1
第八章 ARCH模型
不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。例如，宏观经济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确定性等。在模型分析中，经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度量。而且为了分析简洁，通常对模型作出一些假定，例如在回归模型中假定随机扰动项满足零均值、同方差和互不相关。然而，实践表明，许多经济时间序列在经历一段相对平稳的时期后，都有非常大的波动。如图，沪深股票市场日收益率变异情况就具有这种特性。
图 3.2.1（a） 上证指数收益率时序图（1990.12.19—2001.07.31）
图 3.2.1（b） 深圳指数收益率时序图（1991.04.03—2001.07.31）
在这种情况下，同方差假定是不恰当的。在这种情况下，人们关心的是如何预测序列的条件方差。例如，作为资产持有者，他既关心收益率的预测值，同时
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
500 1000 1500 2000 2500
SHZSRX
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
500 1000 1500 2000 2500
SZZSR
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2
也关心持有期内方差的大小。如果一位投资者计划在第t时期买入某项资产，在第t+1时期售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了。
对于这一类问题，可以使用自回归条件异方差模型（autoregressive conditional
heteroskedastic model,简称ARCH模型）来进行分析。
最早的ARCH模型是由Robert Engle 于1982年建立的，因此它的发展历史不长。但是，这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的分析，ARCH模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。
第一节 ARCH模型的概念与性质
1、ARCH过程
ARCH模型的一般性定义如下。假设时间序列{ }ty 服从如下回归模型,
ttt uXy += x
' (8.1.1)
其中X是外生变量向量，它可以包含被解释变量的滞后项，x是回归参数向量。
如果扰动项序列 }{ tu 满足,
),0(~1 ttt hNu (8.1.2)
),,( 1 qttt uuhh= L (8.1.3)
其中 { }L,,,,22111 ′′=? ttttt XyXy 为t时期以前的信息集。h（）是一个q元非负函数，
则称 }{ tu 服从q阶自回归条件异方差（ARCH（q））模型。
例如，如果 }{ tu 满足
tqtqtt uuu eaaa ++++=
22
110
2 L (8.1.4)
其中系数 ),,1(0,00 qii L=≥> aa,}{ te 为白噪声。则有,
22
1101
2
1 )()( qtqtttttt uuuEuVarh +++=?=?= aaa L
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3
其中系数 ),,1(0,00 qii L=≥> aa 可以保证 th 的非负性。条件方差 th随 }{ tu 过去值的变化而变化，在这种情况下，我们称 }{ tu 服从具有线性参数形式的q阶自回归条件异方差模型,
在实际应用中，为了简化描述 }{ tu 的自回归条件异方差特征，可以对 }{ tu 施加一些假定，设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定,
ttt hu e= (8.1.5)
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
)1,0(~ iidNte
显然,
0)()()( 111 =?=?= tttttttt EhhEuE ee
ttttttttttt hEhhEuEuVar =?=?=?= )(])[()()( 1
2
1
2
1
2
1 ee
即 ),0(~1 ttt hNu,从而 }{ tu 服从自回归条件异方差（ARCH（q））模型。
在Engle（1982）所建议的各种条件异方差模型中，最简单的一种是如下ARCH
（1）,
2
110?+= ttt uu aae (8.1.6)
