第 6章单位根过程与单位根检验引言
时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究；
经典时间序列分析和回归分析有许多假定，如序列的平稳性、
正态性等 ；
越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。
遇到的问题：
将非平稳时序当作平稳序列进行分析，有什么不良后果？
如何判断一个时间序列是否为平稳序列？
在计量经济分析中涉及到非平稳时序时，应如何处理？
答案：
近二十年时间序列的新发展第 1节 单位根过程的概念与性质
一,单位根过程
1,平稳过程与非平稳过程的差异
平稳时间序列具有如下特性：
具有常定均值,序列围绕在长期均值周围波动；
方差和自协方差具有时不变性；
理论上,序列自相关函数随滞后阶数的增加而衰减 。
非平稳时间序列却不具有上述特性或者是没有常定的长期均值；
或者是方差和自协方差不具有时不变性；
理论上,序列自相关函数不随滞后阶数的增加而衰减 。
从图形上看，平稳时间序列的振动是短暂的，经过一段时间以后，振动的影响会消失，序列将会回到其长期均值水平；在不同时刻或时段，序列偏离均值的程度基本相同。
ttt yy 1 （ 6.1.1 ）
),0(~,0 20 iidy t?
考虑如下例子：
当 1 时，序列ty 平稳如果 1,则序列的方差为,
)(
)()(
12
1
ttt
ttt
yV ar
yV aryV ar
2
121 )(
t
V ar tt
当t 时，序列的方差趋于无穷大，说明序列是非平稳的
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 0
(a) )0(~ 2,； i i d Ny ttt?
(b) 07.0 01 yyy ttt?
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
(c) 001 yyy ttt?
- 4
- 2
0
2
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
800
1000
1200
1400
1600
1800
20 40 60 80 100 120 140
(a) 上证综合指数周数据（ 1997.1-1999.12）
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
82 84 86 88 90 92 94 96 98
(b) 中国实际广义货币供应量的季度数据平稳序列具有许多优良性质，一般可满足建模的各种要求。但对于非平稳时间序列，传统的分析方法就不再适用。
ttt yy 1
（ 6,1.1 ）
),0(~,0 20 iidy t?
根据样本序列
ty
（ t= 1,2,?,N ），可得到? 的最小二乘估计,
对于模型 (6.1.1),
2
1
1?
t
tt
y
yy
)3.1.6(? 2
1
1
t
tt
y
y
当
1
时，序列
ty
是平稳序列。由于 }{
t?
独立同分布，因此
0),( 1 ttyC o v?
可以证明，当N 时,( 6,1,3 ) 的第二项依概率收敛于零，从而 是? 的一致估计。
再考虑如下统计量,
2
1
1
1
2
1
2
1
1)?(
t
tt
t
tt
yN
yN
y
y
NN
由于
0)( 1 ttyE?
2
2
2
22
11
1
)()(?
ttt yEyV a r
由中心极限定理可得,
)
1
,0()0
1
( 2
2
2
1
Ny
N
N dtt
又因为
2
2
1
2
1 1)()
1
(l i m
tt
N
yV a ry
N
P
因此
)]1(,0[)?( 2
2
1
1
1
2
1
N
yN
yN
N d
t
tt
结论,
1,当 }{ ty 平稳时，统计量 )?(N 的极限分布存在，
因此可在上述结论的基础上进行统计检验。
2,如果 1,}{ ty 为非平稳序列，则 )?(N 趋于一退化分布，传统方法失效。
2、单位根过程的定义
ttt yy 1 （不带漂移） （ 6,1,4 ）
随机游动过程 (Random Walk Process),
ttt yy 1 （带漂移） （ 6.1.5 ）
单位根过程 (Unit Root Process),
ttt uyy 1? （ 6.1.6 ）
其中,1,tu 为一平稳过程，且
,2,1,0,),(,0)( suuC o vuE ssttt?
