第五章 传递函数模型第一节 传递函数模型的基本概念一,模型形式
{Yt} 的一阶自回归模型结构为：
ttt YY 1
tttt XYY 11
如果 {Yt}的变化除了受自身过去值的影响外，还受其它变量的影响,则 Y的模型结构就为：
上述模型通常称为传递函数模型，它类似于无限分布滞后模型；
多项式 称为传递函数；
展开后 Bs 对应的系数称为传递函数的权或脉冲响应权
（函数）。
B
B
1
ttt BXB
BY?
1
1
1
传递函数模型的一般形式为：
其中,Yt为被解释变量,Xt为解释变量,et为误差项，它不一定是白噪声 。
为传递函数。 Vi为脉冲响应权。
为长期乘数。
ttt eXBVY )(
2
210
0
)( BVBVVBVBV i
i
i
gV
i
i
0
由于 V（ B）为无限多项式，在实践中无法运用，因此必须修改。
Jorgenson于 1966年提出，在某些很一般的假定下，
V（ B）可用 B的有理分式来估计。即
V （ B ） = ω (B)/ δ (B)
s
s BBB10)(
r
r BBB11)(
假设 X t 延后 b 期才开始影响 Y t,则传递函数模型为,
tbtt eX
B
B
Y
)(
)(
= tt
b
eX
B
BB
)(
)(
由于 e t 不一定是白噪声，它可以是一个 A R I MA 序列，即
tt
d
B
B
e?
)(
)(
或 tt
d
BeB )()(
其中
p
p
BBBB
2
21
1)(
q
q
BBBB
2
21
1)(
将上式代入一般形式的传递函数模型，有
tt
d
b
t
d
B
B
X
B
BB
Y?
)(
)(
)(
)(
在实际应用中，只要因变量与解释变量为平稳的,
则不用差分,因此
tt
b
t
B
B
X
B
BB
Y?
)(
)(
)(
)(
其中 {Y t },{X t } 对为平稳序列
（或经不同阶差分后形成的平稳序列）。
二、传递函数的性质如果传递函数 V（ B）可以约简成两个多项式之比，即
)(
)()(
B
BBBV b
则有如下恒等式,
))(1( 2210221 BVBVVBBB rr
bs
s BBBB )(
2
210
关于 B j 的系数对应相等，则有
sbjVVV
sbbjVVV
bjVVV
bj
V
rjrjj
bjrjrjj
rjrjj
j
,
,,1,
,
,0
2211
2211
02211
即如果
)(
)(
)(
B
BB
BV
b
,
则脉冲响应权函数有下列性质,
① 当 j<b 时,V
j
=0 ；当 j ≥ b 时,Vj ≠ 0 。
② 当 j>b+s 时，｛ V
j
｝满足线性差分方程,
rjrjjj
VVVV
2211
差分方程的阶数 r 就为 )( B? 的阶数。
③ 当 b < j ≤ b + s 时,V
j
没有固定模式。
若从 b + s 以后,V
j
出现差分模式,
则 )( B? 的阶数就为〔 ( b + s ) - j 〕
这些性质对于判断传递函数的模式提供了依据。
第二节 传递函数模型的识别一,互协方差函数和互相关函数在传递函数模型中，不仅需要解释变量和被解释变量是平稳的，而且还要求两变量序列之间具有平稳相关，
即要求：
Cov(Xt+h,Ys+h)= Cov(Xt,Ys)
Cov(Xt,Ys) 则称为之间相差 (t-s)期的互协方差。
一般地,Xt与 Yt之间相差 k期的互协方差函数定义为：
γXY (k) = E〔 (Xt –μX )( Yt+k–μY)〕 k=0,1,2,…..
Xt与 Yt之间相差 k期的互相关函数定义为：
它刻画了两个变量序列在不同时刻之间的关联程度。
)0()0(
)()(
YYXX
XY
XY
kk
实际应用中，互协方差函数和互相关函数需要利用｛ Xt｝和｛ Yt｝的样本观测数据 加以估计。
1、互协方差函数的估计（样本互协方差函数）：
2、互相关函数的估计（样本互相关函数）,
,2,1,0)()(1)(
1
kYYXXNkC ktkN
t
tXY
YX
XY
XY SS
kCk )()(
二、传递函数模型的识别传递函数模型：
tt
b
t eXB
BBY
)(
)(
tt B
Be?
)(
)(?
有三个关键参数 (r,s,b)。
然后与理论值进行比较，决定适当的 r,s,b。
模型识别的基本思路：先估计如下脉冲响应函数：
),2,1,0(jV j
所用方法：预白噪化方法
1,首先对 Xt建立的 ARMA模型,产生白噪声序列 。。
txtx BXB )()(?