其中 }{ te 是方差为 2es =1的正态白噪声过程,te 与 1?tu 相互独立,0a 和 1a 为常数且满足条件 0a >0和0< 1a <1。
2、ARCH模型的性质
下面我们以(8.1.6)式所描述的ARCH（1）模型为例，考察ARCH序列{ }tu 的性质。由于 te 是白噪声且与 1?tu 相互独立，易证{ }tu 的每一项的均值为零且彼此间互不相关。而且,
0}{}{ 2 1102 110 =+=+= ttttt uEEuEEu aaeaae (8.1.7)
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4
}{)}({ 2 11022 11022 +=+= ttttt uEEuEEu aaeaae )1/( 10 aa?= (8.1.8)
所以，{ }tu 的无条件均值和方差不会受{ }tu 的生成过程的影响。类似地，容易推出{ }tu
的条件均值也为零。即,
0}{}{),,( 2 1102 11021 =+=+= ttttttt uEEuEuuuE aaeaaeL (8.1.9)
此时，读者可能会认为，由于{ }tu 的均值为零、方差为常数，从而{ }tu 的矩性质不受{ }tu 的生成过程的影响。事实上，{ }tu 的生成过程的影响全部反映在条件方差上。由于 2es =1,tu 基于其过去值 1?tu,L2?tu 的条件方差为,
2
11021
2 ),,(
+= tttt uuuuE aaL (8.1.10)
即 tu 的条件方差依赖于 2 1?tu 的实现值。如果 2 1?tu 的实现值大（或小），则在t时期 tu 的条件方差也就大（或小）。
下面我们讨论，误差项 tu 的ARCH结构如何影响序列{ }ty 的变异特征。事实上，
{ }tu 的条件异方差使得{ }ty 成为一个ARCH过程。所以，利用ARCH模型能够区分并反映序列{ }ty 的各个平缓期和易变期。详细分析如下,
假定序列{ }ty 服从模型(8.1.1)的一种特殊情形,
ttt uyaay ++=?110
误差项 tu 服从形如模型(8.1.6)的 ARCH（1）。则 ty 的条件均值和条件方差分别由下面两式给出,
1101 )( += ttt yaayE
( )[ ]
2
110
2
1
2
110121
)()(
),,(
+==
=
ttt
tttttt
uuE
yaayEyyyVar
aa
L (8.1.11)
此式表明,ty 的条件方差与 tu 的条件方差(8.1.10)一致。{ }tu 的条件异方差使得{ }ty
成为一个ARCH过程。
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ty 的无条件均值和无条件方差可以通过求解 ty的差分方程并取期望得到。
如果过程开始于过去足够远的时期，则 ty 的解为,
∑∞
=
+?=
0
110 )1/(
i
it
i
t uaaay
由于 0=tEu 对于所有t成立，所以 ty 的无条件期望等于 )1/( 10 aaEyt?= 。
无条件方差可以类似得到。在给定 0=?ittuEu （对所有 0≠i ）的条件下,ty 的无条件方差为,
∑∞
=
=
0
2
1 )var()(
i
it
i
t uayVar
由于 tu 的无条件方差为常值（ )1/()()()( 1021 aa?==== Lttt uVaruVaruVar ），从而有,
)]1/(1)][1/([)( 2110 ayVar t= aa (8.1.12)
比较序列{ }ty 的无条件方差(8.1.12)和条件方差(8.1.11)可以看出，{ }ty 的无条件方差为一常数，而条件方差会随着 1?tu 的变化而变化，当上一期振动幅度较大时，
序列在本期也会有较大的振动。这种反映外部冲击持续影响的特性，可以恰当地刻画出序列{ }ty 的变异聚类特征。
节第二 ARCH模型的估计
估计ARCH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型
ttt uXy += x
' (8.1.1)
ttt hu e= (8.1.4)
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
)1,0(~ iidNte
假设前q组观测值已知，现利用t=1，2，…，T时的观测值进行估计。记
[ ]10111011,,,,,,,,,,,,,++ ′′′′′=? qttqttt XXXXXyyyyy LLLL
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则
),(~1 tttt hXNy x′
从而 ty 的条件密度函数为
′=?