其中,}{ t? 独立同分布，且 22 )()(,0)( ttt EDE
ttt uyy 1? （ 6,1,7 ）
显然，随机游动过程是单位根过程一个特例利用滞后算子可将（ 6,1.6 ）式改成如下形式,
tt uyB )1(?
滞后多项式的特征方程为,
01 z?
它的根为,
1
z
当
1
时，滞后多项式的特征方程有一单位根 1?z 。
这就是术语“单位根过程”的来历单整序列 (Integrated Process),
经过一次差分后变为平稳的序列，称 {y}为一阶单整序列,记为 y~I(1)
如果序列经过 d次差分后平稳，而 d-1次差分却不平稳，
那么称 {y} 为 d阶单整序列，记为 ~I（ d）,d称为整形阶数。
特别地，若序列本身是平稳的，则称序列 {y}为零阶单整序列，记为 ~I（ 0）。
显然，如果 {y} ~I（ 1），则 ~I（ 0）；
如果 {y} ~I（ 2），则
ty?
),0(~2 Iy t?
二、单位根过程的运算性质
（ 1 ） 如果
t
y ~I （ 0 ），则
t
bya? ~I （ 0 ）；
如果
t
y ~I （ 1 ），则
t
bya? ~I （ 1 ）；
（ 2 ） 如果
t
x ~I （ 0 ）,
t
y ~I （ 0 ）,
则
tt
byax? ~I （ 0 ）；
（ 3 ） 如果
t
x ~I （ d ）,
t
y ~I （ c ），
dc0
,
则
tt
byax? ~I （ d ）；
（ 4 ） 一般来说,如果tx ~I （ d ）,ty ~I （ d ）,
则tt byax? ~I （ d ）。
对于性质（ 4 ），有例外的情形。
考虑如下例子,
ttt
wx
ttt
vawy
其中 )0(~}{},{),1(~}{ IvIw
ttt
。
由单整序列的运算性质（ 2 ）不难得到,
)0(~ Iavaxyz
ttttt
也就是说，同阶单整序列的某种线性组合所形成的序列，其整形阶数可能会降低。
这种特性就是后面我们要介绍的协整关系。
三、趋势平稳过程与单位根过程的差异对于具有随机性时间趋势的变量,传统方法失效需要采用新的处理方法许多经济时间序列特别是宏观经济时间序列都会呈现出随时间而变化的趋势。
传统处理方法是引入趋势变量 t来消除趋势影响。
序列的时间趋势有两种：
确定性时间趋势 随机性时间趋势趋势平稳过程与单位根过程之间的比较：
（刻画确定时间趋势）
假设序列
ty
由如下过程生成,
tt uty
( 6,1.8)
其中,
tu
为一平稳过程，它有无穷阶 MA 表示形式,
0
2211
)(
j
jtjt
tttt
B
u
且
0j
j?
，则序列
ty
的均值为时间 t 的线性函数。当从序列中去掉趋势部 分
t
后，剩余的部 分
tu
为平稳过程。
1、刻划时间趋势的比较趋势平稳过程,去掉趋势部分后变为平稳过程 。
单位根过程：刻画随机时间趋势例如,对于带漂移的单位根过程,
ttt uyy 1?
（ 6,1,9 ）
对
ty
不断向后迭代，可得,
tttt uuyy )( 12
t
j
j
ut
1
从表面上看，经过 变形之后的
ty
包含时间趋势
t?
，但扣除趋势
t?
之后，剩余部分
t
j
j
u
1
不是平稳过程，这与趋势平 稳过程完全不同 。
显然，对于单位根过程，传统的去势法是不恰当的。
服从趋势平稳的时间序列与服从单位根的时间序列在图形上非常相似：
- 20
0
20
40
60
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图 6 - 1 - 3 （ a ）趋势平稳过程,07.0 0 yty tt?
- 20
0
20
40
60
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图 6 - 1 - 3 （ b ）带漂移的单位根过程,07.0 01 yyy ttt?
