1
专题一：ARCH模型的有关专门问题
一,ARCH模型的估计检验问题
(一） ARCH模型的估计
估计ARCH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型
ttt uXy += x
' (1.1.1)
ttt hu e= (1.1.2)
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
)1,0(~ iidNte
假设前q组观测值已知，现利用t=1，2，…，T时的观测值进行估计。记
[ ]10111011,,,,,,,,,,,,,++ ′′′′′=? qttqttt XXXXXyyyyy LLLL
则
),(~1 tttt hXNy x′
从而 ty 的条件密度函数为
′=?
t
tt
t
ttt h
Xy
hXyf 2
)(exp
2
1),( 2
1
x
p
其中
22 110 qtqtt uuh +++= aaa L
22
1110 )()( xaxaa qtqtqtt XyXy ′?++′?+= L
记 ( ) [ ]′′?′?=′= 221110 )(,,)(,1)(,,,,xxxaaad qtqttttq XyXyz LL,则 th 可表示为
[ ] dx ′= )(tt zh
需估计的参数向量为x 和d,将x 和d 列入一列，形成模型(1.1.1)的参数列向量,
=
d
xq
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2
对应于观测样本，样本对数似然函数为,
∑∑
∑
==
=
′=
=
T
t t
tt
T
t
t
ttt
T
t
h
XyhT
XyfL
1
2
1
1
1
)(
2
1)ln(
2
1)2ln(
2
);,(ln)(
xp
qq
参数向量q 的极大似然估计是使得对数似然函数 )(qL 达到极大的向量q? 。求
)(qL 关于q的一阶微分，并记
∑∑
==
=
=
T
t
t
T
t
ttt sXyfL
11
1 )();,(ln)( q
q
q
q
q
其中
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
′
′
=
q
x
q
x
q
t
t
tttt
t
t h
h
XyXy
h
h
2
22 )()(1
2
1)ln(
2
1
可以推出,
=
′
0
2)( 2 tttt uXXy
q
x
= ∑=
)(
2
1
x
a
q
t
q
j
jtjtjt
z
Xuh
所以,
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
+
= ∑= 0 /)(
)(
2
2
)(
12
2
ttt
t
q
j
jtjtj
t
tt huX
z
Xu
h
hu
x
a
令
∑
=
=
T
t
ts
L
1
)()( qqq =0
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3
解此方程，可以得到q的极大似然估计q?。此方程可由数值计算方法求解，在实际应用中，可借助现成软件进行计算。
前面我们讨论了正态ARCH模型的估计问题。在实践中，金融时间序列的无条件分布往往比正态分布具有更厚的尾部。为了更精确地描述尾部特征，我们可以假定回归模型的扰动项服从t分布，t分布的密度函数为,
2
1
2
2
1
1
)2(
2
1
)(
+?
+
Γ
+Γ
=
k
t
t
tt kc
uc
kk
k
f
p
e
其中,)(?Γ 为Γ函数，ct为比例参数，k是t分布的自由度，为一正数。当k大于2时，ut的方差为,
2)(?= k
kcuVar
tt
为了反映ARCH效应，令比例参数ct为,
k
khc
tt
2=
这样，ut的条件方差为ht，密度函数可改写为,
2
1
2
)2(1)2()
2(
2
1
)(
+?
+?Γ
+Γ
=
k
t
t
t
t kh
u
hkk
k
f
p
e
其中
22 110 qtqtt uuh +++= aaa L
22
1110 )()( xaxaa qtqtqtt XyXy ′?++′?+= L
为了估计模型参数，类似于正态情形,
样本对数似然函数为,
∑∑
∑
==
=
′?++
Γ
+Γ
=
=
T
t t
tt
T
t
t
ttt
T
t
kh
Xykh
kk
k
T
XyfL
1
2
1
1
1
)2(
)(1ln
2
1)ln(
2
1
)2()2(
2
1
ln
);,(ln)(
x
p
qq
需要估计的参数为 k、x 和d,他们的极大似然估计可以类似于前面的方法得到。
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4
(二） ARCH模型的检验
检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗日乘数检验法的基本思想，然后介绍检验ARCH效应的具体方法。
1、拉格朗日乘数检验法的基本思想
在统计分析中，对参数进行假设检验时，构造检验统计量的方法通常有三种：一种是以参数估计的渐进正态性为基础的Wold检验法（W检验），例如，常见的t 检验、F检验等就属于Wold检验法的特例；另一种是似然比检验法（LR
检验）；第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法（LM检验）。
拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件，通过对有约束的极大似然函数的一阶偏导数进行检验，以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想是,
（1） 首先考察在无约束条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设 ),,,( 21 ′= kqqqq L 是模型的参数向量,nxxx,,,21 L 是样本，对应于观测样本的对数似然函数为 )(ln qL 。如果 )?,,?,?(? 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的无约束极大似然估计，则必有 kjL
j
,,2,1,0? )
(ln
L== q q
（2） 考察在有约束的条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设关于q的假设检验问题是,
),,,2,1(,0)(:0 kppihH i <== Lq
则在此p个约束条件下，有约束的对数似然函数为
∑
=
+=
p
i
iip hLF
1
21 )()(ln),,,,( qlqlllq L
如果 )~,,~,~(~ 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的有约束极大似然估计。则必有
),,1(0)(
),,1(0~ )(~ln~
1
pihF
kjhLF
i
i
p
i j
i
i
jj
L
L
===
==+= ∑
=
ql
q
ql
qq
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5
如果约束条件本身就成立，则施加约束条件下q的极大似然估计q~，应与无约束条件下q的极大似然估计q?非常接近，
j
L
q~
ln
应近似为零。检验原假设的拉格朗日乘数统计量为,
]~ln[)]~([]~ln[ 1 qqq′=? LILLM
其中 q~ln L 是以
j
L
q~
ln
为元素组成的列向量,)~,,~,~(~
21 ′= kqqqq L 是
),,,( 21 ′= kqqqq L 的有约束极大似然估计,)~(qI 为信息矩阵，它等于,
′
=
qq
qq )(ln1)~( 2 LE
TI （HendryP462－464）
可以证明，在约束条件成立的条件下，LM 近似服从 )(2 pc （HendryP598）。p 为原假设中关于参数的约束条件个数。如果LM太大，则拒绝原假设。
2、ARCH效应的拉格朗日乘数检验
随机扰动项 tu 是否服从ARCH过程，集中体现在条件异方差 th 的系数上，如果在 th 中,021 ==== qaaa L,那么 th 0a= 为一常数，随机扰动项 tu 为一白噪声序列；如果 qaaa,,,21 L 不全为零，则随机扰动项 tu 具有ARCH效应。因此，检验随机扰动项 tu 是否具有 ARCH 效应，就转化为检验假设
0,210 ==== qH aaa L 。
Engle(1982)针对ARCH过程，导出了检验ARCH效应的拉格朗日乘子检验法。
以q 的估计值q~代入 )(ln qL 的一阶和二阶偏导。并记 )~(? 000 qtt zuh,,是
)(qttt zuh,,在原假设成立时的值，则有,
( )′====
=
∑ 22 10
1
02
001)
~(,1?
qtttt
T
t
tt uuzuuuTh,，，,Lxa
记
[ ]′= )~(,),~(),~( 002010 xxx TzzzZ L
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6
′
= )1?(,),1?(),1?(
0
2
0
2
2
0
2
10
h
u
h
u
h
uf TL
可以证明，在样本足够大时，LM统计量渐进等价于,
00
0010000 )(
ff
fZZZZfTLM
′
′′′
≈
如果作 0f 关于 0Z 的回归,
VZf += p00
可以推出该回归模型的可决系数等于,
00
0010000
2 )(
ff
fZZZZfTR
′
′′′
=
从而有,
2RTLM?= )(~ 2 qc
由此可见，拉格朗日乘数统计量LM的值通过一个辅助回归来计算。具体步骤如下,
第一步：用 OLS方法估计约束模型，即在原假设 0,210 ==== qH aaa L 下对模型的参数进行估计。
第二步：计算残差序列{ }tu? 和残差平方序列{ }2?tu 。由残差平方序列{ }2?tu,作残差平方关于常数和自身直到q阶滞后项的回归，即估计如下模型,
22
22
2
110
2
qtqttt uuuu ++++= aaaa L (1.1.13）
计算可决系数 2R,
第三步：计算拉格朗日乘数统计量LM的值．拉格朗日乘数统计量LM渐近等于,
LM= 2RT?
如果没有ARCH效应,1a 到 qa 应全为零。由于可决系数（即通常的 2R ）相当低，故这种回归缺乏解释力。
对于样本容量为T的残差序列，在零假设（不存在ARCH误差）成立的条件
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7
下，检验统计量 2TR 收敛到自由度为q的 2c 分布。因此，如果 2TR 足够大（大于临界值），就拒绝 1a 到 qa 同时为零的原假设，这等价于拒绝不存在ARCH误差的原假设。相反，如果 2TR 足够小，则接受原假设，认为不存在ARCH效应。
二,ARCH类模型的其他形式
(一) ARCH—M模型
前面讨论的 ARCH模型和GARCH模型，都是针对模型中的扰动项序列而言的，扰动项序列的条件方差与被解释变量 ty 的条件期望无关。但在实际应用中，
条件方差的变化有时会直接影响被解释变量条件期望的值。例如，在考虑风险与投资回报之间的关系时，由于投资者是依据当前信息而持有证券，当风险（条件方差）增大时，投资者要求的风险补偿也就大，因此，条件方差的变化会影响收益率条件期望的变化。基于遇这种认识，Engle、Lilien和Robins(1987)在ARCH
模型的基础上，建立了ARCH—M模型来分析时变风险的收益补偿。ARCH—M模型的一般形式为,
tttt uhXgy += ),,(
' x (1.2.1)
),0(~1 ttt hNu
其中,),,( ' tt hXg x ′ 是解释变量向量X、回归参数向量x以及条件方差 th 的函数，
它等于被解释变量 ty 的条件期望。在具体应用中，常用的 ARCH—M 模型一般设定为如下形式,
tttt uhfXy ++= )(
' dx (1.2.2)
),0(~1 ttt hNu
)( thf 是条件方差 th 的单调函数，一般取 )( thf = th 或 )( thf = )ln( th 。条件方差 th
取ARCH或GARCH形式，当 th 取ARCH结构
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
时，称模型为ARCH—M模型。当 th 取GARCH结构
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8
it
p
i
iit
q
i
it huah?