t
tt
t
ttt h
Xy
hXyf 2
)(exp
2
1),( 2
1
x
p
其中
22 110 qtqtt uuh +++= aaa L
22
1110 )()( xaxaa qtqtqtt XyXy ′?++′?+= L
记 ( ) [ ]′′?′?=′= 221110 )(,,)(,1)(,,,,xxxaaad qtqttttq XyXyz LL,则 th可表示为
[ ] dx ′= )(tt zh
需估计的参数向量为x 和d,将x和d 列入一列，形成模型(8.1.1)的参数列向量,
=
d
xq
对应于观测样本，样本对数似然函数为,
∑∑
∑
==
=
′=
=
T
t t
tt
T
t
t
ttt
T
t
h
XyhT
XyfL
1
2
1
1
1
)(
2
1)ln(
2
1)2ln(
2
);,(ln)(
xp
qq
参数向量q的极大似然估计是使得对数似然函数 )(qL 达到极大的向量q?。求 )(qL 关于q的一阶微分，并记
∑∑
==
=
=
T
t
t
T
t
ttt sXyfL
11
1 )();,(ln)( q
q
q
q
q
其中
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
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7
′
′
=
q
x
q
x
q
t
t
tttt
t
t h
h
XyXy
h
h
2
22 )()(1
2
1)ln(
2
1
可以推出,
=
′
0
2)( 2 tttt uXXy
q
x
= ∑=
)(
2
1
x
a
q
t
q
j
jtjtjt
z
Xuh
所以,
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
+
= ∑= 0 /)(
)(
2
2
)(
12
2
ttt
t
q
j
jtjtj
t
tt huX
z
Xu
h
hu
x
a
令
∑
=
=
T
t
ts
L
1
)()( qqq =0
解此方程，可以得到q的极大似然估计q?。此方程可由数值计算方法求解，在实际应用中，可借助现成软件进行计算。
节第三 ARCH模型的检验
检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗日乘数检验法的基本思想，然后介绍检验ARCH效应的具体方法。
一,拉格朗日乘数检验法的基本思想
在统计分析中，对参数进行假设检验时，构造检验统计量的方法通常有三种：
一种是以参数估计的渐进正态性为基础的Wold检验法（W检验），例如，常见的t
检验、F检验等就属于Wold检验法的特例；另一种是似然比检验法（LR检验）；
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第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法（LM检验）。
拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件，通过对有约束的极大似然函数的一阶偏导数进行检验，以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想是,
1,首先考察在无约束条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设 ),,,( 21 ′= kqqqq L 是模型的参数向量,nxxx,,,21 L 是样本，对应于观测样本的对数似然函数为 )(ln qL 。如果 )?,,?,?(? 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的无约束极大似然估计，则必有 kjL
j
,,2,1,0? )
(ln
L== q q
2,考察在有约束的条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设关于q的假设检验问题是,
),,,2,1(,0)(:0 kppihH i <== Lq
则在此p个约束条件下，有约束的对数似然函数为
∑
=
+=
p
i
iip hLF
1
21 )()(ln),,,,( qlqlllq L
如果 )~,,~,~(~ 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的有约束极大似然估计。则必有
),,1(0)(
),,1(0~ )(~ln~
1
pihF
kjhLF
i
i
p
i j
i
i
jj
L
L
===
==+= ∑
=
ql
q
ql
qq
如果约束条件成立，则施加约束条件下q的极大似然估计q~，应与无约束条件下q的极大似然估计q?非常接近，
j
L
q~
ln
应近似为零。检验原假设的拉格朗日乘数统计量为,
]~ln[)]~([]~ln[ 1 qqq′=? LILLM
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其中 q~ln L是以
j
L
q~
ln
为元素组成的列向量,)~,,~,~(~
21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L
的有约束极大似然估计,)~(qI 为信息矩阵。可以证明，在约束条件成立的条件下，LM近似服从 )(2 pc 。p为原假设中关于参数的约束条件个数。如果 LM太大，则拒绝原假设。
二,ARCH效应的拉格朗日乘数检验
随机扰动项 tu 是否服从ARCH过程，集中体现在条件异方差 th的系数上，如果在 th中,021 ==== qaaa L,那么 th 0a= 为一常数，随机扰动项 tu 为一白噪声序列；
如果 qaaa,,,21 L 不全为零，则随机扰动项 tu 具有 ARCH效应。因此，检验随机扰动项 tu 是否具有ARCH效应，就转化为检验假设 0,210 ==== qH aaa L 。
Engle(1982)针对ARCH过程，导出了检验ARCH效应的拉格朗日乘子检验法。
该方法通过一个辅助回归来计算拉格朗日乘数统计量 LM 的值，具体步骤如下,
第一步：用OLS方法估计约束模型，即在原假设 0,210 ==== qH aaa L 下对模型的参数进行估计。
第二步：计算残差序列{ }tu? 和残差平方序列{ }2?tu 。由残差平方序列{ }2?tu,作残差平方关于常数和自身直到q阶滞后项的回归，即估计如下模型,
22
22
2
110
2
qtqttt uuuu ++++= aaaa L （8.1.13）
计算可决系数 2R,
第三步：计算拉格朗日乘数统计量 LM 的值．可以证明，拉格朗日乘数统计量LM渐近等于,
LM= 2RT?
