a）适用于非线性媒质（?（ z） ≠C），式（ 3.49b）
适用于线性媒质（?=C）。
看出电阻的大小只与积分量表示的尺寸和形状及导电媒质特性参量有关，与外加电压和电流无关，所以它是用于描述导体宏观属性的物理量。单位为?（欧姆）。
● 电阻器电阻求解步骤：
（ 1）选择适合载流导体形状的坐标系；
（ 2）假定载流导体两端面的电位差 U0；
（ 3）根据假定电压由位场关系求 E；
（ 4）由 E求 J，再由 J 的面积分求 I；
（ 5）根据电阻定义求 R。
由式（ 3.49a,b）看出，计算导体的电阻归结为首先求导体的电场。
电阻器是电路中重要的基本耗能元件，它将充电流时所做的功，转换为自由电荷碰撞导体中其他粒子时产生热效应的热能而消耗掉了。
【 例 3.8】 如图 3.11所示载流导体圆柱，设线长为 l，截面为 S,a端高电位相对于 b端低电位的电位差为 U0，导体圆柱的导电率为?。求载流导体圆柱的电阻。
解：
选圆柱坐标系，圆柱导体轴线沿 z轴方向。
采用求电容和电感类似的方法，假定在电压 U0作用下维持通过导体的稳恒电流 I 。 稳定电流密度 J 和稳恒电场 E 均由高电位指向低电位方向，即沿 方向。稳恒电场 E 是无旋场，是具有保守性的位场，利用位场关系式 先求出电场 E，得
z?a
0
zz
U
zl
E a a
E
由于导体为线形均匀媒质，上式中电位 沿 z轴也是呈线形关系变化。导体圆柱任一截面的体电流密度为
0
z
U=
l
J E a
通过导体圆柱的电流为由式（ 3.49）可得导体圆柱电阻为
00dd
SS
U U SIS
ll
JS
0U llR = = =
I S S
3.5 静电场的边界条件当媒质特性发生突变时，需要考虑源量、场量与突变边界媒质间的相互作用。
边界条件 —— 将静态场基本方程积分形式应用于边界面导出的、用于描述边界面两侧静态场变化关系的方程。
问题：为什么只能应用静态场基本方程的积分形式而不能应用其微分形式导出边界条件？
3.5.1 静电场的边界条件
1,D的法向分量图 3.16（ a）表示跨不同电介质 1,2构成的边界面作小扁圆柱面,将高斯定理积分形式应用于 S
1,2 3S S S
由 D=?E知，式（ 3.50b）变为
1 2 3
3
d d d dV
0 d 0 0
d 3,50a
S S S V
S
S
n
S
hS
S
(3.50a)
当 时,； 当 时,常 量,,
且,式 （ ） 变 为
D S D S D S
D S D
Sa
1 2 1 2
0( ) b
000
SSS
n n n
S
DD
,或 （ 3,5 0 ）
，a D D
1 1 2 2
0 c
00
SS
nn
S
EE
,（ 3,5 0 ）
，
2
0
3.50 b c
a
b
n n S
nS
D
E
当 电 介 质 2 改 为 导 电 体 时,静 电 平 衡 要 求,式
（,） 变 为
（ 3.51 ）
/ （ 3.51 ）
D
aD
2,E 的切向分量图 3.16（ b）表示跨不同电介质 1,2构成的边界面作小矩形回路,将安培环路定理积分形式应用于 L
1,2 32L L L
12
2
2
1 2 1 2
d d d 0 a
0 d 0 0
d 3.5 2a
( ) 0 b
E l E l E l
E l E
la
a E E
L L h
h
t
L
t t t
hL
L
EE
（ 3,52 ）
当 时,； 当 时,常 量,且
,式 （ ） 变 为
- 或 （ 3,52 ）
由 D=?E知，式（ 3.52b,c）变为
1 1 2 2/ / dttDD （ 3,5 2 ）
2 0
3,5 2
0a
D
tE
当 电 介 质 2 改 为 导 电 体 时,静 电 平 衡 要 求,式
（ ） 变 为
（ 3,53 ）
12( ) 0 c
a E a E E
a E E
t t t
n
E
由 于 与 都 表 示 在 界 面 的 切 向 分 量,故 上 式又 可 改 写 为
- （ 3,5 2 ）
2,?的边界条件图 3.16（ b） 中?1和?2为界面上、下两侧回线上某点电位，
当间距,,有图 3.16（ a）中界面上应用,式
（ 3.50b）变为当电介质 2改为导电体时，式（ 3.54）变为
0h 12 0Eh
n n
Ea
12 a （ 3,5 4 ）
21
21
0 b
00
SS
Snn
,（ 3,5 4 ）
，
/cSC n,（ 3,5 4 ）
3.5.2 静磁场的边界条件
1,B的法向分量图 3.17（ a）表示跨不同磁介质 1,2构成的边界面 S，将磁通连续性原理积分形式应用于 S
由 B=?H知，式（ 3.55b）变为
1 2 3
d d d 0 a
0 3,5 5 a
S S S
h
(3.55 )
当 时,式 （ ） 变 为
B S B S B S
2,H的切向分量图 3.17（ b）表示跨不同磁介质 1,2构成的边界面作小矩形回路 L，其所包围的曲面,的指向与 L的周边走向满足右旋关系，且相切于界面。若单位矢量,和 相互正交，
满足右旋关系,界面上存在面电流密度 Js，则将静磁场的安培环路定理积分形式应用于 L
l S?Sa la
na ta la
t l na a a
1 2 1 2( ) 0 bn n nBB 或 （ 3,5 5 ）a B B
1 1 2 2 cnnHH （ 3,5 5 ）
12
2
2
12
0
d d d d
0 d 0 3.5 6a
d ( d ) ( ) d
0
l i m
L L h S
h
t l l
L S L
S
h
h
l l h h l
l
h
(3,56a )
当 时,,式 （ ） 变 为
（ ） (3,56b )
当 时,常 量,利 用 定 义 式
(3.56
H l H l H l J S
Hl
H H a J a J a
H
JJ
12
12
1 2 1 t 2 t
c
d
( ) = ( ) 3.5 6d
e
f
l n S l
n l S l
n S S
H H J
)
式 （ 3.56c) 变 为
（ ） （ ） = (3,56 )
利 用 恒 等 式,式 （ ） 变 为
（ ） = (3,56 )
由 此 可 得
（ ） = 或 = (3,56 )
H H a a J a
A B C B C A
a H H a J a
a H H J
1 2 1 t 2 t
3.56f
0
0g
SS
n H = H
式 （ ） 表 示 的 切 向 分 量 在 界 面 处 不 连 续,其突 变 量 就 是 传 到 面 电 流 密 度 。 当 时,有
（ ） = 或 (3.56 )
H
JJ
a H H
由 B=?H知，式（ 3.56f,g）变为
12
12
0 h
00
SStt
S
JJBB
J
,（ 3,5 6 ）
,
当磁介质 2改为理想导磁体时,B2≠0和 H2=0，式（ 3.56g、
h）变为
0t t SH B J,（ 3,5 7 ）
3,A的边界条件将 代入式（ 3.55b）和（ 3.56f），并对式（ 3.55b）和（ 3.56f）在边界上积分，可得如下 A的边界条件（证明略）
BA
12
12
12
a
11
bnS
（ 3.5 8 ）
（ 3.5 8 ）
AA
a A A J
3.5.3 稳恒电流场和稳恒电场的边界条件只考虑由不同导电率?1和?2组成的两种导体边界面上的边界条件。只要令?1=0，即相当于介质和导体间边界面上的边界条件。式（ 3.41a）应用于小圆柱面和小矩形回路，得实际上，有耗媒质中同时用媒质特性量?和?表示，并由其相对大小认定媒质的导电性和介电性。令?2 >>?1，式（ 3.42a）
中 D的面积分应用于小圆柱面，得
1 2 1 2 1 1 2 2
12
1 2 1 2
12
( ) 0 a
( ) 0 b
n n n n n
tt
n t t
J J E E
JJ
EE
或,（ 3,5 9 ）
或,（ 3,5 9 ）
a J J
a E E
当导电媒质 2改为理想导电体时，式（ 3.59b） 和 （ 3.60b）
变为由 和式（ 3.59a,b）知
n n
J E a
12
12 12
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) a
b
nS
nn
S n n n
JJ
D D J
（ 3,6 0 ）
= （ 3,6 0 ）
a D D
0 StnEE,（ 3,6 1 ）
12
12
12
nn
3.62a
3,6 2 b
（ ）
（ ）
3.6 静态场的能量
3.6.1 静电场的能量从功能转换关系讨论静电场对电荷或带电体作功的问题。
功能转换应遵守能量守恒定律。
1．离散带电导体的能量设具有电容 的孤立导体，开始时不带电荷，以任意方式对它充电，直到达到静电平衡时，电荷达到终值 Q。
对线性电介质：充电电量增至?dq倍 → 孤立导体的电位增至?d?倍（ 0＜?＜ 1）。
由式（ 3.5）知,得外力或外源作功的增量
/CQ
Wq
d d [ ( ) ( ) ]Wq
对于具有 N个带电导体的多导体系统，其总功增量 dW转换为带电导体系统具有的储能增量 dWe，有故 N个带电导体电量从零值增加至终值时，带电导体的储能为即
1
d d a
N
e i i
i
Wq
（ 3,6 3 ）
10
1
dd
N
e e i i
i
W W Q
2
2
1 1 1
1 1 1 b
2 2 2
N N N
i
e i i i
i i i
QW Q C
C （ 3,6 3 ）
2．连续分布电荷的能量连续分布电荷可看作离散体电荷的极限形式。将连续分布体电荷密度?(r)的体积 V划分为 N个小体积元，对应于任一体积元 △ Vi中的电荷元 △ Qi=?(r) △ Vi的能量 △ Wei，式 （ 3.63b） 可改写为
1 1 111 ()22N N Ne i i i i ii i iW Q V r
0
1
( ) ( ) d
2
1
( ) ( ) d b
2
1
( ) ( ) d c
2
i
e
V
eS
S
el
l
V
WV
WS
Wl
当 时,上 式 变 为
(3.64a)
同 理,对 于 面 电 荷 和 线 电 荷 的 密 度 分 布
(3.64 )
(3.64 )
rr
rr
rr
3．静电场的能量和能量密度静电场的能量不是集中在带电导体或电荷分布上，而是充满在其周围的整个静电场所在空间中。为揭示静电场能量的分布规律，需要用场量表示静电场能量。
利用 － ▽? =E和?=▽ ·D置换式 （ 3.64a） 中的?(r)和? (r),
并按恒等式 ▽ ·（ uF） =u▽ ·F+F·▽ u将式中变为
()
()
11
( ) d d
22
VV
W e V V
D D D
D D E
D D E
式（ 3.64a）变为利用高斯定理，第一项变为
1 d
2 s DS?
闭合面 S 扩大至整个空间时，分布于有限区的电荷视为点电荷，
上式积分随 r→∞ 的量纲关系为
2
2
1 1 1 0
rD S rr r r
第一项变为零，得看出静电场能量存在于静电场中，可引入静电场能量密度描述场中任意点静电场的特性，定义为能量单位为 J（焦耳），能量密度单位为 J/m3（焦耳 /米 3）。
2
1
( ) ( ) d
2
1
d
2
V
V
We V
We E V?
3.65a
3,65 b
（ ）
（ ）
D r E r
2
d 1
( ) ( ) a
d2
1
b
2
e
e
e
W
wE
V
wE?
（ 3,66 ）
（ 3,66 ）
D r r
【 例 3.9】 在介电常数为?的线性电介质中，有一半径为 a，
电荷量为 Q的孤立导体，求其静电场能量。
解：
方法一：利用式（ 3.63b）计算令 N=1，半径为 a带电量为 Q的孤立导体球的电位为利用式（ 3.63）得方法二：利用式 （ 3.64b）
孤立导体为等位体，电荷只能分布在导体表面，面电荷密度为
4
Q
a
21
28e
QWQ
a
24S
Q
a
利用式（ 3.64b）得方法三：利用式（ 3.65b）
由球对称性知，利用高斯定理可求出孤立导体球的静电场为式（ 3.65b）变为
2
2
2
11 d4
2 2 4 84es S
Q Q QW S a
aaa
24r
QE
r
22
2
00
d d s i n d 8ee
a
QW W r r
a
3.6.2 静磁场的能量
1．离散载流导体回路的能量设具有电感 的单导体回路，开始时不带电流，以任意方式对它充电流，直到达到动态平衡时，电流达到终值 I。
充电电流量增量 di?单导体回路反向电压增量 du?外源作功增量利用 和外源作功增量 dW转换为单导体回路储能增量 dWm，得
L I?ψ
iu t
ddLi
d d ( ) dW u i t?
dd d d d a
d iW i t i L it
（ 3,6 7 ）
ψ ψ
2
0
11db
22
I
mW Li i LI I （ 3,6 7 ）ψ
对线性磁介质中的 N个载流多导体回路系统：充电电流增至磁通增至,由式（ 3.67a）知得
jjiI ( 0 1 )jj
1
1 1 1
d d d d
N N N
m m j j j j j o
j j j
W W i I
1
1
11
1
2
1
b
2
N
m j j
j
N
j k j k
k
NN
m k j j k
jk
WI
LI
W L I I
(3,68a)
式 中,。 由 此 得
(3.68 )
2．连续分布电流的能量连续分布体电流可看作离散载流回路的极限形式。取连续分布电流 J(r)的磁矢位为 A(r)，式（ 3.68a）中的?j利用斯托克斯公式改写为有式（ 3.69）中的 Ij穿过由 lj所包围的曲面 Sj。将穿过 Ij的曲线划分为 N个小面积元 △ Sj,穿过 △ Sj的电流元 △ Ij =J(r) ·△ Sj,
它所产生的磁能为 △ Wmj，式（ 3.69）改写为
d ( ) d d
j j jj j j jS S l
B S A S A l?
1
1 d
2 j
N
m j jl
j
WI
(3.69)Al
1 1 1
11 ( ) d ( ) ( d )
22jj
N N N
m j j j j jll
j j j
W I I
A r l A r l
利用,上式变为体积分。当 时，有同理，对于面电流和线电流的密度分布
0iVddIV?lJ
1 ( ) ( )
2m VW d V (3.70a)A r J r
1
( ) ( ) d
2
1
( ) d
2
mS S
ml l
WS
Wl
(3.70b)
(3.70c)
A r J r
A r J r
3．静磁场的能量和能量密度静磁场的能量不是集中在载流多导体回路或电流分布上，
而是充满在其周围的整个静磁场所在空间中。为揭示静磁场能量的分布规律，需要用场量表示静磁场能量。
利用 置换式（ 3.70a）中的 J，并按恒等式将式中 变为
（式 3.70a）变为利用高斯定理，第一项变为闭合面 S扩大至整个空间时，分布于有限区的电流产生的场和位的积分随 r的量纲关系为
JH
()A B B A A B?AJ
()
()
A J A H H A H A
H A H B
11( ) d d
22m VVW V VH A H B
1 ( ) d
2 S H A S?
2
2
1 1 1 0
rH A S rr r r
第一项变为零，得空间任意点静磁场的能量密度
2
1
( ) ( ) d
2
1
d
2
m
m V
WV
W H V?
(3.71a)
(3.71b)
H r B r
2
1
( ) ( )
2
1
2
m
m H?