=
=
∑∑ ++=
1
2
1
0 ba
时，称模型为GARCH—M模型。
(二)指数GARCH模型（EGARCH）。
讨 论 ARCH模型的非对称性是ARCH模型建模过程的一项重要内容。
用Wt-1表示至t-1期与所有相关变量有关的信息集，当金融市场除了Wt-1没有其他信息对金融回报的预期起作用时称市场为有效市场。ut对Wt-1来说是最新的信息。正的 ut导致金融价格非预期增加，称为利好消息；反之，负的 ut导致金融价格非预期减少，称为利坏消息。
对于 ARCH 模型，一个单位的利好新息冲击和一个单位的利坏新息冲击对波动的影响是一样的。但实际上利好、利坏新息冲击对金融市场波动的影响是不一样的。相同单位的利坏新息冲击对波动的影响常常要比利好新息冲击来的大。
新息对金融市场波动的这种非对称性影响成为杠杆效应。当利坏新息使t期的资产价格下降，从而减少了投资于新企业的资本，使债务?资本比上升，导致公司预期回报的方差风险增加。另外，非对称性还对资产回报、证券市场回报协方差与证券市场回报方差之比产生重大影响。因此，重新设定 ARCH 模型使之能描述波动的非对称性是非常必要的。
尽管GARCH模型是处理实际金融数据的常用模型，但是此类模型也有不足之处。一是模型对系数参数的非负约束；二是外部冲击对条件方差的影响程度只取决于外部冲击的绝对值大小，而与冲击的符号无关。而在现实的金融市场特别是股票市场上，往往出现这种情况，价格波动受负外部冲击的影响比同等幅度的正外部冲击要大，正负冲击反映具有非对称性，即所谓的“杠杆效应”。为此,Nelson
（1991）引入指数GARCH模型（简称EGARCH）来处理正负冲击反应的非对称性，
比较有效，具有一定代表性。EGARCH模型与ARCH模型的区别主要体现在条件方差的结构上，EGARCH（p,q）模型条件方差的形式为,
∑∑
=
=
++=
p
i
iti
q
i
itit hgh
11
0 ln)(ln beaa (1.2.3)
其中,ttttttt huEg /,)()( =?+= eeegfee 。因为等式左侧是ht的对数，
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所以无论等式右侧是正是负，作为其反对数,)ln( th 总是正的。这样就避免了ARCH
模型对系数参数的非负约束。由于模型没有对系数参数施加任何约束，模型更像一个关于 thln 的无约束ARMA（p,q）模型，从而使得模型参数的估计更容易。
模型中参数g 刻画了过去冲击不同幅度对当前条件方差的影响；参数f刻画了过去冲击不同符号对当前条件方差的影响，如果 0<fai,那么当外部冲击 it?e
为负时，条件方差将趋向于增加，而当外部冲击 it?e 为正时，条件方差将趋向于减小；通过这种方式刻画了正负冲击影响的非对称性。
为了解释怎样把对称性引入模型，取q = 1,p = 0。上述模型变为
)(ln 1110 tttt Eh eegafeaa?++=?
正新息表示“利好”，负新息表示“利坏”。虽然正新息和负新息的绝对值相同，
但EGARCH模型可以区别正、负新息对波动的不同影响。
下面举例说明正、负新息对条件方差的不同影响。
在et服从正态分布的假定下，m = E( )te =
5.02
p = 0.798（参见陆懋组314页），
令a0 = 0，a1 φ= 0.4，α1g = 0.2。标准新息et= ±1。
当et= 1时,
Ln(ht) = a0 + 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = 0.4404
当et= -1时,
Ln(ht) = a0 + 0.4 × (-1) + 0.2 × (| -1 | - 0.798) = -0.3596
现在令a1 φ= -0.4，α1g = 0.2。标准新息et= ±1。与前面相比只改变了a1 φ的符号，其他值不变。
当et= 1时,
Ln(ht) = a0 - 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = -0.3596
当et= -1时,
Ln(ht) = a0 - 0.4 × (-1) + 0.2 × (| -1 | - 0.798) = 0.4404
这时负的新息有较大影响。可见a1 φ是一个重要参数，它可以改变利好和利坏消息的作用大小。当a1 φ = 0时，利好和利坏消息的作用无差别。
注,ARCH模型的非对称性
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10
Engle 和Ng (1993) 首先提出“新息冲击曲线”（news impact curve）概念。
若截止于t-2期以前的信息保持不变，滞后条件方差保持无条件方差水平，那么新息冲击曲线就是用ht对ut-1描绘的曲线。下面以ARCH(1)模型为例进行分析。
ht= a0 + a1 ut –1 2
新息冲击曲线是以过ut-1的垂线为对称的。斜率为d ht /dut –1 = 2a1 ut –1。从斜率表达式可以看出新息ut–1对ht的影响强度是由a1决定的，随着ut–1的取值而变化。新息冲击曲线与其斜率的变化如图1。
图1 对称型新息冲击曲线及其斜率
对于GARCH模型
ht = a0 + a1 ut –1 2 + l1 ht –1
由于新息冲击曲线只讨论 ut–1对 ht的影响，所以把 ht-1当作无条件方差处理，用
us
2表示。上式改写为
ht = [a0+ l1 (us2)]+ a1 ht-1 = A + a1 ht-1
其中A = a0+ l1 (us2)。同理，新息冲击曲线是以过ut-1的垂线为对称。斜率为2a1
ut –1。
对于EGARCH(1,1)模型
Ln(ht) = a0 + a1 1?te + g1 [ ]me1t + l1 Ln(ht-1)
仍然令ht –1=us2，上式变为,
Ln(ht) = [a0 + l1 Ln(us2) - g1m]+ a1 1?te + g1 1?te
= a + a1 1?te + g1 1?te
其中a = a0 + l1 Ln(us2) - g1m。对上式取反对数变换,
ht
ut –1 ut –1
0
0
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11
A exp
+
1
11
t
u
usga,ut –1 > 0
ht=
A exp?
1
11
t
u
usga,ut –1 < 0
其中Ln A = a，或A = (us2)β1exp[a0 - g1m]。由此课件，EGARCH模型的新息冲击曲线与GARCH模型的有两点不同。（1）曲线是非对称的。（2）重大新息带来的冲击要比GARCH模型的大（指数函数的底是e）。
图2 非对称型新息冲击曲线及其斜率
（三）非对称GARCH模型(AGARCH)
1993年，Engle和Ng提出了非对称GARCH模型（Asymmetric GARCH），模型的条件方差形如,
it
p
i
iit
q
i
it huah?
=
=
∑∑ +?+=
1
2
1
0 )( bxa (1.2.4)
其中，,0ab≥ 。如果 0x >,则体现负的外部冲击会比正的外部冲击导致更大的条件方差；如果 0x <,则反映正的外部冲击会比负的外部冲击导致更大的条件方差。因此根据x取值符号的不同，可以刻画出正负冲击的非对称影响，揭示“杠杆效应”。
(四)门限ARCH模型（TARCH）
在分析非对称波动的各种 ARCH 模型中，Zakoian(“Threshold Heteroskedastic
Model”，INSEE，Paris，1990)和Glosten、Jaganathan、and Runkle (“Relationship
between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks”，Journal
of Finance，1993)提出的门限ARCH（Threshold ARCH）模型是结构简洁并能直接
0
ut –1 ut –1
st2
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12
反映股价波动受正负冲击影响差异程度的一类模型。
TARCH（1，1）模型的条件方差是
ht = a0 + a1 ut –1 2 + g ut –1 2 Dt –1 + b ht -1 (1.2.5)
其中
Dt =
≥
<
0,0
0,1
t
t
u
u
其中ut > 0表示正外部冲击(利好消息)，ut < 0表示负外部冲击(利坏消息)。对于
TARCH模型，利好和利坏消息对条件方差的影响是不一样的。当出现利好消息时，波动的平方项的系数是a1。当出现利坏消息时，波动的平方项的系数是a1 +
g。当g = 0时，条件方差对冲击的反应是对称的。当g ≠ 0时，条件方差对冲击的反应是非对称的，反映了正负冲击对波动影响的差异及其程度，从而刻画了杠杆效应。
对于更一般的TARCH（p，q）模型，条件方差结构如下,
22
011
11
qp
titittiti
ii
hauuDhagb
==
=+++∑∑ (1.2.6)
其中,tD = 1,00,0t
t
u
u
<?
≥?
（五）IGARCH模型
对于ARCH(p) 模型和GARCH(p,q) 模型，在实际应用中，条件
0 ≤ ∑ =qi i1a < 1 （保证可以转换成无限阶的ARCH过程）
0 ≤ (∑ =qi i1a +∑ =pi i1 b ) < 1 （保证GARCH过程平稳）
有时不能得到满足。
一般地，如果GARCH模型,
it
p
i
iit
q
i
it huah?
=
=
∑∑ ++=
1
2
1
0 ba tt hBuBa )()(
2
0 ba ++=
的参数满足如下条件,
1
11
=+ ∑∑
==
p
i
i
q
i
i ba
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13
则称这样的GARCH模型为单整GARCH模型，记为IGARCH（p，q）。
令 ttt hu?= 2n,GARCH模型可以变形为,
tttt BuBBau nbnba )())()((
2
0
2?+++=
tt BuBB nbaba )](1[))]()((1[ 0
2?+=+?
即 2tu ～ARMA（m,p），其中m=max(p,q)。根据ARMA模型的平稳性条件可知，当且仅当 0))()((1 =+? BB ba 的根在单位园以外时，该过程才是平稳的。因此，如果
0))1()1((1 =+? ba
即 1
11
=+ ∑∑
==
p
i
i
q
i
i ba
那么意味着
=+? ))()((1 BB ba )1)(( BB?Φ
0))()((1 =+? BB ba 含有单位根,2tu 是非平稳的。在这种情况下，条件方差所受冲击的影响将持续下去，从而可以刻画ht具有“持续记忆”的特性。
下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。
ht = a0 + a1 ut –1 2 + b1 ht -1 (1.2.7)
用 1?a,1?b 分别表示对a1,b1的估计。有时会出现
1?a + 1?b ≈ 1
甚至,1?a + 1?b > 1。例如Engle-Chowdury（1992）对IBM收益率序列估计时，得如下结果,
ty? = 0.00056 + tu?
2?