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因此,拉格朗日乘数统计量LM的值可以通过上述辅助回归间接算出,
如果没有ARCH效应,1a 到 qa 应全为零。由于可决系数（即通常的 2R ）相当低，
故这种回归缺乏解释力。
可以证明，对于样本容量为T的残差序列，在零假设（不存在ARCH误差）成立的条件下，检验统计量 2TR 收敛到自由度为q的 2c 分布。因此，如果 2TR 足够大，
就拒绝 1a 到 qa 同时为零的原假设，这等价于拒绝不存在ARCH误差的原假设。相反，
如果 2TR 足够小，则接受原假设，认为不存在ARCH效应。
节第四 GARCH模型
1、GARCH模型的特征
在实际应用中人们发现，为了描述变量的变异聚类特性，有时需要运用高阶
ARCH模型。但当ARCH（q）模型的阶数q过大时，需要估计过多的参数。在样本有限的情况下，参数估计的效率会降低，有时甚至会出现估计参数为负的情况。
为了弥补这一缺陷，Engle （1982，1983）曾建议对参数结构进行设定以减少估计参数的个数。例如，假设条件方差函数中参数值按如下方式递减
∑
=
+=
q
i
itit uwh
1
2
10 aa (8.1.14)
其中,
)1(21
)1(
+
+=
qq
iqw
i
那么，就只需要估计两个参数。这种线性递减的参数结构，体现了变量当前的变异度会受到过去时期变异大小的影响，并且影响的方式遵从近大远小原则，因此具有一定的合理性。但是，在参数结构未知的情况下，人为假定ARCH过程的参数
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11
具有特定的线性递减权重，这种假定未免太强了。
Bollerslev(1986)在Engle所做工作的基础上，借助ARMA模型的建模思想，
建立了广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型）来弥补上述缺陷。假定误差序列形如,
ttt hu e=
it
p
i
iit
q
i
i huah?
=
=
∑∑ ++=
1
2
1
0 ba (8.1.15)
其中 12 =es,且 0,0,00 ≥≥> ii baa 。由于 }{ te 是白噪声过程且与 itu? 的过去值独立，
因此 tu 的条件和无条件均值都为零。但 tu 的条件方差等于 ttt huE =? 21 。这种允许条件异方差中同时存在自回归项与滑动平均项的模型，称为广义自回归条件异方差模型，记为GARCH（p,q）。
显然，如果p=0，q=1，则 GARCH（0,1）就是ARCH（1）模型。如果所有的 ib
都为零，则GARCH（p,q）就相当于ARCH（q）模型。
引入滞后算子多项式,
p
p
q
q BBBBBB bbbaaa ++=++= LL 11 )(,)(
则GARCH（p,q）模型(8.1.18)可表示成
ttt hBuBah )()(
2
0 ba ++= (8.1.19)
如果 0)(1 =? Bb 的根全在单位圆以外，则
2
1
*
0
20
)(1
)(
)1(1 jtj jtt uuBh?
