目 录
6,1 传输线概述
6,2 导行电磁波的一般传输特性分析
6,3 矩形波导中导行电磁波的传输特性
6,4 其他导波系统简介
6,5 微波传输线
6,6 电磁波传输的应用第六章 电磁波的传输无线传播和有线传输是传递电磁波信息的两种基本形式。前面介绍了电磁波在无界空间的传播和不同平面媒质边界面的反射和折射；下面将介绍电磁波在导波系统的有界空间中的传输。导波系统是引导电磁波传输的传输线或波导，被引导的电磁波称为导行电磁波或导波。波沿导波系统的传播称为传输。导波系统大体分为传输横电波（ TE
波）和横磁波（ TM波）的空管波导和传输横电磁波（ TEM
波）的实心传输线（双导体或多导体传输线），以及由它们派生或演化而成的传输准横电磁波（准 TEM波）的集成电路传输线等。空管波导采用电磁场的方法进行分析，实心传输线采用等效电路的方法进行分析。
本章采用场、路对比和场、路结合的方法，首先介绍场的分析方法，运用纵向场量法将一般矢量波动方程简化为便于分析的纵向标量波动方程，以矩形波导为典型实例论述了矩形波导中导行波的传输特性；其次介绍路的分析方法，基于基尔霍夫定律，以双导体传输线为典型实例论述了传输波的传输特性。对其他导波系统也做了简要介绍。
在此基础上讨论一般电磁波传输的应用。
1．空管传输线（规则金属波导）
图 6.1（ a）表示矩形波导、圆形波导、椭圆波导和脊波导。只能传输横磁波（ TM波，沿纵向 ）或横电波（ TE波，沿纵向 ），适用于厘米波和毫半波传输。
6.1 传输线概述
● 传输线类型
0,0zzEH
0,0zzEH
2．实心传输线（双导体或多导体传输线）
图 6.1（ b）表示双导线、同轴线、带状线和微带线。
主要传输横电磁波（ TEM波，沿纵向 ）和准横电磁波（准 TEM波，主波为 TEM波，由填充介质使,引起附加的 TM波或 TE波）。其中同轴线内、外导体构成空管传输线，存在主波 TM波和 TE波，
内导体为实心传输线，还同时存在附加的 TEM波。双导线适用于 100MHz以下米波及大于米波所有波长的电磁波，
同轴线适用于 3GHz以下分米波，带状线和微带线适用于分米波和厘米波传输。
0,0zzEH
0,0zzEH
3．介质传输线（表面波波导）
图 6.1（ c）表示介质波导、介质镜像波导和介质光波导。介质传输线是利用全内反射基于表面波原理制成的表面波传输线。介质波导和介质镜像波导适用于微波（包括毫米波和亚毫米波），介质光波导适用于光波传输。
● 传输线随频率的演化过程双导体传输线同轴导线空管波导介质传输线要求,以形成 U,I 的波动传输； f↑，辐射损耗 ↑，要求 。
l
d?
一根单线延展为闭合空心导管包围另一根单线，填充绝缘介质：外导体屏蔽随 f 增大的辐射损耗和外界干扰，填充介质起缘绝作用。
抽出同轴导线内导体和填充介质：避免内导体高频集肤效应的导体损耗和填充介质的介质损耗；内截面变大，功率容量增加。
避免空管波导频带窄，笨重、工艺加工难和批量成本高的缺点，具有损耗小、加工方便、
重量轻、成本低和便于微波集成的优点。
,f
,f
,f
● 传输线随集成化的演化过程航空、航天等空间科学和技术的发展，对微波系统提出了体积小、重量轻、可靠性高、性能优良、一致性好和成本低等要求，促进了微波集成电路的发展。
微波集成电路 ——
微波技术半导体器件集成电路的结合形成的平面型结构电路图 6.2表示同轴导线演化成带线的过程。
图 6.3表示双导体线演化成微带线的过程。
6.2 导行电磁波的一般传输特性分析导波理论（场分析法） —— 用于严格分析规则金属波导内导行电磁波的理论。
电磁导波特性沿传输线的 纵向传输特性 ；
在横截面内的 横向分布特性 。
6.2.1 纵向场量法图 6.4 表示任意截面无限长均匀规则金属波导。
已知无源空间场矢量波动方程设图 6.4中取直角坐标系 z轴与波导轴重合，时谐场沿 +z
方向传播，则方程（ 6.1）的解纵向场量法 —— 将矢量波动方程分解为标量波动方程，
再按边界条件匹配特点将场量划分为纵、横向分量；不必求所有分量，只须先求与纵向边界条件匹配的纵向场标量方程的纵向场标量后，再按纵、横场关系式由已知纵向场分量求横向场分量。
2?
22
22
22
0
0
k
k
k
(6.1a)
(6.1b)
式 中 。
EE
HH
,,,)e
,,,)e
yz
yz
x y z x y
x y z x y
(6.2a)
(6.2b)
EE
HH
( ) (
( ) (
将式（ 6.1）中的 E,H和 分解为直角分量代入方程（ 6.1）得式中 作用于式（ 6.2）即出现 。只考虑 的纵向标量方程
2 2 222
2 2 2zt xy xy
,
iz?
2 2 2 2
2
2 2 2 2
( )
( )
( )
x x y y z z
x x y y z z
xy
E E E
H H H
x y z z
(6.3a)
(6.3b)
(6.
E a a a
H a a a
3c)
2 2 2
2 2 2
+ ( + )
+ ( + )
,t i i
i i i
E k E
i = x,y,z
E k H
(6.4a)
(6.4b)
2 2 2
2 2 2
+ ( + ) 0
+ ( + ) = 0
x y z z
x y z z
E k E =
H k H
(6.5a)
(6.5b)
纵、横场分量关系由麦克斯韦方程旋度式建立，有
= j
= j
EH
HE
(6.7a)
(6.7b)
,,,)
,,,)
yz
zz
yz
E x y z E x y e
H x y z H x y e
( ) ( (6.6 a)
( ) ( (6.6b )
+ = j
= j
z
yx
z
xy
E
EH
y
E
E H
x
(6.8a)
(6.8b)
j
+ = j ε
y x
z
z
yx
E E
H
xy
H
HE
y
(6.8c)
(6.8d)
联立求解方程（ 6.8），得
= j ε
j ε
z
xy
y x
z
H
H E
x
H H
E
xy
(6.8e)
(6.8f)
2
2
1
= ( + j )
1
= ( j )
zz
x
c
zz
y
c
EH
E
k x y
EH
E
k y x
(6.9a)
(6.9b)
2
2
1
= ( j ε + )
1
= ( j ε + )
zz
x
c
zz
z
c
EH
H
k y x
EH
H
k x y
(6.9c)
(6.9d)
2 2 2
= +
c
kk? (6.9e)
6.2.2 各类导波模式的一般传输特性方程（ 6.5）改写为
22
22
= 0
= 0
x y z c z
x y z c z
E + k E
H + k H
(6.10a)
(6.10b)
对于 TEM波，有 和,式（ 6.9）变为0zE? 0
zH?
2
c
1,,,0
x y x yE E H H
看出式（ 6.9）构成一组无意义的零解。获得非零解的存在条件只能取
1,横电磁波的一般传输特性
2 2 2 = 0 + ckk? (6.11)
或式（ 6.11）代入方程（ 6.10），将横向分量考虑进去，得它与无源区二维静态场 和 满足相同拉普拉斯方程。看出 凡是存在二维静态场的系统中必定存在 TEM
模，这样的系统也可以用作传输 TEM波的导波系统，且其横向分布模式与二维静态场具有相同形式。 因此，求导波的 TEM模式，只需按求静态场的方法先求导波的横向分布函数，再乘以纵向传播因子 。
,s xyE,s xyH
ze
● TEM波的传输特性（由波解的物理参量说明）
22 (,) = 0,(,) = 0 x y x yx y x y (6.12)EH
（ 1）传播常数和相速由式（ 6.11）知,即j j k j
由此得 TEM模导行波的相速为看出 TEM模导行波是与频率无关的非色散波
（ 2）波阻抗将 Ez=0和 Hz=0代入式（ 6.8b,d），得
0,( 6,1 3 )
1 ( 6,1 4 )
Pv
j
j
xy
yx
EH
HE
上式中 Ex与 Hy的 ZTEM比定义为 TEM模导行波的波阻抗，可利用得
j
看出 ZTEM与频率无关。
由以上分析可知,导波系统中的 TEM波与无界空间中的均匀平面具有相同的传播特性,在任何频率下都能传播非色散横电磁波。
T E M = ( 6,1 5 )x
y
EZ
H
2．横磁波和横电波的一般传输特性对于
T M,0 0,6,1 0 a
T E,0 0,6,1 0 b
zz
zz
EH
EH
波 和 只 考 虑 方 程 ；
波 和 只 考 虑 方 程 。
式（ 6.9）中 Ez 或 Hz 不等于零，式（ 6.9）变为
2
1,,,
x y x y
c
E E H H
非零值获得非零解的存在条件可取
● TM波,TE波的传输特性
（ 1）传播常数和相速观察式（ 6.6）的传播因子,由式（ 6.9e）知其中ze
2 2 2 0 + 0 ckk (6.16)
或令 γ=0，则有,表示传播截止，由式（ 6.17）可知此时,由此得
1ze
22 0cck
式中,fc称为截止频率或临界频率（下标,c” 表示截止）。
当 γ≠0时，由式（ 6.17）和（ 6.18）可得传播常数为
2 2 2 2= ( 6,1 7 )cck k k
( 6,1 8 )2 cc kf
2
2
j 1 j >
= (6,1 9 )
1 <
c
cc
c
f
k f f
f
f
k f f
f
式（ 6.19）表示波导在波导中的传播常数 γ一截止频率 fc 为分界点,当 f﹥ fc时呈现虚数,表示传播型 色散行波,
当 f﹤ fc时呈现实数 a，表示衰减型 凋落场 。此处考虑的是无耗传输线（ ），因此凋落场的衰减并非由传输线自身的焦耳热损耗所引起的电磁场能量减少，而是电磁波不满足传播条件所引起的电抗性衰减，这种衰减表示能量被边界面约束在一定位置而储存起来。
jze
ze
j?
0
对于 f﹥ fc的传播型波，有可得波导内导行波的相速为
2
= 1 (6,2 0 )cfk f
式中应用了,此处 为自由空间的相速。波导内导行波的波长称为 波导波长,表示为
k
看出 和 是 的函数，表明导行波是与频率有关的色散行波。
p?
f
g?
2
= > (6,2 1 )
1
P
cf
f
22
2 2 1= = > (6,2 2 )
11
g
cc
k ff
ff
对于 的凋落场，波迅速衰减，波导呈现出高通滤波器的特性。
（ 2）波阻抗对于 TM波，将 Hz=0代入式（ 6.9），得
cff?
由式（ 6.23）可以定义 TM波的波阻抗为
2
2
2
( 6.2 3a )
( 6.2 3b )
j
( 6.
x
x
c
x
y
c
z
x
c
E
E
kx
E
E
ky
E
H
ky
2
23 c )
j
( 6.2 3d )
z
y
c
E
H
kx
式（ 6.19）代入式（ 6.24a），得对于 TE波，将 Ez=0代入式（ 6.9），得
TM ( 6.2 4a )
j
xx
yy
EEZ
HH
2
TM
TM
2
TM
1,>
= ( 6,2 4 b )
- j 1 j,<
c
c
c
cc
c
f
R f f
f
Z
k f
X f f
f
2
2
j
( 6,2 5 a)
j
( 6,2 5 b)
z
x
c
z
y
c
H
E
ky
H
E
kx
由式（ 6.25）可以定义 TE波的波阻抗为
2
2
( 6,2 5 c )
( 6,2 5 d )
x
x
c
x
y
c
H
H
kx
H
H
ky
式（ 6.19）代入式（ 6.26），得由式（ 6.15）、（ 6.24）和（ 6.26）可知
TE j ( 6,2 6 a )yx
yx
EEZ
HH
2
TE
TE
2
TE
1,>
= ( 6,2 6 b )
j 1 j,<
c
c
L
cc
f
R f f
f
Z
f
X f f
kf
空管波导中导波（ TM波,TE波）传输特性
（ 1） 截止性,空管波导中的 TM波和 TE波不是在任何频率都存在,时导波迅速衰减。
（ 2） 色散性,当 时,和 等为 的函数，
空管波导中传输色散行波。
（ 3） 滤波性,当 时，空管波导中存在凋落场，呈现高通滤波性。
（ 4） 阻抗双重性,当 时阻抗呈现纯电阻性，表示电磁能量传输和消耗；当 时阻抗呈现容抗性或感抗性，
表示电磁能量交换和储存。
cff? p? g?,TMTEZ
cff?
f
cff?
cff?
cff?
看出波导中的 TM波和 TE波的波阻抗具有互易性。
式（ 6.24）和（ 6.26）表示导波中的波阻抗 ZTM和 ZTE以截止频率 为分界点，当 时为实数 RTM和 RTE，呈现电阻性，
表示电场和磁场间无相位差，形成电磁能量单向流动的传输型色散行波；当 时为虚数 和,呈现电抗性，表示电场和磁场间有 的相位差（ ），在原处进行能量交换，形成由容抗或感抗表示的电抗性衰减凋落场。
cf cff?
cff? TMj cX TEj LX
2
j
2j e
T M T E 2 T E M 2 ( ) ( 6,2 7 )Z Z Z
6.3 矩形波导中导行电磁波的传输特性
6.3.1 导波模式的横场分布特性问题：为什么空管波导中只能传输 TM波或 TE波而不能传输 TEM波？
图 6.5表示尺寸 a× b
的矩形波导，可用分离变量法求 TM 波和 TE
波的横向波解。
1,TM 波的横场分布
TM 波中 Hz=0，只考虑 Ez满足的波动方程（ 6.10a）解的边值问题式中 为截止波数。2 2 2
ckk
● 边值问题求解步骤：
（ 1）求分离变量通解
22
2
22( ) (,) 0 ( 6.28a )czk E x yxy
0
0
| 0,| 0 ( 6,2 8 )
| 0,| 0
z x z x a
z y z y a
EE b
设方程的通解为将之代入方程（ 6.28a），得
22
2
22 0e
XYY X k X Y
xy
等式两边同除以 XY，得式（ 6.30）左边仅为 x的函数，右边仅为 y的函数，要使之相等，除非两边的函数分别等于常数 和 。于是，
方程（ 6.30）分离为两个常微分方程
2zk 2
yk?
(,) ( ) ( ) ( 6,2 9 )xE x y X x Y y?
2 2 2
2
22
11 ( 6.30)
e
XY k
X y Y y
式中利用直接积分法分别求得方程（ 6.31a,b）的通解
（ 2）由边界条件定解通解式（ 6.32）分别代入边界条件式（ 6.28b），可知
2
2
2
2
2
2
2 2 2
d
0 ( 6,3 1 a )
d
d
0 ( 6.3 1b )
d
x
y
c x y
X
kX
x
Y
kY
y
k k k
( 6.3 1 )c
( ) s i n + ( 6,3 2 a )
( ) s i n y + ( 6,3 2 b )
xx
yy
X x A k x B c o s k x
Y y C k D c o s k y
0 0,0 s i n 0 c o s 0 0z x x xE X A k B k
由此定出 B=0，得
s i n ( 6,3 3 a )xX x A k x?