(3.71c)
(3.71d)
H r B rw
w
【 例 3.10】 通过磁能求同轴线单位长度的内、外自感。
题设条件见例 3.6和图 3.13。
解：
对于载流单导体回路，应用式（ 3.67b）得求电感归结为求磁能。利用式（ 3.71b）求磁能时，首先必需求磁场强度。由轴对称性知，采用安培环路定理易求出磁场强度为
2
2 mWL
I?
1 2
2
2
2
I
a
a
I
ab
,0
,
Ha
Ha
2 2
2
11 2
00
2 2
2
12
2 d 2 d
2 2 162
2 d 2 d
2 2 2 4
aa
m
bb
m
aa
II
WH
a
I I b
WH
a
(J / m)
ln (J / m)
同轴线单位长度的总磁场能量为因此，同轴线单位长度的内、外自感为外自感与例 3.6所求结果一致，但这里所用求解方法更为简便。
22
12 ln1 6 4m m m
I I bW W W
a
0 1 22
2 ( ) l n
82mm
bL W W
aI
(H / m)
由此求出两区域单位长度内的磁场能量为
3.7 静态场的计算方法
① 分布型问题 —— 在自由空间或均匀媒质中，由源量（?,J）
求场量（ E,B）、辅助场量（ D,H）或辅助位（?,A）；
②边值型问题 —— 在突变媒质边界面上，由位和面分布电荷、
电流 （?,?s,Js,?s′,Js′ ） 求场量、辅助场量或辅助位。
1．静态场的直接解法、间接解法和特殊解法
3.7.1 静态场的分布型问题静电场解法
（ 1）静电场量公式（直接解法）
点电荷（库仑定律）
离散、连续分布电荷（库仑定律 +叠加原理）
（ 2）静电位标量公式（间接解法）
利用 简化积分形式
（ 3）高斯定理公式（特殊解法）
面、柱、球对称性（高斯定理转化为代数方程）
E
2．静电场的解及应用
【 例 3.11】 已知半径为 a的金属导体球内，按图 3.18所示位置挖出两个立方体小腔。腔内分置点电荷 q1和 q2，在距导体中心为 r（ r≥a） 的点 P处设置一试验点电荷 q0。（ 1）按照那些物理概念可以求 q0所受的力；（ 2）写出 q0所受静电力的定律，并求 F；（ 3）写出点 P处电场强度的定义，并求 E；（ 4）写出点
P处电位的公式，并求?。
静磁场解法
（ 1）静磁场量公式（直接解法）
（ 2）静磁位矢量公式（间接解法）
利用 简化积分形式
（ 3）安培环路定理公式（特殊解法）
柱对称性（安培环路定理转化为代数方程）
BA
解：
（ 1）由 静电屏蔽 概念知 q1,q2与 q0间无作用力；由 静电感应 概念知,q1和 q2分别在两小腔内壁感应 -q1和 - q2，因此在导体球面上出现异性等量电荷 q1+q2,并与 q0间有作用力；由 点电荷 概念知，由于 r >> a，可视为点电荷 q1+q2,它与点电荷
q0间的作用力适用于库仑定律的应用条件
（ 2） q0所受静电力为
（ 3）点 P处电场强度为
（ 4）点 P处电位为
0 1 2
2
0
()
4r
q q q
r
Fa
12
2
0 04
r
qq
q r
FEa
12
2
0
1 2 1 2
2
00
1
dd
4
d
44
rr
rr
r
qq
r
r
q q q qr
rr
E l a a
【 例 3.12】 自由空间中有一半径为 a的孤立导体带电球，所带电量为 Q，如图 3.19所示。试求球内、外的电场强度（见例 2.1）。
解：
解法一：利用静电场公式导体电荷只能均匀分布于导体表面，其面电荷密度为 。
采用球坐标系，令极轴通过场点 P，如图 3.19
所示。利用式（ 2.22），点 P处的电场强度为
3
0
2
2
300
0
1
( ) d
4
1
d s in d
4
SS
S
S
R
a
R
( 3,7 2 )
R
Er
R
24S
Q
a
2
d sin
02
d
d d c o s d
z
z
Sa
P
P
az
E E a P
式 中,球 面 积 元 为 = d d 。 不 同 角 的 面 元 点 电 荷在 场 点 产 生 的 场 总 可 以 分 解 为 沿 轴 向 的 分 量 和 与 轴 垂 直 的 径向 分 量 。 由 于 旋 转 对 称 性,在 角 从 至 的 变 化 范 围 内,所有 与 轴 相 对 称 的 面 元 点 电 荷 在 场 点 产 生 的 合 成 场,其 径 向 分量 均 等 值 反 向 而 抵 消,只 剩 下 相 叠 加 的 轴 向 分 量 。 由 于 合 成场 只 沿 极 轴 的 方 向,所 以 矢 量 求 积 分 时 仅 取 的 分 量 积 分,
即 对 积 分 。 显 然,在 点 处
E
2
2
0
0
2
2
0
0
d
c o s sin
( ) d
2
c o s
d ( c o s )
2
zr
S
r
S
EE
a a
E
R
a a
R
,有
(3.73)
r
2 2 2 2 2 2
3.73 3.19
c os c os
22
d c os ) d
>
a R r a
a r R
R r a a r R
a
rR ar
R
R
ar
ra
式 （ ） 是 图 中 球 面 上 法 线 方 向 与 极 轴 夹 角 处,沿 方位 角 旋 转 一 周 所 形 成 的 带 状 面 元 在 场 点 产 生 的 电 场 的 积 分 。
根 据 斜 三 角 形 的 余 弦 定 理,在 由 临 边,及 对 边 构 成 的 三 角形 和 由 临 边,及 对 边 构 成 的 三 角 形 中,可 以 分 别 得 到
,
(-
对 于 的 球 外 区 域
2 22
22
0
22 22
2 2 2 2
0 0 0
( ) 1 d
4
44
ra
S
r
ra
SS
r a R r a
a ra
ER
rR
raaa r a Q
R
rar R r r
,0 的 积 分 区 域 对 应 于的 积 分 区 域,所 以
=
r
22
2
0
2
0
<
( ) 0
4
4( ) ( )
0<
S
r
r
rr
r a a r
ara ra
ER
arRr
Q
r > a
rE
ra
对 于 的 球 内 区 域,和 应 交 换 位 置,即
=
将 球 内,外 的 电 场 强 度 写 成 如 下 矢 量 形 式
,
,
解 法 二,利 用 静 电 位 标 量 公 式仿 解 法 一,将 式 （ 3.2c ） 对 球 坐 标 系 进 行 积 分,得
r
a
E r a r
0
2
2
00
0
2
0
0
1
d
4
1
sin d
4
1
d c os
2
S
S
S
S
S
R
da
R
a
R
（ ） =
=
= （ ） （ 3.7 4 ）
r
00
2
0
0
2
0
0
d c o s ) d > 3,7 4
( ) d R
22
<
()
ra
SS
ra
S
S
S
S
R
R r a
ar
raaa
R
rarr
a
r
a
r a a r
r
a
r > a
r
a
代 入 (-,对 于 的 球 外 区 域,式 （ ） 变 为对 于 的 球 内 区 域,和 应 交 换 位 置,得 （ ）,可 知
,
,
r
r
r
r < a
电 场 强 度 的 矢 量 形 式 为
2
0
2
0
()
( ) ( )
4
00
( ) 4
0
r
r
r
r
Q
r > a
r
r<
Q
r > a
r
r < a
,
,
方 法 三,利 用 高 斯 定 理 公 式利 用 球 对 称 性,高 斯 定 理 公 式 （ 2.25 ） 可 变 为 如 下 代 数 式
,
,
即 得
r
r r a
a
a
r
2
0
4()
0
r
Q
r > a
r
r < a
,
,
看 出 即 便 是 在 球 对 称 条 件 下,解 法 一 都 比 其 他 两 个 方 法 复 杂,在 非 对 称条 件 下,一 般 很 难 得 出 解 析 结 果,应 尽 量 应 用 解 法 三 进 行 对 称 性 问 题 的 求 解 。
a
r?
【 例 3.13】 半径为 a,b（ b＞ a） 的两个球面的球心相距为 d，且 d+a＜ b。两球面间的体电荷密度为?，如图 3.20所示。求半径为 a的偏心球形空腔内的电场强度。
解：
偏心球形状的不对称性导致其所带电荷产生的电场分布也不对称，似乎不满足应用高斯定理的条件。但我们可以应用叠加原理和补偿法将其转化为对称性问题来求解。方法是将他们变为两个半径分别为 b和 a,且带电量分别为 +?和 -?对称性带电球，分别应用高斯定理求出他们的电场强度，然后应用叠加原理求其合成场。
将高斯定理积分形式分别应用于带电体电荷密度 ±?,且半径 b和 a的 两个对称球体，容易求出它们在偏心带电球形腔内点 P
处的电场强度分别为点 P的合成场为由图 3.20可知,r1=d+r2。 d=add为指向 OO′的矢径，则上式变为可见空腔内的 E(r)为一指向 ad方向的均匀电场强度
1
2
1
1
0
2
2
0
()
3
()
3
r
r
r
r
E r a
E r a
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )3E r E r E r r r
0
() 3d dE r a
3．静磁场的解及应用
【 例 3.14】 求无限长直载流导线的直流电流 I产生的磁感应强度（见例 2.2）。
解：
解法一：利用静磁场量公式例 2.2已用式（ 2.35）求得 B 的结果。
解法二：利用静磁位矢量公式在圆柱坐标系中,A与? 无关，由式（ 3.9a）可得
0
2 2 1 / 2
220
22
0
22
d
4 ()
l n ( )
4
ln
4
L
z
L
z
z
I z
z
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zz
L
LLI
LL
=
=
a
A
a
a
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0
22
0
1
( ) 0
ln
4
2
2
z z z
zz
A A A
A
LLI
LL
IL
L
LL
I
利 用 ==,考 虑 到,可 得
= -
=
对 于 无 限 长 直 载 流 导 线,,当 时,上 式 退 化 为
=
解 法 三,利 用 安 培 环 路 定 理 公 式
B A a a a
Ba
a
Ba
0
2.42
2
I
由 于 圆 柱 对 称 性,可 由 式 （ ） 直 接 得 到
=Ba
【 例 3.15】 已知双线传输线半径均为 a，轴心距为 d＞ a，两导线形成的回路中通过电流为 I，导线周围媒质的磁导率为?0，
如图 3.21所示。求双线传输线电流产生的磁感应强度和单位长度自感。
解：
双线传输线及其磁场分布均不具有柱对称性，但每个单独的传输线则具有柱对称性。因此，可分别应用安培环路定理于每个传输线，再结合叠加原理求其合成磁场，进而求出自感。
选用圆柱坐标系，由安培环路定理和叠加原理可得穿过两导线间宽为 d?，轴向长度为单位长度 l=1的面积元的磁通为 d?=B·dS=B?a?· a?dS=B?d?，因此
00
2 2 ( )
II
d
B a a
0
0
11
dd
2
ln
da
a
I
d
I d
a
ψ ψ
利用 d?a，可知双线传输线的单位长度外自感为而两根导线单位长度内自感为每根导线的两倍。对于细导线而言，可以忽略不计，所以传输线单位长度的自感近似写为外自感之值。
0 0 0
0 l n l n
d a dL
I a a
ψ
3.7.2 静态场的边值问题
1．边值问题的类型和唯一性定理
（ 1）第一类边值问题,
（ 2）第二类边值问题,
（ 3）第三类边值问题,
1 1s 2 2s
1
1
1
s
s
on
2
2
2
s
s
on
1 1s 2
2
2
s
s
on
边值问题类型假想无限大球面 上满足自然边界条件S
l i m 0rsr
（参考点选在无限远处）
唯一性定理：场域中的位函数只要同时满足场域中的泊松方程或拉普拉斯方程及边界面上任一类边界条件，该位函数必定是方程唯一正确的解。
（ 1） 提供求边值问题正确性的衡量标准；
（ 2） 提供求边值问题唯一性的理论依据；
（ 3） 提供建立其他原理的理论基础。
唯一性定理的意义
2．静态场的直接解法、间接解法和特殊解法
（ 1）直接积分法（直接解法和特殊解法）
直接积分法 —— 求解位的一维二阶常微分方程时，对其进行逆运算，直接积分两次，以还原所求位函数，再由边界条件对两积分待定系数形成的两项叠加解定解。
（ 2）分离变量法（直接解法）
分离变量法 — 将三维偏微分方程的复杂通解表示为三个一维常微分方程的简单通解的乘积?（ x,y,z） =X（ x） Y（ y） Z
（ z）,代入偏微分方程进行变量分离，即得分别含自变量 x,y
和 z的三个常微分方程，由直接积分法求其通解后相乘，即得偏微分方程的通解。
（ 3）镜像法（间接解法）
镜像法 — 基于唯一性定理，场域内的源及其在界面上感应的复杂面源在域内某点产生的合成场，等效于域内源与域外虚设简单镜像点源或线源产生的合成场；只要按方程和边界条件的要求找出虚设简单镜像源的个数、位置和大小，即可对复杂未知面源进行等值代换。
3.7.3 直接积分法
【 例 3.16】 利用直接积分法重解例 3.12。
解：
孤立导体球具有球对称性，选择球坐标系，则电位函数的拉普拉斯方程由三维形式退化为一维形式积分两次得已知边界条件为
2dd 0
ddrrr
2
2
dd
dd
A
rA
rr r
A
B
r
或
= -
由边界条件确定 A和 B，有故得与例 3.12的结果一致。
00
dd
0
SSra
nr
r
处 或处
2
2
00
d
d
00
SS
ra
r
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A
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A
BB
或或
2
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2
0
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d
d 4
S
r
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rr
Q
r r
Ea
【 例 3.17】 半径为 a的无限长圆柱导体内，沿轴向的电流为 I。
求导体内、外的矢量磁位。
解：
由题设条件可知穿过横截面的电流密度为 。选择圆柱坐标系，则磁矢量 的 z
分量在柱内有源区的泊松方程和柱外无源区的拉普拉斯方程都退化为一维常微分方程，可用直接积分法求解。
在导体内部 的泊松方程为积分两次，得通解
2/zzJ I aJ a a zzA?Aa
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1
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zA J
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JA A B
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z
zz
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A A A
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A
r
时 l n -,无 意 义,为 确 保 为 有 限 值,应 令 ；
对 于 无 限 长 电 流 源,的 参 考 点 不 能 取 在 无 限 远 处,若 选 取处 为 的 参 考 点 时,要 求 得在 导 体 外 部 （ ）,的 拉 普 拉 斯 方 程 为积 分 两 次,得 通 解
A
2
12
12
22
ln
3,5 8
z
zz
zz
A A B
a
AA
AA
在 边 界 面 处,将 式 （ ） 转 化 为 如 下 标 量 形 式 的 边 界 条 件
,
12
20
222
0 2
00
22
0
2
ln
4
2
1
ln
2 2 2
1
ln
22
zz
AA
I
a A a B
a
I A
aa
II
A B a
I
A
a
将 和 之 值 代 入 上 式,可 得联 立 求 解 得
,
故 得
*3.7.4 分离变量法
（ 1）列出适当坐标系中的方程求通解；
（ 2）列出齐次和非齐次边界条件；
（ 3）按齐次边界条件和函数性质求待定常数和分离常数；
（ 4）按非齐次边界条件和正交归一性条件完全定解。
求解步骤
【 例 3.18】 横截面为长 a、宽 b的无限长矩形导体槽，除一侧边界面电位为 U0外，其余三个边界面电位均为零，如图 3.22所示。试求此导体槽内的电位分布。
22
22
22
1
/0
) ( ) ( )
3.75
1 d 1 d
dd
z
z
xy
x y X x Y y
XY
XY
X x Y y
（ ） 列 方 程 求 解为 适 合 场 的 边 界 条 件,选 择 直 角 坐 标 系 。 电 位 沿 方 向 无 变化,即,故 拉 普 拉 斯 方 程 为 二 维 形 式
+ =0 （ 3.75 ）
令 通 解,
代 入 式 （ ）,并 除 以,得上 式 中 右 边 是解,
2
yx
k
的 函 数,左 边 是 的 函 数,二 者 要 相 等,只 有 都等 于 一 个 常 数 才 可 能 。 令 分 离 常 数 为,则 将 上 面 二 维 偏 微 分方 程 分 离 为 两 个 常 微 分 方 程
2
2
2
2
2
2
2
00
2
2
00
d
0
d
d
0
d
( ) ( ) 0
c os si n ) 0
( ) ( ) 0
c os si
X
kX
x
Y
kY
y
X x A x B k
A hk x B hk x k
Y y C y D k
C k y D
方 程 的 解 为
,
+(,
,
+(
2
0 0 0 0
1
n ) 0
)
( 1 2 )
) ( ) ( )
c os si n ) c os si n )
n
n n n n
n
k y k
x y k
kn
x y A x B C y D
A hk x B hk x C k y D k y
，
,的 通 解 可 写 成 线 性 叠 加 形 式,此 时 分 离 常 数 可 取 一 系列 特 定 之 值,,,故 得
，
+ ( ( (3.76)
0
2
0) = 0 0 a
) = 0 0 b
0 ) = 0 0 c
) = 0
x x a
x b x a
y y b
a y U y b
（ ） 列 边 界 条 件
,,（ 3.77 ）
,,（ 3.77 ）
,,（ 3.77 ）
,,
0 0 0
0
0
d
a
0 ( )
c os si n )
0 0( 1 2 )
n n n n n
n
n
A x B D
A hk x B hk x C
x a x
D C n
（ 3.77 ）
（ 3 ） 由 齐 次 边 界 条 件 定 解式 （ 3.77 ） 代 入 式 （ 3.76 ）,有
+ (
要 使 在 (0,) 范 围 内 变 化 取 任 何 值 上 式 都 成 立,由 于 的 函 数项 不 为 零,只 能 取 和,,,于 是,有
0 0 0
1
0 0 0
1
) ( )
c o s sinh ) sin a
3,7 7 b 3,7 8 a
0 ( )
c o s sin ) sin
n n n n n n
n
n n n n n n
n
x y A x B C y
A h k x B k x D k y
A x B C b
A h k x B h k x D k b
xa
，
+ ( (3.78 )
再 将 式 （ ） 代 入 式 （ ）,有
+ (
同 样,要 使 在 ( 0,) 范 围 内
0
0 sin 0 ( 1 2 )
3,7 8 a 0 ) 0
sin 0
12
nn
nn
n
n
x
C D k b n
D x y D
kb
n
kn
b
变 化 取 任 何 值 上 式 都 成 立,由 于 的 函数 项 不 为 零,只 能 取 和,,。 但 是,由 式
（ ） 知,若,则,,故 不 能 取 零 值,只 能 令
,由 此 得
,,,
1
1
3,78 a
) c os sin ) sin 78 b
3,77 c 3,78 b c os 0 1 sin 0 0
0 sin
0
0( 1 2 ) 3,7
n n n
n
nn
n
n
n
n n n
x y A h x B h x D y
b b b
hh
n
A D y
b
y b D
An
代 入 式 （ ）,有
,( （ 3,）
又 将 式 （ ） 代 入 式 （ ）,由 于 和,可 得要 使 在 (0,) 范 围 内 变 化 上 式 取 任 何 值 都 成 立,且,则 应令,,,于 是 式 （
1
8b
) sin sin 78 c
n
n
n n n
nn
x y h x y
bb
BD
） 变 为
,（ 3,）
式 中,为 待 定 常 数 。
0
0
0
0
dc
si n si n 79 a
3.7 9a
( ) si n 79 b
n
n
n
n
nn
U h a y
bb
y b U
n
f y a y
b
（ 4 ） 由 非 齐 次 边 界 条 件 定 解式 （ 3.77 ） 代 入 式 （ 3.78 ）,有
（ 3,）
可 以 看 出,式 （ ） 即 为 在 (0,) 区 间 将 非 零 边 值 展 开 为正 弦 函 数 的 傅 里 叶 级 数,可 写 为
（ 3.