∞
=
∑+≡?+?= dabbaba (8.1.20)
其中,[ ])1(1/0*0 baa?=,jd 是 [ ] 1)(1)( BB ba 展开式中 jB 的系数。由此可以看出，如果某序列服从一个 GARCH（p，q）过程，那么在一定条件下，它可以用一个具有合理滞后结构的无限阶ARCH过程来代替表示。因此，在实际应用中，对于一个高
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12
阶ARCH模型，我们可以用一个比较简洁的GARCH模型来表示，以减少估计参数，
并便于模型的识别和估计。
2,GARCH模型的估计和检验
（类似于ARCH模型的估计，略）
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第八章 ARCH模型
不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。例如，宏观经济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确定性等。在模型分析中，经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度量。而且为了分析简洁，通常对模型作出一些假定，例如在回归模型中假定随机扰动项满足零均值、同方差和互不相关。然而，实践表明，许多经济时间序列在经历一段相对平稳的时期后，都有非常大的波动。如图，沪深股票市场日收益率变异情况就具有这种特性。
图 3.2.1（a） 上证指数收益率时序图（1990.12.19—2001.07.31）
图 3.2.1（b） 深圳指数收益率时序图（1991.04.03—2001.07.31）
在这种情况下，同方差假定是不恰当的。在这种情况下，人们关心的是如何预测序列的条件方差。例如，作为资产持有者，他既关心收益率的预测值，同时
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
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500 1000 1500 2000 2500
SHZSRX
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
500 1000 1500 2000 2500
SZZSR
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也关心持有期内方差的大小。如果一位投资者计划在第t时期买入某项资产，在第t+1时期售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了。
对于这一类问题，可以使用自回归条件异方差模型（autoregressive conditional
heteroskedastic model,简称ARCH模型）来进行分析。
最早的ARCH模型是由Robert Engle 于1982年建立的，因此它的发展历史不长。但是，这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的分析，ARCH模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。
第一节 ARCH模型的概念与性质
1、ARCH过程
ARCH模型的一般性定义如下。假设时间序列{ }ty 服从如下回归模型,
ttt uXy += x
' (8.1.1)
其中X是外生变量向量，它可以包含被解释变量的滞后项，x是回归参数向量。
如果扰动项序列 }{ tu 满足,
),0(~1 ttt hNu (8.1.2)
),,( 1 qttt uuhh= L (8.1.3)
其中 { }L,,,,22111 ′′=? ttttt XyXy 为t时期以前的信息集。h（）是一个q元非负函数，
则称 }{ tu 服从q阶自回归条件异方差（ARCH（q））模型。
例如，如果 }{ tu 满足
tqtqtt uuu eaaa ++++=
22
110
2 L (8.1.4)
其中系数 ),,1(0,00 qii L=≥> aa,}{ te 为白噪声。则有,
22
1101
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1 )()( qtqtttttt uuuEuVarh +++=?=?= aaa L
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其中系数 ),,1(0,00 qii L=≥> aa 可以保证 th 的非负性。条件方差 th随 }{ tu 过去值的变化而变化，在这种情况下，我们称 }{ tu 服从具有线性参数形式的q阶自回归条件异方差模型,
在实际应用中，为了简化描述 }{ tu 的自回归条件异方差特征，可以对 }{ tu 施加一些假定，设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定,
ttt hu e= (8.1.5)
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
