第 2节 有关单位过程的极限分布对单位根过程的分析，建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上一、维纳过程维纳过程 (Wiener Process)也称为布朗运动过程（ Brownian
Motion Process)
设 )( tW 是定义在闭区间 [0,1] 上一连续变化的随机过程,若,
(a) W(0)=0 ；
(b) 对闭区间 [0,1] 上任意一组分割 10
21

k
ttt?,)( tW 的变化量,

12312
,,,

kk
tWtWtWtWtWtW?
为相互独立的随机 变量；
(c) 对任意 10 ts,有
),0(~)()( stNsWtW ( 6,2.1)
则称 )( tW 为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。
由定义我们可以得出：
标准维纳过程在任意时刻 t服从正态分布
),0(~)0()()( tNWtWtW ( 6,2,2 )
)1,0(~)1( NW
将标准维纳过程推广，可得一般维纳过程的概念令 )()( tWtB,称 )( tB 是方差为 2? 的维纳过程。
对任意 10 ts,有
))(,0(~)()(
2
stNsBtB
根据上式，显然有
),0(~)0()()(
2
tNBtBtB ( 6,2,3 )
),0(~)1(
2
NB
二、有关随机游动的极限分布
1、一般中心极限定理如果随机变量序列,独立同分布，且有令,则
}{ t,,,,21 n
,2,1,)(,)( 2 tDE tt
N tN N 11
),0()(1)( 2
1
NNN
N L
tN (6.2,4 )
对于白噪声序列
t
,由于
,2,1,)(,0)(
2
tDE
tt

根据中心极限定理，有
),0(
1
)(
2
1
N
N
N
N
L
tN?
(6.2,5 )
2、泛函中心极限定理设 r 为闭区间 [0,1] 上的任一实数，记 ][ rNN
r
为不超过 rN 的最大整数，对于给定白噪声序列
t
的前 N 项：
N
,,,
21
,取其前 ][ rNN
r
项构造统计量,

r
N
t
N
rX
1
1
)(? (6.2,6 )
显然，当 r 在闭区间 [0,1] 上变化时,)( rX 是 [0,
1] 上的一个阶梯函数，其具体表达式为,






1
0
/)(
/)(
/
0
32
21
1
21
21
1
r
r
r
r
N
N
N
rX
NN
NN
N
N


(6.2,7 )
将 )( rX 乘上 N,再写成如下形式,



rr
N
t
r
r
N
t
NN
N
N
rXN
11
11

由前述中心极限定理，有

2
1
,0
1
N
N
L
N
t
t
r
r

另一方面，对于 [0,1] 上的任意实数 r,有
r
N
rN
N
N
N
r
N


][
limlim
因此,)( rXN 有如下极限分布,
),0(
1
2
1
rN
N
rXN
L
N
t
r

( 6,2,8 )
对照 ( 6,2,3 ) 式，有 ),0(~)()(
2
rNrWrB
这表明,)( rXN 的极限分布与一般维纳过程 )()( tWtB 的分布是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。
泛函中心极限定理：
设序列
t
,,,,,
21 t
独立同分布，且满足
,2,1,)(,0)(
2
tDE
tt

r 为闭区间 [0,1] 上的任一实数，给定样 本
N
,,,
21
,取其前 ][ rNN
r
项构造统计量,

r
N
t
N
rX
1
1
)(?
那么，当N 时，统计量 )( rXN 有如下极限,
)()(
1
1
rWrB
N
rXN
L
N
t
r
( 6,2,9 )
在 ( 6,2,9 ) 式中令 r = 1,有
),0(~)1(
1
1
2
1
NW
N
XN
L
N
t
( 6,2,10 )
3、有关随机游动的极限分布设序列ty 遵从随机游动过程,
ttt yy 1 （ 6,1,4 ）
其中,}{ t? 独立同分布，且 22 )()(,0)( ttt EDE,0y =0 。则以下极限成立,
（ 1 ）
)1(
1
21
WN
N
L
t
； （ 2 ） 1](1 )[Wσ
2
1
εyN
22
N
1
L
t1t
1

；
（ 3 ）
1
0
1
1
23
)( drrWyN
N
L
t； （ 4 ）
1
0
1
23
)()1( drrWWtN
N
L
t
；
（ 5 ）
1
0
1
1
25
)( drrrWtyN
N
L
t； （ 6 ）
1
0
22
1
2
1
2
)( drrWyN
N
L
t
。
证明三、有关单位根过程的极限分布
1、一般形式的泛函中心极限定理设序列
t
u,,,,,
21 t
uuu 为一平稳过程，它有无穷阶 MA 表示形式,


0
2211
)(
j
jtjttttt
Bu
( 6,2,12 )
其系数
j
满足条件,

0j
j
j?
( 6,2,13 )

t
独立同分布，且满足,
,2,1,)(,0)(
2
tDE
tt

r 为闭区间 [0,1] 上的任一实数，记 ][ rNN
r
,构造如下统计量,
r
N
t
u
N
rX
1
1
)(
( 6,2,14 )
那么，当N 时，统计量 )( rXN 有如下极限,
)()1(
1
1
rWu
N
rXN
L
N
t
r

( 6,2,15 )
2、有关单位根过程的极限分布假设序列
t
y 遵从单位根过程,
ttt
uyy
1 (6.1,5 )
其中平稳过程
t
u 满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。令
,2,1,0,)(
0
2


juuE
s
jssjttj

)1(
若 0
0
y,那么，下列极限成立,
（ 1 ） )1(
1
21
W
N
L
t
uN；
（ 2 ）?,2,1,
1
)
0
2
,0(
21

j
N
N
L
tjt
uN ；
（ 3 ）?,2,1,0,
1
1

j
N
p
jt
u
t
uN? ;
（ 4 ）

1)1(
2
1
2
1
1
1
W
N
L
tt
yN ;
(5)?



N
j
i
j
i
W
jW
L
jt
u
t
yN
1
1
0
,2,1,
0
)1(
22
2
1
0,
0
)1(
22
2
1
1
1

;
(6)


1
0
)(
1
1
23
drrW
N
L
t
yN? ；
(7),2,1,0,
1
0
)()1(
1
23

jdrrWW
N
L
jt
tuN? ；
(8)


1
0
)(
22
1
2
1
2
drrW
N
L
t
yN? ;
(9)


1
0
)(
1
1
25
drrrW
N
L
t
tyN? ；
(10)


1
0
)(
22
1
2
1
3
drrrW
N
L
t
tyN?,