0
a b si n 3.7 9 b
si n ( )
nn
n
n
a h a
b
m
a y f y U
b
by
）
比 较 式 （ 3.79,） 知 。 式 （ ）
中 的 系 数 由 正 交 归 一 性 条 件 确 定,为 此 以 乘,
并 在 (0,) 范 围 内 对 取 积 分,以 构 造 如 下 正 交 归 一 性 条 件
0
0
00
1
02
sin sin d
1
3,79 b
sin ( )
sin sin d sin d
3,79 d
b
m
n
n
bb
n
n
mnmn
y y y
mnb b b
m n a m n
a
m
a y f y
b
m n m
a y y y U y y
b b b
，
(3.79c)
，
显 然,式 （ ） 中 的 系 数 均 被 淘 汰,仅 留 下 的 系数 。
下 面 对 进 行 具 体 计 算 。 对 取 积 分 后,得
(3,7 9d )
式 （ ） 右
00
( ) ( )
sin sin d c os c os d
2
0
2
bb
n
n
n
am n m n m n
a y y y y y y
b b b b
mn
a
b m n
边 的 积 分 为
，
，
0
0
0
1
c
d
4
1 3 5
0 2 4 6
4 1
1 3 5
si n si n
3.78 c
si n
4
) si n
si n
n
n
n
n
U
n
a n
n
aU
n
nn
n
aa
bb
n
hx
U n
b
x,y y n
n
nb
a
b
式 中 已 利 用 了 正 交 归 一 性 条 件 式 （ 3.79 ） 。 将 以 上 两 式 代 入式 （ 3.79 ）,得
，,,,
，,,,
或
,,,,
故 式 （ ） 变 为
,1 3 5 ( 3.80，,,）
3.7.5 镜像法
【 例 3.19】 点电荷对无限大接地导体平面的镜像。点电荷 q距下方无限大接地导体平面的距离为 h，如图 3.23所示。求上半平面静电场的电位。
解：
上半空间（ z＞ 0）总电场的位是由原有点电荷 q和导体平面上的未知感应面电荷?S共同产生的。基于唯一性定理，只要我们能找出一个假想虚设点电荷 q′，使 q和 q′所产生场的位满足相同的方程和边界条件，则 q′所产生场的位可以等值代替?S所产生场的位。
如何找出虚设点电荷 q′的大小和位置呢？显然，必须要求点电荷 q
和 q′所产生的总场的位满足相同的齐次方程 2 0
和接地齐次边界条件 。如果将虚设点电荷 q′设置在上半平面内，则与非含源方程不相容，为了满足齐次方程，虚设点电荷必须设置在下半平面内。我们猜想，如果该虚设点电荷 q′和原电荷 q处于相对地平面对称的位置，且虚设点电荷 q′与地平面距离 h′=h,q′=q,形成镜像关系，故 q′称为 q的镜像电荷。于是，
点电荷 q和 q′在上半空间的合成电位为显然，除点电荷 q所在处外，电位 Φ（ x,y,z)在上半空间（ z＞ 0）
满足齐次方程,在地平面（ z=0）处满足齐次边界条件 。这就证实了我们的猜想是正确的，是满足唯一性定理要求的。
0 0z
0 0z
2 0
2 2 2 2 2 2
11(,,)
4 ( ) ( )
qx y z
x y z h x y z h
如何进行上述值的替代呢？具体做法是将图 3.23中有界空间的导体平面移去，代之以具有与上半空间相同的媒质区域，形成具有媒质特性参量为?的无界均匀空间，再按图 3.24中所示设置镜像点电荷 q′。
● 确定镜像电荷的原则：
（ 1）镜像电荷必须位于原电荷所在求解区域之外的空间中，
因此镜像等效性只适合于求解区域，这样的区域称为 等效区域或 有效区域 ；
（ 2）在非等效区域的等值代替是指以媒质空间代替导体区域，以镜像电荷代替导体界面上的未知面电荷分布，以满足等效区域的等效性要求；
（ 3）镜像电荷的个数、大小和位置由原边值问题来确定，
即必须同时满足相同的方程和边界条件。
3.7.6 无源区问题的类比解法
1．稳恒电场与静电场的比拟关系
0 ( )EE
0J
JE
2 0
0 ( )EE
0D
DE
2 0
12nnJJ?
12ttEE?
12
1212
nn
12nnDD?
12ttEE?
12
2212nn
dsIJS dsqDS
,,,,IEJ,,,,qED
静电场（? =0）稳恒电场（ E?=0）
静电比拟 —— 无源区的稳恒电场和静电场满足相同的拉普拉斯方程和边界条件时，可以由静电场的已知解通过类比量代换得到稳恒电场的解。
得比较
d
d
d
d
s
l
l
s
Q
C
U
U
R
I
ES
El
El
ES
1 aR
C
（ 3,8 1 ）
1
1
b
G / R
G
C
已 知 电 容 器 两 级 间 的 电 导 为,则 电 导 与 电 容 间 的关 系 为
（ 3,8 1 ）
由 此 可 知,若 已 求 得 两 极 间 的 电 容,则 可 按 式 （ 3.81 ）
用 取 代,即 可 得 到 两 电 极 的 电 阻 和 电 导 。
【 例 3.20】 深埋接地器采用球形接地器，浅埋接地器采用半球接地球，如图 3.25所示。试求半径为 a的半球接地器的接地电阻。
解：
接地电阻主要指大地土壤中的电阻，称为大地电阻。由于接地时电流主要集中在接地器周围，所以接地器电阻也主要在接地球附近。首先求面积为 2?a2的半球接地器的电容为采用静电比拟法求电阻时，利用式（ 3.87a）可得显然，对于深埋球形接地器，其接地电阻是上述半球接地器的一半。
2
2
0
0
( 2 )
d 4
2
1d
4
S
a
q
a
a
Ca
q
ra
ES
El
11 ()
2R Ca
2．静磁场与静电场的对偶关系
0 ( )mHH
0B
0 ()B H M H
2 0
0 ( )EE
0D
0D E P E
2 0m
12nnBB?
12ttHH?
12mm
1212mmnn
12nnDD?
12ttEE?
12
2212nn
,,,,mH B M,,,,E D P
静电场（? =0）静磁场（ J=0）
对偶变换 —— 无源区的静磁场与静电场满足相同的拉普拉斯方程和边界条件时，可由静电场的已知解通过对偶量变换得到静磁场的解。
【 例 3.21】 仿静电场，与圆电流回路等效的磁偶极矩也可定义为,qm为产生标量磁位 的磁荷,l的方向由?qm指向
+qm 。试仿照例 3.1求电偶极子的电位和电场的方法，重新求例
3.2中圆电流回路的磁场。
mq?ml m?
解：
由于正、负磁荷与正、负电荷所产生的位具有相同的数学形式，不必重新求解，只需对例 3.1的结果进行对偶变换，即可得
3
0
0 3
4
2 c os si n
4
m
mr
r
m
r?
mr
B a a
3,8 静态场的应用阅读材料：自学或选讲。
选讲用图：
3,1 辅助位和辅助位方程
3,2 介质中的静态场 — 辅助场量方程
3,3 导体中的静态场 — 稳恒电流场和稳恒电场方程
3,4 静态场中的导体
3,5 静态场的边界条件
3,6 静态场的能量
3,7 静态场的计算方法
3,8 静态场的应用第三章 静态场自由空间中静止电荷和稳恒电流产生的静态场由场量基本方程来表述，它能反映源量和场量的相互作用规律和转化关系。
本章应用对比和比拟的方法，将场量基本方程推广到媒质中，进一步建立媒质在极化、磁化和传导条件下的辅助场量方程，它能反映源量、场量和媒质的相互作用规律和转化关系。由此涉及定义辅助场量和建立媒质边界条件的问题。在此基础上讨论静态场应用中的重要问题：静态场中导体的电容、电感和电阻、静态场的能量、静态场的计算方法和静态场的应用。为了分析计算这一系列复杂问题，首先必须引入简化分析计算的辅助位。
3.1 辅助位和辅助位方程
3.1.1静电场的标电量位及标量电位方程为简化分析计算，引入标量电位间接表示电场强度矢量 E，
其关系为单位为 V（伏特）。
() = ( ) ( 3,1 )E r r
比较式（ 3.1）和（ 2.20） ~ （ 2.23），得式中 。
3
1
RR
R
10
1
0
1
0
1
0
1
()
4
()1
( ) d
4
()1
( ) d
4
()1
( ) d
4
N
i
i
l
l
l
q
l
(3.2a)
(3.2b)
(3.2c)
(3.2d)
r
rr
r
r
rr
r
rS
rr
r
rV
rr
电位的物理意义图 3.1表示点 P1沿任意路径到点 P2，两点间的 电位差 或 电位
22
11
12( ) d d ( ) ( ) ( )
pp
PP
U
( 3.3)
E r l r
若场源电荷分布在有限区域，则应选取无限远处为电位参考点
0
0( ) ( ) ( ) d
r
r （ 3,4 a ）r r r E l
( ) dr (3.4b)r E l
选择场中任一使 为零的固定点（参考点），任意点 r与参考点的电位差就是该点的电位
0()? r
设电荷 q受电场力 F作用沿任意路径移至无限远处，则电场力作功即
ddrrW q qF l E l = r
看出 静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力作用下，自该点沿任意路径移至无限远过程中电场力所做的功。
W q (3.5)r
静电场的保守性 —— 静电力对点电荷所做的功仅与电荷始末位置有关，与电荷位移位置无关。这表明在无非静电场作用下，静电力对电荷沿任意闭合路径移动所做的功保持为零。
电位参考点的选择原则原则上可选任意点作电位参数点，总的要求场点和源点不能重合。
具体选择原则：
（ 1）在理想情况下，若电荷分布在有限区域（如点电荷），则应选取无限远处为电位参考点；
（ 2）在理想情况下，若电荷分布在无限区域（如无限大均匀带电平面和无限长均匀带电直线或圆柱），则应选取附近某一有限远处为电位参考点；
（ 3）在实际应用中（如电气设备），通常选取地面为电位参考点（机壳接地）；
（ 4）当对同时存在的几个静电场选取了不同的电位参考点时，可选取合成场电位函数式中的待定常数叠加值为电位参考点。
标量电位方程式（ 3.1）代入式（ 2.27），得电位的标量泊松方程在无源区,得电位的标量拉普拉斯方程( ) 0r
2
0
()()
(3.6)
rr
2 ( ) 0 (3.7)r
【 例 3.1】 电偶极子 是由两个相距很近的等量异性点电荷组成的系统，如图 3.2所示。
如果 q为每个点电荷的电量，
矢量 l的大小为 l，方向由 -q指向 +q，则电偶极子可以用 电偶极矩 （或 电矩 ） P=ql来表示。求电偶极子在离它很远的空间某点 P处（ r>>l）产生的电位和电场。
解：
取电偶极子沿 z轴正向放置于原点对称位置。正、负点电荷到任意点的距离分别为 r+和 r-，坐标原点到任意点的距离为 r。
电偶极子产生的电位为正、负点电荷产生的电位的合成值
00
1 1 1()
44
rrq
r r r r
r
电位表示式变为当 r>>l时，三矢量 r+,r-和 r近似于平行，可知
2
c o s
c o s c o s
22
r r l
ll
r r r r r
2
0
( ) c o s4 q lrr
利用式（ 3.1），将▽ Φ 表示为球坐标系的分量形式最为简单，此时仅与 r和 θ 有关。所以，电偶极子在空间任意点产生的电场为
( ) 0
2
当 时,表 示 在 电 偶 极 子 的 垂 直 平 分 线 上 电 位恒 等 于 零,原 因 是 该 面 上 任 意 点 到 正,负 点 电 荷 的 距 离 相 等,
它 们 各 自 产 生 的 电 位 相 互 抵 消 。
r
利用电偶极矩将电位表示为
23
00
co s()
44rr
P p rr
3
0
(
1
()
2 c o s
4
s i n )
r
r
rr
p
r
r
E r a a
aa
3
2
/4 o( P)= r （ ）,表 示 电 力 线 垂 直 于电 偶 极 子的 垂当 时直 分
，
平 面 。
aEr
从 Φ(r)和 E(r)的表示式看出它们随距离 r的变化遵循关系
Φ∝ 1/r2和 E ∝ 1/r3，它们随极角 θ变化而具方向性。
比较式（ 3.8）和（ 2.35） ~ （ 2.37），得
3.1.2 静磁场的矢量磁位和矢量磁位方程为简化分析计算，引入矢量磁位 A间接表示磁感应强度 B，
其关系为单位为 Wb/m（韦伯 /米）
( ) ( ) (3.8)B r A r
0
0
0
d
()
4
()
( ) d
4
()
( ) d
4
l
s
S
V
I
S
V
(3.9a)
(3.9b)
(3.9c)
l
Ar
rr
Jr
Ar
rr
Jr
Ar
rr
对于静磁场，可取 库仑规范式（ 3.8）代入式（ 3.42），得
0 () （ ） =A r J r
2
2
0
3,1 0
( ) ( ) 3,1 1?