在实际应用中，如果不区分这两种数据生成过程，而错误地将单位根过程当成趋势平稳过程用趋势线除势，是不恰当的。
2、预测和预测误差的比较对于趋势平稳过程（ 6,1.8 ），其 s 步最佳线性预测为,
2211? tstststst sty （ 6,1,1 0 ）
当 s 不断增大时，有,
s
EstyE
ss
tstststst
0
)(?
2
1
22
2
2211
2
说明趋势平稳过程的预测值随着预测步长的增加将按均方收敛于时间趋势，即稳定于一斜率为 δ 的固定直线,
预测值的比较：
而对于单位根过程，由于
ty?
是一个平稳过程，即,
ty 2211 ttttu
因此，
ty?
的 s 步预测为,
tsty
2211 tststs
又由于
ttstst
tttststststst
yyyy
yyyyyyyy
11
1211
)()()(
从而
tttt
tststs
tststs
tt
t
tsttsttst
y
yyyyy
23121
2111
2211
1
1
整理得
121
11
)(
)(?
tss
tssttst
ysy
说明极限预测虽为一斜率为 δ 的直线，但其截距依赖于变量 y 在时刻 t 的取值趋势平稳过程与单位根过程预测值的差异对于趋势平稳过程，其 s 步最佳线性预测为,
2211? tstststst sty
对于单位根过程，其 s 步最佳线性预测为,
121
11
)(
)(?
tss
tssttst ysy
预测误差的比较：
趋势平稳过程的预测误差为,
}
{?
221111
2211
tstststs
stststtstst
styy
112211
2211
}{
tsststst
tststs
st
该预测的均方误差为,
2
1
2
1
2
2
1?
ststst
yyE
由此可见，随着预测步长 s 的增加，预测误差不断增大，但由于
tu
平稳，预测均方误差将趋于一个定值，即
222122 1?limtststs yyE
这恰好是趋势平稳 过程的平稳成分
tu
的无条件方差,
单位根过程的预测误差为,
}{
}{?
1
1
11
tt
t
tsttst
ttststtstst
yyyy
yyyyyy
}{}{
}{
112211
112211
ttsstst
tsststst
1121
22111
}1{
}1{}1{
ts
ststst
从而预测的均方误差为,
2
tstst
yyE
2
121
2
21
2
1
2
)1()1()1(1
s
显然，随着预测步长 s 的增加，预测误差会不断增大，但与趋势平稳情形不一样，预测均方误差不收敛于一个固定值,
3、动态乘数的比较对于 趋势平稳过程,其动态乘数为,
s
t
st
y
由
t
u 的平稳性，有
0l i ml i m
s
s
t
st
s
y
说明当 s 增加时,t? 对 sty? 的影响将逐渐减弱并最终消失。
考虑 增加一个单位，对 的影响
t?