0,si n 0z z a xE X a A k x
由此定出
,1,2,3,( 6,3 3 b )x mkm a
得
s i n ( 6,3 3 c )mX x A xa
定出 D=0后得得所以，矩形波导中 TM 波的纵向场分量的横向分布函数为式中,E0=AC由激励源的强度确定。
( ) = s in ( 6,3 3 d )
0 s i n 0
y
z y b y
Y y C k y
E Y b C k b:
0 0 0 s i n 0 c o s 0 0z y y yE Y C k D k：
,= 1 2 3 ( 6,33 e )
sin y = 0 ( 6,33 f )
y
n
kn
b
n
Y y C
b
,,,
0(,) s i n s i n ( 6,3 4 )z
mnE x y E x y
ab
（ 3）按纵向场表示横向场式（ 6.34）代入式（ 6.23b），得横向场分量式中
02
02
02
(,) ( ) c os si n ( 6.35 a )
(,) ( ) si n c os ( 6.35 b)
j
(,) ( ) si n c os
x
c
y
c
x
c
m m n
E x y E x y
k a a b
n m n
E x y E x y
k b a b
n m n
H x y E x y
k b a b
02
( 6.35c )
j
(,) ( ) c os si n ( 6,35d)
y
c
m m n
H x y E x y
k a a b
2 2 2 2 2 2 2 = = ( ) ( ) ( 6,3 6 )
c x y
mnk r k k k
ab
2,TE 波的横场分布
TE 波中 Ez=0，只考虑 Hz满足的波动方程（ 6.10b）解的边值问题仿前面类似思路求解，并考虑磁场分量的求导关系，式
22
2
22
0
0
( ) (,) 0 ( 6,3 7 a )
0,0
( 6,3 7 b )
0,0
cz
zz
x x a
zz
y y b
k H x y
xy
HH
xx
HH
yy
式（ 6.38）代入式（ 6.25），得横向场分量
（ 6.34）中的正弦函数应代之以余弦函数，得解
0(,) c o s c o s ( 6,3 8 )x
mnH x y H x y
ab
02
02
02
j
(,) ( ) c os si n ( 6.39 a )
j
(,) ( ) si n c os ( 6,39b)
(,) ( ) si n c os
x
c
y
c
x
c
n m n
E x y H x y
k b a b
m m n
E x y H x y
k a a b
m m n
H x y H x y
k a a b
02
( 6.39c )
(,) ( ) c os si n ( 6.39 d)
y
c
n m n
H x y H x y
k b a b
3,TM 波和 TE 波横场分布的物理特性由式（ 6.6）可知，式（ 6.34）、（ 6.35）、（ 6.38）
和（ 6.39）的纵场和横场分量的三维形式均应乘以传播因子，
若表示为瞬时形式，则可一般写为如下函数变化形式
()sin sin
c o s c o s
j z tmnx y e
ab
式（ 6.35）和（ 6.39）中的 kc由式（ 6.36）表示，由 kc可以得到 TM 波和 TE 波的截止波数 和截止频率,并由矩形波导的横截面尺寸 a,b，模的阶数 m,n和介质的电磁参量 确定。
c mn e mnf?
,
矩形波导中导波（ TM 波,TE 波）的横场分布特性
（ 1） 沿 x,y向的驻波性和沿 z向的行波性,三角函数表示驻波变化，虚指数表示行波变化。当 TEM 波以任意角度在矩形波导管壁内呈对称性来回反射前进时，其横向分量的反向行波叠加构成驻波分布，其纵向分量则形成行波。所以两对称斜向传输的 TEM 波叠加能形成矩形波导的 TM 波和 TE 波；
（ 2） 平面波的非均匀性,z=c 描述了等相面为平面，振幅为 x和 y的函数表示非均匀驻波分布；
（ 3） 场的多模性,m和 n分别表示矩形波导沿宽边和窄边方向分布的驻波半波数，满足矩形波导波动方程和边界条件的解有无限多个，每一对 m 和 n 的可能取值都对应着波导中的一个独立的模，因而波导中的场分布形成无限多个 TMmn模和
TEmn模的叠加；
（ 4） 模式的简并性,不同的模式具有不同的截止波长或截止频率，具有相同截止波长或截止频率的模式称为 简并 。
矩形波导中的 TMmn模和 TEmn模一般为二重简并。由于不存在 TMm0模和 TE0n模（读者自行分析原因），所以这两种模没有简并；
（ 5） 模式的阶次性,具有最长截止波长或最低截止频率的模式称为 最低次模,其他的模式称为 高次模 。由 或
c mn
6.3.2 导波模式的纵场传输特性传输特性由波解的物理参量（传播常和波阻抗等）说明，
其中
1．截止性当 中 时传输波截止，式（ 6.40） 中,
得到截止频率和截止波长的公式可以计算出 TM 波的最低次模为 TM11模,TE
波的最低次模为 TE10模。 TE10模是矩形波导中所有模式的最低次模，称为矩形波导的 主模 。
cmnf?
ze 0
cckk
2 2 2 2 ( 6,4 0 )c c ck k k
2．色散性和滤波性当 中,传播常数呈现双重特性，将式 (6.41a）
代入式（ 6.19），有
ze 0
22
2
22
2
j j,
,
c
c
mn
ff
ab
mn
ff
ab
( 6,4 2 a )
ze
22
22
1
( ) ( ) ( 6,4 1 a )
2 ε 2 ε
22
( 6,4 1 b )
( ) ( )
c
c
c
c
k mn
f
ab
k mn
ab
其中，当 时，分别得到相位常数、波导波长和相速
cff?
22
2 mn
ab
（ 6.42c）
22
2
22
g
mn
ab
22
2 m
p
n
ab
（ 6.42b）
（ 6.42d）
3．阻抗双重性当 中 时，将式（ 6.42a）代入式（ 6.24）和
（ 6.26），得波导中 TM 波和 TE 波的波阻抗为
ze 0
6.3.3 导波主模式的传输特性矩形波导的主模 —— 对应于 m=1和 n=0的 TM10模（具有最宽的单频工作频带）。
2 22
2 TM
TM
22
2 TM
1
,
j
1
j j,
c
c
mn
ff
ab
mn
ff
ab
( 6,4 3 a )
R
Z
X
TE
22
2
TM
TE
22
2
2
1
,
j
1
j j,
R
Z
X
c
c
ff
mn
ab
ff
mn
ab
(6,43b )
1,TE10模的场分布将 m=1和 n=0,和 代入式（ 6.38）和（ 6.39），
并考虑传播因子 和,可以写出 TE10模各场分量的瞬时形式
ck a
j
j tze j 2j ze
看出场强与 y 无关，各分量沿 y 方向均匀分布，而沿 x 方向呈
0
0
0
s in c o s ( ) ( 6,4 4 a )
2
s in c o s ( ) ( 6,4 4 b )
2
c o s c o s ( )
y
x
z
a
E H x t z
a
z
H H x t z
a
H H x t z
a
( 6,4 4 c )
0 ( 6,4 4 d )
x z y
E E H
驻波分布，其横向场分布函数的空间变化关系为其分布曲线如图 6.6（ a）所示。而沿 z 方向的时空变化关系为其分布曲线如图 6.6（ b）所示
s in ( 6,4 5 a )
s in ( 6,4 5b)
c o s
y
x
z
Ex
a
Hx
a
Hx
a
( 6,4 5 c )
c o s ( ) ( 6.4 6a )
2
c o s ( ) ( 6.4 6b )
2
c o s ( )
y
x
z
E t z
H t z
H t z
( 6.4 6c )
在横截面上 —— Ey,Hx与 Hz空间分布相位差 ；
在纵剖面方向 —— Ey,Hx与 Hz时间变化分别滞后和超前 。
看出 2?
2
场结构剖面图（按图 6.6（ a）、（ b）
绘制）
图 6.6（ c） —— 沿宽,窄边场分布剖面图 （ 对应于图 6.6（ b） 的函数分布沿 z向行波定格某瞬时值的空间分布 ） ；
图 6.6（ d） —— 沿两相距 不同横截面场分布剖面图 （ 对应于图
6.6（ a） 的函数分布在 x向的驻波分布值和在 y向的恒定值 ） 。
/4g?
2,TE10模的传输特性将 m=1和 和 代入式（ 6.18）～（ 6.22）和式（ 6.26）或式（ 6.41）～（ 6.43），得描述 TE10模传输特性的物理参量
0,2cnk j
1
( 6,4 7 a )
2
2 ( 6,4 7 b )
= 1 (
c
c
c
f
a
f
k
f
2 2 2
222
) ( ) ( 6.4 7c )
2 2 1 2
= ( 6,4 7 d )
( ) 1 ( )
g
c
a
=
k f
af
3．多模传输和单模传输矩形波导中多模（ TMmn和 TEmn）传输截止波长与 a,b和
m,n有关。不同模式的波，其相应的截止波长也不同。
图 6.7表示矩形波导中的模式分布图（由式（ 6.41b）计算各模式的,并按其长短顺序绘制）。主模 TE10模具有最长,其余高次模中 TE20模具有较长 。
2c a
c?
c a
222
TE
222
= ( 6,4 7 e )
( ) 1 ( )
11
= ( 6,4 7 f )
( ) 1 ( )
p
c
c
=
f
af
Z
f
af
● 单模传输条件（减少多模功率损耗）
模式分布分区图多模区 —— （ 0～ a）区间存在包括 TE20模在内的多模传输；
单模区 —— （ a～ 2a）区间存在主模 TE10传输；
截止区 —— （ 2a～ ∞）区间所有模式均被截止。
【 例 6.1】 矩形波导的横截面尺寸为 a=22.86mn和
b=10.19mn，接入波导的信源的工作波长 λ =2cm,3cm和 5cm。
（ 1）在每种工作波长条件下可能传输哪些模式的波？
（ 2） λ=2cm时的单模工作条件是什么？
TE TE
1 0 2 0
2
> > ( 6,4 8 a )
2 > > ( 6,4 8 b )
cc
a
ba
解：
（ 1）多模传输条件为
λ<λc
利用式（ 6.41b）计算出几个较低模式的截止波长为
10
20
01
2 4 5,7 2 m m
2 2,8 6 m m
2 2 0,3 2 m m
TE
c
TE
c
TE
c
a
a
b
看出信源工作波长
λ=5cm时不能传输任何 TEmn模式的波；
（ 3） λ =3cm时的截止频率、相位常数、波导波长、相速和波阻抗等于多少？
λ =3cm时只能传输 TE10模式的波；
λ =2cm时能传输 TE10,TE20和 TE01三种模式的波。
（ 2） λ =2cm时的单模工作条件为
1 0 2 0T E T Ecc
即知
（ 3） λ =3cm时，只能传输 TE10主模的波，将 m=1和 n=0
代入相应公式（ 6.47）直接求解，并将波长换写为频率,可得8
2
3 1 0 1 0 ( G H z )
3 1 0
cf
8
9
10
00
1 3 1 0 6,5 6 1 0 ( H z )
2 2 2 2,8 62
TE
c
cf
aa
45,72 22,86mm mm
10
2 2 2
10 8
2
2
10
9
2 2
9
8
8
10
2
0
10
2
2 10
1 ( ) 1 ( ) 1 0.6 56 15 8 ( r a d/ m )
3 10
3 10
3.9 7 10 ( m )
6.5 6 10
1 ( ) 1 ( )
10 10
3 10
3.9 7 10 ( m / s)
0.7 55
1 ( )
337
49 9.3 ( )
0.7 55
1 ( )
TE cc
TE
g
c
TE
p
c
TE
c
ff
k
f c f
f
f
c
f
f
Z
f
f
【 例 6.2】 矩形波导中的电场幅值达到击穿值 Ebr时所能承受的最大功率称为功率容量 Pbr。已知矩形波导中传输的电磁波为 TE10模。（ 1）写出相应的传输功率和功率容量的表示式；（ 2）取波导宽边和窄边的尺寸分别为 和,
信源工作频率为,求空气填充矩形波导的功率容量 。
6 cma? 3cmb?
3 GHzf?
解：
（ 1）波导中的传输功率一般形式为
**
00
2
00
11Re ( ) d Re ( ) d d
22
1 | | d d
2
ab
t t zs
ab
t
P x y
xy
Z
E H S E H a
E
对于 TE10模，代入式（ 6.44a）的值 Et=Ey，得矩形波导 TE10
模的传输功率为
2
000
10
1 ( sin ) d d
2
ab
TE
aP H x x y
Za
22
00
10 10
()44T E T Eab a abHEZZ
看出 是 在矩形波导宽边中心 处场强幅度的峰值。在正常条件下 E0<Ebr,矩形波导宽边一旦被击穿，必有 E0=Ebr。考虑到和,可得到矩形波导传输 TE10模时的功率容量
1 1
TE 2 2
1 0 0 01 ( ) 1 ( )2
cfZ
fa
00
aEH
0 s i nyE E xa
2
ax?
0 =120
22
0
10
1 ( )4 4 8 0 2brbr TEa b E a b EP Za
在空气中 Ebr=30KV/cm,由此得空气填充矩形波导的功率容量
20,6 1 ( ) ( M W )
2brP a b a
（ 2）上式中,代入 a和 b的数值，可得
10 c mcf
5,9 7 M WbrP?
6.4 其他导波系统简介
6.4.1 圆形波导图 6.8表示圆形波导。
分析方法类似于矩形波导，区别是采用圆柱坐标系。利用纵向场量法和分离变量法可求出圆柱坐标系中满足齐次边界条件的纵向场波动方程的解，其波解的三维变化形式为
c o s()
s i n
j z t
mc
mB k e
m
式中 是区别于初等函数的特殊函数，称为 贝塞尔函数 。?
mcBk?