代 入 式 （ ） 和 = （ ）,得磁 矢 位 的 矢 量 泊 松 方 程
=- （ ）
F F F
A r J r
3,1 0 =0 （ ）A
矢量磁位方程在无源区 J（ r） =0，得磁矢位的矢量拉普拉斯方程及其直角分量（取 i=x,y,z）
其解为
2
22
0
2
( ) 0
0
ii
i
AJ
A
(3.12)
(3.13a)
(3.13b)
Ar
0 d
4
i
i V
JAV?
(3.14)rr
【 例 3.2】 半径为 a的导体圆环载有稳恒电流 I，求圆电流回路在离它很远的空间某点处（ r>>a）产生的矢量磁位和磁感应强度，如图 3.4（ a）所示。
解：
设圆电流回路置于直角坐标系 xy平面上，其圆心在坐标原点处，则电流回路对 z轴旋转对称，它所产生的矢量磁位在球坐标系中只有分量,而且仅为距离 r和极角 θ
的函数，而与方位角 无关。由此可假设场点 P位于 xz
平面上并不失一般性。在此平面上，分量 与分量一致，即,如图 3.4(b)所示。对于以 r和 r′ 为邻边的三角形，式（ 3.9a）中的 和 应分别表示为如下形式
A
A yA
c o syaa
rrdl?
1
22 2
1
2 2
2
d c o s ( d )
c o s d
(
d
2)
12
y
y
la
a
ra
a
r
r r
aa
a
rr
r
l
rr
r
1
2 2
1
2
2
1
2
22
'
11
1 1 2
1
1 2 1
1
2
11
a
rr r
rr
a
r
r r a
r
上 式 中 。 在 远 区 （ ）,利 用 二 项 式 展 开,并 略去 高 次 项,
即 ( ） （ ）
,则得
rr
rr
r r r r
代入球与直角的坐标变换式
xx显 然,中 仅 留 下 的 项,则 得r ar a
式（ 3.9a）变为
s in c o s
c o s s in
r x z
r x y
r r r
a a a
r a a a
r a a a
11 1 s i n c o sa
rr
rr
20
0
c o s d 1 s i n c o s4y aI arr
Aa
上式与例 3.1中电偶极子表达式类似，都随距离按平方反比律变化，依照电偶极矩的定义由源和尺度的乘积来确定，此处也可引入磁偶极子的概念。磁偶极子的 磁偶极矩 （或 磁矩 ）
定义为
0,y由 于 在 面 上,上 式 变 为aa
22 2
00c os ' d ' 0 c os ' d '
已 知 和,得
22 20
00c o s d s i n c o s d4
Ia a
rr
Aa
2
0
2
() sin
4
Ia
r?
Aa
2()zzI a I S Im a a S
sinzrP因 为 场 点 处,所 以 矢 量 磁 位 可 以 写 成两 个 矢 量 的 叉 积 形 式
a a a
0
3
11
( ) ( s in ) ( )
s in
( 2 c o s s in )
4
r
r
r
A r A
r r r
m
r
利 用 式 （ 3.8 ）,将 表 示 为 球 坐 标 系 的 分 量 形 式 最 为 简 单,此 时场 仅 与 和 有 关 。 所 以,磁 偶 极 子 在 空 间 任 意 点 产 生 的 磁 场 为
=
A
B r a a
aa
0
24
r
r
maA
3.2 介质中的静态场 — 辅助场量方程
3.2.1 电介质中的静电场
1．电介质的极化自由空间中表征源量和场量相互作用的场量基本方程可推广到物质媒质中表征源量、场量与媒质相互作用的场量辅助方程。
物质媒质分为 导体,半导体 和 绝缘体,可从其微观机理分析在场力作用下介质的极化、磁化及导体的传导问题。
罗伦兹的电子论物质媒质中的带电粒子分为三类：
（ 1）传导带电粒子 —— 它是能自由移动的自由电荷，
不具有电偶极矩和磁偶极矩；
（ 2）极化带电粒子 —— 分子中的正、负电荷构成电偶极子，分子中总电量为零；
（ 3）磁化带电粒子 —— 带电粒子作旋转运动形成磁偶极子，分子中总电流为零。
物质的分子原子论物质媒质的基本单元是分子中的原子，它由带正电的原子核与带等量负电、绕核运转的电子组成，彼此以场力相互作用维系在一起，无外场作用时不显电性。
① 导体中的 自由电荷 （或 自由电子 ） — 它能在电场作用下克服与原子核的引力脱离电子轨道作定向移动；
② 介子中的 束缚电荷 — 它只能在电场作用下在原子核周围作弹性移动。
两类电荷
① 无极分子 — 无外场作用下，分子中的原子的正、负电荷重心重合，不显电性，合成场为零；
② 有极分子 — 无外场作用下原子的正、负电荷不重合而形成固有电偶极矩，大量分子电偶极矩的无序排列使其电偶极矩矢量和为零，宏观上不显电性，合成场仍为零，
如图 3.5（ a）所示。
两类分子电介质的极化 —— 在外电场作用下使正、负电荷分别沿相反方向位移的现象，如图 3.5（ b）所示。
电介质的极化形式
（ 1）电子位移极化 —— 这是无极分子在外场作用下，
核外电子的轨道发生畸变，电子云重心相对于原子核产生的位移极化。无极分子极化后电矩不再等于零；
（ 2）离子位移极化 —— 这是无极分子中靠离子键结合的正、负离子在外场作用下，正、负离子间的距离发生改变而引起的位移极化。极化后电矩不再等于零。离子极化若是永久的，称为 永久极化 。铁电物质和驻极体都可以永久极化；
（ 3）转向极化 —— 这是有极分子的固有电偶极矩不为零的分子，在无外场作用下形成无序排列而不显电性，在外场作用下的取向发生变化，使电矩转向与外场方向一致的转向极化。极化后总电矩不为零。
极化强度矢量为描述电介质的极化程度，定义电介质中点 r 处单位体积内分子电矩的矢量和为 极化强度矢量
0
( ) l i m ii
V V
（ 3.1 5 ）ppr
单位为 C/m2（库仑 /米 2）。
① 束缚体电荷密度（或极化体电荷密度） — 媒质或外加场不均匀时，极化电介质内分子电矩 pi 分布不均匀，相邻区域内电矩的正、负电荷不能全部抵消所致，如图 3.6
所示；
② 束缚面电荷密度（或极化面电荷密度） — 介质面上有序排列的分子电矩一端的正电荷或负电荷未被自由空间中不存在的异性电荷抵消所致，如图 3.6所示。
() r
()S r
两类束缚电荷外加场 E0与束缚电荷在介质内、外产生的附加场 E′构成合成场 E= E0+ E′,E′与 E0反向而总是使 E减弱。实验证明，
极化强度与合成场的关系
( ) ( )
( ) ( )Sn
(3.16a)
(3.16b)
r p r
r a p r
可以证明
0e （ 3.17 ）pE
1．静电场方程的推广电介质在外加场作用下发生的极化现象，可归结为电介质内出现了束缚电荷，场与电介质的相互作用等 效 为场与束缚电荷的相互作用。这样，自由空间静电场的场量基本方程中只需将电介质 中束缚电荷考虑进去，即可推广到存在电介质的情况。方程（ 2.25）推广为由散度定理知 （证明略），上式变为d
S q pS
0
1d ( )
S
qq (3.18a)ES
0( ) dS q (3.18b)E p S
可 以 定 义 为 （ 辅 助 矢复 合 量 量矢 ）o Ep 电 位 移 矢 量单位为 C/m3（库仑 /米 2）。 P已隐合在 D中，引入辅助矢量可得到电介质中静电场高斯定理积分和微分的简洁形式看出电介质中电位移矢量穿过任意闭曲面的电通量等于曲面内 自由电荷 的 净 电量,与 束缚电荷 无关；电介质中某点电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度，且电位移线起于正自由电荷而止于负自由电荷。
0( ) ( ) ( ) (3.19)D r E r p r
( ) d
( ) ( )
S
q
(3.20)
(3.21)
D r S
D r r
式（ 3.17）代入式（ 3.19），有式中
—— 电介质 的介 电常数，单位为 Fm （法拉 / 米）；
ro —— 电介质的相对介质电常数，无量 纲 。
只考虑均匀、线性、各向同性电介质：
均匀 ——
r
是 不随 空间 位置变化的恒定值；
线性 ——
r
不随 E 变化；
各向同性 —— D 与 E 同方向时
r
是标量。
0 0 0 0( 1 )e e r
（ ）3,2 2
D E E = E E
E
电介质中静电场的辅助场量方程、本构关系和电位的标量泊松方程看出电介质中静电场的电位移矢量与自由空间中的电场强度性质相同，都是由通量源而非旋涡源产生的有源无旋场，
其场矢量线都是起于正电荷而止于负电荷。
2
( ) d
( ) d 0 a
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 b
( ) ( )
()
()
S
l
q
（ 3,23 ）
（ 3,23 ）
（ 3,24 ）
D r S
E r l
D r E r
D r r
Er
D r E r
r
r
【 例 3.3】 在无限大均匀、线性、各向同性的电介质空间中有一电量为 q的点电荷，求电场强度、电位移、电极化强度和束缚体电荷密度。假如以点电荷所在点为心，挖出一个半径为 a的空心小球，求小球内介质面上的束缚面电荷密度。
解：
由于具有球对称性，可应用高斯定理求解。在线性介质中 E,D和 P取向一致，假设均沿 方向。于是，由式
（ 3.20）可得
ra
有
2(4 )rD r q
24 r
q
rDa
由式（ 3.22）得看出电介质的存在，使极化强度产生的附加场抵消了一部分点电荷产生的场，电场 E减弱了 倍，但 D仍保持不变。 1/ r?
由式（ 3.19）可知
2
2
1
3,1 6 a ( 0
)0
rrPrr
式 （ ） 中 的 ）,有
（
P
r
2
04
r
r
q
rEa
0 2 ( 1 )4 rr
r
q
rP D E = a
电介质的两个表面中，在 处外表面上的束缚面电荷密度，由于太远，它所产生的附加场不影响整个介质区域的电场 E，只有点电荷周围小球内表面上的束缚面电荷密度会影响电场 E。由式（ 3.16b）可知
r
00rr在 处,即 处 存 在 奇 异 点 。 这 是 理 想 情 况,
实 际 情 况 是 带 电 体 可 以 看 做 忽 略 其 尺 度 的 物 理 点 。
PP
2
2
( ) ( ) ( ) ( 1 )
4
( 1 )
4
S n r r r
r
r
r
q
a
q
a
r a P r a a
3.2.2磁介质中的静磁场
1．磁介质的磁化轨道磁矩 —— 磁介质中原子的电子绕核运转形成环形电流，
其所等效的磁偶极矩。
自旋磁矩 —— 电子和原子核自身自旋形成自旋电流，其所等效的磁偶极矩。
电子磁矩 —— 忽略原子核的自旋效应，仅由电子轨道运动和自旋运动形成的环形电流，其所等效的磁偶极矩。
固有磁矩 —— 分子中所有电子磁矩的矢量和。
固有磁矩为零的磁介质分子在外加场作用下形成的分子流；
两类分子电流 固有磁矩不为零的磁介质分子在外加场作用下形成的分子流，如图 3.7（ a）所示。
磁介质的磁化 —— 在外磁场作用下使所有电子运转轨道重新分布，导致分子固有磁矩沿外磁场取向，其合成磁矩不为零而对外显示磁性的现象，如图 3.7（ b）所示。
磁介质的磁化形式
（ 1）抗磁性在无外磁场时分子固有磁矩为零的磁介质中，相邻电子的自旋磁矩总是方向相反，相互抵消，只存在无序排列的轨道磁矩，宏观上也相互抵消为零。在外磁场作用下电子轨道发生变形，使各分子轨道磁矩的合成值不再等于零，而且总磁矩的取向总是与外磁场方向相反，因而使磁介质内的磁感应强度减弱。这就是磁介质的 抗磁性,具有抗磁性的磁介质称为 抗磁质 或 抗磁体,如铜、银和锌等。可以看出，抗磁性主要来源于减弱磁效应的电子轨道磁矩。
（ 2）顺磁性在无外磁场时分子固有磁矩不为零的磁介质中，相邻电子的自旋磁矩存在着未被抵消的永久磁矩，永久磁矩的无序排列，宏观上也相互抵消为零。在外磁场作用下，永久磁矩的有序排列使其合成值不再等于零，而且总磁矩的取向与外磁场方向一致，因而使磁介质的磁感应强度增强。这就是磁介质的 顺磁性,具有 顺磁性 的磁介质称为 顺磁质 或 顺磁体,
如铝、镁和钛等。可以看出，顺磁性主要来源于增强磁效应的电子自旋磁矩。虽然出现顺磁效应同时也出现抗磁效应，
不过顺磁性磁介质的顺磁效应胜过抗磁效应。
（ 3）铁磁性在无外磁场时分子固有磁矩不为零的磁介质中，由于相邻电子自旋磁矩的强耦合作用，形成在小区域内彼此平行的自旋磁矩的紧密结合，表现为强磁性，这些小区域称为 磁畴,
如图 3.8所示。每一磁畴包含甚多的分子，所有电子自旋形成的固有磁矩的磁效应大大超过了顺磁质的磁效应，但由于磁场的无序化排列，总磁矩仍等于零。在外磁场的作用下，
磁化方向与外磁场一致的磁畴逐渐扩大其体积，与外磁场不一致的磁畴则逐渐缩小其体积，直至磁畴开始向外磁场方向转动，一直延续到所有磁畴都转到外磁场方向，即达到饱和为止。外磁场使强耦合自旋磁矩形成的磁畴取向与外磁场方向一致，因而使磁介内的磁感应强度大大增强。这就是磁介质的 铁磁性,具有铁磁性的 磁介质 称为 铁磁质 或 铁磁体,如铁、钴和镍等。
磁化强度矢量为描述磁介质的磁化程度，定义磁介质中点 r 处单位体积内分子磁矩的矢量和为 磁化强度矢量单位为 A/m（安培 /米）。
0
( ) l i m ii
V V
（ 3,2 5 ）mMr
两类束缚电流
② 束缚面电流密度（或磁化面电流密度） — 介质面上有序排列的分子电流方向一致，自由空间中不存在与之等值而反向的电流抵消它所致，如图 3.9
所示。
① 束缚体电流密度（或磁化体电流密度） — 媒质或外加场不均匀时，相邻区域内分子电流回路上电流反相而不相等，不能完全抵消所致；
()?Jr
()S?Jr
可以证明
0
0=+
外 加 场 与 束 缚 电 流 在 介 质 内,外 产 生 的 附 加 场 构 成合 成 场 。 磁 介 质 的 磁 化 程 度 最 终 决 定 于 合 成 场 。
B
B B B B
B
( ) ( ) a
( ) ( ) bSn
（ 3,2 6 ）
（ 3,2 6 ）
J r M r
J r M r a
2．静磁场方程的推广磁介质在外加场作用下的磁化效应导致磁化电流的出现，
自由空间静磁场的场量方程中只需将磁介质中的磁化电流考虑进去，即可推广为磁介质静磁场的场量方程
dl I由 斯 （ 证 明托 克 斯 略 ）,为理 知 变定 上 式Ml
0( ) d ( ) al II （ 3,2 7 ）B r l
0
( ) d bl I （ 3,2 7 ）B Ml
0
0
()
) ( )
复 合 矢 量 可 定 义 为 （ 辅 助 矢 量 ）
（ （ 3.28 ）
B
M
Br
H r M r
磁 场 强 度单位为 A/m（安培 /米）。 M已隐含在 H中，引入辅助矢量可得到磁介质中磁场安培环路定理积分和微分的简洁形式看出磁介质中磁场强度沿任意闭曲线的环量等于与该曲面交链的传导电流，与磁化电流无关；磁介质中某点磁场强度矢量的旋度等于该点的传导电流密度。
d
( ) ( )
l
I
（ 3,2 9 ）
（ 3,3 0 ）
Hl
H r J r
实验证明是 磁化率,是无量纲的数。
m?