)1,0(~ iidNte
显然,
0)()()( 111 =?=?= tttttttt EhhEuE ee
ttttttttttt hEhhEuEuVar =?=?=?= )(])[()()( 1
2
1
2
1
2
1 ee
即 ),0(~1 ttt hNu,从而 }{ tu 服从自回归条件异方差（ARCH（q））模型。
在Engle（1982）所建议的各种条件异方差模型中，最简单的一种是如下ARCH
（1）,
2
110?+= ttt uu aae (8.1.6)
其中 }{ te 是方差为 2es =1的正态白噪声过程,te 与 1?tu 相互独立,0a 和 1a 为常数且满足条件 0a >0和0< 1a <1。
2、ARCH模型的性质
下面我们以(8.1.6)式所描述的ARCH（1）模型为例，考察ARCH序列{ }tu 的性质。由于 te 是白噪声且与 1?tu 相互独立，易证{ }tu 的每一项的均值为零且彼此间互不相关。而且,
0}{}{ 2 1102 110 =+=+= ttttt uEEuEEu aaeaae (8.1.7)
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}{)}({ 2 11022 11022 +=+= ttttt uEEuEEu aaeaae )1/( 10 aa?= (8.1.8)
所以，{ }tu 的无条件均值和方差不会受{ }tu 的生成过程的影响。类似地，容易推出{ }tu
的条件均值也为零。即,
0}{}{),,( 2 1102 11021 =+=+= ttttttt uEEuEuuuE aaeaaeL (8.1.9)
此时，读者可能会认为，由于{ }tu 的均值为零、方差为常数，从而{ }tu 的矩性质不受{ }tu 的生成过程的影响。事实上，{ }tu 的生成过程的影响全部反映在条件方差上。由于 2es =1,tu 基于其过去值 1?tu,L2?tu 的条件方差为,
2
11021
2 ),,(
+= tttt uuuuE aaL (8.1.10)
即 tu 的条件方差依赖于 2 1?tu 的实现值。如果 2 1?tu 的实现值大（或小），则在t时期 tu 的条件方差也就大（或小）。
下面我们讨论，误差项 tu 的ARCH结构如何影响序列{ }ty 的变异特征。事实上，
{ }tu 的条件异方差使得{ }ty 成为一个ARCH过程。所以，利用ARCH模型能够区分并反映序列{ }ty 的各个平缓期和易变期。详细分析如下,
假定序列{ }ty 服从模型(8.1.1)的一种特殊情形,
ttt uyaay ++=?110
误差项 tu 服从形如模型(8.1.6)的 ARCH（1）。则 ty 的条件均值和条件方差分别由下面两式给出,
1101 )( += ttt yaayE
( )[ ]
2
110
2
1
2
110121
)()(
),,(
+==
=
ttt
tttttt
uuE
yaayEyyyVar
aa
L (8.1.11)
此式表明,ty 的条件方差与 tu 的条件方差(8.1.10)一致。{ }tu 的条件异方差使得{ }ty
成为一个ARCH过程。
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ty 的无条件均值和无条件方差可以通过求解 ty的差分方程并取期望得到。
如果过程开始于过去足够远的时期，则 ty 的解为,
∑∞
=
+?=
0
110 )1/(
i
it
i
t uaaay
由于 0=tEu 对于所有t成立，所以 ty 的无条件期望等于 )1/( 10 aaEyt?= 。
无条件方差可以类似得到。在给定 0=?ittuEu （对所有 0≠i ）的条件下,ty 的无条件方差为,
∑∞
=
=
0
2
1 )var()(
i
it
i
t uayVar
由于 tu 的无条件方差为常值（ )1/()()()( 1021 aa?==== Lttt uVaruVaruVar ），从而有,
)]1/(1)][1/([)( 2110 ayVar t= aa (8.1.12)
比较序列{ }ty 的无条件方差(8.1.12)和条件方差(8.1.11)可以看出，{ }ty 的无条件方差为一常数，而条件方差会随着 1?tu 的变化而变化，当上一期振动幅度较大时，
序列在本期也会有较大的振动。这种反映外部冲击持续影响的特性，可以恰当地刻画出序列{ }ty 的变异聚类特征。
节第二 ARCH模型的估计
估计ARCH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型
ttt uXy += x
' (8.1.1)
ttt hu e= (8.1.4)
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
)1,0(~ iidNte
假设前q组观测值已知，现利用t=1，2，…，T时的观测值进行估计。记
[ ]10111011,,,,,,,,,,,,,++ ′′′′′=? qttqttt XXXXXyyyyy LLLL
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则
),(~1 tttt hXNy x′
从而 ty 的条件密度函数为
′=?