● 传输特性纵向行波传输 —— 指数函数 沿 +z方向以行波传播
（等相面 z=c的振幅为 的函数 —— 非均匀平面波）。
径向函数 沿 作径向变化（ n-变化半波数）；
方位函数 沿 作周期性变化（ m-
变化全驻波数）。
横向驻波分布
ncBk
cos
sin
m
m
j z te
,
● 常用模式（图 6.9）
最低次主模 TE11模；
首个高次圆对称 TM01模；
高次低耗 TE01模。
6.4.2 同轴波导图 6.10表示内、外半径为 a,b的同轴波导。它可以视为具有内导体的圆波导：
内、外导体构成实心双导体传输线，传输基本波型是主波 TEM
模；同时内、外导体又构成空管圆波导，
随着频率的增长，还存在高次波型 TM 波或 TE波。
1．同轴波导中的主模（ TEM 波）
导波系统中的 TEM 波无法用纵向场量法求解（无纵向分量），但其横向分布模式与二维静态场相同。所以求同轴波导的 TEM 模时，可先求静态场 和,再乘以纵向传播因子 。
设图 6.10中柱对称同轴导体单位长度带电量为 Q，则由高斯定理求得同轴内、外导体间的静电场
,sE,sH
ze
2s QEE
令,由 的圆柱坐标分量式，得
2o
QE
jEH
式中
T EM
jj
1
p
Z
看出它与式（ 6.13）～（ 6.15）完全一致，表明同轴波导在任何频率下均传播非色散 TEM 波。
0
0
T E M
(,) ( 6,4 9 a )
(,)
(,) ( 6,4 9 b )
z
z
E
E z e
Ez E
H z e
Z
2．同轴波导中的高次模（ TM 波和 TE 波）
同圆形波导中高次模的分析方法相似。计算表明，其场分布为 TMmn模和 TEmn模，其中 TE01模和 TE11模的截止波长其中 TE11模的 最长，它是同轴波导高次模中的最低次模，场分布类似于圆波导中的 TE11模，如图 6.9（ a）所示。
c?
● 单模传输条件
01
11
2 ( ) ( 6,5 0 a )
( ) ( 6,5 0 b )
TM
c
TM
c
ba
ba
TE m i n
m i n 1 1 ( ) ( 6,5 1 )c b a b a
或
6.4.3 微带线和类微带线随着频率的提高和集成化的需要，以双导体线、同轴波导和矩形波导等常规导波系统为基础，经不断演化、变形和改进，并填充介质基片，从而派出许多不同形式的微波与毫米波传输线。
结构形式分类导带结构（标准形式） — 微带线槽结构（非标准形式） — 类微带线（槽线、共面线和鳍线等）
1．带状线和微带线
（ 1）带状线图 6.11表示的带状线由同轴波导演化而来，与同轴波导具有相似的特性，传播准 TEM 波，可采用准静态场法进行分析。
准 TEM 波 —— 主模为 TEM波，频率不太高时可忽略高次模 TM 波和 TE 波。
准静态场法 —— 传输主模 TEM 波与静态场具有相同的场分布，利用静态场中的宏观物理量 C 和
L导出传输特性参量。
已知同轴波导（见例 3.5和例 3.6）
2,l n
l n 2oo
bCL
b a a
可知
,o oo
o
L LC
C
推广到微带线中，并利用式（ 3.45a）和（ 3.47a）知和,考虑到 和,得带状线传输特性参量
o
Q
C
o
I L pQI 1
c
op
UZ
IC
11
( 6.52)
11
( 6,53 )
o
c o o
o o o p
p
oo
L
Z C L
C C C
CL
（ 2）微带线图 6.12表示的微带线由双导线演化而来，与双导线具有相似的特性。
h?
可利用式（ 6.52）和（ 6.53）
计算传输特性参量。
当工作频率较高时，微带线中除出现主模 TEM 模外，
还出现各种高次模 —— 波导模和表面波模。
当工作频率较低时，,存在很小的纵向场分量
（ Ez≠0,Hz ≠0)的混合模（证明略），只考虑主模 TEM 波，
波导模存在于导带与介质基片中，由 知介质基片中集中了导行波的大部分能量。导波模为 TM模和 TE
模的混合模，常出现最低次 TE10模和 TM01模，其传输条件
21
2wE
o
表面波模存在于接地板上介质基片附近薄层中。表面波存在各种 TM 模和 TE 模，其最低次模的传输条件为抑制导波模中的高次模 TM 模和 TE 模，按式 （ 6.54） 选择基片的 W 和 h 满足
TE
10
TM
01
2 ( 6,5 4 a )
2 ( 6,5 4 b )
cr
cr
W
h
TM
c
TE
c
( 6,5 5 a )
2 1 ( 6,5 5 b )rh
为抑制表面波模中的 TE 模，按式（ 6.55b）选择基片的 h
满足
TMC
由于 TM模的,因此在任何频率下均可在微带中传播，自然无法抑制。
2．类微带线
（ 1）槽线
m in
m in
( 6.5 6a )
2
( 6.5 6b )
2
r
r
W
h
m i n
r
( 6.5 7)2 ε 1h
图 6.13表示的槽线是一种宽频带传输线，可应用于微波频率的高端和毫米波频率的低端。目前广泛使用的微带线，
随着频率的提高，将面临尺寸变小、损耗增大和加工困难等问题。而槽线两端存在电位差，有源、无源固体器件可直接跨接在槽口上，便于混合集成；高介电常数介质基片的采用，
使场集中于槽口附近，该处没有象微带线那样的金属导带，
辐射损耗很小；槽中的波存在椭圆极化，可用于制造铁氧体非互易元件。
类微带线只有在较低频率下，才适宜于采用 准静态场分析法,它无法得到高次模的色散特性；在较高频率下，可采用 全波分析法,它能得到高次模的色散特性，但推导和计算十分困难；在较高频率下采用 横向谐振分析法 能得到比准静态场分析法更严格的结果。
全波分析法 —— 从麦克斯韦方程出发，求满足边界条件的波动方程的严格解，以获得传输特性的严格分析法。
横向谐振法 —— 引入适当边界壁将槽线结构简化为等效矩形波导问题，用矩形波导的波导模 TM模和 TE模的线性组合混合模表示其场分量，
以获得传输线特性的更严格的近似分析法。
由分析结果可知，槽线传输的不是准 TEM 波，而是 非
TEM 波 的波导模。
非 TEM 波 —— 在传输线表面存在由全内反射形成的表面波，而在传输线内部则存在有别于常规波导模性质的波导模。
对槽线的波导模而言，它与波导的区别是无截止频率，它与微带的区别是不具备准 TEM 模的近似无色散特性。
图 6.14表示槽线的场分布，其主模类拟于波导中的 TE10模。
（ 2）共面线图 6.15表示的共面线是以槽线为基础发展而成的相互耦合的双槽线，分为共面波导和共面条带。共面波导也具有跨接固体器件方便、利用存在的椭圆极化磁场制成铁氧体非互易元件的优点。
共面线可以传输准 TEM 波，在低频时用准静态场分析法，
可得到无截止频率的场分布，如图 6.16所示。在高频时出现
TM 模和 TE 模的混合模，可采用全波分析法。
（ 3）鳍线图 6.17表示四种类型的鳍线，包括：（ a）单侧鳍线；（ b）
双侧鳍线；（ c）反对称鳍线；
（ 4）绝缘鳍线鳍线是平面集成电路和立体电路巧妙结合的毫米波传输线，
也可看成场分布在屏蔽矩形波导内的屏蔽槽线。
由鳍线制成的有源和无源固体器件已成功应用于高达
140GHz的频率上。它具有频带宽、功率小、重量轻、可靠性高和成本低等优点。
6.4.4 介质波导和光波导微带线和类微带线等平面集成传输线广泛应用于毫米波频率的低端，在其频率高端，尺寸变小，光洁度变坏，制造困难，
导体电阻和能量损耗增加；色散性和多模性变得十分显著。开放式介质波导的毫米波集成传输线不仅克服了这些缺点，而且比金属波导、微带线和类微带线的损耗小、重量轻，加工方便、
成本低、便于与微波元器件与半导体器件进行混合集成，使频率从毫米波和亚毫米波直至拓展到光波范围。
1．介质波导图 6.18表示的常用介质波导是用电磁参量为? 和? 的介质做成的柱形体。图（ a）、（ b）是基本形式的矩形、圆形介质波导，图（ c）、（ d）是变形的镜像波导。它用介质波导对称剖面上的接地金属平板取代另一半介质波导，
平板的镜像源与被取代的另一半介质波导的场分布是等效的，并未破坏上半空间的场分布。
金属接地板还解决了散热、屏蔽和支撑问题。
进入高介电常数介质波导的电磁波，在界面处产生全内反射而形成表面波，同时在圆柱截面内来回反射的行波，在径向形成叠加的驻波。
矩形介质波导没有严格的解析解，但用等效介电常数法已能得到足够的精确度。圆形介质波导有严格的解析解，可采用求电磁场边值问题的方法对其进行严格的模式分析。分析结果表明，圆形介质波导不存在纯 TMmn模和 TEmn模，但存在 TMon模和 TEon模，一般为混合 HEmn模和 EHmn模（ Ez≠0，
Hz≠0）。其中圆形介质波导的主模为 HE11模，且无截止频率；
而第一个高次模为 TM01模或 TE01模。因此，实现单模传输的条件要求 f在两个截止频率 和 之间，得
.11 0HECf?,01Cf
光波导 —— 用于传输光波的一种特殊形式的介质波导，包括介质薄膜光波导、介质带状光波导和圆形介质波导等。
光导纤维（或光纤） —— 用于传输单模、且介质材料具有良好光学性能而无金属接地板的圆形介质波导（通常采用强度
2.光波导高、损耗小和性能稳定的石英玻璃制成,d≈几
m～ 几十?m）。
（ 1）光纤的结构
c 0 1 0 1 ( 6,5 8 )c0 f f
芯子 —— 掺杂石英，控制 ；
光纤结构 包层 —— 掺杂石英,；
套层 —— 保护层（增加强度，防止干扰）。
22 rn
（ 2）光的分析方法射线法（几何光学法） —— 利用光学中反、折射的射线理论解释光传输特性；
场解法 —— 利用光波段电磁波的波动理论解释电介质波导中的光传输特性。
分析方法
（ 3）光纤的类型
● 单模光纤和多模光纤
112rnn
单模光纤传输圆形介质波导中的主模 HE11（ ），
其第一个高次模是 TM01模或 TE01模，所以光波工作波长必需满足单模传输条件式（ 6.58）。其中 TM01模或 TE01模的截止波长
.11 0HECf?
为避免出现高次模，由式（ 6.58）知工作波长 λ 必须使单模光纤的 D 满足条件
● 阶跃型光纤和渐变型光纤阶跃型光纤 —— n1,n2均匀分布，在界面处发生突变；
渐变型光纤 —— n2均匀分布,n1随?增大逐渐变小。
22
01 1 2
01
1 ( 6.5 9)
c D n n
22
12
2,4 0 5 ( 6,6 0 )D
nn
n～?变化规律近拟式
a—— 芯子半径；
—— 折射指数分布因子；
—— 相对折射指数差。
式中
1
2
( 0 ) 1 2 ( )
( ) ( 6,6 1 a )
na
n a
,
，
22
1 2 1 2
2
11
( 0 ) ( 0 ) ( 6,6 1 b )
2 ( 0 ) ( 0 )
n n n n
nn
（ 4）光纤的数值孔径图 6.21表示光纤中的全内反射。由折射定律式（ 5.68b）
知当 时产生全内反射，此时,得
ic 2
1
πsin sin ( )
2i c t
n
n
00 1
0
s in s in
πs in s in ( )
2
ii
t
i
n
n
1
0
0
sin c o s ( 6,6 2 a )iinn
显然,不能超过的最大值
2 2 22
1
c o s 1 s i n 1 ( )ii nn
代入式（ 6.62a）知
212
21
s i n 1 ( )oi nnnn
满足全内反射的条件为
oi?
看出在以 θoimax为顶角的圆锥体内，所有投射到光纤芯子端面进入光纤的光波，均可在芯子与包层边界面处产生全内反射，
形成沿光纤轴向传输的波，如图 6.22所示。
22
12
0
1sin ( 6.6 2b)
oi nnn
22
m a x 1 2
0
1a r c sin ( ) ( 6,6 3 a)
oi nnng
数值孔径 NA（ Numerical Aperture） —— 描述光纤收集光的聚光能力的物理参量。定义为
6.5 微波传输线在实际的微波传输系统中，由于终端负载和微波元件的接入，并不存在无限长均匀规则波导。工程上有必要将严格的场
22
m a x 1 2
0
1sin ( 6.6 3 b)NA
oiθ nnng
分析法简化为等效的路分析法。考虑传输 TEM 波的双导线将场转化为路的等效问题。
图 6.23表示的双导线周围的 TEM 波的场分布可以由其宏观积分值表示为
( ) dbatUzEl
( ) dtIz c Hl?
推广为时空变化关系时，表明双导线周围的导波场 E（ x,y，
z,t）,H（ x,y,z,t） 转化和等效为双导线上的宏观电压、
电流波 u（ z,t）,i（ z,t）,使问题得到简化。
6.5.1 一般传输线方程
1．分布参量的概念短线：在低频电路中（ ），有限长传输线各点分布的电压、电流近乎不变，其特性参量与线上各点位置无关，用集中参量 C（ F）,L（ H）,R（?） 和 G
（ S） 描述传输线的传输特性；
长线：在高频、微波电路中（ ），长传输线上分布许多周期变化的电压、电流，其特性参量与线上各点位置有关，用分布参量 Co（ F/m）,Lo（ H/m）、
Ro（?/m）和 Go（ S/m） 描述传输线的传输特性。
1l
1l
2．传输线的等效电路问题：如何从物理概念上解释各分布参量的效应？
3．传输线方程的稳态解由基尔霍夫定律式（ 3.40b）和（ 3.44）建立等效电路
（见图 6.24（ b所示））电压、电流的传输线方程。
在 z处设时谐量在 z+dz处
(,)
(,)
u z t
i z t
( d,) (,) d (,)
( d,) (,) d (,)
u z z t u z t u z t
i z z t i z t i z t
其复数形式基尔霍夫定律应用于传输线上 dz段，利用
() iu L i Lt t t
()qui c u ct t t
j
j
(,) R e [ ( ) ] ( 6,6 4 a )
(,) R e [ ( ) ] ( 6,6 4 b )
t
t
u z t U z e
i z t I z e
得
0
(,)
d (,) d (,) ( d,) 0
(,)
d (,) d (,) ( d,) 0
o
oo
i z t
R z i z t L z u z t u z z t
t
u z t
G z u z t C z i z t i z z t
t
简化为
(,)
d (,) d (,) d
(,)
d (,) d (,) d
oo
oo
i z t
u z t R z i z t L z
t
u z t
i z t G z u z t C z
t
方程两边除以 dz，得 传输线方程 （或 电报方程 ）
应用式（ 6.64）写为复数形式
0
(,) (,)
(,) ( 6,65 a )
(,) (,)
(,) ( 6,65 b)
o
oo
u z t i z t
R i z t L
zt
i z t u z t
G u z t C
zt
式中
—— 单位长度串联阻抗；
—— 单位长度并联导纳。
o o oZ R j L
o o oY G j C
看出 传输线单位长度电压（电流）变化等于其串联阻抗
（并联导纳）上电压降（分流电流 ） 。
式中方程（ 6.66）对 z求导，得
d ( )
( ) ( 6.66 a )
d
d ( )
( ) ( 6.66 b)
d
o
o
Uz
Z I z
z
Iz
Y U z
z
2
2
2
2
d ( )
( ) 0 ( 6,6 7 a )
d
d ( )
( ) 0 ( 6,6 7 b )
d
oo
oo
Uz
Z Y U z
z
Iz
Z Y I z
z
令,得2 ( ) ( )
o o o o o oZ Y R j L G j C
通解为式中式中
2
2
2
2
2
2
d ( )
( ) 0 ( 6,6 8 a )
d
d ( )
( ) 0 ( 6,6 8 b )
d
z
z
z
z
z
z
U
U
I
I
( ) ( 6,6 9 a )zzU z A e B e
0
1 d ( ) 1( ) ( ) ( 6,6 9 b )
d
zz
c
UzI z A e B e
Z z Z
0 0 0
c
0 0 0
0 0 0 0 0 0
j ( 6,7 0 a )
j
( j ) ( j ) = + j ( 6,7 0 b )
Z R LZ
Y G C
Z Y R L G C
zc—— 传输线特性阻抗；
—— 传输线衰减常数；
—— 传输线相位常数。
通解可写为瞬时形式
【 例 6.3】 已知传输线的终端电压 U0 和终端电流 I0，如图 6.25所示。假定传输线的传输特性参量为?和 Zc，求该传输线上任意点的电压和电流。
-
-
(,) (,) (,)
= e c os ( ) + e c os ( ) ( 6.7 1a )
(,) (,) (,)
1
= [ e c os ( ) e c os ( ) ] ( 6.7 1b )
az az
az az
c
u z t u z t u z t
A t z B t z
i z t i z t i z t
A t z B t z
Z
解：
将 z=0处的 U（ 0） =U0和 I（ 0） =I0代入式（ 6.69），得
0
0
1 ()
c
U A B
I A B
Z
由此解得
00
00
1 ()
2
1 ()
2
c
c
A U I Z
B U I Z
将 A和 B代入式
（ 6.69），得
0 0 0 0
00
22
zzcc
zz
U I Z U I ZU z U z U z e e
U e U e
=
=
（ 6.72a）
对于无损耗传输线，取 γ =jβ,代入式（ 6.72）可得
6.5.2 传输波的传输特性传输特性参量 —— 表征波传输特性、由传输线尺寸、填充媒质及工作频率确定的参量。
1．特性阻抗
0 0 0 0
00
1
( ) ( 6,7 2 b )
22
zzcc
c
zz
I z I z I z
U I Z U I Z
ee
Z
I e I e
=
=
=
00
0
0
c o s + j s i n ( 6,7 3 a )
c o s j s i n ( 6,7 3 b )
c
c
c
U z U z I Z z
U
I z I z Z z
Z
对于无耗线（ R0=0,G0=0），得式（ 6.75b）中已取 和 。
ln ( 2 / )oC Dd
2ln
o
DL
d
2．传播常数由式（ 6.70b）的两边平方后，可得一复数等式，令其实部和虚部分别相等，再联立求解含未知量 α和 β 的两个方程，
可求得
00
00
j( ) ( ) ( 6,7 4 )
( ) ( ) jc
zz?