式（ 3.31）代入式（ 3.28）
式中
—— 磁介质的 磁导率,单位为 HM （亨利 / 米）
ro —— 相对磁导率,无量纲。
00
0
() m
r
( 1 + )
( 3,3 2 )
B H M H
H = H
m (3.31)MH
磁介质中静磁场的辅助场量方程、本构关系和磁矢位的矢量泊松方程看出磁介质中静磁场的磁场强度矢量与自由空间中的磁感应强度矢量性质相同，都是由旋涡源而非通量源产生的无源有旋场，其场矢量线都是无头无尾的闭合线。
2
( ) d
( ) d 0 a
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 b
( ) ( )
( ) ( )
l
S
I
（ 3,33 ）
（ 3,33 ）
（ 3,34 ）
H r l
B r S
B r H r
H r J r
Br
B r H r
A r J r
【 例 3.4】 具有磁导率 μ的铁磁质无限长空心导磁管通过稳恒电流
I，管的内、外半径分别为 a和 b，
如图 3.10所示。求各个区域的磁场强度和磁感应强度，并求导磁管内部的磁化强度和束缚体电流密度及管壁上的束缚面电流密度。
将式（ 3.29）应用于三个区域，有
1
0
a
（ ） 0 区 域,
HB
解：
选择与管形一致的圆柱坐标系，设管轴与 z 轴重合，
则具有轴对称性，可以用安培环路定理求磁场。按对称性要求，磁力线是同心圆簇，并沿 方向。由于电流均匀分布在导磁管截面上，其体电流密度为
22() z
I
baJa
由式（ 3.32）得
22
22
22
22
22
22
2
2 ( )
()
2
2
ab
I
H J S a
ba
aI
ba
aI
ba
（ ） 区 域,
Ha
B H = a
2
2
00
2
21 2
B H aI
ba
M a a
0
2
2
b
I
I
（ 3 ） 区 域,
Ha
Ba
由式（ 3.26）得
22
0
0
1
()
1
()
( ) 0
1
2
z
z
Sa
S b z
M
I
ba
I
b
J M a
a
J M a
J M a a
3.3 导体中的静态场 — 稳恒电流场和稳恒电场方程
3.3.1 导体的传导性和欧姆定律导电媒质的传导性 —— 在外场作用下导电媒质中的自由电子或自由电荷作定向运动形成传导电流的效应 。
稳恒电流除产生稳恒磁场 （ 静磁场 ） 外,还形成稳恒电流场和稳恒电场 。
稳恒电流类型传导电流 —— 导电媒质中的自由电子作定向运动形成；
运流电流 —— 真空中电子或离子作定向运动形成。
欧姆定律在导电媒质中,大量自由电子在场力作用下作定向运动的过程中,不断与较重的离子或中性分子发生不规则的碰撞,
由此形成传导电流的电子运动速度应当是平均速度 。 电荷在导电媒质中平均速度与作用于它的电场强度成正比 。 定量分析表明 J与 E成正比关系为导体的电导率,单位为 S/M（ 西门子 /米 ） 。
上式称为 导电媒质的本构方程 （ 或 媒质特性方程 ）,又称为 欧姆定律的微分形式 。
( ) ( ) （ 3,3 5 ）J r E r
图 3.11表示在体积 V=lS
的载流导体圆柱中取体积元
dV=dlds，柱端外加电压,通过的电流,得导电媒质的电阻
dlU E l El
dsI E S Js
上式称为 欧姆定律的积分形式 。 为电阻率 。
1
a
/b
U l lR
I S S
I U R
（ 3,3 6 ）
（ 3,3 6 ）
3.3.2 导体的能量损耗和焦耳定律导电媒质中作定向运动的电子在与其他离子或分子碰撞的过程中,将能量传递给它们而转化为热运动,导致导电媒质温度升高,形成 电流的热效应 。 这种由电场能量转化而来的热能称为 焦耳热 。
焦耳定律图 3.11表示在时间 dt内穿过体积元截面的电荷 dq作功
d ( d ) dW q E l?
对应的功率
dd
d d d d
dd
( d ) d d
Wq
p E l IE l
tt
J s E l JE V
电荷在单位体积所作功率为,此功率转化为热损耗功率 。 导体内电流导致单位体积的热损耗功率
P JE?
( ) ( ) ( )p r J r E r (3.37a)
上式称为 焦耳定律的微分形式 。
对圆柱体积积分,得
2d d d
V l sP J E V E l J S U I I R (3.37b)
上式称为 焦耳定律的积分形式 。
焦耳定律用于描述导体中电能转化为热能时,导体能量损耗的定量表达式 。
3.3.3 含源电流回路的电源电动势导体内的电场为电荷运动形成电流提供能量,电流热效应又导致能量不断损耗 。 为维持稳定电流,必须给导体回路接上电源,持续不断地为电荷运动提供能量 。
含源电流回路的作用
( 图 3,1 2 )
外部电源提供非保守场 E ′ 形成 局外力 — 使电源内部正、负电荷分离，将正电荷移至 A 极，负电荷移至 B 极，使电极和导电介质两端正、负电荷不断得到补充；
电源两极积累的正、负电荷在电源内、外建立保守场 E 形成静电力 — 使电源两极正、负电荷复原，将正电荷移至 B 极，负电荷移至 A 极，使电极和导电介质两端正、负电荷不断减少。
含源闭合电流回路中建立的保守场
E增加至与反向非保守场 E′相等时（ E=
－ E′），外部电源中合成场为零，电荷的补充和减少达到 动态平衡 。此时任意点流来多少电荷，同时也流走多少电荷，
进而获得稳恒电流。
稳恒电流回路中不可能存在体电荷密度分布，电荷只能处于导体回路极板表面上，这是处于动态平衡的电荷密度分布，称为驻立电荷 。驻立电荷的分布虽然不变，但它不是静止电荷，它们是在不断更替中保持分布特性不变。导电介质中的稳恒电场就是这种驻立电荷产生的。
电源电动势式中仅对非保守场 E′的回路积分不为零 。 这表示非保守场的局外力将单位负电荷从正极移至负极,局外力要做功 。
这个功定义为 电源电动势
1d d d
l l l?
E l E l J l (3.38)
对含源回路应用欧姆定律 时应取积分
''或J E E E E J
dBA (3.39)El
看出电源内非保守场产生的电动势维持着外电路的电流,
从而出现 A,B间的电压降 。
当回路中含多个电动势和电阻时,则上式推广为 基尔霍夫电压定律式 （ 3.38） 变为
11
mn
ij
ij
IR?
(3.40b)
看出任意闭合回路中电动势 （ 电压升 ） 的代数和等于该回路中电压降的代数和 （ 回路绕行方向可任意选定 ） 。
11 ddBB
AA
Il l I R I
SS （ 3,4 0 a ）J l =
3.3.4 稳恒电流场和稳恒电场方程
电源电动势适合电源外部导体媒质 的稳恒电流场方程和本构方程0
( ) d 0
( ) d 0
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
S
S
（ 3,4 1 a ）
（ 3,4 1 b ）
J r S
E r l
J r E r
Jr
Er
J r E r
稳恒电场方程适合电源外部整个空间的稳恒电场方程和本构方程
( ) d 0
( ) d
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
l
S
q
（ 3,4 2 a ）
（ 3,4 2 b ）
E r l
D r S
D r E r
Er
D r r
D r E r
稳恒电流场和稳恒电场的基本性质
（ 1）在电源外部的均匀导体中，稳恒电流场和稳恒电场都是无散无旋场；
（ 2）在电源外部导体周围介质中，稳恒电场是有散无旋场。
无源区的稳恒电场与静电场一样都是具有无旋性的保守场,
满足标量电位的拉普拉斯方程
2 ( ) 0 （ 3,4 3 ）r
表示通过任意曲面的净稳恒电流为零,将闭合曲面收缩成某一点,可派生出 基尔霍夫电流定律
d = 0s JS
看出流经电路中某节点所有电流的代数和为零 。
1
0
m
i
I
（ 3,4 4 ）
3.4 静态物中的导体
3.4.1 电容和电容器描述静态场中导体宏观属性的量是可测量,它是表示电路基本元件的物理量,在实际应用中有重要意义 。
静电感应 —— 外加静电场使导体中自由电荷重新分布的现象。
感应电荷 —— 静电感应使不带电导体某些不同部分表面出现的等值异号电荷。
静电平衡 —— 外加静电场使导体感应电荷产生与其反向的感应电场，当这两种场的合成值达到零时，导体内不再有电荷宏观运动的现象。
导体在静电平衡状态下的特性：
（ 1）导体内无体电荷分布，而以面电荷形式分布于导表面。
这是因为静电力使正、负电荷分离，彼此排斥到尽可能远的导体边缘表面之故。
（ 2）导体内无电场强度，而在导体外表面法线方向存在电场强度。这是因为导体内无体电荷，自然也不可能有电场。如果导体面电荷分布产生的电场不垂直于导体外表面，那么，它在导体界面的切向场必定会使导体中的电荷沿导体界面移动，
然而这并非静电平衡状态。
（ 3）导体为等位体，导体面为等位面。导体内或导体面上任意两点的电位差可以通过电场强度的线积分得到，由于导体内无电场，导体面上也无电场切向分量，所以任意两点的电位差为零。
处于静电平衡状态下的闭合导体腔（相当于内部挖去一部分的导体）内部电场强度为零，外部静电场对腔体内不产生影响。
静电屏蔽 —— 闭合导体腔能用于屏蔽外部静电场影响的效应。
导体的电容向线性电介质（?为常数）中的孤立导体充电：
电荷增量 dq增长?倍 → 电位移增量 dD增长?倍 → 电位增量 d?增长?倍。
0＜?＜ 1对应于 0＜ q＜ Q和 0＜?＜?,Q和?为达到静电平衡时的静止电荷和电位，定义其比值为孤立导体的电容
d
d
S
r
Q
C
C
（ 3,4 5 a )
（ 3,4 5 b )
ES
El
上式表示达到静电平衡时,孤立导体增加单位电位所能容纳的电荷量,是用于描述孤立导体容纳电荷能力的物理量,所以称为 电容 。
看出电容的大小与积分量表示的尺寸和形状及周围电介质特性参量有关，与外加电位和电量无关，所以它是用于描述导体宏观属性的物理量。单位为 F（法拉）。
问题：地球可看成半径 a、介电常数?、充电量 Q的均匀媒质大球。地球的电容为多少？为什么可以将地球取作电位参考点？
带等量异性电荷的双导体可构成双导体电容器,其电容
d
d
AB
S
B
A
C
U
C
= （ 3.4 6a)
（ 3.4 6b)
ES
El
电容器电容求解步骤：
（ 1）选择适合带电体形状的坐标系；
（ 2）假定单、双带电体的带电量 Q或 ± Q；
（ 3）根据假定电量求 E；
（ 4）由 E的线积分求?或 U；
（ 5）根据电容定义求 C。
由式（ 3.45b）和（ 3.46b）看出，计算导体的电容归纳结为首先求导体电荷的电场。
电容器是电路中重要的基本储能元件，它将充电荷时所做的功转换为电场能量储存起来。
【 例 3.5】 已知同轴线内、外导体半径分别为 a和 b，内、
外导体间填充介电常数为?的均匀电介质，如图 3.13所示。求同轴线单位长度的电容。
因此
d2s QE El
解：
选用适合同轴线形状的圆柱坐标，令内、外导体轴心线沿
z轴。
设单位长度内、外导体带电量分别为 和 。
由于满足柱对称条件，可采用高斯定理积分形式求两导体间的电场强度。在内、外导体间作具有相同轴心线的单位长度闭合圆柱高斯面 S，高斯面半径为,则在该闭曲面上应用高斯定理，可得
Q? Q?