ts = 0?a + 0.053 21tu
+ 0.953 2
1ts
其中 1?a + 1?b = 0.053 + 0.953 = 1.003 ≈ 1。Engle证明如果 1?a + 1?b ≥ 1，冲击（shock）
对条件方差的影响是永远的。令k > 0，当 1?a + 1?b = 1时，有
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14
E(ht + k|ht ) = a0 + E(ht + k -1 |ht)
（推导略）。上式是带有漂移项的随机游走形式，含有单位根。所以如果a0 > 0，
称a1 + l1 =1条件下的GARCH(1,1)为单整GARCH模型，记作IGARCH(1,1)。
简要评价
通过以上分析可以看出，ARCH模型及其扩展模型都可以用来描述和解释股票市场股价波动随时间变化的行为，但它们具有各自的特点。ARCH 模型的主要功能在于解释收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性，并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构，而不是方差的外生结构变化。由于ARCH模型的系数都大于零，表明过去的波动冲击对市场未来波动有着正向而减缓的影响，因此波动会持续一段时间，从而模拟了市场波动的聚集现象，但是模型没有说明波动的方向。从预测的角度来看，当存在ARCH效应时，
使用ARCH模型较之假定方差为常数来讲，可以提高预测值的精度。
GARCH模型是ARCH模型的扩展，因此GARCH具有ARCH(q)模型的特点。GARCH
模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数。在一定条件下，GARCH 模型可以转化为无限阶的ARCH模型，与无限阶（或高阶）的 ARCH 模型相比，GARCH模型的结构更为简洁，因此可以替代描述高阶
ARCH过程，从而使得模型具有更大的适用性。
ARCH模型和GARCH模型有助于分析股价波动是否呈现聚集效应（条件异方差效应），刻画收益率分布的宽尾特征，在实践中应用较为广泛。但正如前文所述，
这两类模型在刻画波动特征方面也存在一些不足，特别是模型中假定条件方差是过去波动冲击的对称函数，即条件方差仅取决于过去波动冲击的幅度而与其符号无关，这意味着正的波动冲击和负的波动冲击对股价的影响效应是对等的。实际上，现实中常常会出现这样两种情况，一是杠杆效应(leverage effect)，即坏消息比好消息更会引起波动程度的增加；二是反馈效应，即消息进入市场后，引起的波动会反馈到股市价格上，从而使消息对股市的影响进一步扩大。股价波动的这种特征表明标准 ARCH 模型和 GARCH 模型在刻画波动冲击对股市的影响方面有一定局限。EGARCH、TARCH以及其它一些模型在刻画这种特征方面具有独特的效果。
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15
三,ARCH模型族在研究股市波动中应用
(一） 上海深圳股票市场波动聚集性实证研究
近年来国内一些学者运用ARCH模型研究了我国股票市场的波动特征。吴世农①（1996）、林少宫 ② （ 1997）、丁华③（1999）以上海股票市场的Ａ股指数为对象，研究了上海指数中的ARCH现象；张思奇④（2000）利用ARCH-M模型研究了我国股票市场收益率的时间序列行为并分析了风险溢价的时变性。中国股票市场是一个新兴市场，与成熟资本市场相比，制度对市场波动的影响比较明显，因此研究我国股票市场在过去不同时期波动变异性的特征，深入认识市场的制度缺陷以及市场对外部冲击的反映，对于完善市场制度、提高市场效率具有明显的现实意义。
本节主要用 AR-GARCH 模型来分析我国沪深股票市场在不同时期的波动聚集特征，并考察涨跌停板交易制度对两个市场波动的影响。实证分析按照如下步骤进行：首先对收益率序列的自相关结构进行识别，确定收益率序列服从的ARMA
模型；然后对模型残差是否具有ARCH 效应做诊断性检验，估计出ARMA—GARCH
模型；最后通过对条件方差的比较，分析沪深股票市场在各时期的波动特征有何差异以及风险变异情况⑤。
1、样本数据及其特征
本文所采用的数据是上海和深圳证券交易所的上证指数、深圳综合指数的日收盘数据，数据时间跨度为沪、深证券交易所成立至2001年7月31日的所有数据。为了对沪、深两个市场在不同时期的波动性进行对比研究，我们按股市初创期、培养期、成长初期将样本数据分为几个时段。考虑到1993年以前，
沪、深市场还处于初创时期，市场规模非常小，供需矛盾十分突出，加之市场参与各方风险意识淡薄，非理性行为比较普遍，市场波动特征被严重扭曲，因此，我们把样本范围确定为1993年1月4日至2001年7月31日，并以1996
年 12 月16 日沪深两市实行涨跌幅限制为分界点将样本分为前后两个时段进行实证分析。
由于股票价格或指数的时间序列往往呈现出非平稳性，这就意味着价格的方差可能随时间增长并趋于无限。为了避免这种情况带来的影响，在资本市场的实证研究中，波动性一般都用收益率的方差或标准差来度量。根据日收盘指
①吴世农，我国证券市场效率的分析，《经济研究》，1996(4)。
②林少宫等，“中国股市ARCH效应研究及市场分析”，《湖北统计科研文集》，湖北科技出版社1997。
③丁华，“股价指数波动中的ARCH现象”，《数量经济技术经济研究》，1999(9)。
④张思奇等，“股票市场风险、收益与市场效率”，《世界经济》，2000（5）。
⑤史代敏，“沪深股票市场风险变异性实证研究”，《数量经济技术经济研究》2002（3）。
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数可计算出市场日收益率（即指数日收益率）序列{ }tr,{ }tr 的计算公式为,
11 /)(= tttt IIIr
其中 tI 代表第t日的收盘指数。沪、深两市日收益率的时序图见图1。
图1（a） 上证指数收益率时序图（1990.12.19—2001.07.31）
图1（b） 深圳指数收益率时序图（1991.04.03—2001.07.31）
根据对日收益率波动特征的基本统计量分析表明，在整个样本期，沪深两市日收益率总体上呈现右偏态，峰度系数都远大于3，日收益率数据存在高峰厚尾的分布特征。从分时段来看，均值、标准差、偏度及峰度在第二时段都有较明显的下降，样本标准差的降低在一定程度上反映了市场总体波动的减弱，偏度及峰度的下降说明日收益率分布的高峰厚尾现象有所缓解，但峰度系数仍远大于3，说明收益率无条件分布同正态分布仍然存在较大差距。此外，收益率正态分布检验也显示，正态分布这一资本市场理论的经典假定被违背。因此，用收益率的无条件方差来刻画市场的波动特征是不恰当的，应该寻找更有效的模型和工具，这就是ARCH模型。
2、波动的ARCH效应
本部分讨论三个问题，首先对沪、深两个市场日收益率序列是否具有ARCH
效应进行检验，然后建立并估计ARCH模型，最后对实证结果进行评价。
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
500 1000 1500 2000 2500
SHZSRX
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
500 1000 1500 2000 2500
SZZSR
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（1） ARCH效应检验
检验按照如下步骤进行：首先对收益率序列的自相关结构进行初步识别，用最小二乘法确定收益率序列服从的 ARMA 模型，然后用拉格朗日乘子检验法或
Ljung-Box Q—统计量检验法对模型残差做诊断性检验。
通过对沪深市场第一时段、第二时段日收益率序列的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）进行判断，并利用Ljung-Box Q 统计量诊断，我们发现两个市场日收益率序列在第一时段 6阶自相关性比较明显，在第二时段3阶自相关性比较明显。因此，我们首先估计各时期日收益率关于自身滞后项的自回归模型,
titt urcr ++=?j （1.3.1）
并将此模型记为AR_i，其中i=6、3，分别代表收益率序列自相关的滞后阶数。
估计结果见表3.2.1和表3.2.2。
用Ljung-Box Q—统计量对各时段估计模型的残差序列进行判断，残差序列已基本上不存在相关性。因此，用上述模型描述收益率序列的自相关性是恰当的。
但是，对残差序列的正态性检验发现，偏度系数大于0，峰度系数远大于3，其分布呈现尖峰厚尾的特征，说明残差项违背了正态分布假定。再考察残差平方序列{ }2e 的自相关结构（见表1），根据检验ARCH效应的拉格朗日乘子LM统计量值和Ljung-Box Q—统计量值，在 0.05的显著性水平下，它们都大于临界值，表明残差序列具有明显的ARCH效应。
表1 AR模型的估计结果
模型类型 c j
时段1 AR_6 0.000787(0.75) -0.095059(-3.006) 上
海 时段2 AR_3 0.000752(1.4035) 0.076312(2.637)
时段1 AR_6 0.000968(1.0982) -0.06335(-1.9815) 深
圳 时段2 AR_3 0.000288(0.456) 0.114324(3.9367)
注：表中括号内的数据为参数检验的T统计量值。
表2 AR模型残差序列自相关系数
滞后阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
时段1 AR_6 0.002 0.064 0.058 0.041 0.058 0.000 0.033 -0.019 0.058 -0.039 上海
时段2 AR_3 -0.018 -0.024 -0.027 0.046 -0.022 -0.024 -0.016 -0.013 -0.047 0.028
时段1 AR_6 0.018 0.082* -0.003 0.066 0.050 0.000 0.025 -0.017 0.045 -0.017 深圳
时段2 AR_3 0.047 -0.007 -0.025 0.015 -0.013 -0.053 -0.035 0.012 -0.022 0.037
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表3 AR模型残差平方序列自相关系数
滞后阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
时段1 AR_6 0.073* 0.269* 0.148* 0.168* 0.068* 0.059* 0.126* 0.015 0.001 0.009 上海 时段2 AR_3 0.077* 0.100* 0.116* 0.093* 0.03 0.068* 0.051 0.032 0.034 0.066*
时段1 AR_6 0.056 0.143* 0.139* 0.042 0.037 0.023 0.046 -0.002 -0.005 -0.002 深圳 时段2 AR_3 0.158* 0.195* 0.157* 0.148* 0.108* 0.168* 0.102* 0.100* 0.103* 0.110*
注：表中带*号的数据表示自相关系数超过了2倍标准误。
（2） ARCH模型的估计
根据表3，沪深市场各时段日收益率序列AR模型的残差平方序列存在高阶的自相关，意味着可以用高阶ARCH模型来刻画日收益率的波动性，为此，首先估计ARCH模型，发现估计模型中位于中间的一些系数不显著。由前述的理论分析可知，一个高阶的ARCH模型可以用一个低阶的GARCH模型代替。因此，我们估计AR-GARCH(1,1)模型,
titt urcr ++=?j
ttt hu e=
2
11ttthuhwab=++ （1.3.2）
)1,0(~ iidNte
估计结果列于表4，表5列出了AR-GARCH(1,1)模型残差平方序列自相关性的检验结果。可以看出，残差平方序列不再存在序列自相关性，说明GARCH（1，1）
模型拟合度较好。
表4 AR—GARCH（1，1）模型估计结果
模型类型 c j w a b
时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.000148 (-0.1491) -0.096873 (-2.6731) 0.00016 (7.3765) 0.193615 (9.2465) 0.695416 (19.7795) 上
海 时段2 AR_3—
GARCH(1.1)
0.000427
(1.3008)
0.048902
(1.5304)
0.000016
(6.7287)
0.271373
(10.3311)
0.7037
(32.4845)
时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.00024 (-0.3170) -0.068645 (-1.9851) 0.000136 (5.9014) 0.236323 (6.4700) 0.632325 (11.5940) 深
圳 时段2 AR_3—
GARCH(1.1)
-0.000235
(-0.5586)
0.050746
(1.672)
0.000004
(4.4426)
0.092535
(11.0527)
0.896910
(164.1005)
注：表中括号内的数据为参数检验的T统计量值。
表5 AR—GARCH(1,1)模型残差平方序列自相关系数
滞后阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.009 0.008 0.002 0 -0.01 -0.001 0.008 -0.01 -0.011 -0.007 上海 时段2 AR_3—
GARCH(1.1) 0.013 -0.028 -0.008 -0.026 -0.030 -0.004 -0.009 -0.023 -0.006 -0.003
时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.011 0.000 0.017 -0.004 -0.004 -0.006 -0.005 -0.009 -0.012 -0.009 深圳 时段2 AR_3—
GARCH(1.1) 0.049 0.031 0.017 -0.019 -0.006 0.009 -0.016 0.002 -0.003 -0.022
注：表中带*号的数据表示自相关系数超过了2倍标准误。
3、沪深两市波动聚集性比较
为了直观考察GARCH模型的拟合效果，我们根据GARCH模型的估计结果计算出沪深两市各时段日收益率的条件方差序列 }{ th,并绘出时序图（图 2）。对比各时期的 }{ th 与对应的日收益率时序图可以看出,}{ th 随时间变化而变化，当在某一段时期内收益率剧烈波动时，这段时期内条件方差 }{ th 就增加；反之，在某段时期内收益率波动平缓，条件方差 }{ th 就减小。因此，所建立的GARCH模型较好地捕捉到了收益率波动聚集现象。
（a） 上海市场时段1（93.01.04 ~ 96.12.15）日收益率及条件方差 }{ th 时序图
（b）上海市场时段2（96.12.16 ~ 01.07.31）日收益率及条件方差时序图