RLUUZ
I I G C
0
0
( 6.7 5a )
1 2 0 2
I n ( 6.7 5b )
ε
c
c
r
D
d
L
Z
C
Z
对于无耗线（ R0=0,G0=0），得
3．相速和波长由式（ 6.71）和（ 6.77），得
6.5.3 传输线的工作状态传输线的工作状态由其工作状态参量描述。
1
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1{ [ ( ) ( ) ( ) ] } ( 6,7 6 a )
2
1{ [ ( ) ( ) ( ) ] } ( 6,7 6 b )
2
R L G C L C R G
R L G C L C R G
000,( 6,7 7 )LC
00
1
2
( 6,7 8 )
p
LC
1．传输线的工作状态参量
（ 1）输入阻抗由式（ 6.73）得图 6.26所示无耗传输线上输入阻抗
j ta n()( ) ( 6,79)
( ) j ta n
Lc
i n c
cL
Z Z zUzZ z Z
I z Z Z z
看出 Zin（ z） 与 ZL,Zc,z和 有关，是不宜直接测量的复数。有必要引入由便于直接测量的电压、电流定义的工作状态参量。
2 oof LC
（ 2）反射系数（描述反射程度）
取无耗线（ ），式（ 6.72）中j
j
j
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
z
o o c
z
o o c
z I Z e
z I Z e
式（ 6.80）变为
()( ) ( 6.80)
()
Uzz
Uz?
0
0
j 2 - j 200
0
00
0 0 0
0
0 0 0
j
0
( ) ( 6.81 a )
| |
| |
zzc
c
jc L c L c
c L c L c
U I Z
z e e
U I Z
U U I Z Z Z Z Z
e
U U I Z Z Z Z Z
e
( 6.81 b)
（ 3）驻波系数（描述驻波化程度）
还可引入行波系数（描述行波化程度）
（ 4）工作状态参量间的关系从不同角度描述传输线上电压（或电流）波同一工作状态的物理量及其变化的范围，必定存在一一对应关系。
由式（ 6.72）和（ 6.80）知
m a x
m in
| ( ) | ( 6.82)
| ( ) |
Uz
Uz
m in
m a x
| ( ) | 1 ( 6,8 3 )
| ( ) |
UzK
Uz
( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( 6,8 4 a )
( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( 6,8 4 b )
U z U z U z U z z
I z I z I z I z z
入射波和反射波电压相同（或相反），其叠加驻波电压为波腹（或波节），得式（ 6.82）变为或
( ) 1 ( )
( ) ( 6,8 5 a )
( ) 1 ( )
()
( ) ( 6,8 5 b )
()
i n c
i n c
i n c
U z z
Z z Z
I z z
Z z Z
z
Z z Z
m a x| ( ) | | ( ) | | ( ) | ( 6,8 7 a )U z U z U z
1 | ( ) | / | ( ) | 1 | ( ) | ( 6.8 8a )
1 | ( ) | / | ( ) | 1 | ( ) |
U z U z z
U z U z z
0 0
0
1,( 6,8 6 )
1
LcLc
Lc
ZZZZ
ZZ
m i n| ( ) | | ( ) | | ( ) | ( 6,8 7 b )U z U z U z
1(z ) ( 6.8 8b )
1
=
● 工作状态参量变化范围
()inXz
0 ( ) 1
1
0
z
K
由式（ 6.83）可知
2．行波状态行波状态 —— 无反射工作状态，有将 代入式（ 6.72），得
( ) 0z
( ) 0Uz
( ) ( )
2
( ) ( )
2
z j zoo
o
z j zo o o
cc
U I Z
U z U z e U e
U I Z U
I z I z e e
ZZ
c
c
1 ( )1 ( 6,8 9 )
1 ( )
z
z
K
取 和,计及时谐因子，上式可写为瞬时形式
011 jooU U e j
图 6.27表示终端阻抗匹配（ ZL=ZC）线上的行波电压、电流分布，
式（ 6-79）变为
00
0
0
(,) | | c os ( ) ( 6.90a )
||(,) c os ( ) ( 6.90b)
c
u z t U t z
Ui z t t z
Z
( ) ( 6,9 1 )i n cZ z Z?
行波状态无耗传输线的特性
（ 1）沿线电压和电流振幅不变；
（ 2）沿线电压和电流相位相同；
（ 3）沿线各输入阻抗等于其特性阻抗。
3．驻波状态驻波状态 —— 全反射工作状态，有 。
由式（ 6.81a）和（ 6.86）知满足全反射工作的条件：
( ) 1z
短路（ ZL=0）；
开路（ ZL）；
纯电抗（ ZL=± XL）。
● 短路传输线的纯驻波工作状态特性
ZL=0代入式（ 6.86）知,式（ 6.81a）变为,又 和,代入式
（ 6.84）得
1 jo e π
2() jzze () jZoU z U e 0() kZI z I e
利用,和,上式变为
j00 oU U e 0j00I I e 2j
je
ZL=0代入式（ 6.79）,得
0
0
( ) j 2 s i n ( 6,9 2 a )
( ) j 2 c o s ( 6,9 2 b )
zz?
UU
II
j
00
j
00
(,) R e [ ( ) ]
= 2s in | | c os ( ) ( 6.9 3a )
2
(,) R e [ ( ) ]
= 2c os [ c os ( ) ] ( 6.9 3b )
t
t
u z t z e
zt
i z t z e
zt
U
U
I
I
i n c( ) j t a n ( 6,9 4 )zzZZ
图 6.28表示传输线上的驻波状态。
图（ a）：式（ 6.93）中振幅为看出正弦和余弦表示传输线上各点电压和电流在空间位置上有 λ /4的相移。
式（ 6.93）中时间余弦表示在相同位置 z 上电压和电流在原位置作周期性时谐振荡，相差为 。
图（ b）：式（ 6.95）中振幅随位置的驻波分布变化规律为
2?
当 时，在 处，（ n=0,1,2,… ）
( 2 1) 2n
n
z n
2
( 2 1 )
4
n
n
z
n
0
0
| ( ) | | 2 | | s i n | ( 6,9 5 a )
| ( ) | | 2 | | c o s | ( 6,9 5 b )
U z U z
I z I z
有看出电压波节（或波腹）点处就是电流波腹（或波节）点。
图（ c）：式（ 6.94）表示短路线沿线的输入阻抗分布为纯电抗 。
j ( )i n i nXX
电压波节点：,串联谐振；
电压波腹点：,并联谐振；
：,纯电感；
：,纯电容。
( ) 0inZz?
()inZz
( 0 )4z ()in inZ z jX?
()42z ()in inZ z jX
m i n 0m a x
m a x 0 m i n
( ) 0,( ) 2
( ) 2,( ) 0
U z I z I
U z U I z
驻波状态无耗传输线的特性
（ 1）沿线电压和电流的振幅随位置呈驻波分布，空间相差为,无能量传输；
（ 2）沿线任意位置的电压和电流在原处随时间做周期性时谐振荡，时间相差为 ；
（ 3）沿线输入阻抗具有纯电抗性和 阻抗变换性，
利用短线这一周期性变换特性可制成电抗元件。
2
4
4
4．混合波状态混合波（或行驻波）状态 —— 部分反射工作状态，
有 。
0 ( ) 1z
将,和 代入式
（ 6.84），可得
0() jzU z U e 0() jzI z I e
20() jzze
式（ 6.96）表示传输线上的电压和电流中，含 的部分
0(1 )
为 单向入射行波，含 的部分为驻波，且电压和电流的驻波分布的空间相差为,如图 6.29所示。
4
0?
-
0 0 0
-
0 0 0 0 0
0 0 0 0
-
00
0 0 0 0
()
2
2
( 1 ) 2 c os ( 6.9 6a)
()
( 1 ) j 2 si n
j z j z
j z j z
j z j z
jz
j z j z
jz
U z U e U e
ee
U e U U e
U e U z
I z I e I e
I e I z
( 6.9 6b )
6.5.4 传输线的阻抗匹配
1．传输线的阻抗匹配状态问题：阻抗匹配的作用是什么？
（ 1）共轭阻抗匹配在图 6.24（ a）中
（ 2）源阻抗匹配
（ 3）负载阻抗匹配串联 阻抗变换器法；
匹配方式支节调配器法。
4?
2．传输线的阻抗匹配方法
* ( 6,9 7 a )i n gZZ?
( 6,9 7 b )gcZZ?
( 6,9 7 c )LcZZ?
阻抗变换器法 —— 当 时，在其间加接一段长,特性阻抗 ZCL的传输线以实现匹配的方法，如图
6.30（ a）、（ b）所示。
LCRZ?
4?
经过 阻抗变换器的变换后，式（ 6.79）
的,,有
4
2z
42
2j t a n 2
j t a n
2
L C L
CL
i n C L
L
C L L
ZZ Z
ZZ
RZZ
π
π
看出当匹配传输线的特性阻抗 时，代入上式得,由此实现了传输线上 与 RL的匹配。
无耗传输线的 ZC=RC,阻抗变换器只适合匹配电阻性负载；若,则应设法抵消其中虚部,使,
再串接阻抗变换器实现匹配，如图 6.30（ c）、（ d）所示。
in CZZ?
C L C LZ Z R?
in CZZ?
4
jL L LZ R X j LX? LLZR?
【 例 6.4】 当传输线终端接入复阻抗负载时，将会产生部分反射，形成混合波状态，如图 6.30（ d）所示。（ 1）写出复解：
（ 1） 代入式（ 6.86），求得终端电压反射系数为阻抗引起的终端电压反射系数；（ 2）应用反射系数写出混合波电压和电流的表示式；（ 3）应用混合波电压和电流的表示式确定电压波腹（或电流波节）点和电压波节（或电流波腹）点的位置和输入阻抗。
jL L LZ R X
0
2 2 2
2 2 2 2 2
j
( ) j ( ) j
( ) j ( ) j
2
j
( ) ( )
L c L c L L c L
L c L c L L c L
L c L L c
c c L L c c
Z Z R Z X R Z X
Z Z R Z X R Z X
R Z X X Z
R Z X R Z X
e
m
m
0
22
22
2 2 2
()
()
2
tan
L c L
L C L
LC
L L C
R Z X
R Z X
XZ
arc
R X Z
（ 2）将 代入式（ 6.81a）和（ 6.84），得
00 je
0
0
( 2 )
( 2 )
( ) ( ) 1
()( ) 1
jz
jz
C
U z U z e
UzI z e
Z
其幅值为
00
0
0
1 2 c o s ( 2 )
1 2 c o s ( 2 )
C
U z U z
UI z z
Z
（ 3）在 |U（ z） |和 |I（ z） |的表示式中，令式中在
0
0
42
( 2 1 )
44
n
n
Z
n
处有
m a x 0 0
0
m i n 0
m a x
( ) | | ( 1 | |)
||
| ( ) ( 1 | |)
C
i n c
U z U
U
Iz
Z
Z R Z?
和
m in 0 0
0
m a x 0
m in
( ) | | ( 1 | |)
||
| ( ) ( 1 | |)
/
C
in c
U z U
U
Iz
Z
Z R Z?
0
22,0,1,2,
2 ( 1 )n
nzn
n
【 例 6.5】 特性阻抗为 的均匀无损耗传输线，终端接负载的复阻抗为,在传输线和终端负载间加接一个 的阻抗变换器以实现阻抗匹配，如图 6.30（ d）所示。
试求 阻抗变换器的特性阻抗 ZcL和距终端的距离 l。
150cZ
2 5 0 j1 0 0LZ
/4?
/4?
解：
由例 6.4可知，为了实现对复阻抗负载的阻抗匹配，应当将 阻抗变换器串接在距终端第一个电压波腹点，此处的等效阻抗为纯电阻 Rmax=Zcρ，由此知阻抗变换器的特性阻抗 ZCL和接入离负载的距离 l为
/4?