由上式可得知，电场强度矢量线为起始于内导体表面，终止于外导体内表面的柱对称径向线。沿此径向线求 E的线积分，
可得两导体间的电压
Q= E =
2E a a
dd
2
ln
2
bb
aa
Q
Qb
a
U E a a
代入式（ 3.46a），可得同轴线单位长度电容
0
2 ( F / m )
l n ( / )
QC
U b a
3.4.2 电感和电感器
● 导体回路的电感向线性磁介质（?为常数）中的单导体回路充电流：
电流增量 di增长? 倍 → 磁感应强度增量 dB增长?倍 → 磁通量增量 d?增长? 倍。
0＜?＜ 1对应于 0＜ i＜ I和 0＜?＜?,I和?为达到动态平衡时的稳恒电流和磁通，定义其比值为单导体回路的电感
dd
d
d
Sl
S
l
L
I
I
L=
( 3,4 7 a ）
利 用 式 和,又 可 得
( 3.47b)
B S H l
HS
Hl
ψ
ψ
上式表示达到动态平衡时，单导体回路增加单位电流所能产生的磁通量，是用于描述单导体回路中缓变电流感应电动势的能力，所以称为 电感 。
看出自感的大小只与积分量表示的尺寸和形状及周围磁介质特性参量有关，与外加电流和磁通无关，所以它是用于描述导体回路宏观属性的物理量。单位为 H（享利）。
粗导体回路需同时考虑穿过导体内、外的磁通?0和?i，其总自感为内、外自感之和
0
0
i
iL L L II （ 3,4 7 c ）
ψ ψ
图 3.14表示双导体回路构成双导体回路电感器。两载流回路的电流产生的磁力线，除穿过自身回路引起自感外，还同时穿过彼此的回路引起互感或互感系数单位为 H（亨利）。双导体回路的互感与其几何参量，
周围媒质参量和相对位置有关。
21
21
1
12
12
2
a
b
M
I
M
I
（ 3,4 8 ）
（ 3,4 8 ）
ψ
ψ
● 电感器电感求解步骤：
（ 1）选择适合载流导体回路形状的坐标系；
（ 2）假定单、双载流导体回路的电流量 I或 I1,I2；
（ 3）根据假定电流量求 B；
（ 4）由 B的面积分求? 或? 21,? 12；
（ 5）根据电感定义求 L或 M21,M12。
计算导体的电感归结为首先求导体回路电流的磁场。
电感器是电路中重要的基本储能元件，它将充电流时所做的功转换为磁场能量储存起来。
【 例 3.6】 已知同轴线内、外导体半径分别为 a和 b（已忽略薄外导体厚度不计），内、外导体间填充磁导率为?的均匀磁介质，如图 3.13所示。求同轴线单位长度的外自感。
解：
选用适合同轴线形状的圆柱坐标，令内、外导体轴心线沿
z轴。
设电流 I 在由内、外导体构成的回路中流动。由于场具有轴对称性，可以利用安培环路定理积分形式求环绕轴心的磁感应强度。在内、外导体间 ( )的磁介质中，有
ab
0 d l n
b
0 Sa
I I b
a
= = =BSψ d22
于是得到与内、外导体间的磁通所对应的单位长度外自感为
0 l n ( )2
bL
a
H / m
解：
建立圆柱坐标系，取 I1沿 z轴方向。
电流 I1的磁感应强度为环绕它的闭合圆矢量线，单独考虑 I1产生的 B1具有柱对称性，所以利用安培环路定理积分形式或毕奥 -萨伐尔定律，求得 I1产生的磁感应强度
【 例 3.7】 无限长直导线与矩形线圈的长边平行。设它们分别带电流为 I1和 I2，矩形线圈的面积为 a× b，它与长直导线的最近距离为 D，周围为自由空间，如图 3.15所示。求无限长直导线与矩形线圈之间的互感。
01
1 2
I
Ba
与线圈电流 I2交 链的磁通
22 1 1
dS BSψ
按图示线圈电流方向，可知线圈有向面积的方向一致。在线圈上取矩形微分面元,从 D至 D+b
积分，得
1dd S? 与S = a B
dd?S = a
0 1 0 1
21
1 d l n
22
Db
D
I a I a Db
D
ψ
由此得互感
21
21
1
ln2 a D bM IDψ
当 I1和 I2产生的穿过线圈的互磁通方向一致时，合成磁通增加，
M21为正，反之，只要改变 I1或 I2任一个电流的方向，它们所产生的合成磁通因部分抵消而减少,M21为负。但在任何线形磁介质中，都有
M21=M12=M。显然，本例的 M21＞ 0
是由 I1和 I2的相对取向所致。
3.4.3 电阻和电阻器
● 导体的电阻图 3.11所示载流回路导体端点 a比 b的电位高，由式（ 3.36a）
及 和 得电阻
dlU El dsI JS?
d
a
d
d
b
d
a
ab
b
a
b
S
U
R
I
R
（ 3,4 9 ）
（ 3,4 9 ）
El
JS
El
ES
式（ 3.49a）适用于非线性媒质（?（ z） ≠C），式（ 3.49b）
适用于线性媒质（?=C）。
看出电阻的大小只与积分量表示的尺寸和形状及导电媒质特性参量有关，与外加电压和电流无关，所以它是用于描述导体宏观属性的物理量。单位为?（欧姆）。
● 电阻器电阻求解步骤：
（ 1）选择适合载流导体形状的坐标系；
（ 2）假定载流导体两端面的电位差 U0；
（ 3）根据假定电压由位场关系求 E；
（ 4）由 E求 J，再由 J 的面积分求 I；
（ 5）根据电阻定义求 R。
由式（ 3.49a,b）看出，计算导体的电阻归结为首先求导体的电场。
电阻器是电路中重要的基本耗能元件，它将充电流时所做的功，转换为自由电荷碰撞导体中其他粒子时产生热效应的热能而消耗掉了。
【 例 3.8】 如图 3.11所示载流导体圆柱，设线长为 l，截面为 S,a端高电位相对于 b端低电位的电位差为 U0，导体圆柱的导电率为?。求载流导体圆柱的电阻。
解：
选圆柱坐标系，圆柱导体轴线沿 z轴方向。
采用求电容和电感类似的方法，假定在电压 U0作用下维持通过导体的稳恒电流 I 。 稳定电流密度 J 和稳恒电场 E 均由高电位指向低电位方向，即沿 方向。稳恒电场 E 是无旋场，是具有保守性的位场，利用位场关系式 先求出电场 E，得
z?a
0
zz
U
zl
E a a
E
由于导体为线形均匀媒质，上式中电位 沿 z轴也是呈线形关系变化。导体圆柱任一截面的体电流密度为
0
z
U=
l
J E a
通过导体圆柱的电流为由式（ 3.49）可得导体圆柱电阻为
00dd
SS
U U SIS
ll
JS
0U llR = = =
I S S
3.5 静电场的边界条件当媒质特性发生突变时，需要考虑源量、场量与突变边界媒质间的相互作用。
边界条件 —— 将静态场基本方程积分形式应用于边界面导出的、用于描述边界面两侧静态场变化关系的方程。
问题：为什么只能应用静态场基本方程的积分形式而不能应用其微分形式导出边界条件？
3.5.1 静电场的边界条件
1,D的法向分量图 3.16（ a）表示跨不同电介质 1,2构成的边界面作小扁圆柱面,将高斯定理积分形式应用于 S
1,2 3S S S
由 D=?E知，式（ 3.50b）变为
1 2 3
3
d d d dV
0 d 0 0
d 3,50a
S S S V
S
S
n
S
hS
S
(3.50a)
当 时,； 当 时,常 量,,
且,式 （ ） 变 为
D S D S D S
D S D
Sa
1 2 1 2
0( ) b
000
SSS
n n n
S
DD
,或 （ 3,5 0 ）
，a D D
1 1 2 2
0 c
00
SS
nn
S
EE
,（ 3,5 0 ）
，
2
0
3.50 b c
a
b
n n S
nS
D
E
当 电 介 质 2 改 为 导 电 体 时,静 电 平 衡 要 求,式
（,） 变 为
（ 3.51 ）
/ （ 3.51 ）
D
aD
2,E 的切向分量图 3.16（ b）表示跨不同电介质 1,2构成的边界面作小矩形回路,将安培环路定理积分形式应用于 L
1,2 32L L L
12
2
2
1 2 1 2
d d d 0 a
0 d 0 0
d 3.5 2a
( ) 0 b
E l E l E l
E l E
la
a E E
L L h
h
t
L
t t t
hL
L
EE
（ 3,52 ）
当 时,； 当 时,常 量,且
,式 （ ） 变 为
- 或 （ 3,52 ）
由 D=?E知，式（ 3.52b,c）变为
1 1 2 2/ / dttDD （ 3,5 2 ）
2 0
3,5 2
0a
D
tE
当 电 介 质 2 改 为 导 电 体 时,静 电 平 衡 要 求,式
（ ） 变 为
（ 3,53 ）
12( ) 0 c
a E a E E
a E E
t t t
n
E
由 于 与 都 表 示 在 界 面 的 切 向 分 量,故 上 式又 可 改 写 为
- （ 3,5 2 ）
2,?的边界条件图 3.16（ b） 中?1和?2为界面上、下两侧回线上某点电位，
当间距,,有图 3.16（ a）中界面上应用,式
（ 3.50b）变为当电介质 2改为导电体时，式（ 3.54）变为
0h 12 0Eh
n n
Ea
12 a （ 3,5 4 ）
21
21
0 b
00
SS
Snn
,（ 3,5 4 ）
，
/cSC n,（ 3,5 4 ）
3.5.2 静磁场的边界条件
1,B的法向分量图 3.17（ a）表示跨不同磁介质 1,2构成的边界面 S，将磁通连续性原理积分形式应用于 S
由 B=?H知，式（ 3.55b）变为
1 2 3
d d d 0 a
0 3,5 5 a
S S S
h
(3.55 )
当 时,式 （ ） 变 为
B S B S B S
2,H的切向分量图 3.17（ b）表示跨不同磁介质 1,2构成的边界面作小矩形回路 L，其所包围的曲面,的指向与 L的周边走向满足右旋关系，且相切于界面。若单位矢量,和 相互正交，
满足右旋关系,界面上存在面电流密度 Js，则将静磁场的安培环路定理积分形式应用于 L
l S?Sa la
na ta la
t l na a a
1 2 1 2( ) 0 bn n nBB 或 （ 3,5 5 ）a B B
1 1 2 2 cnnHH （ 3,5 5 ）
12
2
2
12
0
d d d d
0 d 0 3.5 6a
d ( d ) ( ) d
0
l i m
L L h S
h
t l l
L S L
S
h
h
l l h h l
l
h
(3,56a )
当 时,,式 （ ） 变 为
（ ） (3,56b )
当 时,常 量,利 用 定 义 式
(3.56
H l H l H l J S
Hl
H H a J a J a
H
JJ
12
12
1 2 1 t 2 t
c
d
( ) = ( ) 3.5 6d
e
f
l n S l
n l S l
n S S
H H J
)
式 （ 3.56c) 变 为
（ ） （ ） = (3,56 )
利 用 恒 等 式,式 （ ） 变 为
（ ） = (3,56 )
由 此 可 得
（ ） = 或 = (3,56 )
H H a a J a
A B C B C A
a H H a J a
a H H J
1 2 1 t 2 t
3.56f
0
0g
SS
n H = H
式 （ ） 表 示 的 切 向 分 量 在 界 面 处 不 连 续,其突 变 量 就 是 传 到 面 电 流 密 度 。 当 时,有
（ ） = 或 (3.56 )
H
JJ
a H H
由 B=?H知，式（ 3.56f,g）变为
12
12
0 h
00
SStt
S
JJBB
J
,（ 3,5 6 ）
,
当磁介质 2改为理想导磁体时,B2≠0和 H2=0，式（ 3.56g、
h）变为
0t t SH B J,（ 3,5 7 ）
3,A的边界条件将 代入式（ 3.55b）和（ 3.56f），并对式（ 3.55b）和（ 3.56f）在边界上积分，可得如下 A的边界条件（证明略）
BA
12
12
12
a
11
bnS
（ 3.5 8 ）
（ 3.5 8 ）
AA
a A A J
3.5.3 稳恒电流场和稳恒电场的边界条件只考虑由不同导电率?1和?2组成的两种导体边界面上的边界条件。只要令?1=0，即相当于介质和导体间边界面上的边界条件。式（ 3.41a）应用于小圆柱面和小矩形回路，得实际上，有耗媒质中同时用媒质特性量?和?表示，并由其相对大小认定媒质的导电性和介电性。令?2 >>?1，式（ 3.42a）
中 D的面积分应用于小圆柱面，得
1 2 1 2 1 1 2 2
12
1 2 1 2
12
( ) 0 a
( ) 0 b
n n n n n
tt
n t t
J J E E
JJ
EE
或,（ 3,5 9 ）
或,（ 3,5 9 ）
a J J
a E E
当导电媒质 2改为理想导电体时，式（ 3.59b） 和 （ 3.60b）
变为由 和式（ 3.59a,b）知
n n
J E a
12
12 12
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) a
b
nS
nn
S n n n
JJ
D D J
（ 3,6 0 ）
= （ 3,6 0 ）
a D D
0 StnEE,（ 3,6 1 ）
12
12
12
nn
3.62a
3,6 2 b
（ ）
（ ）
3.6 静态场的能量
3.6.1 静电场的能量从功能转换关系讨论静电场对电荷或带电体作功的问题。
功能转换应遵守能量守恒定律。
1．离散带电导体的能量设具有电容 的孤立导体，开始时不带电荷，以任意方式对它充电，直到达到静电平衡时，电荷达到终值 Q。
对线性电介质：充电电量增至?dq倍 → 孤立导体的电位增至?d?倍（ 0＜?＜ 1）。
由式（ 3.5）知,得外力或外源作功的增量
/CQ
Wq
d d [ ( ) ( ) ]Wq
对于具有 N个带电导体的多导体系统，其总功增量 dW转换为带电导体系统具有的储能增量 dWe，有故 N个带电导体电量从零值增加至终值时，带电导体的储能为即
1
d d a
N
e i i
i
Wq
（ 3,6 3 ）
10
1
dd
N
e e i i
i
W W Q
2
2
1 1 1
1 1 1 b
2 2 2
N N N
i
e i i i
i i i
QW Q C
C （ 3,6 3 ）
2．连续分布电荷的能量连续分布电荷可看作离散体电荷的极限形式。将连续分布体电荷密度?(r)的体积 V划分为 N个小体积元，对应于任一体积元 △ Vi中的电荷元 △ Qi=?(r) △ Vi的能量 △ Wei，式 （ 3.63b） 可改写为
1 1 111 ()22N N Ne i i i i ii i iW Q V r
0
1
( ) ( ) d
2
1
( ) ( ) d b
2
1
( ) ( ) d c
2
i
e
V
eS
S
el
l
V
WV
WS
Wl
当 时,上 式 变 为
(3.64a)
同 理,对 于 面 电 荷 和 线 电 荷 的 密 度 分 布
(3.64 )
(3.64 )
rr
rr
rr
3．静电场的能量和能量密度静电场的能量不是集中在带电导体或电荷分布上，而是充满在其周围的整个静电场所在空间中。为揭示静电场能量的分布规律，需要用场量表示静电场能量。
利用 － ▽? =E和?=▽ ·D置换式 （ 3.64a） 中的?(r)和? (r),
并按恒等式 ▽ ·（ uF） =u▽ ·F+F·▽ u将式中变为
()
()
11
( ) d d
22
VV
W e V V
D D D
D D E
D D E
式（ 3.64a）变为利用高斯定理，第一项变为
1 d
2 s DS?
闭合面 S 扩大至整个空间时，分布于有限区的电荷视为点电荷，
上式积分随 r→∞ 的量纲关系为
2
2
1 1 1 0
rD S rr r r
第一项变为零，得看出静电场能量存在于静电场中，可引入静电场能量密度描述场中任意点静电场的特性，定义为能量单位为 J（焦耳），能量密度单位为 J/m3（焦耳 /米 3）。
2
1
( ) ( ) d
2
1
d
2
V
V
We V
We E V?
3.65a
3,65 b
（ ）
（ ）
D r E r
2
d 1
( ) ( ) a
d2
1
b
2
e
e
e
W
wE
V
wE?