对于单位根过程，
t
对
st
y
的影响为,
ss
t
t
t
st
yy
2121
1
当 s 增加时,
)1(1l i m
21
t
st
s
y
说明
t
对
st
y
的影响是持久的。
结论：
在预测误差方面的差异，会直接关系到长期预测的可靠性。
对于趋势平稳过程，外部冲击形成的影响从长远看会消失，因此作出的预报会具有较高的可靠度。
对于单位根过程，由于含有随机性趋势，时间序列的波动不仅归因于短期因素的影响，而且也受长期冲击的影响。也就说，对这一类时间序列的干扰和冲击，
将会永久地改变序列的取值水平。如果对这一类时间序列作长期预报，预报的可靠度较低。
因此，在实际应用中，区分非平稳时间序列究竟是趋势平稳过程还是单位根过程是一个很重要 的问题。
当一时间序列从图象上显示出时间趋势时，应先做单位根检验。
参考阅读材料史代敏,,经济时间序列建模中序列趋势问题的探讨,
,统计与信息论坛,2001（ 4）
2003年诺贝尔经济学奖授予从事非平稳分析的经济学家
时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究；
经典时间序列分析和回归分析有许多假定，如序列的平稳性、
正态性等 ；
越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。
遇到的问题：
将非平稳时序当作平稳序列进行分析，有什么不良后果？
如何判断一个时间序列是否为平稳序列？
在计量经济分析中涉及到非平稳时序时，应如何处理？
答案：
近二十年时间序列的新发展第 1节 单位根过程的概念与性质
一,单位根过程
1,平稳过程与非平稳过程的差异
平稳时间序列具有如下特性：
具有常定均值,序列围绕在长期均值周围波动；
方差和自协方差具有时不变性；
理论上,序列自相关函数随滞后阶数的增加而衰减 。
非平稳时间序列却不具有上述特性或者是没有常定的长期均值；
或者是方差和自协方差不具有时不变性；
理论上,序列自相关函数不随滞后阶数的增加而衰减 。
从图形上看，平稳时间序列的振动是短暂的，经过一段时间以后，振动的影响会消失，序列将会回到其长期均值水平；在不同时刻或时段，序列偏离均值的程度基本相同。
ttt yy 1 （ 6.1.1 ）
),0(~,0 20 iidy t?
考虑如下例子：
当 1 时，序列ty 平稳如果 1,则序列的方差为,
)(
)()(
12
1
ttt
ttt
yV ar
yV aryV ar
2
121 )(
t
V ar tt
当t 时，序列的方差趋于无穷大，说明序列是非平稳的
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 0
(a) )0(~ 2,； i i d Ny ttt?
(b) 07.0 01 yyy ttt?
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
(c) 001 yyy ttt?
- 4
- 2
0
2
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
800
1000
1200
1400
1600
1800
20 40 60 80 100 120 140
(a) 上证综合指数周数据（ 1997.1-1999.12）
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
82 84 86 88 90 92 94 96 98
(b) 中国实际广义货币供应量的季度数据平稳序列具有许多优良性质，一般可满足建模的各种要求。但对于非平稳时间序列，传统的分析方法就不再适用。
ttt yy 1
（ 6,1.1 ）
),0(~,0 20 iidy t?
根据样本序列
ty
（ t= 1,2,?,N ），可得到? 的最小二乘估计,
对于模型 (6.1.1),
2
1
1?
t
tt
y
yy
)3.1.6(? 2
1
1
t
tt
y
y
当
1
时，序列
ty
是平稳序列。由于 }{
t?
独立同分布，因此
0),( 1 ttyC o v?
可以证明，当N 时,( 6,1,3 ) 的第二项依概率收敛于零，从而 是? 的一致估计。
再考虑如下统计量,
2
1
1
1
2
1
2
1
1)?(
t
tt
t
tt
yN
yN
y
y
NN
由于
0)( 1 ttyE?
2
2
2
22
11
1
)()(?
ttt yEyV a r
由中心极限定理可得,
)
1
,0()0
1
( 2
2
2
1
Ny
N
N dtt
又因为
2
2
1
2
1 1)()
1
(l i m
tt
N
yV a ry
N
P
因此
)]1(,0[)?( 2
2
1
1
1
2
1
N
yN
yN
N d
t
tt
结论,
1,当 }{ ty 平稳时，统计量 )?(N 的极限分布存在，
因此可在上述结论的基础上进行统计检验。
2,如果 1,}{ ty 为非平稳序列，则 )?(N 趋于一退化分布，传统方法失效。
2、单位根过程的定义
ttt yy 1 （不带漂移） （ 6,1,4 ）
随机游动过程 (Random Walk Process),
ttt yy 1 （带漂移） （ 6.1.5 ）
单位根过程 (Unit Root Process),
ttt uyy 1? （ 6.1.6 ）
其中,1,tu 为一平稳过程，且
,2,1,0,),(,0)( suuC o vuE ssttt?