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
200 400 600 800 1000
H
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
1600 1800 2000 2200 2400 2600
SHZSR3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
930603 1941229 960812
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
930603 941229 960812
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（c）深圳市场时段1（93.01.04 ~ 96.12.15）日收益率及条件方差时序图
（d）深圳市场时段2（96.12.16 ~ 01.07.31）日收益率及条件方差时序图
图2 沪、深股票市场各时期日收益率波动聚集与GARCH拟合的图形比较
为了进一步看清 GARCH 模型对收益率波动聚集的捕捉情况，我们选择上海市场时段1、深圳市场时段2，利用估计出的GARCH模型对日收益率波动进行预测，预测结果见图3。图中，位于中间的实线为收益率波动情况（已扣除均值），
虚线为根据GARCH模型所做的2倍标准误预测区间，水平线为同方差假定下的2
倍标准误预测区间。显然，根据GARCH模型所做的波动预测精度比较高。
图3（a） 利用GARCH模型预测上海市场日收益率波动（93.01.04-96.12.15）
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
200 400 600 800 1000
H
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
100 200 300 400 500 600 700 800 900
H
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
SZZSR2
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
200 400 600 800 1000
SZZSR3
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
100 200 300 400 500 600 700 800 900
EE
EO
EO1
X
X1
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尽管沪深两市的日收益率在第一时段和第二时段都具有波动聚集的特征，
但从GARCH模型的估计结果看（表3.2.4），两市日收益率的条件异方差结构在第二时段发生了变化。首先，a的估计值变化明显，上海市场对应的a估计值增大了，而深圳市场降低了，说明在第二时段，上海市场日收益率波动受前一日的影响（即短期影响）比深圳市场明显，深圳市场日收益率波动更多地受到长期因素的影响；
图3.2.3（b） 利用GARCH模型预测深圳市场日收益率波动（96.12.16-01.07.31）
其次，w的估计值下降得非常明显，上海市场的w 从 0.00016 下降到
0.000016，仅为原来的1/10，深圳市场从0.000136下降到0.000004，仅为原来的1/34。根据GARCH模型（2）式不难得到 tu 的无条件方差为j,
2 ()
1tVaru
ws
ab==
此式表明，w变得越小意味着 tu 的无条件方差下降得越多，因此，沪深两市w估计值的下降，表明随着市场的发展，加之实行涨跌停板，市场整体波动幅度下降了许多。
j 由（3.2.2），有 2
11ttthuhwab=++=
222
1tttuuhwabwbab++++
22222
123()()tttuuuwbwbwababa=+++++++LL
从而,2 ()tVarus = = 2tEu { }2()ttEhe=
222222
123{()()}tttE uuuewbwbwababa=+++++++
211wasbb=+
故，2 () 1tVaru ws ab==。
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
200 400 600 800 1000
E0
E1
GCC
X1
X
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表6是沪深两市日收益率条件方差序列统计表，从表中可以看出，在样本期的第一时段，两市日收益率条件方差的均值、标准差、极差都比较大，而在样本期的第二时段，这些指标值明显降低，反映了涨跌幅限制对市场波动有较大影响。
在第一时段，两市日收益率条件方差的均值、标准差、极差存在比较大的差异，
而在第二时段，这些指标的估计值比较接近，说明最近几年沪深两市日收益率的波动程度已逐步趋同，并从一个方面反映了两个市场具有联动效应。
表6 沪深股市日收益率条件方差序列统计表
起止时间 样本数 均值 标 准 差 极差
93.01.04 ~ 96.12.15 987 0.001346 0.001929 0.022459 上
海 96.12.16 ~ 01.07.31 1112 0.000301 0.000371 0.003151
93.01.04 ~ 96.12.15 978 0.000919 0.001216 0.016843 深
圳 96.12.16 ~ 01.07.31 1112 0.000359 0.000344 0.002142
4、结论
本节通过将AR-GARCH模型运用于研究我国股票市场日收益率的波动，得到一些富有实际意义的结论。
沪深股票市场波动存在ARCH效应，但市场异常波动的频率和幅度随市场的成长而逐步趋缓。同其它国家和地区的股票市场一样，我国股票市场存在波动聚集现象，这种波动聚集的特征可以用GARCH模型进行刻画，从实证分析的结果看，
GARCH（1，1）模型的拟合效果较好。但在不同时期，GARCH（1，1）模型的结构存在差异，说明市场波动受外部冲击影响的内在传导结构发生了变化。1996 年以后，日收益率条件方差序列的均值大幅下降，表明沪深股票市场在市场成长初期异常波动的频率和幅度比较大，但随着市场规模的扩大和市场制度的不断完善，市场异常波动的现象有所缓解。中国股票市场从无到有，从初创期的混沌无序到现在初步成型，其发展并非一帆风顺。早期众多的违规行为致使市场出现频繁剧烈波动，但在市场参与各方的共同努力下，特别是1995年、1996年一系列金融法律、法规的出台，以及管理层对“327国债事件”和“四川长虹事件”的坚决查处，标志着我国资本市场已迈向法制化轨道。规范意味着风险的下降，股票市场从1996年以后表现出来的风险下降，标志着我国股票市场在成长过程中向前迈出了一大步。
外部冲击对市场波动的影响具有持续性。沪深股票市场各时期GARCH（1，
1）模型中系数 ba,的估计值之和小于 1，说明收益率条件方差序列是平稳的，
模型具有可预测性。但是,ba,估计值之和都接近1，在第一时段，上海市场等于0.888431，深圳市场等于0.868648；在第二时段，上海市场等于0.975073，
深圳市场等于 0.989445。这说明沪深市场波动对外部冲击的反应函数以一个相
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对较慢的速度递减，外部冲击对市场波动的影响具有持续性。例如，就上海市场第二时段而言，外部冲击带来的影响在 90 天后尚有 10312.0)975073.0( 90 = 。值得注意的是，1996 年以后，沪深市场的 ba,估计值之和变大了，说明外部冲击对市场波动影响的持续性有所增加，市场的记忆期变长了。在这种情况下，外部冲击，如政策对股票市场的影响将是长期性的，因此，管理层在出台相关政策时，
应当判断市场消化政策冲击的能力，从而把握好政策调节市场的力度。
涨跌幅限制对市场波动有较大影响。我们对研究样本区间的划分是以1996
年12月15日为分界点，从日收益率时序图可以大致看出，前后两个时期市场波动的幅度有所不同。事实上，不同时期条件方差序列的均值分别为：上海市场第一时段等于 0.001346，第二时段等于 0.000301；深圳市场第一时段等于
0.000919，第二时段等于 0.000359。两个市场在第一时段的波动幅度大约是第二时段波动幅的3—4倍，这从一个方面反映了涨跌幅限制对市场波动有较大影响。
（二） 股票市场波动的非对称性研究
将ARCH和GARCH模型用于分析股价波动的特征，能够有效捕捉和刻画波动的聚集性，但不能分辨外部冲击对波动的影响方向、以及不同方向外部冲击带来的冲击力度之间的差异。为了深入认识股票市场的波动聚集特征，有必要研究股票市场波动是否存在非对称现象以及市场对好坏信息的反应力度的差异，而这对于投资者和管理者识别和分散潜在风险是有价值的。
1,波动非对称性的设定检验
在分析股价波动的非对称强度之前，应首先对波动是否存在非对称性进行初步的设定检验，以提取波动强度的有关信息，并据此判断是否需要选择非对称
ARCH类模型进行拟合。为此，我们设立如下回归模型对波动非对称性进行检验,
1、冲击符号的偏差检验
2
tttvabS e
=++ （1）
2、负冲击幅度的偏差检验
2
11ttttvabSu e
=++ （2）
3、正冲击幅度的偏差检验
2
11(1)ttttvabSu e
=+?+ （3）
4、联合检验
2
1211311(1)ttt tttvabSbSubSu e
=+++?+ （4）
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上述各式中,2tv 是收益率偏差的平方，它反映波动强度的大小； tu 是减去均值的收益率，它反映的是t时刻波动冲击形成的偏差； tS?是虚拟变量，它的取值依赖于 tu 的符号,
tS
= 1,0
0,0
t
t
u
u
<?
≥?
上述四个回归模型中，模型一用于检验不同冲击方向对波动的影响是否显著；模型二和模型三分别用于检验负冲击和正冲击的幅度对波动强度的影响；模型四将前三者结合起来，综合考察冲击符号、正负冲击幅度对波动强度的联合影响。
表1 沪深市场波动非对称性的设定检验
模型一 模型二 模型三 模型四
b估计值 -0.000348 -0.026726 0.019078 上海
T值 -2.017527 -4.872317 4.405561
F值
20.09864
b估计值 -0.000211 -0.017877 0.015785 深圳
T值 -1.488621 -3.739485 3.990039
F值
14.23969
表 1 列出了对上证指数和深圳综合指数日收益率序列的检验结果。从初步检验的结果看，正负冲击对波动强度存在不同影响。因此有必要选择非对称
ARCH模型进行深入分析。
2,波动非对称性的ARCH检验
本文采用门限ARCH模型（TARCH）对股价波动的非对称性进行检验，因为在非对称ARCH类模型中，TARCH模型不仅结构比较简洁，而且能直接反映股价波动受正负冲击的差异程度。参照上节检验 ARCH 效应的模型结构，我们建立AR—TARCH（1，1）模型,
titt urcr ++=?j
ttt hu e=
22
1111ttttthuuDhwagb=+++
)1,0(~iidNte
其中,tD = 1,00,0t
t
u
u
<?
≥?
模型中参数g 反映了正负冲击对波动影响的差异及其程度。g 等于零，代表股价波动受正负外部冲击的影响具有对称性，g 大于（或小于）零，代表股价波动受
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负（或正）外部冲击的影响大于受正（或负）外部冲击的影响，在这种情况下，
正负外部冲击的单位幅度变化对波动的影响程度是不一样的，其差异大小为g 。
表 2 列出了对沪深股票市场的检验结果。从表中结果可以看出，无论在分时段还是全时段内，沪深两个市场g 的估计值都大于零，表明正负外部冲击的单位幅度变化对股价波动的影响程度是不一样的，利空消息对波动的影响程度要比利好消息的影响程度大，即存在杠杆效应。但是，在上海市场的时段2、深圳市场的时段1内，g 的估计值的T统计量值偏小，因此据此推断沪深股票市场波动存在非对称性还缺乏统计可靠性。
表2 沪深市场波动非对称性的AR—TARCH（1，1）模型估计结果
模型类型 w a g b
时段1 AR_6—TARCH(1.1) 0.000102 （6.6135） 0.089839 （4.2994） 0.102076 （4.4811） 0.790101 （31.423）
时段2 AR_3— TARCH(1.1) 1.96E-05 （7.2698） 0.264080 （9.8430） 0.061455 （1.4962） 0.674592 （30.162） 上 海
全时段 AR_3— TARCH(1.1) 2.34E-06 （4.5952） 0.057549 （10.319） 0.111426 （11.339） 0.909391 （297.49）
时段1 AR_6—TARCH(1.1) 0.000180 （4.904） 0.233085 （5.895） 0.039078 （0.804） 0.603781 （8.632）
时段2 AR_3— TARCH(1.1) 5.28E-06 （6.5299） 0.087784 （7.974） 0.050053 （2.747） 0.873525 （210.47） 深 圳
全时段 AR_3— TARCH(1.1) 5.60E-06 （5.296） 0.090301 （14.255） 0.088508 （7.918） 0.882267 （213.80）
国外学者对众多股票市场的实证分析结果表明，成熟股票市场普遍存在波动的非对称性，负冲击对股价波动的影响要大于同等幅度的正冲击对股票市场的影响。从上述对我国股票市场的实证结果来看，沪深市场波动存在非对称性，但统计显著性比较低，这一方面反映了我国新兴股票市场不成熟的特征，另一方面也表明市场交易制度对股价波动的影响较大。由于沪深股票市场不容许卖空，当出现利空消息，投资者预期市场将进一步下跌时，只有股票持有者可以通过卖出股票对此作出反映，而其他投资者则不能通过卖空来反映自己对市场走势的判断，因而未表现出成熟股票市场显著的负冲击杠杆效应。
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26
四,长记忆的有关问题
五,多位ARCH模型
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专题一：ARCH模型的有关专门问题
一,ARCH模型的估计检验问题
(一） ARCH模型的估计
估计ARCH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型
ttt uXy += x
' (1.1.1)
ttt hu e= (1.1.2)
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
)1,0(~ iidNte
假设前q组观测值已知，现利用t=1，2，…，T时的观测值进行估计。记
[ ]10111011,,,,,,,,,,,,,++ ′′′′′=? qttqttt XXXXXyyyyy LLLL
则
),(~1 tttt hXNy x′
从而 ty 的条件密度函数为
′=?