（ 3,66 ）
（ 3,66 ）
D r r
【 例 3.9】 在介电常数为?的线性电介质中，有一半径为 a，
电荷量为 Q的孤立导体，求其静电场能量。
解：
方法一：利用式（ 3.63b）计算令 N=1，半径为 a带电量为 Q的孤立导体球的电位为利用式（ 3.63）得方法二：利用式 （ 3.64b）
孤立导体为等位体，电荷只能分布在导体表面，面电荷密度为
4
Q
a
21
28e
QWQ
a
24S
Q
a
利用式（ 3.64b）得方法三：利用式（ 3.65b）
由球对称性知，利用高斯定理可求出孤立导体球的静电场为式（ 3.65b）变为
2
2
2
11 d4
2 2 4 84es S
Q Q QW S a
aaa
24r
QE
r
22
2
00
d d s i n d 8ee
a
QW W r r
a
3.6.2 静磁场的能量
1．离散载流导体回路的能量设具有电感 的单导体回路，开始时不带电流，以任意方式对它充电流，直到达到动态平衡时，电流达到终值 I。
充电电流量增量 di?单导体回路反向电压增量 du?外源作功增量利用 和外源作功增量 dW转换为单导体回路储能增量 dWm，得
L I?ψ
iu t
ddLi
d d ( ) dW u i t?
dd d d d a
d iW i t i L it
（ 3,6 7 ）
ψ ψ
2
0
11db
22
I
mW Li i LI I （ 3,6 7 ）ψ
对线性磁介质中的 N个载流多导体回路系统：充电电流增至磁通增至,由式（ 3.67a）知得
jjiI ( 0 1 )jj
1
1 1 1
d d d d
N N N
m m j j j j j o
j j j
W W i I
1
1
11
1
2
1
b
2
N
m j j
j
N
j k j k
k
NN
m k j j k
jk
WI
LI
W L I I
(3,68a)
式 中,。 由 此 得
(3.68 )
2．连续分布电流的能量连续分布体电流可看作离散载流回路的极限形式。取连续分布电流 J(r)的磁矢位为 A(r)，式（ 3.68a）中的?j利用斯托克斯公式改写为有式（ 3.69）中的 Ij穿过由 lj所包围的曲面 Sj。将穿过 Ij的曲线划分为 N个小面积元 △ Sj,穿过 △ Sj的电流元 △ Ij =J(r) ·△ Sj,
它所产生的磁能为 △ Wmj，式（ 3.69）改写为
d ( ) d d
j j jj j j jS S l
B S A S A l?
1
1 d
2 j
N
m j jl
j
WI
(3.69)Al
1 1 1
11 ( ) d ( ) ( d )
22jj
N N N
m j j j j jll
j j j
W I I
A r l A r l
利用,上式变为体积分。当 时，有同理，对于面电流和线电流的密度分布
0iVddIV?lJ
1 ( ) ( )
2m VW d V (3.70a)A r J r
1
( ) ( ) d
2
1
( ) d
2
mS S
ml l
WS
Wl
(3.70b)
(3.70c)
A r J r
A r J r
3．静磁场的能量和能量密度静磁场的能量不是集中在载流多导体回路或电流分布上，
而是充满在其周围的整个静磁场所在空间中。为揭示静磁场能量的分布规律，需要用场量表示静磁场能量。
利用 置换式（ 3.70a）中的 J，并按恒等式将式中 变为
（式 3.70a）变为利用高斯定理，第一项变为闭合面 S扩大至整个空间时，分布于有限区的电流产生的场和位的积分随 r的量纲关系为
JH
()A B B A A B?AJ
()
()
A J A H H A H A
H A H B
11( ) d d
22m VVW V VH A H B
1 ( ) d
2 S H A S?
2
2
1 1 1 0
rH A S rr r r
第一项变为零，得空间任意点静磁场的能量密度
2
1
( ) ( ) d
2
1
d
2
m
m V
WV
W H V?
(3.71a)
(3.71b)
H r B r
2
1
( ) ( )
2
1
2
m
m H?
(3.71c)
(3.71d)
H r B rw
w
【 例 3.10】 通过磁能求同轴线单位长度的内、外自感。
题设条件见例 3.6和图 3.13。
解：
对于载流单导体回路，应用式（ 3.67b）得求电感归结为求磁能。利用式（ 3.71b）求磁能时，首先必需求磁场强度。由轴对称性知，采用安培环路定理易求出磁场强度为
2
2 mWL
I?
1 2
2
2
2
I
a
a
I
ab
,0
,
Ha
Ha
2 2
2
11 2
00
2 2
2
12
2 d 2 d
2 2 162
2 d 2 d
2 2 2 4
aa
m
bb
m
aa
II
WH
a
I I b
WH
a
(J / m)
ln (J / m)
同轴线单位长度的总磁场能量为因此，同轴线单位长度的内、外自感为外自感与例 3.6所求结果一致，但这里所用求解方法更为简便。
22
12 ln1 6 4m m m
I I bW W W
a
0 1 22
2 ( ) l n
82mm
bL W W
aI
(H / m)
由此求出两区域单位长度内的磁场能量为
3.7 静态场的计算方法
① 分布型问题 —— 在自由空间或均匀媒质中，由源量（?,J）
求场量（ E,B）、辅助场量（ D,H）或辅助位（?,A）；
②边值型问题 —— 在突变媒质边界面上，由位和面分布电荷、
电流 （?,?s,Js,?s′,Js′ ） 求场量、辅助场量或辅助位。
1．静态场的直接解法、间接解法和特殊解法
3.7.1 静态场的分布型问题静电场解法
（ 1）静电场量公式（直接解法）
点电荷（库仑定律）
离散、连续分布电荷（库仑定律 +叠加原理）
（ 2）静电位标量公式（间接解法）
利用 简化积分形式
（ 3）高斯定理公式（特殊解法）
面、柱、球对称性（高斯定理转化为代数方程）
E
2．静电场的解及应用
【 例 3.11】 已知半径为 a的金属导体球内，按图 3.18所示位置挖出两个立方体小腔。腔内分置点电荷 q1和 q2，在距导体中心为 r（ r≥a） 的点 P处设置一试验点电荷 q0。（ 1）按照那些物理概念可以求 q0所受的力；（ 2）写出 q0所受静电力的定律，并求 F；（ 3）写出点 P处电场强度的定义，并求 E；（ 4）写出点
P处电位的公式，并求?。
静磁场解法
（ 1）静磁场量公式（直接解法）
（ 2）静磁位矢量公式（间接解法）
利用 简化积分形式
（ 3）安培环路定理公式（特殊解法）
柱对称性（安培环路定理转化为代数方程）
BA
解：
（ 1）由 静电屏蔽 概念知 q1,q2与 q0间无作用力；由 静电感应 概念知,q1和 q2分别在两小腔内壁感应 -q1和 - q2，因此在导体球面上出现异性等量电荷 q1+q2,并与 q0间有作用力；由 点电荷 概念知，由于 r >> a，可视为点电荷 q1+q2,它与点电荷
q0间的作用力适用于库仑定律的应用条件
（ 2） q0所受静电力为
（ 3）点 P处电场强度为
（ 4）点 P处电位为
0 1 2
2
0
()
4r
q q q
r
Fa
12
2
0 04
r
q r
FEa
12
2
0
1 2 1 2
2
00
1
dd
4
d
44
rr
rr
r
r
r
q q q qr
rr
E l a a
【 例 3.12】 自由空间中有一半径为 a的孤立导体带电球，所带电量为 Q，如图 3.19所示。试求球内、外的电场强度（见例 2.1）。
解：
解法一：利用静电场公式导体电荷只能均匀分布于导体表面，其面电荷密度为 。
采用球坐标系，令极轴通过场点 P，如图 3.19
所示。利用式（ 2.22），点 P处的电场强度为
3
0
2
2
300
0
1
( ) d
4
1
d s in d
4
SS
S
S
R
a
R
( 3,7 2 )
R
Er
R
24S
Q
a
2
d sin
02
d
d d c o s d
z
z
Sa
P
P
az
E E a P
式 中,球 面 积 元 为 = d d 。 不 同 角 的 面 元 点 电 荷在 场 点 产 生 的 场 总 可 以 分 解 为 沿 轴 向 的 分 量 和 与 轴 垂 直 的 径向 分 量 。 由 于 旋 转 对 称 性,在 角 从 至 的 变 化 范 围 内,所有 与 轴 相 对 称 的 面 元 点 电 荷 在 场 点 产 生 的 合 成 场,其 径 向 分量 均 等 值 反 向 而 抵 消,只 剩 下 相 叠 加 的 轴 向 分 量 。 由 于 合 成场 只 沿 极 轴 的 方 向,所 以 矢 量 求 积 分 时 仅 取 的 分 量 积 分,
即 对 积 分 。 显 然,在 点 处
E
2
2
0
0
2
2
0
0
d
c o s sin
( ) d
2
c o s
d ( c o s )
2
zr
S
r
S
EE
a a
E
R
a a
R
,有
(3.73)
r
2 2 2 2 2 2
3.73 3.19
c os c os
22
d c os ) d
>
a R r a
a r R
R r a a r R
a
rR ar
R
R
ar
ra
式 （ ） 是 图 中 球 面 上 法 线 方 向 与 极 轴 夹 角 处,沿 方位 角 旋 转 一 周 所 形 成 的 带 状 面 元 在 场 点 产 生 的 电 场 的 积 分 。
根 据 斜 三 角 形 的 余 弦 定 理,在 由 临 边,及 对 边 构 成 的 三 角形 和 由 临 边,及 对 边 构 成 的 三 角 形 中,可 以 分 别 得 到
,
(-
对 于 的 球 外 区 域
2 22
22
0
22 22
2 2 2 2
0 0 0
( ) 1 d
4
44
ra
S
r
ra
SS
r a R r a
a ra
ER
rR
raaa r a Q
R
rar R r r
,0 的 积 分 区 域 对 应 于的 积 分 区 域,所 以
=
r
22
2
0
2
0
<
( ) 0
4
4( ) ( )
0<
S
r
r
rr
r a a r
ara ra
ER
arRr
Q
r > a
rE
ra
对 于 的 球 内 区 域,和 应 交 换 位 置,即
=
将 球 内,外 的 电 场 强 度 写 成 如 下 矢 量 形 式
,
,
解 法 二,利 用 静 电 位 标 量 公 式仿 解 法 一,将 式 （ 3.2c ） 对 球 坐 标 系 进 行 积 分,得
r
a
E r a r
0
2
2
00
0
2
0
0
1
d
4
1
sin d
4
1
d c os
2
S
S
S
S
S
R
da
R
a
R
（ ） =
=
= （ ） （ 3.7 4 ）
r
00
2
0
0
2
0
0
d c o s ) d > 3,7 4
( ) d R
22
<
()
ra
SS
ra
S
S
S
S
R
R r a
ar
raaa
R
rarr
a
r
a
r a a r
r
a
r > a
r
a
代 入 (-,对 于 的 球 外 区 域,式 （ ） 变 为对 于 的 球 内 区 域,和 应 交 换 位 置,得 （ ）,可 知
,
,
r
r
r
r < a
电 场 强 度 的 矢 量 形 式 为
2
0
2
0
()
( ) ( )
4
00
( ) 4
0
r
r
r
r
Q
r > a
r
r<
Q
r > a
r
r < a
,
,
方 法 三,利 用 高 斯 定 理 公 式利 用 球 对 称 性,高 斯 定 理 公 式 （ 2.25 ） 可 变 为 如 下 代 数 式
,
,
即 得
r
r r a
a
a
r
2
0
4()
0
r
Q
r > a
r
r < a
,
,
看 出 即 便 是 在 球 对 称 条 件 下,解 法 一 都 比 其 他 两 个 方 法 复 杂,在 非 对 称条 件 下,一 般 很 难 得 出 解 析 结 果,应 尽 量 应 用 解 法 三 进 行 对 称 性 问 题 的 求 解 。
a
r?