据此生成出白噪声序列
tt
x
x
t XBTXB
B )(
)(
)(
2、对序列 Yt实施上述变换 T（ B），产生新序列则传递函数模型可改写为：
t
x
x
tt YB
BYBTZ
)(
)()(
tt
b
t eBTXBTB
BBYBT )()(
)(
)()(
即
tt
tt
tt
b
t
BVBVV
BV
B
BB
Z
)(
)(
)(
)(
2
210
3、估计脉冲响应函数。
从而
))(,(),()( ktkttkttaZ aBVaC o vZaC o vk
),(),( 110 ktttkktktt aC o vaVaVaVaC o v
2),( akttk VaaCo vV
a
ZaZ
a
aZ
k
kkV
)()(
2
由此获得的初步估计为识别传递函数模式提供了基础。
在实际应用中,KV? 估计如下,
a
zaz
k S
Sk
V
)(
4,依据脉冲响应函数的估计值判定 r,s和 b。
{Yt} 的一阶自回归模型结构为：
ttt YY 1
tttt XYY 11
如果 {Yt}的变化除了受自身过去值的影响外，还受其它变量的影响,则 Y的模型结构就为：
上述模型通常称为传递函数模型，它类似于无限分布滞后模型；
多项式 称为传递函数；
展开后 Bs 对应的系数称为传递函数的权或脉冲响应权
（函数）。
B
B
1
ttt BXB
BY?
1
1
1
传递函数模型的一般形式为：
其中,Yt为被解释变量,Xt为解释变量,et为误差项，它不一定是白噪声 。
为传递函数。 Vi为脉冲响应权。
为长期乘数。
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2
210
0
)( BVBVVBVBV i
i
i
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i
i
0
由于 V（ B）为无限多项式，在实践中无法运用，因此必须修改。
Jorgenson于 1966年提出，在某些很一般的假定下，
V（ B）可用 B的有理分式来估计。即
V （ B ） = ω (B)/ δ (B)
s
s BBB10)(
r
r BBB11)(
假设 X t 延后 b 期才开始影响 Y t,则传递函数模型为,
tbtt eX
B
B
Y
)(
)(
= tt
b
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B
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)(
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由于 e t 不一定是白噪声，它可以是一个 A R I MA 序列，即
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B
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或 tt
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其中
p
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将上式代入一般形式的传递函数模型，有
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d
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B
B
X
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在实际应用中，只要因变量与解释变量为平稳的,
则不用差分,因此
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)(
)(
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其中 {Y t },{X t } 对为平稳序列
（或经不同阶差分后形成的平稳序列）。
二、传递函数的性质如果传递函数 V（ B）可以约简成两个多项式之比，即
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则有如下恒等式,
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关于 B j 的系数对应相等，则有
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即如果
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)(
B
BB
BV
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,
则脉冲响应权函数有下列性质,
① 当 j<b 时,V
j
=0 ；当 j ≥ b 时,Vj ≠ 0 。
② 当 j>b+s 时，｛ V
j
｝满足线性差分方程,
rjrjjj
VVVV
2211
差分方程的阶数 r 就为 )( B? 的阶数。
③ 当 b < j ≤ b + s 时,V
j
没有固定模式。
若从 b + s 以后,V
j
出现差分模式,
则 )( B? 的阶数就为〔 ( b + s ) - j 〕
这些性质对于判断传递函数的模式提供了依据。
第二节 传递函数模型的识别一,互协方差函数和互相关函数在传递函数模型中，不仅需要解释变量和被解释变量是平稳的，而且还要求两变量序列之间具有平稳相关，
即要求：
Cov(Xt+h,Ys+h)= Cov(Xt,Ys)
Cov(Xt,Ys) 则称为之间相差 (t-s)期的互协方差。
一般地,Xt与 Yt之间相差 k期的互协方差函数定义为：
γXY (k) = E〔 (Xt –μX )( Yt+k–μY)〕 k=0,1,2,…..
Xt与 Yt之间相差 k期的互相关函数定义为：
它刻画了两个变量序列在不同时刻之间的关联程度。
)0()0(
)()(
YYXX
XY
XY
kk
实际应用中，互协方差函数和互相关函数需要利用｛ Xt｝和｛ Yt｝的样本观测数据 加以估计。
1、互协方差函数的估计（样本互协方差函数）：
2、互相关函数的估计（样本互相关函数）,
,2,1,0)()(1)(
1
kYYXXNkC ktkN
t
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YX
XY
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kCk )()(
二、传递函数模型的识别传递函数模型：
tt
b
t eXB
BBY
)(
)(
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)(
)(?
有三个关键参数 (r,s,b)。
然后与理论值进行比较，决定适当的 r,s,b。
模型识别的基本思路：先估计如下脉冲响应函数：
),2,1,0(jV j
所用方法：预白噪化方法
1,首先对 Xt建立的 ARMA模型,产生白噪声序列 。。
txtx BXB )()(?
据此生成出白噪声序列
tt
x
x
t XBTXB
B )(
)(
)(
2、对序列 Yt实施上述变换 T（ B），产生新序列则传递函数模型可改写为：
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)(
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即
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3、估计脉冲响应函数。
从而
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由此获得的初步估计为识别传递函数模式提供了基础。
在实际应用中,KV? 估计如下,
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)(
4,依据脉冲响应函数的估计值判定 r,s和 b。