t
tt
t
ttt h
Xy
hXyf 2
)(exp
2
1),( 2
1
x
p
其中
22 110 qtqtt uuh +++= aaa L
22
1110 )()( xaxaa qtqtqtt XyXy ′?++′?+= L
记 ( ) [ ]′′?′?=′= 221110 )(,,)(,1)(,,,,xxxaaad qtqttttq XyXyz LL,则 th 可表示为
[ ] dx ′= )(tt zh
需估计的参数向量为x 和d,将x 和d 列入一列，形成模型(1.1.1)的参数列向量,
=
d
xq
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2
对应于观测样本，样本对数似然函数为,
∑∑
∑
==
=
′=
=
T
t t
tt
T
t
t
ttt
T
t
h
XyhT
XyfL
1
2
1
1
1
)(
2
1)ln(
2
1)2ln(
2
);,(ln)(
xp
参数向量q 的极大似然估计是使得对数似然函数 )(qL 达到极大的向量q? 。求
)(qL 关于q的一阶微分，并记
∑∑
==
=
=
T
t
t
T
t
ttt sXyfL
11
1 )();,(ln)( q
q
q
q
q
其中
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
′
′
=
q
x
q
x
q
t
t
tttt
t
t h
h
XyXy
h
h
2
22 )()(1
2
1)ln(
2
1
可以推出,
=
′
0
2)( 2 tttt uXXy
q
x
= ∑=
)(
2
1
x
a
q
t
q
j
jtjtjt
z
Xuh
所以,
q qq=? );,(ln)( 1tttt Xyfs
+
= ∑= 0 /)(
)(
2
2
)(
12
2
ttt
t
q
j
jtjtj
t
tt huX
z
Xu
h
hu
x
a
令
∑
=
=
T
t
ts
L
1
)()( qqq =0
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3
解此方程，可以得到q的极大似然估计q?。此方程可由数值计算方法求解，在实际应用中，可借助现成软件进行计算。
前面我们讨论了正态ARCH模型的估计问题。在实践中，金融时间序列的无条件分布往往比正态分布具有更厚的尾部。为了更精确地描述尾部特征，我们可以假定回归模型的扰动项服从t分布，t分布的密度函数为,
2
1
2
2
1
1
)2(
2
1
)(
+?
+
Γ
+Γ
=
k
t
t
tt kc
uc
kk
k
f
p
e
其中,)(?Γ 为Γ函数，ct为比例参数，k是t分布的自由度，为一正数。当k大于2时，ut的方差为,
2)(?= k
kcuVar
tt
为了反映ARCH效应，令比例参数ct为,
k
khc
tt
2=
这样，ut的条件方差为ht，密度函数可改写为,
2
1
2
)2(1)2()
2(
2
1
)(
+?
+?Γ
+Γ
=
k
t
t
t
t kh
u
hkk
k
f
p
e
其中
22 110 qtqtt uuh +++= aaa L
22
1110 )()( xaxaa qtqtqtt XyXy ′?++′?+= L
为了估计模型参数，类似于正态情形,
样本对数似然函数为,
∑∑
∑
==
=
′?++
Γ
+Γ
=
=
T
t t
tt
T
t
t
ttt
T
t
kh
Xykh
kk
k
T
XyfL
1
2
1
1
1
)2(
)(1ln
2
1)ln(
2
1
)2()2(
2
1
ln
);,(ln)(
x
p
需要估计的参数为 k、x 和d,他们的极大似然估计可以类似于前面的方法得到。
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4
(二） ARCH模型的检验
检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗日乘数检验法的基本思想，然后介绍检验ARCH效应的具体方法。
1、拉格朗日乘数检验法的基本思想
在统计分析中，对参数进行假设检验时，构造检验统计量的方法通常有三种：一种是以参数估计的渐进正态性为基础的Wold检验法（W检验），例如，常见的t 检验、F检验等就属于Wold检验法的特例；另一种是似然比检验法（LR
检验）；第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法（LM检验）。
拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件，通过对有约束的极大似然函数的一阶偏导数进行检验，以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想是,
（1） 首先考察在无约束条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设 ),,,( 21 ′= kqqqq L 是模型的参数向量,nxxx,,,21 L 是样本，对应于观测样本的对数似然函数为 )(ln qL 。如果 )?,,?,?(? 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的无约束极大似然估计，则必有 kjL
j
,,2,1,0? )
(ln
L== q q
（2） 考察在有约束的条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。
设关于q的假设检验问题是,
),,,2,1(,0)(:0 kppihH i <== Lq
则在此p个约束条件下，有约束的对数似然函数为
∑
=
+=
p
i
iip hLF
1
21 )()(ln),,,,( qlqlllq L
如果 )~,,~,~(~ 21 ′= kqqqq L 是 ),,,( 21 ′= kqqqq L 的有约束极大似然估计。则必有
),,1(0)(
),,1(0~ )(~ln~
1
pihF
kjhLF
i
i
p
i j
i
i
jj
L
L
===
==+= ∑
=
ql
q
ql
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5
如果约束条件本身就成立，则施加约束条件下q的极大似然估计q~，应与无约束条件下q的极大似然估计q?非常接近，
j
L
q~
ln
应近似为零。检验原假设的拉格朗日乘数统计量为,
]~ln[)]~([]~ln[ 1 qqq′=? LILLM
其中 q~ln L 是以
j
L
q~
ln
为元素组成的列向量,)~,,~,~(~
21 ′= kqqqq L 是
),,,( 21 ′= kqqqq L 的有约束极大似然估计,)~(qI 为信息矩阵，它等于,
′
=
qq )(ln1)~( 2 LE
TI （HendryP462－464）
可以证明，在约束条件成立的条件下，LM 近似服从 )(2 pc （HendryP598）。p 为原假设中关于参数的约束条件个数。如果LM太大，则拒绝原假设。
2、ARCH效应的拉格朗日乘数检验
随机扰动项 tu 是否服从ARCH过程，集中体现在条件异方差 th 的系数上，如果在 th 中,021 ==== qaaa L,那么 th 0a= 为一常数，随机扰动项 tu 为一白噪声序列；如果 qaaa,,,21 L 不全为零，则随机扰动项 tu 具有ARCH效应。因此，检验随机扰动项 tu 是否具有 ARCH 效应，就转化为检验假设
0,210 ==== qH aaa L 。
Engle(1982)针对ARCH过程，导出了检验ARCH效应的拉格朗日乘子检验法。
以q 的估计值q~代入 )(ln qL 的一阶和二阶偏导。并记 )~(? 000 qtt zuh,,是
)(qttt zuh,,在原假设成立时的值，则有,
( )′====
=
∑ 22 10
1
02
001)
~(,1?
qtttt
T
t
tt uuzuuuTh,，，,Lxa
记
[ ]′= )~(,),~(),~( 002010 xxx TzzzZ L
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6
′
= )1?(,),1?(),1?(
0
2
0
2
2
0
2
10
h
u
h
u
h
uf TL
可以证明，在样本足够大时，LM统计量渐进等价于,
00
0010000 )(
ff
fZZZZfTLM
′
′′′
≈
如果作 0f 关于 0Z 的回归,
VZf += p00
可以推出该回归模型的可决系数等于,
00
0010000
2 )(
ff
fZZZZfTR
′
′′′
=
从而有,
2RTLM?= )(~ 2 qc
由此可见，拉格朗日乘数统计量LM的值通过一个辅助回归来计算。具体步骤如下,
第一步：用 OLS方法估计约束模型，即在原假设 0,210 ==== qH aaa L 下对模型的参数进行估计。
第二步：计算残差序列{ }tu? 和残差平方序列{ }2?tu 。由残差平方序列{ }2?tu,作残差平方关于常数和自身直到q阶滞后项的回归，即估计如下模型,
22
22
2
110
2
qtqttt uuuu ++++= aaaa L (1.1.13）
计算可决系数 2R,
第三步：计算拉格朗日乘数统计量LM的值．拉格朗日乘数统计量LM渐近等于,
LM= 2RT?
如果没有ARCH效应,1a 到 qa 应全为零。由于可决系数（即通常的 2R ）相当低，故这种回归缺乏解释力。
对于样本容量为T的残差序列，在零假设（不存在ARCH误差）成立的条件
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7
下，检验统计量 2TR 收敛到自由度为q的 2c 分布。因此，如果 2TR 足够大（大于临界值），就拒绝 1a 到 qa 同时为零的原假设，这等价于拒绝不存在ARCH误差的原假设。相反，如果 2TR 足够小，则接受原假设，认为不存在ARCH效应。
二,ARCH类模型的其他形式
(一) ARCH—M模型
前面讨论的 ARCH模型和GARCH模型，都是针对模型中的扰动项序列而言的，扰动项序列的条件方差与被解释变量 ty 的条件期望无关。但在实际应用中，
条件方差的变化有时会直接影响被解释变量条件期望的值。例如，在考虑风险与投资回报之间的关系时，由于投资者是依据当前信息而持有证券，当风险（条件方差）增大时，投资者要求的风险补偿也就大，因此，条件方差的变化会影响收益率条件期望的变化。基于遇这种认识，Engle、Lilien和Robins(1987)在ARCH
模型的基础上，建立了ARCH—M模型来分析时变风险的收益补偿。ARCH—M模型的一般形式为,
tttt uhXgy += ),,(
' x (1.2.1)
),0(~1 ttt hNu
其中,),,( ' tt hXg x ′ 是解释变量向量X、回归参数向量x以及条件方差 th 的函数，
它等于被解释变量 ty 的条件期望。在具体应用中，常用的 ARCH—M 模型一般设定为如下形式,
tttt uhfXy ++= )(
' dx (1.2.2)
),0(~1 ttt hNu
)( thf 是条件方差 th 的单调函数，一般取 )( thf = th 或 )( thf = )ln( th 。条件方差 th
取ARCH或GARCH形式，当 th 取ARCH结构
22
110 qtqtt uuh +++= aaa L
时，称模型为ARCH—M模型。当 th 取GARCH结构
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8
it
p
i
iit
q
i
it huah?