其中,}{ t? 独立同分布，且 22 )()(,0)( ttt EDE
ttt uyy 1? （ 6,1,7 ）
显然，随机游动过程是单位根过程一个特例利用滞后算子可将（ 6,1.6 ）式改成如下形式,
tt uyB )1(?
滞后多项式的特征方程为,
01 z?
它的根为,
1
z
当
1
时，滞后多项式的特征方程有一单位根 1?z 。
这就是术语“单位根过程”的来历单整序列 (Integrated Process),
经过一次差分后变为平稳的序列，称 {y}为一阶单整序列,记为 y~I(1)
如果序列经过 d次差分后平稳，而 d-1次差分却不平稳，
那么称 {y} 为 d阶单整序列，记为 ~I（ d）,d称为整形阶数。
特别地，若序列本身是平稳的，则称序列 {y}为零阶单整序列，记为 ~I（ 0）。
显然，如果 {y} ~I（ 1），则 ~I（ 0）；
如果 {y} ~I（ 2），则
ty?
),0(~2 Iy t?
二、单位根过程的运算性质
（ 1 ） 如果
t
y ~I （ 0 ），则
t
bya? ~I （ 0 ）；
如果
t
y ~I （ 1 ），则
t
bya? ~I （ 1 ）；
（ 2 ） 如果
t
x ~I （ 0 ）,
t
y ~I （ 0 ）,
则
tt
byax? ~I （ 0 ）；
（ 3 ） 如果
t
x ~I （ d ）,
t
y ~I （ c ），
dc0
,
则
tt
byax? ~I （ d ）；
（ 4 ） 一般来说,如果tx ~I （ d ）,ty ~I （ d ）,
则tt byax? ~I （ d ）。
对于性质（ 4 ），有例外的情形。
考虑如下例子,
ttt
wx
ttt
vawy
其中 )0(~}{},{),1(~}{ IvIw
ttt
。
由单整序列的运算性质（ 2 ）不难得到,
)0(~ Iavaxyz
ttttt
也就是说，同阶单整序列的某种线性组合所形成的序列，其整形阶数可能会降低。
这种特性就是后面我们要介绍的协整关系。
三、趋势平稳过程与单位根过程的差异对于具有随机性时间趋势的变量,传统方法失效需要采用新的处理方法许多经济时间序列特别是宏观经济时间序列都会呈现出随时间而变化的趋势。
传统处理方法是引入趋势变量 t来消除趋势影响。
序列的时间趋势有两种：
确定性时间趋势 随机性时间趋势趋势平稳过程与单位根过程之间的比较：
（刻画确定时间趋势）
假设序列
ty
由如下过程生成,
tt uty
( 6,1.8)
其中,
tu
为一平稳过程，它有无穷阶 MA 表示形式,
0
2211
)(
j
jtjt
tttt
B
u
且
0j
j?
，则序列
ty
的均值为时间 t 的线性函数。当从序列中去掉趋势部 分
t
后，剩余的部 分
tu
为平稳过程。
1、刻划时间趋势的比较趋势平稳过程,去掉趋势部分后变为平稳过程 。
单位根过程：刻画随机时间趋势例如,对于带漂移的单位根过程,
ttt uyy 1?
（ 6,1,9 ）
对
ty
不断向后迭代，可得,
tttt uuyy )( 12
t
j
j
ut
1
从表面上看，经过 变形之后的
ty
包含时间趋势
t?
，但扣除趋势
t?
之后，剩余部分
t
j
j
u
1
不是平稳过程，这与趋势平 稳过程完全不同 。
显然，对于单位根过程，传统的去势法是不恰当的。
服从趋势平稳的时间序列与服从单位根的时间序列在图形上非常相似：
- 20
0
20
40
60
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图 6 - 1 - 3 （ a ）趋势平稳过程,07.0 0 yty tt?
- 20
0
20
40
60
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图 6 - 1 - 3 （ b ）带漂移的单位根过程,07.0 01 yyy ttt?