2
m a x
0,04
c L c cZ R Z Z
ln
式中将已知值 ZL=250+j100Ω 和 Zc=150Ω 代入上列各式，最后得0
2
( 250 150 ) j 100
0.34 3 0.54
( 250 150 ) j 100
1 0.34 3
2.0441
1 0.34 3
150 2.04 41 214,46( )
0.54 0.04 3
4
cL
Z
l
0
0
0
1 | |
1 | |
Lc
Lc
ZZ
ZZ
=
和
6.6 电磁波传输的应用阅读材料：自学或选讲。
选讲用图：
6,1 传输线概述
6,2 导行电磁波的一般传输特性分析
6,3 矩形波导中导行电磁波的传输特性
6,4 其他导波系统简介
6,5 微波传输线
6,6 电磁波传输的应用第六章 电磁波的传输无线传播和有线传输是传递电磁波信息的两种基本形式。前面介绍了电磁波在无界空间的传播和不同平面媒质边界面的反射和折射；下面将介绍电磁波在导波系统的有界空间中的传输。导波系统是引导电磁波传输的传输线或波导，被引导的电磁波称为导行电磁波或导波。波沿导波系统的传播称为传输。导波系统大体分为传输横电波（ TE
波）和横磁波（ TM波）的空管波导和传输横电磁波（ TEM
波）的实心传输线（双导体或多导体传输线），以及由它们派生或演化而成的传输准横电磁波（准 TEM波）的集成电路传输线等。空管波导采用电磁场的方法进行分析，实心传输线采用等效电路的方法进行分析。
本章采用场、路对比和场、路结合的方法，首先介绍场的分析方法，运用纵向场量法将一般矢量波动方程简化为便于分析的纵向标量波动方程，以矩形波导为典型实例论述了矩形波导中导行波的传输特性；其次介绍路的分析方法，基于基尔霍夫定律，以双导体传输线为典型实例论述了传输波的传输特性。对其他导波系统也做了简要介绍。
在此基础上讨论一般电磁波传输的应用。
1．空管传输线（规则金属波导）
图 6.1（ a）表示矩形波导、圆形波导、椭圆波导和脊波导。只能传输横磁波（ TM波，沿纵向 ）或横电波（ TE波，沿纵向 ），适用于厘米波和毫半波传输。
6.1 传输线概述
● 传输线类型
0,0zzEH
0,0zzEH
2．实心传输线（双导体或多导体传输线）
图 6.1（ b）表示双导线、同轴线、带状线和微带线。
主要传输横电磁波（ TEM波，沿纵向 ）和准横电磁波（准 TEM波，主波为 TEM波，由填充介质使,引起附加的 TM波或 TE波）。其中同轴线内、外导体构成空管传输线，存在主波 TM波和 TE波，
内导体为实心传输线，还同时存在附加的 TEM波。双导线适用于 100MHz以下米波及大于米波所有波长的电磁波，
同轴线适用于 3GHz以下分米波，带状线和微带线适用于分米波和厘米波传输。
0,0zzEH
0,0zzEH
3．介质传输线（表面波波导）
图 6.1（ c）表示介质波导、介质镜像波导和介质光波导。介质传输线是利用全内反射基于表面波原理制成的表面波传输线。介质波导和介质镜像波导适用于微波（包括毫米波和亚毫米波），介质光波导适用于光波传输。
● 传输线随频率的演化过程双导体传输线同轴导线空管波导介质传输线要求,以形成 U,I 的波动传输； f↑，辐射损耗 ↑，要求 。
l
d?
一根单线延展为闭合空心导管包围另一根单线，填充绝缘介质：外导体屏蔽随 f 增大的辐射损耗和外界干扰，填充介质起缘绝作用。
抽出同轴导线内导体和填充介质：避免内导体高频集肤效应的导体损耗和填充介质的介质损耗；内截面变大，功率容量增加。
避免空管波导频带窄，笨重、工艺加工难和批量成本高的缺点，具有损耗小、加工方便、
重量轻、成本低和便于微波集成的优点。
,f
,f
,f
● 传输线随集成化的演化过程航空、航天等空间科学和技术的发展，对微波系统提出了体积小、重量轻、可靠性高、性能优良、一致性好和成本低等要求，促进了微波集成电路的发展。
微波集成电路 ——
微波技术半导体器件集成电路的结合形成的平面型结构电路图 6.2表示同轴导线演化成带线的过程。
图 6.3表示双导体线演化成微带线的过程。
6.2 导行电磁波的一般传输特性分析导波理论（场分析法） —— 用于严格分析规则金属波导内导行电磁波的理论。
电磁导波特性沿传输线的 纵向传输特性 ；
在横截面内的 横向分布特性 。
6.2.1 纵向场量法图 6.4 表示任意截面无限长均匀规则金属波导。
已知无源空间场矢量波动方程设图 6.4中取直角坐标系 z轴与波导轴重合，时谐场沿 +z
方向传播，则方程（ 6.1）的解纵向场量法 —— 将矢量波动方程分解为标量波动方程，
再按边界条件匹配特点将场量划分为纵、横向分量；不必求所有分量，只须先求与纵向边界条件匹配的纵向场标量方程的纵向场标量后，再按纵、横场关系式由已知纵向场分量求横向场分量。
2?
22
22
22
0
0
k
k
k
(6.1a)
(6.1b)
式 中 。
EE
HH
,,,)e
,,,)e
yz
yz
x y z x y
x y z x y
(6.2a)
(6.2b)
EE
HH
( ) (
( ) (
将式（ 6.1）中的 E,H和 分解为直角分量代入方程（ 6.1）得式中 作用于式（ 6.2）即出现 。只考虑 的纵向标量方程
2 2 222
2 2 2zt xy xy
,
iz?
2 2 2 2
2
2 2 2 2
( )
( )
( )
x x y y z z
x x y y z z
xy
E E E
H H H
x y z z
(6.3a)
(6.3b)
(6.
E a a a
H a a a
3c)
2 2 2
2 2 2
+ ( + )
+ ( + )
,t i i
i i i
E k E
i = x,y,z
E k H
(6.4a)
(6.4b)
2 2 2
2 2 2
+ ( + ) 0
+ ( + ) = 0
x y z z
x y z z
E k E =
H k H
(6.5a)
(6.5b)
纵、横场分量关系由麦克斯韦方程旋度式建立，有
= j
= j
EH
HE
(6.7a)
(6.7b)
,,,)
,,,)
yz
zz
yz
E x y z E x y e
H x y z H x y e
( ) ( (6.6 a)
( ) ( (6.6b )
+ = j
= j
z
yx
z
xy
E
EH
y
E
E H
x
(6.8a)
(6.8b)
j
+ = j ε
y x
z
z
yx
E E
H
xy
H
HE
y
(6.8c)
(6.8d)
联立求解方程（ 6.8），得
= j ε
j ε
z
xy
y x
z
H
H E
x
H H
E
xy
(6.8e)
(6.8f)
2
2
1
= ( + j )
1
= ( j )
zz
x
c
zz
y
c
EH
E
k x y
EH
E
k y x
(6.9a)
(6.9b)
2
2
1
= ( j ε + )
1
= ( j ε + )
zz
x
c
zz
z
c
EH
H
k y x
EH
H
k x y
(6.9c)
(6.9d)
2 2 2
= +
c
kk? (6.9e)
6.2.2 各类导波模式的一般传输特性方程（ 6.5）改写为
22
22
= 0
= 0
x y z c z
x y z c z
E + k E
H + k H
(6.10a)
(6.10b)
对于 TEM波，有 和,式（ 6.9）变为0zE? 0
zH?
2
c
1,,,0
x y x yE E H H
看出式（ 6.9）构成一组无意义的零解。获得非零解的存在条件只能取
1,横电磁波的一般传输特性
2 2 2 = 0 + ckk? (6.11)
或式（ 6.11）代入方程（ 6.10），将横向分量考虑进去，得它与无源区二维静态场 和 满足相同拉普拉斯方程。看出 凡是存在二维静态场的系统中必定存在 TEM
模，这样的系统也可以用作传输 TEM波的导波系统，且其横向分布模式与二维静态场具有相同形式。 因此，求导波的 TEM模式，只需按求静态场的方法先求导波的横向分布函数，再乘以纵向传播因子 。
,s xyE,s xyH
ze
● TEM波的传输特性（由波解的物理参量说明）
22 (,) = 0,(,) = 0 x y x yx y x y (6.12)EH
（ 1）传播常数和相速由式（ 6.11）知,即j j k j
由此得 TEM模导行波的相速为看出 TEM模导行波是与频率无关的非色散波
（ 2）波阻抗将 Ez=0和 Hz=0代入式（ 6.8b,d），得
0,( 6,1 3 )
1 ( 6,1 4 )
Pv
j
j
xy
yx
EH
HE
上式中 Ex与 Hy的 ZTEM比定义为 TEM模导行波的波阻抗，可利用得
j
看出 ZTEM与频率无关。
由以上分析可知,导波系统中的 TEM波与无界空间中的均匀平面具有相同的传播特性,在任何频率下都能传播非色散横电磁波。
T E M = ( 6,1 5 )x
y
EZ
H
2．横磁波和横电波的一般传输特性对于
T M,0 0,6,1 0 a
T E,0 0,6,1 0 b
zz
zz
EH
EH
波 和 只 考 虑 方 程 ；
波 和 只 考 虑 方 程 。
式（ 6.9）中 Ez 或 Hz 不等于零，式（ 6.9）变为
2
1,,,
x y x y
c
E E H H
非零值获得非零解的存在条件可取
● TM波,TE波的传输特性
（ 1）传播常数和相速观察式（ 6.6）的传播因子,由式（ 6.9e）知其中ze
2 2 2 0 + 0 ckk (6.16)
或令 γ=0，则有,表示传播截止，由式（ 6.17）可知此时,由此得
1ze
22 0cck
式中,fc称为截止频率或临界频率（下标,c” 表示截止）。
当 γ≠0时，由式（ 6.17）和（ 6.18）可得传播常数为
2 2 2 2= ( 6,1 7 )cck k k
( 6,1 8 )2 cc kf
2
2
j 1 j >
= (6,1 9 )
1 <
c
cc
c
f
k f f
f
f
k f f
f
式（ 6.19）表示波导在波导中的传播常数 γ一截止频率 fc 为分界点,当 f﹥ fc时呈现虚数,表示传播型 色散行波,
当 f﹤ fc时呈现实数 a，表示衰减型 凋落场 。此处考虑的是无耗传输线（ ），因此凋落场的衰减并非由传输线自身的焦耳热损耗所引起的电磁场能量减少，而是电磁波不满足传播条件所引起的电抗性衰减，这种衰减表示能量被边界面约束在一定位置而储存起来。
jze
ze
j?
0
对于 f﹥ fc的传播型波，有可得波导内导行波的相速为
2
= 1 (6,2 0 )cfk f
式中应用了,此处 为自由空间的相速。波导内导行波的波长称为 波导波长,表示为
k
看出 和 是 的函数，表明导行波是与频率有关的色散行波。
p?
f
g?
2
= > (6,2 1 )
1
P
cf
f
22
2 2 1= = > (6,2 2 )
11
g
cc
k ff
ff
对于 的凋落场，波迅速衰减，波导呈现出高通滤波器的特性。
（ 2）波阻抗对于 TM波，将 Hz=0代入式（ 6.9），得
cff?
由式（ 6.23）可以定义 TM波的波阻抗为
2
2
2
( 6.2 3a )
( 6.2 3b )
j
( 6.
x
x
c
x
y
c
z
x
c
E
E
kx
E
E
ky
E
H
ky
2
23 c )
j
( 6.2 3d )
z
y
c
E
H
kx
式（ 6.19）代入式（ 6.24a），得对于 TE波，将 Ez=0代入式（ 6.9），得
TM ( 6.2 4a )
j
xx
yy
EEZ
HH
2
TM
TM
2
TM
1,>
= ( 6,2 4 b )
- j 1 j,<
c
c
c
cc
c
f
R f f
f
Z
k f
X f f
f
2
2
j
( 6,2 5 a)
j
( 6,2 5 b)
z
x
c
z
y
c
H
E
ky
H
E
kx
由式（ 6.25）可以定义 TE波的波阻抗为
2
2
( 6,2 5 c )
( 6,2 5 d )
x
x
c
x
y
c
H
H
kx
H
H
ky
式（ 6.19）代入式（ 6.26），得由式（ 6.15）、（ 6.24）和（ 6.26）可知
TE j ( 6,2 6 a )yx
yx
EEZ
HH
2
TE
TE
2
TE
1,>
= ( 6,2 6 b )
j 1 j,<
c
c
L
cc
f
R f f
f
Z
f
X f f
kf
空管波导中导波（ TM波,TE波）传输特性
（ 1） 截止性,空管波导中的 TM波和 TE波不是在任何频率都存在,时导波迅速衰减。
（ 2） 色散性,当 时,和 等为 的函数，
空管波导中传输色散行波。
（ 3） 滤波性,当 时，空管波导中存在凋落场，呈现高通滤波性。
（ 4） 阻抗双重性,当 时阻抗呈现纯电阻性，表示电磁能量传输和消耗；当 时阻抗呈现容抗性或感抗性，
表示电磁能量交换和储存。
cff? p? g?,TMTEZ
cff?
f
cff?
cff?
cff?
看出波导中的 TM波和 TE波的波阻抗具有互易性。
式（ 6.24）和（ 6.26）表示导波中的波阻抗 ZTM和 ZTE以截止频率 为分界点，当 时为实数 RTM和 RTE，呈现电阻性，
表示电场和磁场间无相位差，形成电磁能量单向流动的传输型色散行波；当 时为虚数 和,呈现电抗性，表示电场和磁场间有 的相位差（ ），在原处进行能量交换，形成由容抗或感抗表示的电抗性衰减凋落场。
cf cff?
cff? TMj cX TEj LX
2
j
2j e
T M T E 2 T E M 2 ( ) ( 6,2 7 )Z Z Z
6.3 矩形波导中导行电磁波的传输特性
6.3.1 导波模式的横场分布特性问题：为什么空管波导中只能传输 TM波或 TE波而不能传输 TEM波？
图 6.5表示尺寸 a× b
的矩形波导，可用分离变量法求 TM 波和 TE
波的横向波解。
1,TM 波的横场分布
TM 波中 Hz=0，只考虑 Ez满足的波动方程（ 6.10a）解的边值问题式中 为截止波数。2 2 2
ckk
● 边值问题求解步骤：
（ 1）求分离变量通解
22
2
22( ) (,) 0 ( 6.28a )czk E x yxy
0
0
| 0,| 0 ( 6,2 8 )
| 0,| 0
z x z x a
z y z y a
EE b
设方程的通解为将之代入方程（ 6.28a），得
22
2
22 0e
XYY X k X Y
xy
等式两边同除以 XY，得式（ 6.30）左边仅为 x的函数，右边仅为 y的函数，要使之相等，除非两边的函数分别等于常数 和 。于是，
方程（ 6.30）分离为两个常微分方程
2zk 2
yk?
(,) ( ) ( ) ( 6,2 9 )xE x y X x Y y?
2 2 2
2
22
11 ( 6.30)
e
XY k
X y Y y
式中利用直接积分法分别求得方程（ 6.31a,b）的通解
（ 2）由边界条件定解通解式（ 6.32）分别代入边界条件式（ 6.28b），可知
2
2
2
2
2
2
2 2 2
d
0 ( 6,3 1 a )
d
d
0 ( 6.3 1b )
d
x
y
c x y
X
kX
x
Y
kY
y
k k k
( 6.3 1 )c
( ) s i n + ( 6,3 2 a )
( ) s i n y + ( 6,3 2 b )
xx
yy
X x A k x B c o s k x
Y y C k D c o s k y
0 0,0 s i n 0 c o s 0 0z x x xE X A k B k
由此定出 B=0，得
s i n ( 6,3 3 a )xX x A k x?