=
=
∑∑ ++=
1
2
1
0 ba
时，称模型为GARCH—M模型。
(二)指数GARCH模型（EGARCH）。
讨 论 ARCH模型的非对称性是ARCH模型建模过程的一项重要内容。
用Wt-1表示至t-1期与所有相关变量有关的信息集，当金融市场除了Wt-1没有其他信息对金融回报的预期起作用时称市场为有效市场。ut对Wt-1来说是最新的信息。正的 ut导致金融价格非预期增加，称为利好消息；反之，负的 ut导致金融价格非预期减少，称为利坏消息。
对于 ARCH 模型，一个单位的利好新息冲击和一个单位的利坏新息冲击对波动的影响是一样的。但实际上利好、利坏新息冲击对金融市场波动的影响是不一样的。相同单位的利坏新息冲击对波动的影响常常要比利好新息冲击来的大。
新息对金融市场波动的这种非对称性影响成为杠杆效应。当利坏新息使t期的资产价格下降，从而减少了投资于新企业的资本，使债务?资本比上升，导致公司预期回报的方差风险增加。另外，非对称性还对资产回报、证券市场回报协方差与证券市场回报方差之比产生重大影响。因此，重新设定 ARCH 模型使之能描述波动的非对称性是非常必要的。
尽管GARCH模型是处理实际金融数据的常用模型，但是此类模型也有不足之处。一是模型对系数参数的非负约束；二是外部冲击对条件方差的影响程度只取决于外部冲击的绝对值大小，而与冲击的符号无关。而在现实的金融市场特别是股票市场上，往往出现这种情况，价格波动受负外部冲击的影响比同等幅度的正外部冲击要大，正负冲击反映具有非对称性，即所谓的“杠杆效应”。为此,Nelson
（1991）引入指数GARCH模型（简称EGARCH）来处理正负冲击反应的非对称性，
比较有效，具有一定代表性。EGARCH模型与ARCH模型的区别主要体现在条件方差的结构上，EGARCH（p,q）模型条件方差的形式为,
∑∑
=
=
++=
p
i
iti
q
i
itit hgh
11
0 ln)(ln beaa (1.2.3)
其中,ttttttt huEg /,)()( =?+= eeegfee 。因为等式左侧是ht的对数，
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9
所以无论等式右侧是正是负，作为其反对数,)ln( th 总是正的。这样就避免了ARCH
模型对系数参数的非负约束。由于模型没有对系数参数施加任何约束，模型更像一个关于 thln 的无约束ARMA（p,q）模型，从而使得模型参数的估计更容易。
模型中参数g 刻画了过去冲击不同幅度对当前条件方差的影响；参数f刻画了过去冲击不同符号对当前条件方差的影响，如果 0<fai,那么当外部冲击 it?e
为负时，条件方差将趋向于增加，而当外部冲击 it?e 为正时，条件方差将趋向于减小；通过这种方式刻画了正负冲击影响的非对称性。
为了解释怎样把对称性引入模型，取q = 1,p = 0。上述模型变为
)(ln 1110 tttt Eh eegafeaa?++=?
正新息表示“利好”，负新息表示“利坏”。虽然正新息和负新息的绝对值相同，
但EGARCH模型可以区别正、负新息对波动的不同影响。
下面举例说明正、负新息对条件方差的不同影响。
在et服从正态分布的假定下，m = E( )te =
5.02
p = 0.798（参见陆懋组314页），
令a0 = 0，a1 φ= 0.4，α1g = 0.2。标准新息et= ±1。
当et= 1时,
Ln(ht) = a0 + 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = 0.4404
当et= -1时,
Ln(ht) = a0 + 0.4 × (-1) + 0.2 × (| -1 | - 0.798) = -0.3596
现在令a1 φ= -0.4，α1g = 0.2。标准新息et= ±1。与前面相比只改变了a1 φ的符号，其他值不变。
当et= 1时,
Ln(ht) = a0 - 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = -0.3596
当et= -1时,
Ln(ht) = a0 - 0.4 × (-1) + 0.2 × (| -1 | - 0.798) = 0.4404
这时负的新息有较大影响。可见a1 φ是一个重要参数，它可以改变利好和利坏消息的作用大小。当a1 φ = 0时，利好和利坏消息的作用无差别。
注,ARCH模型的非对称性
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10
Engle 和Ng (1993) 首先提出“新息冲击曲线”（news impact curve）概念。
若截止于t-2期以前的信息保持不变，滞后条件方差保持无条件方差水平，那么新息冲击曲线就是用ht对ut-1描绘的曲线。下面以ARCH(1)模型为例进行分析。
ht= a0 + a1 ut –1 2
新息冲击曲线是以过ut-1的垂线为对称的。斜率为d ht /dut –1 = 2a1 ut –1。从斜率表达式可以看出新息ut–1对ht的影响强度是由a1决定的，随着ut–1的取值而变化。新息冲击曲线与其斜率的变化如图1。
图1 对称型新息冲击曲线及其斜率
对于GARCH模型
ht = a0 + a1 ut –1 2 + l1 ht –1
由于新息冲击曲线只讨论 ut–1对 ht的影响，所以把 ht-1当作无条件方差处理，用
us
2表示。上式改写为
ht = [a0+ l1 (us2)]+ a1 ht-1 = A + a1 ht-1
其中A = a0+ l1 (us2)。同理，新息冲击曲线是以过ut-1的垂线为对称。斜率为2a1
ut –1。
对于EGARCH(1,1)模型
Ln(ht) = a0 + a1 1?te + g1 [ ]me1t + l1 Ln(ht-1)
仍然令ht –1=us2，上式变为,
Ln(ht) = [a0 + l1 Ln(us2) - g1m]+ a1 1?te + g1 1?te
= a + a1 1?te + g1 1?te
其中a = a0 + l1 Ln(us2) - g1m。对上式取反对数变换,
ht
ut –1 ut –1
0
0
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11
A exp
+
1
11
t
u
usga,ut –1 > 0
ht=
A exp?
1
11
t
u
usga,ut –1 < 0
其中Ln A = a，或A = (us2)β1exp[a0 - g1m]。由此课件，EGARCH模型的新息冲击曲线与GARCH模型的有两点不同。（1）曲线是非对称的。（2）重大新息带来的冲击要比GARCH模型的大（指数函数的底是e）。
图2 非对称型新息冲击曲线及其斜率
（三）非对称GARCH模型(AGARCH)
1993年，Engle和Ng提出了非对称GARCH模型（Asymmetric GARCH），模型的条件方差形如,
it
p
i
iit
q
i
it huah?
=
=
∑∑ +?+=
1
2
1
0 )( bxa (1.2.4)
其中，,0ab≥ 。如果 0x >,则体现负的外部冲击会比正的外部冲击导致更大的条件方差；如果 0x <,则反映正的外部冲击会比负的外部冲击导致更大的条件方差。因此根据x取值符号的不同，可以刻画出正负冲击的非对称影响，揭示“杠杆效应”。
(四)门限ARCH模型（TARCH）
在分析非对称波动的各种 ARCH 模型中，Zakoian(“Threshold Heteroskedastic
Model”，INSEE，Paris，1990)和Glosten、Jaganathan、and Runkle (“Relationship
between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks”，Journal
of Finance，1993)提出的门限ARCH（Threshold ARCH）模型是结构简洁并能直接
0
ut –1 ut –1
st2
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12
反映股价波动受正负冲击影响差异程度的一类模型。
TARCH（1，1）模型的条件方差是
ht = a0 + a1 ut –1 2 + g ut –1 2 Dt –1 + b ht -1 (1.2.5)
其中
Dt =
≥
<
0,0
0,1
t
t
u
u
其中ut > 0表示正外部冲击(利好消息)，ut < 0表示负外部冲击(利坏消息)。对于
TARCH模型，利好和利坏消息对条件方差的影响是不一样的。当出现利好消息时，波动的平方项的系数是a1。当出现利坏消息时，波动的平方项的系数是a1 +
g。当g = 0时，条件方差对冲击的反应是对称的。当g ≠ 0时，条件方差对冲击的反应是非对称的，反映了正负冲击对波动影响的差异及其程度，从而刻画了杠杆效应。
对于更一般的TARCH（p，q）模型，条件方差结构如下,
22
011
11
qp
titittiti
ii
hauuDhagb
==
=+++∑∑ (1.2.6)
其中,tD = 1,00,0t
t
u
u
<?
≥?
（五）IGARCH模型
对于ARCH(p) 模型和GARCH(p,q) 模型，在实际应用中，条件
0 ≤ ∑ =qi i1a < 1 （保证可以转换成无限阶的ARCH过程）
0 ≤ (∑ =qi i1a +∑ =pi i1 b ) < 1 （保证GARCH过程平稳）
有时不能得到满足。
一般地，如果GARCH模型,
it
p
i
iit
q
i
it huah?
=
=
∑∑ ++=
1
2
1
0 ba tt hBuBa )()(
2
0 ba ++=
的参数满足如下条件,
1
11
=+ ∑∑
==
p
i
i
q
i
i ba
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13
则称这样的GARCH模型为单整GARCH模型，记为IGARCH（p，q）。
令 ttt hu?= 2n,GARCH模型可以变形为,
tttt BuBBau nbnba )())()((
2
0
2?+++=
tt BuBB nbaba )](1[))]()((1[ 0
2?+=+?
即 2tu ～ARMA（m,p），其中m=max(p,q)。根据ARMA模型的平稳性条件可知，当且仅当 0))()((1 =+? BB ba 的根在单位园以外时，该过程才是平稳的。因此，如果
0))1()1((1 =+? ba
即 1
11
=+ ∑∑
==
p
i
i
q
i
i ba
那么意味着
=+? ))()((1 BB ba )1)(( BB?Φ
0))()((1 =+? BB ba 含有单位根,2tu 是非平稳的。在这种情况下，条件方差所受冲击的影响将持续下去，从而可以刻画ht具有“持续记忆”的特性。
下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。
ht = a0 + a1 ut –1 2 + b1 ht -1 (1.2.7)
用 1?a,1?b 分别表示对a1,b1的估计。有时会出现
1?a + 1?b ≈ 1
甚至,1?a + 1?b > 1。例如Engle-Chowdury（1992）对IBM收益率序列估计时，得如下结果,
ty? = 0.00056 + tu?