【 例 3.13】 半径为 a,b（ b＞ a） 的两个球面的球心相距为 d，且 d+a＜ b。两球面间的体电荷密度为?，如图 3.20所示。求半径为 a的偏心球形空腔内的电场强度。
解：
偏心球形状的不对称性导致其所带电荷产生的电场分布也不对称，似乎不满足应用高斯定理的条件。但我们可以应用叠加原理和补偿法将其转化为对称性问题来求解。方法是将他们变为两个半径分别为 b和 a,且带电量分别为 +?和 -?对称性带电球，分别应用高斯定理求出他们的电场强度，然后应用叠加原理求其合成场。
将高斯定理积分形式分别应用于带电体电荷密度 ±?,且半径 b和 a的 两个对称球体，容易求出它们在偏心带电球形腔内点 P
处的电场强度分别为点 P的合成场为由图 3.20可知,r1=d+r2。 d=add为指向 OO′的矢径，则上式变为可见空腔内的 E(r)为一指向 ad方向的均匀电场强度
1
2
1
1
0
2
2
0
()
3
()
3
r
r
r
r
E r a
E r a
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )3E r E r E r r r
0
() 3d dE r a
3．静磁场的解及应用
【 例 3.14】 求无限长直载流导线的直流电流 I产生的磁感应强度（见例 2.2）。
解：
解法一：利用静磁场量公式例 2.2已用式（ 2.35）求得 B 的结果。
解法二：利用静磁位矢量公式在圆柱坐标系中,A与? 无关，由式（ 3.9a）可得
0
2 2 1 / 2
220
22
0
22
d
4 ()
l n ( )
4
ln
4
L
z
L
z
z
I z
z
LI
zz
L
LLI
LL
=
=
a
A
a
a
22
0
22
0
22
0
1
( ) 0
ln
4
2
2
z z z
zz
A A A
A
LLI
LL
IL
L
LL
I
利 用 ==,考 虑 到,可 得
= -
=
对 于 无 限 长 直 载 流 导 线,,当 时,上 式 退 化 为
=
解 法 三,利 用 安 培 环 路 定 理 公 式
B A a a a
Ba
a
Ba
0
2.42
2
I
由 于 圆 柱 对 称 性,可 由 式 （ ） 直 接 得 到
=Ba
【 例 3.15】 已知双线传输线半径均为 a，轴心距为 d＞ a，两导线形成的回路中通过电流为 I，导线周围媒质的磁导率为?0，
如图 3.21所示。求双线传输线电流产生的磁感应强度和单位长度自感。
解：
双线传输线及其磁场分布均不具有柱对称性，但每个单独的传输线则具有柱对称性。因此，可分别应用安培环路定理于每个传输线，再结合叠加原理求其合成磁场，进而求出自感。
选用圆柱坐标系，由安培环路定理和叠加原理可得穿过两导线间宽为 d?，轴向长度为单位长度 l=1的面积元的磁通为 d?=B·dS=B?a?· a?dS=B?d?，因此
00
2 2 ( )
II
d
B a a
0
0
11
dd
2
ln
da
a
I
d
I d
a
ψ ψ
利用 d?a，可知双线传输线的单位长度外自感为而两根导线单位长度内自感为每根导线的两倍。对于细导线而言，可以忽略不计，所以传输线单位长度的自感近似写为外自感之值。
0 0 0
0 l n l n
d a dL
I a a
ψ
3.7.2 静态场的边值问题
1．边值问题的类型和唯一性定理
（ 1）第一类边值问题,
（ 2）第二类边值问题,
（ 3）第三类边值问题,
1 1s 2 2s
1
1
1
s
s
on
2
2
2
s
s
on
1 1s 2
2
2
s
s
on
边值问题类型假想无限大球面 上满足自然边界条件S
l i m 0rsr
（参考点选在无限远处）
唯一性定理：场域中的位函数只要同时满足场域中的泊松方程或拉普拉斯方程及边界面上任一类边界条件，该位函数必定是方程唯一正确的解。
（ 1） 提供求边值问题正确性的衡量标准；
（ 2） 提供求边值问题唯一性的理论依据；
（ 3） 提供建立其他原理的理论基础。
唯一性定理的意义
2．静态场的直接解法、间接解法和特殊解法
（ 1）直接积分法（直接解法和特殊解法）
直接积分法 —— 求解位的一维二阶常微分方程时，对其进行逆运算，直接积分两次，以还原所求位函数，再由边界条件对两积分待定系数形成的两项叠加解定解。
（ 2）分离变量法（直接解法）
分离变量法 — 将三维偏微分方程的复杂通解表示为三个一维常微分方程的简单通解的乘积?（ x,y,z） =X（ x） Y（ y） Z
（ z）,代入偏微分方程进行变量分离，即得分别含自变量 x,y
和 z的三个常微分方程，由直接积分法求其通解后相乘，即得偏微分方程的通解。
（ 3）镜像法（间接解法）
镜像法 — 基于唯一性定理，场域内的源及其在界面上感应的复杂面源在域内某点产生的合成场，等效于域内源与域外虚设简单镜像点源或线源产生的合成场；只要按方程和边界条件的要求找出虚设简单镜像源的个数、位置和大小，即可对复杂未知面源进行等值代换。
3.7.3 直接积分法
【 例 3.16】 利用直接积分法重解例 3.12。
解：
孤立导体球具有球对称性，选择球坐标系，则电位函数的拉普拉斯方程由三维形式退化为一维形式积分两次得已知边界条件为
2dd 0
ddrrr
2
2
dd
dd
A
rA
rr r
A
B
r
或
= -
由边界条件确定 A和 B，有故得与例 3.12的结果一致。
00
dd
0
SSra
nr
r
处 或处
2
2
00
d
d
00
SS
ra
r
aA
A
r a
A
BB
或或
2
00
2
0
4
d
d 4
S
r
a Q
rr
Q
r r
Ea
【 例 3.17】 半径为 a的无限长圆柱导体内，沿轴向的电流为 I。
求导体内、外的矢量磁位。
解：
由题设条件可知穿过横截面的电流密度为 。选择圆柱坐标系，则磁矢量 的 z
分量在柱内有源区的泊松方程和柱外无源区的拉普拉斯方程都退化为一维常微分方程，可用直接积分法求解。
在导体内部 的泊松方程为积分两次，得通解
2/zzJ I aJ a a zzA?Aa
() zaA,
1
0
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1
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JA A B
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1
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2
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dd
zz
z
zz
z
z
z
A A A
A
A A B
JI
A
a
a
A
r
时 l n -,无 意 义,为 确 保 为 有 限 值,应 令 ；
对 于 无 限 长 电 流 源,的 参 考 点 不 能 取 在 无 限 远 处,若 选 取处 为 的 参 考 点 时,要 求 得在 导 体 外 部 （ ）,的 拉 普 拉 斯 方 程 为积 分 两 次,得 通 解
A
2
12
12
22
ln
3,5 8
z
zz
zz
A A B
a
AA
AA
在 边 界 面 处,将 式 （ ） 转 化 为 如 下 标 量 形 式 的 边 界 条 件
,
12
20
222
0 2
00
22
0
2
ln
4
2
1
ln
2 2 2
1
ln
22
zz
AA
I
a A a B
a
I A
aa
II
A B a
I
A
a
将 和 之 值 代 入 上 式,可 得联 立 求 解 得
,
故 得
*3.7.4 分离变量法
（ 1）列出适当坐标系中的方程求通解；
（ 2）列出齐次和非齐次边界条件；
（ 3）按齐次边界条件和函数性质求待定常数和分离常数；
（ 4）按非齐次边界条件和正交归一性条件完全定解。
求解步骤
【 例 3.18】 横截面为长 a、宽 b的无限长矩形导体槽，除一侧边界面电位为 U0外，其余三个边界面电位均为零，如图 3.22所示。试求此导体槽内的电位分布。
22
22
22
1
/0
) ( ) ( )
3.75
1 d 1 d
dd
z
z
xy
x y X x Y y
XY
XY
X x Y y
（ ） 列 方 程 求 解为 适 合 场 的 边 界 条 件,选 择 直 角 坐 标 系 。 电 位 沿 方 向 无 变化,即,故 拉 普 拉 斯 方 程 为 二 维 形 式
+ =0 （ 3.75 ）
令 通 解,
代 入 式 （ ）,并 除 以,得上 式 中 右 边 是解,
2
yx
k
的 函 数,左 边 是 的 函 数,二 者 要 相 等,只 有 都等 于 一 个 常 数 才 可 能 。 令 分 离 常 数 为,则 将 上 面 二 维 偏 微 分方 程 分 离 为 两 个 常 微 分 方 程
2
2
2
2
2
2
2
00
2
2
00
d
0
d
d
0
d
( ) ( ) 0
c os si n ) 0
( ) ( ) 0
c os si
X
kX
x
Y
kY
y
X x A x B k
A hk x B hk x k
Y y C y D k
C k y D
方 程 的 解 为
,
+(,
,
+(
2
0 0 0 0
1
n ) 0
)
( 1 2 )
) ( ) ( )
c os si n ) c os si n )
n
n n n n
n
k y k
x y k
kn
x y A x B C y D
A hk x B hk x C k y D k y
，
,的 通 解 可 写 成 线 性 叠 加 形 式,此 时 分 离 常 数 可 取 一 系列 特 定 之 值,,,故 得
，
+ ( ( (3.76)
0
2
0) = 0 0 a
) = 0 0 b
0 ) = 0 0 c
) = 0
x x a
x b x a
y y b
a y U y b
（ ） 列 边 界 条 件
,,（ 3.77 ）
,,（ 3.77 ）
,,（ 3.77 ）
,,
0 0 0
0
0
d
a
0 ( )
c os si n )
0 0( 1 2 )
n n n n n
n
n
A x B D
A hk x B hk x C
x a x
D C n
（ 3.77 ）
（ 3 ） 由 齐 次 边 界 条 件 定 解式 （ 3.77 ） 代 入 式 （ 3.76 ）,有
+ (
要 使 在 (0,) 范 围 内 变 化 取 任 何 值 上 式 都 成 立,由 于 的 函 数项 不 为 零,只 能 取 和,,,于 是,有
0 0 0
1
0 0 0
1
) ( )
c o s sinh ) sin a
3,7 7 b 3,7 8 a
0 ( )
c o s sin ) sin
n n n n n n
n
n n n n n n
n
x y A x B C y
A h k x B k x D k y
A x B C b
A h k x B h k x D k b
xa
，
+ ( (3.78 )
再 将 式 （ ） 代 入 式 （ ）,有
+ (
同 样,要 使 在 ( 0,) 范 围 内
0
0 sin 0 ( 1 2 )
3,7 8 a 0 ) 0
sin 0
12
nn
nn
n
n
x
C D k b n
D x y D
kb
n
kn
b
变 化 取 任 何 值 上 式 都 成 立,由 于 的 函数 项 不 为 零,只 能 取 和,,。 但 是,由 式
（ ） 知,若,则,,故 不 能 取 零 值,只 能 令
,由 此 得
,,,
1
1
3,78 a
) c os sin ) sin 78 b
3,77 c 3,78 b c os 0 1 sin 0 0
0 sin
0
0( 1 2 ) 3,7
n n n
n
nn
n
n
n
n n n
x y A h x B h x D y
b b b
hh
n
A D y
b
y b D
An
代 入 式 （ ）,有
,( （ 3,）
又 将 式 （ ） 代 入 式 （ ）,由 于 和,可 得要 使 在 (0,) 范 围 内 变 化 上 式 取 任 何 值 都 成 立,且,则 应令,,,于 是 式 （
1
8b
) sin sin 78 c
n
n
n n n
nn
x y h x y
bb
BD
） 变 为
,（ 3,）
式 中,为 待 定 常 数 。
0
0
0
0
dc
si n si n 79 a
3.7 9a
( ) si n 79 b
n
n
n
n
nn
U h a y
bb
y b U
n
f y a y
b
（ 4 ） 由 非 齐 次 边 界 条 件 定 解式 （ 3.77 ） 代 入 式 （ 3.78 ）,有
（ 3,）
可 以 看 出,式 （ ） 即 为 在 (0,) 区 间 将 非 零 边 值 展 开 为正 弦 函 数 的 傅 里 叶 级 数,可 写 为
（ 3.
0
a b si n 3.7 9 b
si n ( )
nn
n
n
a h a
b
m
a y f y U
b
by
）
比 较 式 （ 3.79,） 知 。 式 （ ）
中 的 系 数 由 正 交 归 一 性 条 件 确 定,为 此 以 乘,
并 在 (0,) 范 围 内 对 取 积 分,以 构 造 如 下 正 交 归 一 性 条 件
0
0
00
1
02
sin sin d
1
3,79 b
sin ( )
sin sin d sin d
3,79 d
b
m
n
n
bb
n
n
mnmn
y y y
mnb b b
m n a m n
a
m
a y f y
b
m n m
a y y y U y y
b b b
，
(3.79c)
，
显 然,式 （ ） 中 的 系 数 均 被 淘 汰,仅 留 下 的 系数 。
下 面 对 进 行 具 体 计 算 。 对 取 积 分 后,得
(3,7 9d )
式 （ ） 右
00
( ) ( )
sin sin d c os c os d
2
0
2
bb
n
n
n
am n m n m n
a y y y y y y
b b b b
mn
a
b m n
边 的 积 分 为
，
，
0
0
0
1
c
d
4
1 3 5
0 2 4 6
4 1
1 3 5
si n si n
3.78 c
si n
4
) si n
si n
n
n
n
n
U
n
a n
n
aU
n
nn
n
aa
bb
n
hx
U n
b
x,y y n
n
nb
a
b
式 中 已 利 用 了 正 交 归 一 性 条 件 式 （ 3.79 ） 。 将 以 上 两 式 代 入式 （ 3.79 ）,得
，,,,
，,,,
或
,,,,
故 式 （ ） 变 为
,1 3 5 ( 3.80，,,）
3.7.5 镜像法
【 例 3.19】 点电荷对无限大接地导体平面的镜像。点电荷 q距下方无限大接地导体平面的距离为 h，如图 3.23所示。求上半平面静电场的电位。
解：
上半空间（ z＞ 0）总电场的位是由原有点电荷 q和导体平面上的未知感应面电荷?S共同产生的。基于唯一性定理，只要我们能找出一个假想虚设点电荷 q′，使 q和 q′所产生场的位满足相同的方程和边界条件，则 q′所产生场的位可以等值代替?S所产生场的位。
如何找出虚设点电荷 q′的大小和位置呢？显然，必须要求点电荷 q
和 q′所产生的总场的位满足相同的齐次方程 2 0
和接地齐次边界条件 。如果将虚设点电荷 q′设置在上半平面内，则与非含源方程不相容，为了满足齐次方程，虚设点电荷必须设置在下半平面内。我们猜想，如果该虚设点电荷 q′和原电荷 q处于相对地平面对称的位置，且虚设点电荷 q′与地平面距离 h′=h,q′=q,形成镜像关系，故 q′称为 q的镜像电荷。于是，
点电荷 q和 q′在上半空间的合成电位为显然，除点电荷 q所在处外，电位 Φ（ x,y,z)在上半空间（ z＞ 0）
满足齐次方程,在地平面（ z=0）处满足齐次边界条件 。这就证实了我们的猜想是正确的，是满足唯一性定理要求的。
0 0z
0 0z
2 0
2 2 2 2 2 2
11(,,)
4 ( ) ( )
qx y z
x y z h x y z h
如何进行上述值的替代呢？具体做法是将图 3.23中有界空间的导体平面移去，代之以具有与上半空间相同的媒质区域，形成具有媒质特性参量为?的无界均匀空间，再按图 3.24中所示设置镜像点电荷 q′。
● 确定镜像电荷的原则：
（ 1）镜像电荷必须位于原电荷所在求解区域之外的空间中，
因此镜像等效性只适合于求解区域，这样的区域称为 等效区域或 有效区域 ；
（ 2）在非等效区域的等值代替是指以媒质空间代替导体区域，以镜像电荷代替导体界面上的未知面电荷分布，以满足等效区域的等效性要求；
（ 3）镜像电荷的个数、大小和位置由原边值问题来确定，
即必须同时满足相同的方程和边界条件。
3.7.6 无源区问题的类比解法
1．稳恒电场与静电场的比拟关系
0 ( )EE
0J
JE
2 0
0 ( )EE
0D
DE
2 0
12nnJJ?
12ttEE?
12
1212
nn
12nnDD?
12ttEE?
12
2212nn
dsIJS dsqDS
,,,,IEJ,,,,qED
静电场（? =0）稳恒电场（ E?=0）
静电比拟 —— 无源区的稳恒电场和静电场满足相同的拉普拉斯方程和边界条件时，可以由静电场的已知解通过类比量代换得到稳恒电场的解。
得比较
d
d
d
d
s
l
l
s
Q
C
U
U
R
I
ES
El
El
ES
1 aR
C
（ 3,8 1 ）
1
1
b
G / R
G
C
已 知 电 容 器 两 级 间 的 电 导 为,则 电 导 与 电 容 间 的关 系 为
（ 3,8 1 ）
由 此 可 知,若 已 求 得 两 极 间 的 电 容,则 可 按 式 （ 3.81 ）
用 取 代,即 可 得 到 两 电 极 的 电 阻 和 电 导 。
【 例 3.20】 深埋接地器采用球形接地器，浅埋接地器采用半球接地球，如图 3.25所示。试求半径为 a的半球接地器的接地电阻。
解：
接地电阻主要指大地土壤中的电阻，称为大地电阻。由于接地时电流主要集中在接地器周围，所以接地器电阻也主要在接地球附近。首先求面积为 2?a2的半球接地器的电容为采用静电比拟法求电阻时，利用式（ 3.87a）可得显然，对于深埋球形接地器，其接地电阻是上述半球接地器的一半。
2
2
0
0
( 2 )
d 4
2
1d
4
S
a
q
a
a
Ca
q
ra
ES
El
11 ()
2R Ca
2．静磁场与静电场的对偶关系
0 ( )mHH
0B
0 ()B H M H
2 0
0 ( )EE
0D
0D E P E
2 0m
12nnBB?
12ttHH?
12mm
1212mmnn
12nnDD?
12ttEE?
12
2212nn
,,,,mH B M,,,,E D P
静电场（? =0）静磁场（ J=0）
对偶变换 —— 无源区的静磁场与静电场满足相同的拉普拉斯方程和边界条件时，可由静电场的已知解通过对偶量变换得到静磁场的解。
【 例 3.21】 仿静电场，与圆电流回路等效的磁偶极矩也可定义为,qm为产生标量磁位 的磁荷,l的方向由?qm指向
+qm 。试仿照例 3.1求电偶极子的电位和电场的方法，重新求例
3.2中圆电流回路的磁场。
mq?ml m?
解：
由于正、负磁荷与正、负电荷所产生的位具有相同的数学形式，不必重新求解，只需对例 3.1的结果进行对偶变换，即可得
3
0
0 3
4
2 c os si n
4
m
mr
r
m
r?
mr
B a a
3,8 静态场的应用阅读材料：自学或选讲。
选讲用图：