0,si n 0z z a xE X a A k x
由此定出
,1,2,3,( 6,3 3 b )x mkm a
得
s i n ( 6,3 3 c )mX x A xa
定出 D=0后得得所以，矩形波导中 TM 波的纵向场分量的横向分布函数为式中,E0=AC由激励源的强度确定。
( ) = s in ( 6,3 3 d )
0 s i n 0
y
z y b y
Y y C k y
E Y b C k b:
0 0 0 s i n 0 c o s 0 0z y y yE Y C k D k：
,= 1 2 3 ( 6,33 e )
sin y = 0 ( 6,33 f )
y
n
kn
b
n
Y y C
b
,,,
0(,) s i n s i n ( 6,3 4 )z
mnE x y E x y
ab
（ 3）按纵向场表示横向场式（ 6.34）代入式（ 6.23b），得横向场分量式中
02
02
02
(,) ( ) c os si n ( 6.35 a )
(,) ( ) si n c os ( 6.35 b)
j
(,) ( ) si n c os
x
c
y
c
x
c
m m n
E x y E x y
k a a b
n m n
E x y E x y
k b a b
n m n
H x y E x y
k b a b
02
( 6.35c )
j
(,) ( ) c os si n ( 6,35d)
y
c
m m n
H x y E x y
k a a b
2 2 2 2 2 2 2 = = ( ) ( ) ( 6,3 6 )
c x y
mnk r k k k
ab
2,TE 波的横场分布
TE 波中 Ez=0，只考虑 Hz满足的波动方程（ 6.10b）解的边值问题仿前面类似思路求解，并考虑磁场分量的求导关系，式
22
2
22
0
0
( ) (,) 0 ( 6,3 7 a )
0,0
( 6,3 7 b )
0,0
cz
zz
x x a
zz
y y b
k H x y
xy
HH
xx
HH
yy
式（ 6.38）代入式（ 6.25），得横向场分量
（ 6.34）中的正弦函数应代之以余弦函数，得解
0(,) c o s c o s ( 6,3 8 )x
mnH x y H x y
ab
02
02
02
j
(,) ( ) c os si n ( 6.39 a )
j
(,) ( ) si n c os ( 6,39b)
(,) ( ) si n c os
x
c
y
c
x
c
n m n
E x y H x y
k b a b
m m n
E x y H x y
k a a b
m m n
H x y H x y
k a a b
02
( 6.39c )
(,) ( ) c os si n ( 6.39 d)
y
c
n m n
H x y H x y
k b a b
3,TM 波和 TE 波横场分布的物理特性由式（ 6.6）可知，式（ 6.34）、（ 6.35）、（ 6.38）
和（ 6.39）的纵场和横场分量的三维形式均应乘以传播因子，
若表示为瞬时形式，则可一般写为如下函数变化形式
()sin sin
c o s c o s
j z tmnx y e
ab
式（ 6.35）和（ 6.39）中的 kc由式（ 6.36）表示，由 kc可以得到 TM 波和 TE 波的截止波数 和截止频率,并由矩形波导的横截面尺寸 a,b，模的阶数 m,n和介质的电磁参量 确定。
c mn e mnf?
,
矩形波导中导波（ TM 波,TE 波）的横场分布特性
（ 1） 沿 x,y向的驻波性和沿 z向的行波性,三角函数表示驻波变化，虚指数表示行波变化。当 TEM 波以任意角度在矩形波导管壁内呈对称性来回反射前进时，其横向分量的反向行波叠加构成驻波分布，其纵向分量则形成行波。所以两对称斜向传输的 TEM 波叠加能形成矩形波导的 TM 波和 TE 波；
（ 2） 平面波的非均匀性,z=c 描述了等相面为平面，振幅为 x和 y的函数表示非均匀驻波分布；
（ 3） 场的多模性,m和 n分别表示矩形波导沿宽边和窄边方向分布的驻波半波数，满足矩形波导波动方程和边界条件的解有无限多个，每一对 m 和 n 的可能取值都对应着波导中的一个独立的模，因而波导中的场分布形成无限多个 TMmn模和
TEmn模的叠加；
（ 4） 模式的简并性,不同的模式具有不同的截止波长或截止频率，具有相同截止波长或截止频率的模式称为 简并 。
矩形波导中的 TMmn模和 TEmn模一般为二重简并。由于不存在 TMm0模和 TE0n模（读者自行分析原因），所以这两种模没有简并；
（ 5） 模式的阶次性,具有最长截止波长或最低截止频率的模式称为 最低次模,其他的模式称为 高次模 。由 或
c mn
6.3.2 导波模式的纵场传输特性传输特性由波解的物理参量（传播常和波阻抗等）说明，
其中
1．截止性当 中 时传输波截止，式（ 6.40） 中,
得到截止频率和截止波长的公式可以计算出 TM 波的最低次模为 TM11模,TE
波的最低次模为 TE10模。 TE10模是矩形波导中所有模式的最低次模，称为矩形波导的 主模 。
cmnf?
ze 0
cckk
2 2 2 2 ( 6,4 0 )c c ck k k
2．色散性和滤波性当 中,传播常数呈现双重特性，将式 (6.41a）
代入式（ 6.19），有
ze 0
22
2
22
2
j j,
,
c
c
mn
ff
ab
mn
ff
ab
( 6,4 2 a )
ze
22
22
1
( ) ( ) ( 6,4 1 a )
2 ε 2 ε
22
( 6,4 1 b )
( ) ( )
c
c
c
c
k mn
f
ab
k mn
ab
其中，当 时，分别得到相位常数、波导波长和相速
cff?
22
2 mn
ab
（ 6.42c）
22
2
22
g
mn
ab
22
2 m
p
n
ab
（ 6.42b）
（ 6.42d）
3．阻抗双重性当 中 时，将式（ 6.42a）代入式（ 6.24）和
（ 6.26），得波导中 TM 波和 TE 波的波阻抗为
ze 0
6.3.3 导波主模式的传输特性矩形波导的主模 —— 对应于 m=1和 n=0的 TM10模（具有最宽的单频工作频带）。
2 22
2 TM
TM
22
2 TM
1
,
j
1
j j,
c
c
mn
ff
ab
mn
ff
ab
( 6,4 3 a )
R
Z
X
TE
22
2
TM
TE
22
2
2
1
,
j
1
j j,
R
Z
X
c
c
ff
mn
ab
ff
mn
ab
(6,43b )
1,TE10模的场分布将 m=1和 n=0,和 代入式（ 6.38）和（ 6.39），
并考虑传播因子 和,可以写出 TE10模各场分量的瞬时形式
ck a
j
j tze j 2j ze
看出场强与 y 无关，各分量沿 y 方向均匀分布，而沿 x 方向呈
0
0
0
s in c o s ( ) ( 6,4 4 a )
2
s in c o s ( ) ( 6,4 4 b )
2
c o s c o s ( )
y
x
z
a
E H x t z
a
z
H H x t z
a
H H x t z
a
( 6,4 4 c )
0 ( 6,4 4 d )
x z y
E E H
驻波分布，其横向场分布函数的空间变化关系为其分布曲线如图 6.6（ a）所示。而沿 z 方向的时空变化关系为其分布曲线如图 6.6（ b）所示
s in ( 6,4 5 a )
s in ( 6,4 5b)
c o s
y
x
z
Ex
a
Hx
a
Hx
a
( 6,4 5 c )
c o s ( ) ( 6.4 6a )
2
c o s ( ) ( 6.4 6b )
2
c o s ( )
y
x
z
E t z
H t z
H t z
( 6.4 6c )
在横截面上 —— Ey,Hx与 Hz空间分布相位差 ；
在纵剖面方向 —— Ey,Hx与 Hz时间变化分别滞后和超前 。
看出 2?
2
场结构剖面图（按图 6.6（ a）、（ b）
绘制）
图 6.6（ c） —— 沿宽,窄边场分布剖面图 （ 对应于图 6.6（ b） 的函数分布沿 z向行波定格某瞬时值的空间分布 ） ；
图 6.6（ d） —— 沿两相距 不同横截面场分布剖面图 （ 对应于图
6.6（ a） 的函数分布在 x向的驻波分布值和在 y向的恒定值 ） 。
/4g?
2,TE10模的传输特性将 m=1和 和 代入式（ 6.18）～（ 6.22）和式（ 6.26）或式（ 6.41）～（ 6.43），得描述 TE10模传输特性的物理参量
0,2cnk j
1
( 6,4 7 a )
2
2 ( 6,4 7 b )
= 1 (
c
c
c
f
a
f
k
f
2 2 2
222
) ( ) ( 6.4 7c )
2 2 1 2
= ( 6,4 7 d )
( ) 1 ( )
g
c
a
=
k f
af
3．多模传输和单模传输矩形波导中多模（ TMmn和 TEmn）传输截止波长与 a,b和
m,n有关。不同模式的波，其相应的截止波长也不同。
图 6.7表示矩形波导中的模式分布图（由式（ 6.41b）计算各模式的,并按其长短顺序绘制）。主模 TE10模具有最长,其余高次模中 TE20模具有较长 。
2c a
c?
c a
222
TE
222
= ( 6,4 7 e )
( ) 1 ( )
11
= ( 6,4 7 f )
( ) 1 ( )
p
c
c
=
f
af
Z
f
af
● 单模传输条件（减少多模功率损耗）
模式分布分区图多模区 —— （ 0～ a）区间存在包括 TE20模在内的多模传输；
单模区 —— （ a～ 2a）区间存在主模 TE10传输；
截止区 —— （ 2a～ ∞）区间所有模式均被截止。
【 例 6.1】 矩形波导的横截面尺寸为 a=22.86mn和
b=10.19mn，接入波导的信源的工作波长 λ =2cm,3cm和 5cm。
（ 1）在每种工作波长条件下可能传输哪些模式的波？
（ 2） λ=2cm时的单模工作条件是什么？
TE TE
1 0 2 0
2
> > ( 6,4 8 a )
2 > > ( 6,4 8 b )
cc
a
ba
解：
（ 1）多模传输条件为
λ<λc
利用式（ 6.41b）计算出几个较低模式的截止波长为
10
20
01
2 4 5,7 2 m m
2 2,8 6 m m
2 2 0,3 2 m m
TE
c
TE
c
TE
c
a
a
b
看出信源工作波长
λ=5cm时不能传输任何 TEmn模式的波；
（ 3） λ =3cm时的截止频率、相位常数、波导波长、相速和波阻抗等于多少？
λ =3cm时只能传输 TE10模式的波；
λ =2cm时能传输 TE10,TE20和 TE01三种模式的波。
（ 2） λ =2cm时的单模工作条件为
1 0 2 0T E T Ecc
即知
（ 3） λ =3cm时，只能传输 TE10主模的波，将 m=1和 n=0
代入相应公式（ 6.47）直接求解，并将波长换写为频率,可得8
2
3 1 0 1 0 ( G H z )
3 1 0
cf
8
9
10
00
1 3 1 0 6,5 6 1 0 ( H z )
2 2 2 2,8 62
TE
c
cf
aa
45,72 22,86mm mm
10
2 2 2
10 8
2
2
10
9
2 2
9
8
8
10
2
0
10
2
2 10
1 ( ) 1 ( ) 1 0.6 56 15 8 ( r a d/ m )
3 10
3 10
3.9 7 10 ( m )
6.5 6 10
1 ( ) 1 ( )
10 10
3 10
3.9 7 10 ( m / s)
0.7 55
1 ( )
337
49 9.3 ( )
0.7 55
1 ( )
TE cc
TE
g
c
TE
p
c
TE
c
ff
k
f c f
f
f
c
f
f
Z
f
f
【 例 6.2】 矩形波导中的电场幅值达到击穿值 Ebr时所能承受的最大功率称为功率容量 Pbr。已知矩形波导中传输的电磁波为 TE10模。（ 1）写出相应的传输功率和功率容量的表示式；（ 2）取波导宽边和窄边的尺寸分别为 和,
信源工作频率为,求空气填充矩形波导的功率容量 。
6 cma? 3cmb?
3 GHzf?
解：
（ 1）波导中的传输功率一般形式为
**
00
2
00
11Re ( ) d Re ( ) d d
22
1 | | d d
2
ab
t t zs
ab
t
P x y
xy
Z
E H S E H a
E
对于 TE10模，代入式（ 6.44a）的值 Et=Ey，得矩形波导 TE10
模的传输功率为
2
000
10
1 ( sin ) d d
2
ab
TE
aP H x x y
Za
22
00
10 10
()44T E T Eab a abHEZZ
看出 是 在矩形波导宽边中心 处场强幅度的峰值。在正常条件下 E0<Ebr,矩形波导宽边一旦被击穿，必有 E0=Ebr。考虑到和,可得到矩形波导传输 TE10模时的功率容量
1 1
TE 2 2
1 0 0 01 ( ) 1 ( )2
cfZ
fa
00
aEH
0 s i nyE E xa
2
ax?
0 =120
22
0
10
1 ( )4 4 8 0 2brbr TEa b E a b EP Za
在空气中 Ebr=30KV/cm,由此得空气填充矩形波导的功率容量
20,6 1 ( ) ( M W )
2brP a b a
（ 2）上式中,代入 a和 b的数值，可得
10 c mcf
5,9 7 M WbrP?
6.4 其他导波系统简介
6.4.1 圆形波导图 6.8表示圆形波导。
分析方法类似于矩形波导，区别是采用圆柱坐标系。利用纵向场量法和分离变量法可求出圆柱坐标系中满足齐次边界条件的纵向场波动方程的解，其波解的三维变化形式为
c o s()
s i n
j z t
mc
mB k e
m
式中 是区别于初等函数的特殊函数，称为 贝塞尔函数 。?
mcBk?