2?
ts = 0?a + 0.053 21tu
+ 0.953 2
1ts
其中 1?a + 1?b = 0.053 + 0.953 = 1.003 ≈ 1。Engle证明如果 1?a + 1?b ≥ 1，冲击（shock）
对条件方差的影响是永远的。令k > 0，当 1?a + 1?b = 1时，有
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14
E(ht + k|ht ) = a0 + E(ht + k -1 |ht)
（推导略）。上式是带有漂移项的随机游走形式，含有单位根。所以如果a0 > 0，
称a1 + l1 =1条件下的GARCH(1,1)为单整GARCH模型，记作IGARCH(1,1)。
简要评价
通过以上分析可以看出，ARCH模型及其扩展模型都可以用来描述和解释股票市场股价波动随时间变化的行为，但它们具有各自的特点。ARCH 模型的主要功能在于解释收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性，并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构，而不是方差的外生结构变化。由于ARCH模型的系数都大于零，表明过去的波动冲击对市场未来波动有着正向而减缓的影响，因此波动会持续一段时间，从而模拟了市场波动的聚集现象，但是模型没有说明波动的方向。从预测的角度来看，当存在ARCH效应时，
使用ARCH模型较之假定方差为常数来讲，可以提高预测值的精度。
GARCH模型是ARCH模型的扩展，因此GARCH具有ARCH(q)模型的特点。GARCH
模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数。在一定条件下，GARCH 模型可以转化为无限阶的ARCH模型，与无限阶（或高阶）的 ARCH 模型相比，GARCH模型的结构更为简洁，因此可以替代描述高阶
ARCH过程，从而使得模型具有更大的适用性。
ARCH模型和GARCH模型有助于分析股价波动是否呈现聚集效应（条件异方差效应），刻画收益率分布的宽尾特征，在实践中应用较为广泛。但正如前文所述，
这两类模型在刻画波动特征方面也存在一些不足，特别是模型中假定条件方差是过去波动冲击的对称函数，即条件方差仅取决于过去波动冲击的幅度而与其符号无关，这意味着正的波动冲击和负的波动冲击对股价的影响效应是对等的。实际上，现实中常常会出现这样两种情况，一是杠杆效应(leverage effect)，即坏消息比好消息更会引起波动程度的增加；二是反馈效应，即消息进入市场后，引起的波动会反馈到股市价格上，从而使消息对股市的影响进一步扩大。股价波动的这种特征表明标准 ARCH 模型和 GARCH 模型在刻画波动冲击对股市的影响方面有一定局限。EGARCH、TARCH以及其它一些模型在刻画这种特征方面具有独特的效果。
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15
三,ARCH模型族在研究股市波动中应用
(一） 上海深圳股票市场波动聚集性实证研究
近年来国内一些学者运用ARCH模型研究了我国股票市场的波动特征。吴世农①（1996）、林少宫 ② （ 1997）、丁华③（1999）以上海股票市场的Ａ股指数为对象，研究了上海指数中的ARCH现象；张思奇④（2000）利用ARCH-M模型研究了我国股票市场收益率的时间序列行为并分析了风险溢价的时变性。中国股票市场是一个新兴市场，与成熟资本市场相比，制度对市场波动的影响比较明显，因此研究我国股票市场在过去不同时期波动变异性的特征，深入认识市场的制度缺陷以及市场对外部冲击的反映，对于完善市场制度、提高市场效率具有明显的现实意义。
本节主要用 AR-GARCH 模型来分析我国沪深股票市场在不同时期的波动聚集特征，并考察涨跌停板交易制度对两个市场波动的影响。实证分析按照如下步骤进行：首先对收益率序列的自相关结构进行识别，确定收益率序列服从的ARMA
模型；然后对模型残差是否具有ARCH 效应做诊断性检验，估计出ARMA—GARCH
模型；最后通过对条件方差的比较，分析沪深股票市场在各时期的波动特征有何差异以及风险变异情况⑤。
1、样本数据及其特征
本文所采用的数据是上海和深圳证券交易所的上证指数、深圳综合指数的日收盘数据，数据时间跨度为沪、深证券交易所成立至2001年7月31日的所有数据。为了对沪、深两个市场在不同时期的波动性进行对比研究，我们按股市初创期、培养期、成长初期将样本数据分为几个时段。考虑到1993年以前，
沪、深市场还处于初创时期，市场规模非常小，供需矛盾十分突出，加之市场参与各方风险意识淡薄，非理性行为比较普遍，市场波动特征被严重扭曲，因此，我们把样本范围确定为1993年1月4日至2001年7月31日，并以1996
年 12 月16 日沪深两市实行涨跌幅限制为分界点将样本分为前后两个时段进行实证分析。
由于股票价格或指数的时间序列往往呈现出非平稳性，这就意味着价格的方差可能随时间增长并趋于无限。为了避免这种情况带来的影响，在资本市场的实证研究中，波动性一般都用收益率的方差或标准差来度量。根据日收盘指
①吴世农，我国证券市场效率的分析，《经济研究》，1996(4)。
②林少宫等，“中国股市ARCH效应研究及市场分析”，《湖北统计科研文集》，湖北科技出版社1997。
③丁华，“股价指数波动中的ARCH现象”，《数量经济技术经济研究》，1999(9)。
④张思奇等，“股票市场风险、收益与市场效率”，《世界经济》，2000（5）。
⑤史代敏，“沪深股票市场风险变异性实证研究”，《数量经济技术经济研究》2002（3）。
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16
数可计算出市场日收益率（即指数日收益率）序列{ }tr,{ }tr 的计算公式为,
11 /)(= tttt IIIr
其中 tI 代表第t日的收盘指数。沪、深两市日收益率的时序图见图1。
图1（a） 上证指数收益率时序图（1990.12.19—2001.07.31）
图1（b） 深圳指数收益率时序图（1991.04.03—2001.07.31）
根据对日收益率波动特征的基本统计量分析表明，在整个样本期，沪深两市日收益率总体上呈现右偏态，峰度系数都远大于3，日收益率数据存在高峰厚尾的分布特征。从分时段来看，均值、标准差、偏度及峰度在第二时段都有较明显的下降，样本标准差的降低在一定程度上反映了市场总体波动的减弱，偏度及峰度的下降说明日收益率分布的高峰厚尾现象有所缓解，但峰度系数仍远大于3，说明收益率无条件分布同正态分布仍然存在较大差距。此外，收益率正态分布检验也显示，正态分布这一资本市场理论的经典假定被违背。因此，用收益率的无条件方差来刻画市场的波动特征是不恰当的，应该寻找更有效的模型和工具，这就是ARCH模型。
2、波动的ARCH效应
本部分讨论三个问题，首先对沪、深两个市场日收益率序列是否具有ARCH
效应进行检验，然后建立并估计ARCH模型，最后对实证结果进行评价。
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
500 1000 1500 2000 2500
SHZSRX
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
500 1000 1500 2000 2500
SZZSR
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17
（1） ARCH效应检验
检验按照如下步骤进行：首先对收益率序列的自相关结构进行初步识别，用最小二乘法确定收益率序列服从的 ARMA 模型，然后用拉格朗日乘子检验法或
Ljung-Box Q—统计量检验法对模型残差做诊断性检验。
通过对沪深市场第一时段、第二时段日收益率序列的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）进行判断，并利用Ljung-Box Q 统计量诊断，我们发现两个市场日收益率序列在第一时段 6阶自相关性比较明显，在第二时段3阶自相关性比较明显。因此，我们首先估计各时期日收益率关于自身滞后项的自回归模型,
titt urcr ++=?j （1.3.1）
并将此模型记为AR_i，其中i=6、3，分别代表收益率序列自相关的滞后阶数。
估计结果见表3.2.1和表3.2.2。
用Ljung-Box Q—统计量对各时段估计模型的残差序列进行判断，残差序列已基本上不存在相关性。因此，用上述模型描述收益率序列的自相关性是恰当的。
但是，对残差序列的正态性检验发现，偏度系数大于0，峰度系数远大于3，其分布呈现尖峰厚尾的特征，说明残差项违背了正态分布假定。再考察残差平方序列{ }2e 的自相关结构（见表1），根据检验ARCH效应的拉格朗日乘子LM统计量值和Ljung-Box Q—统计量值，在 0.05的显著性水平下，它们都大于临界值，表明残差序列具有明显的ARCH效应。
表1 AR模型的估计结果
模型类型 c j
时段1 AR_6 0.000787(0.75) -0.095059(-3.006) 上
海 时段2 AR_3 0.000752(1.4035) 0.076312(2.637)
时段1 AR_6 0.000968(1.0982) -0.06335(-1.9815) 深
圳 时段2 AR_3 0.000288(0.456) 0.114324(3.9367)
注：表中括号内的数据为参数检验的T统计量值。
表2 AR模型残差序列自相关系数
滞后阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
时段1 AR_6 0.002 0.064 0.058 0.041 0.058 0.000 0.033 -0.019 0.058 -0.039 上海
时段2 AR_3 -0.018 -0.024 -0.027 0.046 -0.022 -0.024 -0.016 -0.013 -0.047 0.028
时段1 AR_6 0.018 0.082* -0.003 0.066 0.050 0.000 0.025 -0.017 0.045 -0.017 深圳
时段2 AR_3 0.047 -0.007 -0.025 0.015 -0.013 -0.053 -0.035 0.012 -0.022 0.037
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18
表3 AR模型残差平方序列自相关系数
滞后阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
时段1 AR_6 0.073* 0.269* 0.148* 0.168* 0.068* 0.059* 0.126* 0.015 0.001 0.009 上海 时段2 AR_3 0.077* 0.100* 0.116* 0.093* 0.03 0.068* 0.051 0.032 0.034 0.066*
时段1 AR_6 0.056 0.143* 0.139* 0.042 0.037 0.023 0.046 -0.002 -0.005 -0.002 深圳 时段2 AR_3 0.158* 0.195* 0.157* 0.148* 0.108* 0.168* 0.102* 0.100* 0.103* 0.110*
注：表中带*号的数据表示自相关系数超过了2倍标准误。
（2） ARCH模型的估计
根据表3，沪深市场各时段日收益率序列AR模型的残差平方序列存在高阶的自相关，意味着可以用高阶ARCH模型来刻画日收益率的波动性，为此，首先估计ARCH模型，发现估计模型中位于中间的一些系数不显著。由前述的理论分析可知，一个高阶的ARCH模型可以用一个低阶的GARCH模型代替。因此，我们估计AR-GARCH(1,1)模型,
titt urcr ++=?j
ttt hu e=
2
11ttthuhwab=++ （1.3.2）
)1,0(~ iidNte
估计结果列于表4，表5列出了AR-GARCH(1,1)模型残差平方序列自相关性的检验结果。可以看出，残差平方序列不再存在序列自相关性，说明GARCH（1，1）
模型拟合度较好。
表4 AR—GARCH（1，1）模型估计结果
模型类型 c j w a b
时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.000148 (-0.1491) -0.096873 (-2.6731) 0.00016 (7.3765) 0.193615 (9.2465) 0.695416 (19.7795) 上
海 时段2 AR_3—
GARCH(1.1)
0.000427
(1.3008)
0.048902
(1.5304)
0.000016
(6.7287)
0.271373
(10.3311)
0.7037
(32.4845)
时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.00024 (-0.3170) -0.068645 (-1.9851) 0.000136 (5.9014) 0.236323 (6.4700) 0.632325 (11.5940) 深
圳 时段2 AR_3—
GARCH(1.1)
-0.000235
(-0.5586)
0.050746
(1.672)
0.000004
(4.4426)
0.092535
(11.0527)
0.896910
(164.1005)
注：表中括号内的数据为参数检验的T统计量值。
表5 AR—GARCH(1,1)模型残差平方序列自相关系数
滞后阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.009 0.008 0.002 0 -0.01 -0.001 0.008 -0.01 -0.011 -0.007 上海 时段2 AR_3—