t
tt
t
ttt h
Xy
hXyf 2
)(exp
2
1),( 2
1
x
p
其中
22 110 qtqtt uuh +++= aaa L
22
1110 )()( xaxaa qtqtqtt XyXy ′?++′?+= L
记 ( ) [ ]′′?′?=′= 221110 )(,,)(,1)(,,,,xxxaaad qtqttttq XyXyz LL,则 th可表示为
[ ] dx ′= )(tt zh
需估计的参数向量为x 和d,将x和d 列入一列，形成模型(8.1.1)的参数列向量,
=
d
xq
对应于观测样本，样本对数似然函数为,
∑∑
∑
==
=
′=
=
T
t t
tt
T
t
t
ttt
T
t
h
XyhT
XyfL
1
2
1
1
1
)(
2
1)ln(
2
1)2ln(
2
);,(ln)(
xp
参数向量q的极大似然估计是使得对数似然函数 )(qL 达到极大的向量q?。求 )(qL 关于q的一阶微分，并记
∑∑
==
=
=
T
t
t
T
t
ttt sXyfL
11
1 )();,(ln)( q
q
q
q
q
其中
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
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7
′
′
=
q
x
q
x
q
t
t
tttt
t
t h
h
XyXy
h
h
2
22 )()(1
2
1)ln(
2
1
可以推出,
=
′
0
2)( 2 tttt uXXy
q
x
= ∑=
)(
2
1
x
a
q
t
q
j
jtjtjt
z
Xuh
所以,
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
+
= ∑= 0 /)(
)(
2
2
)(
12
2
ttt
t
q
j
jtjtj
t
tt huX
z
Xu
h
hu
x
a
令
∑
=
=
T
t
ts
L
1
)()( qqq =0
解此方程，可以得到q的极大似然估计q?。此方程可由数值计算方法求解，在实际应用中，可借助现成软件进行计算。
节第三 ARCH模型的检验
检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗日乘数检验法的基本思想，然后介绍检验ARCH效应的具体方法。
一,拉格朗日乘数检验法的基本思想
在统计分析中，对参数进行假设检验时，构造检验统计量的方法通常有三种：
一种是以参数估计的渐进正态性为基础的Wold检验法（W检验），例如，常见的t
检验、F检验等就属于Wold检验法的特例；另一种是似然比检验法（LR检验）；
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第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法（LM检验）。
拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件，通过对有约束的极大似然函数的一阶偏导数进行检验，以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想是,
1,首先考察在无约束条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设 ),,,( 21 ′= kqqqq L 是模型的参数向量,nxxx,,,21 L 是样本，对应于观测样本的对数似然函数为 )(ln qL 。如果 )?,,?,?(? 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的无约束极大似然估计，则必有 kjL
j
,,2,1,0? )
(ln
L== q q
2,考察在有约束的条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设关于q的假设检验问题是,
),,,2,1(,0)(:0 kppihH i <== Lq
则在此p个约束条件下，有约束的对数似然函数为
∑
=
+=
p
i
iip hLF
1
21 )()(ln),,,,( qlqlllq L
如果 )~,,~,~(~ 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的有约束极大似然估计。则必有
),,1(0)(
),,1(0~ )(~ln~
1
pihF
kjhLF
i
i
p
i j
i
i
jj
L
L
===
==+= ∑
=
ql
q
ql
如果约束条件成立，则施加约束条件下q的极大似然估计q~，应与无约束条件下q的极大似然估计q?非常接近，
j
L
q~
ln
应近似为零。检验原假设的拉格朗日乘数统计量为,
]~ln[)]~([]~ln[ 1 qqq′=? LILLM
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其中 q~ln L是以
j
L
q~
ln
为元素组成的列向量,)~,,~,~(~
21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L
的有约束极大似然估计,)~(qI 为信息矩阵。可以证明，在约束条件成立的条件下，LM近似服从 )(2 pc 。p为原假设中关于参数的约束条件个数。如果 LM太大，则拒绝原假设。
二,ARCH效应的拉格朗日乘数检验
随机扰动项 tu 是否服从ARCH过程，集中体现在条件异方差 th的系数上，如果在 th中,021 ==== qaaa L,那么 th 0a= 为一常数，随机扰动项 tu 为一白噪声序列；
如果 qaaa,,,21 L 不全为零，则随机扰动项 tu 具有 ARCH效应。因此，检验随机扰动项 tu 是否具有ARCH效应，就转化为检验假设 0,210 ==== qH aaa L 。
Engle(1982)针对ARCH过程，导出了检验ARCH效应的拉格朗日乘子检验法。
该方法通过一个辅助回归来计算拉格朗日乘数统计量 LM 的值，具体步骤如下,
第一步：用OLS方法估计约束模型，即在原假设 0,210 ==== qH aaa L 下对模型的参数进行估计。
第二步：计算残差序列{ }tu? 和残差平方序列{ }2?tu 。由残差平方序列{ }2?tu,作残差平方关于常数和自身直到q阶滞后项的回归，即估计如下模型,
22
22
2
110
2
qtqttt uuuu ++++= aaaa L （8.1.13）
计算可决系数 2R,
第三步：计算拉格朗日乘数统计量 LM 的值．可以证明，拉格朗日乘数统计量LM渐近等于,
LM= 2RT?