● 传输特性纵向行波传输 —— 指数函数 沿 +z方向以行波传播
（等相面 z=c的振幅为 的函数 —— 非均匀平面波）。
径向函数 沿 作径向变化（ n-变化半波数）；
方位函数 沿 作周期性变化（ m-
变化全驻波数）。
横向驻波分布
ncBk
cos
sin
m
m
j z te
,
● 常用模式（图 6.9）
最低次主模 TE11模；
首个高次圆对称 TM01模；
高次低耗 TE01模。
6.4.2 同轴波导图 6.10表示内、外半径为 a,b的同轴波导。它可以视为具有内导体的圆波导：
内、外导体构成实心双导体传输线，传输基本波型是主波 TEM
模；同时内、外导体又构成空管圆波导，
随着频率的增长，还存在高次波型 TM 波或 TE波。
1．同轴波导中的主模（ TEM 波）
导波系统中的 TEM 波无法用纵向场量法求解（无纵向分量），但其横向分布模式与二维静态场相同。所以求同轴波导的 TEM 模时，可先求静态场 和,再乘以纵向传播因子 。
设图 6.10中柱对称同轴导体单位长度带电量为 Q，则由高斯定理求得同轴内、外导体间的静电场
,sE,sH
ze
2s QEE
令,由 的圆柱坐标分量式，得
2o
QE
jEH
式中
T EM
jj
1
p
Z
看出它与式（ 6.13）～（ 6.15）完全一致，表明同轴波导在任何频率下均传播非色散 TEM 波。
0
0
T E M
(,) ( 6,4 9 a )
(,)
(,) ( 6,4 9 b )
z
z
E
E z e
Ez E
H z e
Z
2．同轴波导中的高次模（ TM 波和 TE 波）
同圆形波导中高次模的分析方法相似。计算表明，其场分布为 TMmn模和 TEmn模，其中 TE01模和 TE11模的截止波长其中 TE11模的 最长，它是同轴波导高次模中的最低次模，场分布类似于圆波导中的 TE11模，如图 6.9（ a）所示。
c?
● 单模传输条件
01
11
2 ( ) ( 6,5 0 a )
( ) ( 6,5 0 b )
TM
c
TM
c
ba
ba
TE m i n
m i n 1 1 ( ) ( 6,5 1 )c b a b a
或
6.4.3 微带线和类微带线随着频率的提高和集成化的需要，以双导体线、同轴波导和矩形波导等常规导波系统为基础，经不断演化、变形和改进，并填充介质基片，从而派出许多不同形式的微波与毫米波传输线。
结构形式分类导带结构（标准形式） — 微带线槽结构（非标准形式） — 类微带线（槽线、共面线和鳍线等）
1．带状线和微带线
（ 1）带状线图 6.11表示的带状线由同轴波导演化而来，与同轴波导具有相似的特性，传播准 TEM 波，可采用准静态场法进行分析。
准 TEM 波 —— 主模为 TEM波，频率不太高时可忽略高次模 TM 波和 TE 波。
准静态场法 —— 传输主模 TEM 波与静态场具有相同的场分布，利用静态场中的宏观物理量 C 和
L导出传输特性参量。
已知同轴波导（见例 3.5和例 3.6）
2,l n
l n 2oo
bCL
b a a
可知
,o oo
o
L LC
C
推广到微带线中，并利用式（ 3.45a）和（ 3.47a）知和,考虑到 和,得带状线传输特性参量
o
Q
C
o
I L pQI 1
c
op
UZ
IC
11
( 6.52)
11
( 6,53 )
o
c o o
o o o p
p
oo
L
Z C L
C C C
CL
（ 2）微带线图 6.12表示的微带线由双导线演化而来，与双导线具有相似的特性。
h?
可利用式（ 6.52）和（ 6.53）
计算传输特性参量。
当工作频率较高时，微带线中除出现主模 TEM 模外，
还出现各种高次模 —— 波导模和表面波模。
当工作频率较低时，,存在很小的纵向场分量
（ Ez≠0,Hz ≠0)的混合模（证明略），只考虑主模 TEM 波，
波导模存在于导带与介质基片中，由 知介质基片中集中了导行波的大部分能量。导波模为 TM模和 TE
模的混合模，常出现最低次 TE10模和 TM01模，其传输条件
21
2wE
o
表面波模存在于接地板上介质基片附近薄层中。表面波存在各种 TM 模和 TE 模，其最低次模的传输条件为抑制导波模中的高次模 TM 模和 TE 模，按式 （ 6.54） 选择基片的 W 和 h 满足
TE
10
TM
01
2 ( 6,5 4 a )
2 ( 6,5 4 b )
cr
cr
W
h
TM
c
TE
c
( 6,5 5 a )
2 1 ( 6,5 5 b )rh
为抑制表面波模中的 TE 模，按式（ 6.55b）选择基片的 h
满足
TMC
由于 TM模的,因此在任何频率下均可在微带中传播，自然无法抑制。
2．类微带线
（ 1）槽线
m in
m in
( 6.5 6a )
2
( 6.5 6b )
2
r
r
W
h
m i n
r
( 6.5 7)2 ε 1h
图 6.13表示的槽线是一种宽频带传输线，可应用于微波频率的高端和毫米波频率的低端。目前广泛使用的微带线，
随着频率的提高，将面临尺寸变小、损耗增大和加工困难等问题。而槽线两端存在电位差，有源、无源固体器件可直接跨接在槽口上，便于混合集成；高介电常数介质基片的采用，
使场集中于槽口附近，该处没有象微带线那样的金属导带，
辐射损耗很小；槽中的波存在椭圆极化，可用于制造铁氧体非互易元件。
类微带线只有在较低频率下，才适宜于采用 准静态场分析法,它无法得到高次模的色散特性；在较高频率下，可采用 全波分析法,它能得到高次模的色散特性，但推导和计算十分困难；在较高频率下采用 横向谐振分析法 能得到比准静态场分析法更严格的结果。
全波分析法 —— 从麦克斯韦方程出发，求满足边界条件的波动方程的严格解，以获得传输特性的严格分析法。
横向谐振法 —— 引入适当边界壁将槽线结构简化为等效矩形波导问题，用矩形波导的波导模 TM模和 TE模的线性组合混合模表示其场分量，
以获得传输线特性的更严格的近似分析法。
由分析结果可知，槽线传输的不是准 TEM 波，而是 非
TEM 波 的波导模。
非 TEM 波 —— 在传输线表面存在由全内反射形成的表面波，而在传输线内部则存在有别于常规波导模性质的波导模。
对槽线的波导模而言，它与波导的区别是无截止频率，它与微带的区别是不具备准 TEM 模的近似无色散特性。
图 6.14表示槽线的场分布，其主模类拟于波导中的 TE10模。
（ 2）共面线图 6.15表示的共面线是以槽线为基础发展而成的相互耦合的双槽线，分为共面波导和共面条带。共面波导也具有跨接固体器件方便、利用存在的椭圆极化磁场制成铁氧体非互易元件的优点。
共面线可以传输准 TEM 波，在低频时用准静态场分析法，
可得到无截止频率的场分布，如图 6.16所示。在高频时出现
TM 模和 TE 模的混合模，可采用全波分析法。
（ 3）鳍线图 6.17表示四种类型的鳍线，包括：（ a）单侧鳍线；（ b）
双侧鳍线；（ c）反对称鳍线；
（ 4）绝缘鳍线鳍线是平面集成电路和立体电路巧妙结合的毫米波传输线，
也可看成场分布在屏蔽矩形波导内的屏蔽槽线。
由鳍线制成的有源和无源固体器件已成功应用于高达
140GHz的频率上。它具有频带宽、功率小、重量轻、可靠性高和成本低等优点。
6.4.4 介质波导和光波导微带线和类微带线等平面集成传输线广泛应用于毫米波频率的低端，在其频率高端，尺寸变小，光洁度变坏，制造困难，
导体电阻和能量损耗增加；色散性和多模性变得十分显著。开放式介质波导的毫米波集成传输线不仅克服了这些缺点，而且比金属波导、微带线和类微带线的损耗小、重量轻，加工方便、
成本低、便于与微波元器件与半导体器件进行混合集成，使频率从毫米波和亚毫米波直至拓展到光波范围。
1．介质波导图 6.18表示的常用介质波导是用电磁参量为? 和? 的介质做成的柱形体。图（ a）、（ b）是基本形式的矩形、圆形介质波导，图（ c）、（ d）是变形的镜像波导。它用介质波导对称剖面上的接地金属平板取代另一半介质波导，
平板的镜像源与被取代的另一半介质波导的场分布是等效的，并未破坏上半空间的场分布。
金属接地板还解决了散热、屏蔽和支撑问题。
进入高介电常数介质波导的电磁波，在界面处产生全内反射而形成表面波，同时在圆柱截面内来回反射的行波，在径向形成叠加的驻波。
矩形介质波导没有严格的解析解，但用等效介电常数法已能得到足够的精确度。圆形介质波导有严格的解析解，可采用求电磁场边值问题的方法对其进行严格的模式分析。分析结果表明，圆形介质波导不存在纯 TMmn模和 TEmn模，但存在 TMon模和 TEon模，一般为混合 HEmn模和 EHmn模（ Ez≠0，
Hz≠0）。其中圆形介质波导的主模为 HE11模，且无截止频率；
而第一个高次模为 TM01模或 TE01模。因此，实现单模传输的条件要求 f在两个截止频率 和 之间，得
.11 0HECf?,01Cf
光波导 —— 用于传输光波的一种特殊形式的介质波导，包括介质薄膜光波导、介质带状光波导和圆形介质波导等。
光导纤维（或光纤） —— 用于传输单模、且介质材料具有良好光学性能而无金属接地板的圆形介质波导（通常采用强度
2.光波导高、损耗小和性能稳定的石英玻璃制成,d≈几
m～ 几十?m）。
（ 1）光纤的结构
c 0 1 0 1 ( 6,5 8 )c0 f f
芯子 —— 掺杂石英，控制 ；
光纤结构 包层 —— 掺杂石英,；
套层 —— 保护层（增加强度，防止干扰）。
22 rn
（ 2）光的分析方法射线法（几何光学法） —— 利用光学中反、折射的射线理论解释光传输特性；
场解法 —— 利用光波段电磁波的波动理论解释电介质波导中的光传输特性。
分析方法
（ 3）光纤的类型
● 单模光纤和多模光纤
112rnn
单模光纤传输圆形介质波导中的主模 HE11（ ），
其第一个高次模是 TM01模或 TE01模，所以光波工作波长必需满足单模传输条件式（ 6.58）。其中 TM01模或 TE01模的截止波长
.11 0HECf?
为避免出现高次模，由式（ 6.58）知工作波长 λ 必须使单模光纤的 D 满足条件
● 阶跃型光纤和渐变型光纤阶跃型光纤 —— n1,n2均匀分布，在界面处发生突变；
渐变型光纤 —— n2均匀分布,n1随?增大逐渐变小。
22
01 1 2
01
1 ( 6.5 9)
c D n n
22
12
2,4 0 5 ( 6,6 0 )D
nn
n～?变化规律近拟式
a—— 芯子半径；
—— 折射指数分布因子；
—— 相对折射指数差。
式中
1
2
( 0 ) 1 2 ( )
( ) ( 6,6 1 a )
na
n a
,
，
22
1 2 1 2
2
11
( 0 ) ( 0 ) ( 6,6 1 b )
2 ( 0 ) ( 0 )
n n n n
nn
（ 4）光纤的数值孔径图 6.21表示光纤中的全内反射。由折射定律式（ 5.68b）
知当 时产生全内反射，此时,得
ic 2
1
πsin sin ( )
2i c t
n
n
00 1
0
s in s in
πs in s in ( )
2
ii
t
i
n
n
1
0
0
sin c o s ( 6,6 2 a )iinn
显然,不能超过的最大值
2 2 22
1
c o s 1 s i n 1 ( )ii nn
代入式（ 6.62a）知
212
21
s i n 1 ( )oi nnnn
满足全内反射的条件为
oi?
看出在以 θoimax为顶角的圆锥体内，所有投射到光纤芯子端面进入光纤的光波，均可在芯子与包层边界面处产生全内反射，
形成沿光纤轴向传输的波，如图 6.22所示。
22
12
0
1sin ( 6.6 2b)
oi nnn
22
m a x 1 2
0
1a r c sin ( ) ( 6,6 3 a)
oi nnng
数值孔径 NA（ Numerical Aperture） —— 描述光纤收集光的聚光能力的物理参量。定义为
6.5 微波传输线在实际的微波传输系统中，由于终端负载和微波元件的接入，并不存在无限长均匀规则波导。工程上有必要将严格的场
22
m a x 1 2
0
1sin ( 6.6 3 b)NA
oiθ nnng
分析法简化为等效的路分析法。考虑传输 TEM 波的双导线将场转化为路的等效问题。
图 6.23表示的双导线周围的 TEM 波的场分布可以由其宏观积分值表示为
( ) dbatUzEl
( ) dtIz c Hl?
推广为时空变化关系时，表明双导线周围的导波场 E（ x,y，
z,t）,H（ x,y,z,t） 转化和等效为双导线上的宏观电压、
电流波 u（ z,t）,i（ z,t）,使问题得到简化。
6.5.1 一般传输线方程
1．分布参量的概念短线：在低频电路中（ ），有限长传输线各点分布的电压、电流近乎不变，其特性参量与线上各点位置无关，用集中参量 C（ F）,L（ H）,R（?） 和 G
（ S） 描述传输线的传输特性；
长线：在高频、微波电路中（ ），长传输线上分布许多周期变化的电压、电流，其特性参量与线上各点位置有关，用分布参量 Co（ F/m）,Lo（ H/m）、
Ro（?/m）和 Go（ S/m） 描述传输线的传输特性。
1l
1l
2．传输线的等效电路问题：如何从物理概念上解释各分布参量的效应？
3．传输线方程的稳态解由基尔霍夫定律式（ 3.40b）和（ 3.44）建立等效电路
（见图 6.24（ b所示））电压、电流的传输线方程。
在 z处设时谐量在 z+dz处
(,)
(,)
u z t
i z t
( d,) (,) d (,)
( d,) (,) d (,)
u z z t u z t u z t
i z z t i z t i z t
其复数形式基尔霍夫定律应用于传输线上 dz段，利用
() iu L i Lt t t
()qui c u ct t t
j
j
(,) R e [ ( ) ] ( 6,6 4 a )
(,) R e [ ( ) ] ( 6,6 4 b )
t
t
u z t U z e
i z t I z e
得
0
(,)
d (,) d (,) ( d,) 0
(,)
d (,) d (,) ( d,) 0
o
oo
i z t
R z i z t L z u z t u z z t
t
u z t
G z u z t C z i z t i z z t
t
简化为
(,)
d (,) d (,) d
(,)
d (,) d (,) d
oo
oo
i z t
u z t R z i z t L z
t
u z t
i z t G z u z t C z
t
方程两边除以 dz，得 传输线方程 （或 电报方程 ）
应用式（ 6.64）写为复数形式
0
(,) (,)
(,) ( 6,65 a )
(,) (,)
(,) ( 6,65 b)
o
oo
u z t i z t
R i z t L
zt
i z t u z t
G u z t C
zt
式中
—— 单位长度串联阻抗；
—— 单位长度并联导纳。
o o oZ R j L
o o oY G j C
看出 传输线单位长度电压（电流）变化等于其串联阻抗
（并联导纳）上电压降（分流电流 ） 。
式中方程（ 6.66）对 z求导，得
d ( )
( ) ( 6.66 a )
d
d ( )
( ) ( 6.66 b)
d
o
o
Uz
Z I z
z
Iz
Y U z
z
2
2
2
2
d ( )
( ) 0 ( 6,6 7 a )
d
d ( )
( ) 0 ( 6,6 7 b )
d
oo
oo
Uz
Z Y U z
z
Iz
Z Y I z
z
令,得2 ( ) ( )
o o o o o oZ Y R j L G j C
通解为式中式中
2
2
2
2
2
2
d ( )
( ) 0 ( 6,6 8 a )
d
d ( )
( ) 0 ( 6,6 8 b )
d
z
z
z
z
z
z
U
U
I
I
( ) ( 6,6 9 a )zzU z A e B e
0
1 d ( ) 1( ) ( ) ( 6,6 9 b )
d
zz
c
UzI z A e B e
Z z Z
0 0 0
c
0 0 0
0 0 0 0 0 0
j ( 6,7 0 a )
j
( j ) ( j ) = + j ( 6,7 0 b )
Z R LZ
Y G C
Z Y R L G C
zc—— 传输线特性阻抗；
—— 传输线衰减常数；
—— 传输线相位常数。
通解可写为瞬时形式
【 例 6.3】 已知传输线的终端电压 U0 和终端电流 I0，如图 6.25所示。假定传输线的传输特性参量为?和 Zc，求该传输线上任意点的电压和电流。
-
-
(,) (,) (,)
= e c os ( ) + e c os ( ) ( 6.7 1a )
(,) (,) (,)
1
= [ e c os ( ) e c os ( ) ] ( 6.7 1b )
az az
az az
c
u z t u z t u z t
A t z B t z
i z t i z t i z t
A t z B t z
Z
解：
将 z=0处的 U（ 0） =U0和 I（ 0） =I0代入式（ 6.69），得
0
0
1 ()
c
U A B
I A B
Z
由此解得
00
00
1 ()
2
1 ()
2
c
c
A U I Z
B U I Z
将 A和 B代入式
（ 6.69），得
0 0 0 0
00
22
zzcc
zz
U I Z U I ZU z U z U z e e
U e U e
=
=
（ 6.72a）
对于无损耗传输线，取 γ =jβ,代入式（ 6.72）可得
6.5.2 传输波的传输特性传输特性参量 —— 表征波传输特性、由传输线尺寸、填充媒质及工作频率确定的参量。
1．特性阻抗
0 0 0 0
00
1
( ) ( 6,7 2 b )
22
zzcc
c
zz
I z I z I z
U I Z U I Z
ee
Z
I e I e
=
=
=
00
0
0
c o s + j s i n ( 6,7 3 a )
c o s j s i n ( 6,7 3 b )
c
c
c
U z U z I Z z
U
I z I z Z z
Z
对于无耗线（ R0=0,G0=0），得式（ 6.75b）中已取 和 。
ln ( 2 / )oC Dd
2ln
o
DL
d
2．传播常数由式（ 6.70b）的两边平方后，可得一复数等式，令其实部和虚部分别相等，再联立求解含未知量 α和 β 的两个方程，
可求得
00
00
j( ) ( ) ( 6,7 4 )
( ) ( ) jc
zz?