在实际应用中，如果不区分这两种数据生成过程，而错误地将单位根过程当成趋势平稳过程用趋势线除势，是不恰当的。
2、预测和预测误差的比较对于趋势平稳过程（ 6,1.8 ），其 s 步最佳线性预测为,
2211? tstststst sty （ 6,1,1 0 ）
当 s 不断增大时，有,
s
EstyE
ss
tstststst
0
)(?
2
1
22
2
2211
2
说明趋势平稳过程的预测值随着预测步长的增加将按均方收敛于时间趋势，即稳定于一斜率为 δ 的固定直线,
预测值的比较：
而对于单位根过程，由于
ty?
是一个平稳过程，即,
ty 2211 ttttu
因此，
ty?
的 s 步预测为,
tsty
2211 tststs
又由于
ttstst
tttststststst
yyyy
yyyyyyyy
11
1211
)()()(
从而
tttt
tststs
tststs
tt
t
tsttsttst
y
yyyyy
23121
2111
2211
1
1
整理得
121
11
)(
)(?
tss
tssttst
ysy
说明极限预测虽为一斜率为 δ 的直线，但其截距依赖于变量 y 在时刻 t 的取值趋势平稳过程与单位根过程预测值的差异对于趋势平稳过程，其 s 步最佳线性预测为,
2211? tstststst sty
对于单位根过程，其 s 步最佳线性预测为,
121
11
)(
)(?
tss
tssttst ysy
预测误差的比较：
趋势平稳过程的预测误差为,
}
{?
221111
2211
tstststs
stststtstst
styy
112211
2211
}{
tsststst
tststs
st
该预测的均方误差为,
2
1
2
1
2
2
1?
ststst
yyE
由此可见，随着预测步长 s 的增加，预测误差不断增大，但由于
tu
平稳，预测均方误差将趋于一个定值，即
222122 1?limtststs yyE
这恰好是趋势平稳 过程的平稳成分
tu
的无条件方差,
单位根过程的预测误差为,
}{
}{?
1
1
11
tt
t
tsttst
ttststtstst
yyyy
yyyyyy
}{}{
}{
112211
112211
ttsstst
tsststst
1121
22111
}1{
}1{}1{
ts
ststst
从而预测的均方误差为,
2
tstst
yyE
2
121
2
21
2
1
2
)1()1()1(1
s
显然，随着预测步长 s 的增加，预测误差会不断增大，但与趋势平稳情形不一样，预测均方误差不收敛于一个固定值,
3、动态乘数的比较对于 趋势平稳过程,其动态乘数为,
s
t
st
y
由
t
u 的平稳性，有
0l i ml i m
s
s
t
st
s
y
说明当 s 增加时,t? 对 sty? 的影响将逐渐减弱并最终消失。
考虑 增加一个单位，对 的影响
t?
对于单位根过程，
t
对
st
y
的影响为,
ss
t
t
t
st
yy
2121
1
当 s 增加时,
)1(1l i m
21
t
st
s
y
说明
t
对
st
y
的影响是持久的。
结论：
在预测误差方面的差异，会直接关系到长期预测的可靠性。
对于趋势平稳过程，外部冲击形成的影响从长远看会消失，因此作出的预报会具有较高的可靠度。
对于单位根过程，由于含有随机性趋势，时间序列的波动不仅归因于短期因素的影响，而且也受长期冲击的影响。也就说，对这一类时间序列的干扰和冲击，
将会永久地改变序列的取值水平。如果对这一类时间序列作长期预报，预报的可靠度较低。
因此，在实际应用中，区分非平稳时间序列究竟是趋势平稳过程还是单位根过程是一个很重要 的问题。
当一时间序列从图象上显示出时间趋势时，应先做单位根检验。
参考阅读材料史代敏,,经济时间序列建模中序列趋势问题的探讨,
,统计与信息论坛,2001（ 4）
2003年诺贝尔经济学奖授予从事非平稳分析的经济学家