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因此,拉格朗日乘数统计量LM的值可以通过上述辅助回归间接算出,
如果没有ARCH效应,1a 到 qa 应全为零。由于可决系数（即通常的 2R ）相当低，
故这种回归缺乏解释力。
可以证明，对于样本容量为T的残差序列，在零假设（不存在ARCH误差）成立的条件下，检验统计量 2TR 收敛到自由度为q的 2c 分布。因此，如果 2TR 足够大，
就拒绝 1a 到 qa 同时为零的原假设，这等价于拒绝不存在ARCH误差的原假设。相反，
如果 2TR 足够小，则接受原假设，认为不存在ARCH效应。
节第四 GARCH模型
1、GARCH模型的特征
在实际应用中人们发现，为了描述变量的变异聚类特性，有时需要运用高阶
ARCH模型。但当ARCH（q）模型的阶数q过大时，需要估计过多的参数。在样本有限的情况下，参数估计的效率会降低，有时甚至会出现估计参数为负的情况。
为了弥补这一缺陷，Engle （1982，1983）曾建议对参数结构进行设定以减少估计参数的个数。例如，假设条件方差函数中参数值按如下方式递减
∑
=
+=
q
i
itit uwh
1
2
10 aa (8.1.14)
其中,
)1(21
)1(
+
+=
iqw
i
那么，就只需要估计两个参数。这种线性递减的参数结构，体现了变量当前的变异度会受到过去时期变异大小的影响，并且影响的方式遵从近大远小原则，因此具有一定的合理性。但是，在参数结构未知的情况下，人为假定ARCH过程的参数
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具有特定的线性递减权重，这种假定未免太强了。
Bollerslev(1986)在Engle所做工作的基础上，借助ARMA模型的建模思想，
建立了广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型）来弥补上述缺陷。假定误差序列形如,
ttt hu e=
it
p
i
iit
q
i
i huah?
=
=
∑∑ ++=
1
2
1
0 ba (8.1.15)
其中 12 =es,且 0,0,00 ≥≥> ii baa 。由于 }{ te 是白噪声过程且与 itu? 的过去值独立，
因此 tu 的条件和无条件均值都为零。但 tu 的条件方差等于 ttt huE =? 21 。这种允许条件异方差中同时存在自回归项与滑动平均项的模型，称为广义自回归条件异方差模型，记为GARCH（p,q）。
显然，如果p=0，q=1，则 GARCH（0,1）就是ARCH（1）模型。如果所有的 ib
都为零，则GARCH（p,q）就相当于ARCH（q）模型。
引入滞后算子多项式,
p
p
q
q BBBBBB bbbaaa ++=++= LL 11 )(,)(
则GARCH（p,q）模型(8.1.18)可表示成
ttt hBuBah )()(
2
0 ba ++= (8.1.19)
如果 0)(1 =? Bb 的根全在单位圆以外，则
2
1
*
0
20
)(1
)(
)1(1 jtj jtt uuBh?
∞
=
∑+≡?+?= dabbaba (8.1.20)
其中,[ ])1(1/0*0 baa?=,jd 是 [ ] 1)(1)( BB ba 展开式中 jB 的系数。由此可以看出，如果某序列服从一个 GARCH（p，q）过程，那么在一定条件下，它可以用一个具有合理滞后结构的无限阶ARCH过程来代替表示。因此，在实际应用中，对于一个高
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阶ARCH模型，我们可以用一个比较简洁的GARCH模型来表示，以减少估计参数，
并便于模型的识别和估计。
2,GARCH模型的估计和检验
（类似于ARCH模型的估计，略）
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