RLUUZ
I I G C
0
0
( 6.7 5a )
1 2 0 2
I n ( 6.7 5b )
ε
c
c
r
D
d
L
Z
C
Z
对于无耗线（ R0=0,G0=0），得
3．相速和波长由式（ 6.71）和（ 6.77），得
6.5.3 传输线的工作状态传输线的工作状态由其工作状态参量描述。
1
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1{ [ ( ) ( ) ( ) ] } ( 6,7 6 a )
2
1{ [ ( ) ( ) ( ) ] } ( 6,7 6 b )
2
R L G C L C R G
R L G C L C R G
000,( 6,7 7 )LC
00
1
2
( 6,7 8 )
p
LC
1．传输线的工作状态参量
（ 1）输入阻抗由式（ 6.73）得图 6.26所示无耗传输线上输入阻抗
j ta n()( ) ( 6,79)
( ) j ta n
Lc
i n c
cL
Z Z zUzZ z Z
I z Z Z z
看出 Zin（ z） 与 ZL,Zc,z和 有关，是不宜直接测量的复数。有必要引入由便于直接测量的电压、电流定义的工作状态参量。
2 oof LC
（ 2）反射系数（描述反射程度）
取无耗线（ ），式（ 6.72）中j
j
j
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
z
o o c
z
o o c
z I Z e
z I Z e
式（ 6.80）变为
()( ) ( 6.80)
()
Uzz
Uz?
0
0
j 2 - j 200
0
00
0 0 0
0
0 0 0
j
0
( ) ( 6.81 a )
| |
| |
zzc
c
jc L c L c
c L c L c
U I Z
z e e
U I Z
U U I Z Z Z Z Z
e
U U I Z Z Z Z Z
e
( 6.81 b)
（ 3）驻波系数（描述驻波化程度）
还可引入行波系数（描述行波化程度）
（ 4）工作状态参量间的关系从不同角度描述传输线上电压（或电流）波同一工作状态的物理量及其变化的范围，必定存在一一对应关系。
由式（ 6.72）和（ 6.80）知
m a x
m in
| ( ) | ( 6.82)
| ( ) |
Uz
Uz
m in
m a x
| ( ) | 1 ( 6,8 3 )
| ( ) |
UzK
Uz
( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( 6,8 4 a )
( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( 6,8 4 b )
U z U z U z U z z
I z I z I z I z z
入射波和反射波电压相同（或相反），其叠加驻波电压为波腹（或波节），得式（ 6.82）变为或
( ) 1 ( )
( ) ( 6,8 5 a )
( ) 1 ( )
()
( ) ( 6,8 5 b )
()
i n c
i n c
i n c
U z z
Z z Z
I z z
Z z Z
z
Z z Z
m a x| ( ) | | ( ) | | ( ) | ( 6,8 7 a )U z U z U z
1 | ( ) | / | ( ) | 1 | ( ) | ( 6.8 8a )
1 | ( ) | / | ( ) | 1 | ( ) |
U z U z z
U z U z z
0 0
0
1,( 6,8 6 )
1
LcLc
Lc
ZZZZ
ZZ
m i n| ( ) | | ( ) | | ( ) | ( 6,8 7 b )U z U z U z
1(z ) ( 6.8 8b )
1
=
● 工作状态参量变化范围
()inXz
0 ( ) 1
1
0
z
K
由式（ 6.83）可知
2．行波状态行波状态 —— 无反射工作状态，有将 代入式（ 6.72），得
( ) 0z
( ) 0Uz
( ) ( )
2
( ) ( )
2
z j zoo
o
z j zo o o
cc
U I Z
U z U z e U e
U I Z U
I z I z e e
ZZ
c
c
1 ( )1 ( 6,8 9 )
1 ( )
z
z
K
取 和,计及时谐因子，上式可写为瞬时形式
011 jooU U e j
图 6.27表示终端阻抗匹配（ ZL=ZC）线上的行波电压、电流分布，
式（ 6-79）变为
00
0
0
(,) | | c os ( ) ( 6.90a )
||(,) c os ( ) ( 6.90b)
c
u z t U t z
Ui z t t z
Z
( ) ( 6,9 1 )i n cZ z Z?
行波状态无耗传输线的特性
（ 1）沿线电压和电流振幅不变；
（ 2）沿线电压和电流相位相同；
（ 3）沿线各输入阻抗等于其特性阻抗。
3．驻波状态驻波状态 —— 全反射工作状态，有 。
由式（ 6.81a）和（ 6.86）知满足全反射工作的条件：
( ) 1z
短路（ ZL=0）；
开路（ ZL）；
纯电抗（ ZL=± XL）。
● 短路传输线的纯驻波工作状态特性
ZL=0代入式（ 6.86）知,式（ 6.81a）变为,又 和,代入式
（ 6.84）得
1 jo e π
2() jzze () jZoU z U e 0() kZI z I e
利用,和,上式变为
j00 oU U e 0j00I I e 2j
je
ZL=0代入式（ 6.79）,得
0
0
( ) j 2 s i n ( 6,9 2 a )
( ) j 2 c o s ( 6,9 2 b )
zz?
UU
II
j
00
j
00
(,) R e [ ( ) ]
= 2s in | | c os ( ) ( 6.9 3a )
2
(,) R e [ ( ) ]
= 2c os [ c os ( ) ] ( 6.9 3b )
t
t
u z t z e
zt
i z t z e
zt
U
U
I
I
i n c( ) j t a n ( 6,9 4 )zzZZ
图 6.28表示传输线上的驻波状态。
图（ a）：式（ 6.93）中振幅为看出正弦和余弦表示传输线上各点电压和电流在空间位置上有 λ /4的相移。
式（ 6.93）中时间余弦表示在相同位置 z 上电压和电流在原位置作周期性时谐振荡，相差为 。
图（ b）：式（ 6.95）中振幅随位置的驻波分布变化规律为
2?
当 时，在 处，（ n=0,1,2,… ）
( 2 1) 2n
n
z n
2
( 2 1 )
4
n
n
z
n
0
0
| ( ) | | 2 | | s i n | ( 6,9 5 a )
| ( ) | | 2 | | c o s | ( 6,9 5 b )
U z U z
I z I z
有看出电压波节（或波腹）点处就是电流波腹（或波节）点。
图（ c）：式（ 6.94）表示短路线沿线的输入阻抗分布为纯电抗 。
j ( )i n i nXX
电压波节点：,串联谐振；
电压波腹点：,并联谐振；
：,纯电感；
：,纯电容。
( ) 0inZz?
()inZz
( 0 )4z ()in inZ z jX?
()42z ()in inZ z jX
m i n 0m a x
m a x 0 m i n
( ) 0,( ) 2
( ) 2,( ) 0
U z I z I
U z U I z
驻波状态无耗传输线的特性
（ 1）沿线电压和电流的振幅随位置呈驻波分布，空间相差为,无能量传输；
（ 2）沿线任意位置的电压和电流在原处随时间做周期性时谐振荡，时间相差为 ；
（ 3）沿线输入阻抗具有纯电抗性和 阻抗变换性，
利用短线这一周期性变换特性可制成电抗元件。
2
4
4
4．混合波状态混合波（或行驻波）状态 —— 部分反射工作状态，
有 。
0 ( ) 1z
将,和 代入式
（ 6.84），可得
0() jzU z U e 0() jzI z I e
20() jzze
式（ 6.96）表示传输线上的电压和电流中，含 的部分
0(1 )
为 单向入射行波，含 的部分为驻波，且电压和电流的驻波分布的空间相差为,如图 6.29所示。
4
0?
-
0 0 0
-
0 0 0 0 0
0 0 0 0
-
00
0 0 0 0
()
2
2
( 1 ) 2 c os ( 6.9 6a)
()
( 1 ) j 2 si n
j z j z
j z j z
j z j z
jz
j z j z
jz
U z U e U e
ee
U e U U e
U e U z
I z I e I e
I e I z
( 6.9 6b )
6.5.4 传输线的阻抗匹配
1．传输线的阻抗匹配状态问题：阻抗匹配的作用是什么？
（ 1）共轭阻抗匹配在图 6.24（ a）中
（ 2）源阻抗匹配
（ 3）负载阻抗匹配串联 阻抗变换器法；
匹配方式支节调配器法。
4?
2．传输线的阻抗匹配方法
* ( 6,9 7 a )i n gZZ?
( 6,9 7 b )gcZZ?
( 6,9 7 c )LcZZ?
阻抗变换器法 —— 当 时，在其间加接一段长,特性阻抗 ZCL的传输线以实现匹配的方法，如图
6.30（ a）、（ b）所示。
LCRZ?
4?
经过 阻抗变换器的变换后，式（ 6.79）
的,,有
4
2z
42
2j t a n 2
j t a n
2
L C L
CL
i n C L
L
C L L
ZZ Z
ZZ
RZZ
π
π
看出当匹配传输线的特性阻抗 时，代入上式得,由此实现了传输线上 与 RL的匹配。
无耗传输线的 ZC=RC,阻抗变换器只适合匹配电阻性负载；若,则应设法抵消其中虚部,使,
再串接阻抗变换器实现匹配，如图 6.30（ c）、（ d）所示。
in CZZ?
C L C LZ Z R?
in CZZ?
4
jL L LZ R X j LX? LLZR?
【 例 6.4】 当传输线终端接入复阻抗负载时，将会产生部分反射，形成混合波状态，如图 6.30（ d）所示。（ 1）写出复解：
（ 1） 代入式（ 6.86），求得终端电压反射系数为阻抗引起的终端电压反射系数；（ 2）应用反射系数写出混合波电压和电流的表示式；（ 3）应用混合波电压和电流的表示式确定电压波腹（或电流波节）点和电压波节（或电流波腹）点的位置和输入阻抗。
jL L LZ R X
0
2 2 2
2 2 2 2 2
j
( ) j ( ) j
( ) j ( ) j
2
j
( ) ( )
L c L c L L c L
L c L c L L c L
L c L L c
c c L L c c
Z Z R Z X R Z X
Z Z R Z X R Z X
R Z X X Z
R Z X R Z X
e
m
m
0
22
22
2 2 2
()
()
2
tan
L c L
L C L
LC
L L C
R Z X
R Z X
XZ
arc
R X Z
（ 2）将 代入式（ 6.81a）和（ 6.84），得
00 je
0
0
( 2 )
( 2 )
( ) ( ) 1
()( ) 1
jz
jz
C
U z U z e
UzI z e
Z
其幅值为
00
0
0
1 2 c o s ( 2 )
1 2 c o s ( 2 )
C
U z U z
UI z z
Z
（ 3）在 |U（ z） |和 |I（ z） |的表示式中，令式中在
0
0
42
( 2 1 )
44
n
n
Z
n
处有
m a x 0 0
0
m i n 0
m a x
( ) | | ( 1 | |)
||
| ( ) ( 1 | |)
C
i n c
U z U
U
Iz
Z
Z R Z?
和
m in 0 0
0
m a x 0
m in
( ) | | ( 1 | |)
||
| ( ) ( 1 | |)
/
C
in c
U z U
U
Iz
Z
Z R Z?
0
22,0,1,2,
2 ( 1 )n
nzn
n
【 例 6.5】 特性阻抗为 的均匀无损耗传输线，终端接负载的复阻抗为,在传输线和终端负载间加接一个 的阻抗变换器以实现阻抗匹配，如图 6.30（ d）所示。
试求 阻抗变换器的特性阻抗 ZcL和距终端的距离 l。
150cZ
2 5 0 j1 0 0LZ
/4?
/4?
解：
由例 6.4可知，为了实现对复阻抗负载的阻抗匹配，应当将 阻抗变换器串接在距终端第一个电压波腹点，此处的等效阻抗为纯电阻 Rmax=Zcρ，由此知阻抗变换器的特性阻抗 ZCL和接入离负载的距离 l为
/4?
2
m a x
0,04
c L c cZ R Z Z
ln
式中将已知值 ZL=250+j100Ω 和 Zc=150Ω 代入上列各式，最后得0
2
( 250 150 ) j 100
0.34 3 0.54
( 250 150 ) j 100
1 0.34 3
2.0441
1 0.34 3
150 2.04 41 214,46( )
0.54 0.04 3
4
cL
Z
l
0
0
0
1 | |
1 | |
Lc
Lc
ZZ
ZZ
=
和
6.6 电磁波传输的应用阅读材料：自学或选讲。
选讲用图：