GARCH(1.1) 0.013 -0.028 -0.008 -0.026 -0.030 -0.004 -0.009 -0.023 -0.006 -0.003
时段1 AR_6—GARCH(1.1) -0.011 0.000 0.017 -0.004 -0.004 -0.006 -0.005 -0.009 -0.012 -0.009 深圳 时段2 AR_3—
GARCH(1.1) 0.049 0.031 0.017 -0.019 -0.006 0.009 -0.016 0.002 -0.003 -0.022
注：表中带*号的数据表示自相关系数超过了2倍标准误。
3、沪深两市波动聚集性比较
为了直观考察GARCH模型的拟合效果，我们根据GARCH模型的估计结果计算出沪深两市各时段日收益率的条件方差序列 }{ th,并绘出时序图（图 2）。对比各时期的 }{ th 与对应的日收益率时序图可以看出,}{ th 随时间变化而变化，当在某一段时期内收益率剧烈波动时，这段时期内条件方差 }{ th 就增加；反之，在某段时期内收益率波动平缓，条件方差 }{ th 就减小。因此，所建立的GARCH模型较好地捕捉到了收益率波动聚集现象。
（a） 上海市场时段1（93.01.04 ~ 96.12.15）日收益率及条件方差 }{ th 时序图
（b）上海市场时段2（96.12.16 ~ 01.07.31）日收益率及条件方差时序图
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
200 400 600 800 1000
H
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
1600 1800 2000 2200 2400 2600
SHZSR3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
930603 1941229 960812
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
930603 941229 960812
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20
（c）深圳市场时段1（93.01.04 ~ 96.12.15）日收益率及条件方差时序图
（d）深圳市场时段2（96.12.16 ~ 01.07.31）日收益率及条件方差时序图
图2 沪、深股票市场各时期日收益率波动聚集与GARCH拟合的图形比较
为了进一步看清 GARCH 模型对收益率波动聚集的捕捉情况，我们选择上海市场时段1、深圳市场时段2，利用估计出的GARCH模型对日收益率波动进行预测，预测结果见图3。图中，位于中间的实线为收益率波动情况（已扣除均值），
虚线为根据GARCH模型所做的2倍标准误预测区间，水平线为同方差假定下的2
倍标准误预测区间。显然，根据GARCH模型所做的波动预测精度比较高。
图3（a） 利用GARCH模型预测上海市场日收益率波动（93.01.04-96.12.15）
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
200 400 600 800 1000
H
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
100 200 300 400 500 600 700 800 900
H
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
SZZSR2
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
200 400 600 800 1000
SZZSR3
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
100 200 300 400 500 600 700 800 900
EE
EO
EO1
X
X1
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尽管沪深两市的日收益率在第一时段和第二时段都具有波动聚集的特征，
但从GARCH模型的估计结果看（表3.2.4），两市日收益率的条件异方差结构在第二时段发生了变化。首先，a的估计值变化明显，上海市场对应的a估计值增大了，而深圳市场降低了，说明在第二时段，上海市场日收益率波动受前一日的影响（即短期影响）比深圳市场明显，深圳市场日收益率波动更多地受到长期因素的影响；
图3.2.3（b） 利用GARCH模型预测深圳市场日收益率波动（96.12.16-01.07.31）
其次，w的估计值下降得非常明显，上海市场的w 从 0.00016 下降到
0.000016，仅为原来的1/10，深圳市场从0.000136下降到0.000004，仅为原来的1/34。根据GARCH模型（2）式不难得到 tu 的无条件方差为j,
2 ()
1tVaru
ws
ab==
此式表明，w变得越小意味着 tu 的无条件方差下降得越多，因此，沪深两市w估计值的下降，表明随着市场的发展，加之实行涨跌停板，市场整体波动幅度下降了许多。
j 由（3.2.2），有 2
11ttthuhwab=++=
222
1tttuuhwabwbab++++
22222
123()()tttuuuwbwbwababa=+++++++LL
从而,2 ()tVarus = = 2tEu { }2()ttEhe=
222222
123{()()}tttE uuuewbwbwababa=+++++++
211wasbb=+
故，2 () 1tVaru ws ab==。
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
200 400 600 800 1000
E0
E1
GCC
X1
X
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22
表6是沪深两市日收益率条件方差序列统计表，从表中可以看出，在样本期的第一时段，两市日收益率条件方差的均值、标准差、极差都比较大，而在样本期的第二时段，这些指标值明显降低，反映了涨跌幅限制对市场波动有较大影响。
在第一时段，两市日收益率条件方差的均值、标准差、极差存在比较大的差异，
而在第二时段，这些指标的估计值比较接近，说明最近几年沪深两市日收益率的波动程度已逐步趋同，并从一个方面反映了两个市场具有联动效应。
表6 沪深股市日收益率条件方差序列统计表
起止时间 样本数 均值 标 准 差 极差
93.01.04 ~ 96.12.15 987 0.001346 0.001929 0.022459 上
海 96.12.16 ~ 01.07.31 1112 0.000301 0.000371 0.003151
93.01.04 ~ 96.12.15 978 0.000919 0.001216 0.016843 深
圳 96.12.16 ~ 01.07.31 1112 0.000359 0.000344 0.002142
4、结论
本节通过将AR-GARCH模型运用于研究我国股票市场日收益率的波动，得到一些富有实际意义的结论。
沪深股票市场波动存在ARCH效应，但市场异常波动的频率和幅度随市场的成长而逐步趋缓。同其它国家和地区的股票市场一样，我国股票市场存在波动聚集现象，这种波动聚集的特征可以用GARCH模型进行刻画，从实证分析的结果看，
GARCH（1，1）模型的拟合效果较好。但在不同时期，GARCH（1，1）模型的结构存在差异，说明市场波动受外部冲击影响的内在传导结构发生了变化。1996 年以后，日收益率条件方差序列的均值大幅下降，表明沪深股票市场在市场成长初期异常波动的频率和幅度比较大，但随着市场规模的扩大和市场制度的不断完善，市场异常波动的现象有所缓解。中国股票市场从无到有，从初创期的混沌无序到现在初步成型，其发展并非一帆风顺。早期众多的违规行为致使市场出现频繁剧烈波动，但在市场参与各方的共同努力下，特别是1995年、1996年一系列金融法律、法规的出台，以及管理层对“327国债事件”和“四川长虹事件”的坚决查处，标志着我国资本市场已迈向法制化轨道。规范意味着风险的下降，股票市场从1996年以后表现出来的风险下降，标志着我国股票市场在成长过程中向前迈出了一大步。
外部冲击对市场波动的影响具有持续性。沪深股票市场各时期GARCH（1，
1）模型中系数 ba,的估计值之和小于 1，说明收益率条件方差序列是平稳的，
模型具有可预测性。但是,ba,估计值之和都接近1，在第一时段，上海市场等于0.888431，深圳市场等于0.868648；在第二时段，上海市场等于0.975073，
深圳市场等于 0.989445。这说明沪深市场波动对外部冲击的反应函数以一个相
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对较慢的速度递减，外部冲击对市场波动的影响具有持续性。例如，就上海市场第二时段而言，外部冲击带来的影响在 90 天后尚有 10312.0)975073.0( 90 = 。值得注意的是，1996 年以后，沪深市场的 ba,估计值之和变大了，说明外部冲击对市场波动影响的持续性有所增加，市场的记忆期变长了。在这种情况下，外部冲击，如政策对股票市场的影响将是长期性的，因此，管理层在出台相关政策时，
应当判断市场消化政策冲击的能力，从而把握好政策调节市场的力度。
涨跌幅限制对市场波动有较大影响。我们对研究样本区间的划分是以1996
年12月15日为分界点，从日收益率时序图可以大致看出，前后两个时期市场波动的幅度有所不同。事实上，不同时期条件方差序列的均值分别为：上海市场第一时段等于 0.001346，第二时段等于 0.000301；深圳市场第一时段等于
0.000919，第二时段等于 0.000359。两个市场在第一时段的波动幅度大约是第二时段波动幅的3—4倍，这从一个方面反映了涨跌幅限制对市场波动有较大影响。
（二） 股票市场波动的非对称性研究
将ARCH和GARCH模型用于分析股价波动的特征，能够有效捕捉和刻画波动的聚集性，但不能分辨外部冲击对波动的影响方向、以及不同方向外部冲击带来的冲击力度之间的差异。为了深入认识股票市场的波动聚集特征，有必要研究股票市场波动是否存在非对称现象以及市场对好坏信息的反应力度的差异，而这对于投资者和管理者识别和分散潜在风险是有价值的。
1,波动非对称性的设定检验
在分析股价波动的非对称强度之前，应首先对波动是否存在非对称性进行初步的设定检验，以提取波动强度的有关信息，并据此判断是否需要选择非对称
ARCH类模型进行拟合。为此，我们设立如下回归模型对波动非对称性进行检验,
1、冲击符号的偏差检验
2
tttvabS e
=++ （1）
2、负冲击幅度的偏差检验
2
11ttttvabSu e
=++ （2）
3、正冲击幅度的偏差检验
2
11(1)ttttvabSu e
=+?+ （3）
4、联合检验
2
1211311(1)ttt tttvabSbSubSu e
=+++?+ （4）
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24
上述各式中,2tv 是收益率偏差的平方，它反映波动强度的大小； tu 是减去均值的收益率，它反映的是t时刻波动冲击形成的偏差； tS?是虚拟变量，它的取值依赖于 tu 的符号,
tS
= 1,0
0,0
t
t
u
u
<?
≥?
上述四个回归模型中，模型一用于检验不同冲击方向对波动的影响是否显著；模型二和模型三分别用于检验负冲击和正冲击的幅度对波动强度的影响；模型四将前三者结合起来，综合考察冲击符号、正负冲击幅度对波动强度的联合影响。
表1 沪深市场波动非对称性的设定检验
模型一 模型二 模型三 模型四
b估计值 -0.000348 -0.026726 0.019078 上海
T值 -2.017527 -4.872317 4.405561
F值
20.09864
b估计值 -0.000211 -0.017877 0.015785 深圳
T值 -1.488621 -3.739485 3.990039
F值
14.23969
表 1 列出了对上证指数和深圳综合指数日收益率序列的检验结果。从初步检验的结果看，正负冲击对波动强度存在不同影响。因此有必要选择非对称
ARCH模型进行深入分析。
2,波动非对称性的ARCH检验
本文采用门限ARCH模型（TARCH）对股价波动的非对称性进行检验，因为在非对称ARCH类模型中，TARCH模型不仅结构比较简洁，而且能直接反映股价波动受正负冲击的差异程度。参照上节检验 ARCH 效应的模型结构，我们建立AR—TARCH（1，1）模型,
titt urcr ++=?j
ttt hu e=
22
1111ttttthuuDhwagb=+++
)1,0(~iidNte
其中,tD = 1,00,0t
t
u
u
<?
≥?
模型中参数g 反映了正负冲击对波动影响的差异及其程度。g 等于零，代表股价波动受正负外部冲击的影响具有对称性，g 大于（或小于）零，代表股价波动受
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负（或正）外部冲击的影响大于受正（或负）外部冲击的影响，在这种情况下，
正负外部冲击的单位幅度变化对波动的影响程度是不一样的，其差异大小为g 。
表 2 列出了对沪深股票市场的检验结果。从表中结果可以看出，无论在分时段还是全时段内，沪深两个市场g 的估计值都大于零，表明正负外部冲击的单位幅度变化对股价波动的影响程度是不一样的，利空消息对波动的影响程度要比利好消息的影响程度大，即存在杠杆效应。但是，在上海市场的时段2、深圳市场的时段1内，g 的估计值的T统计量值偏小，因此据此推断沪深股票市场波动存在非对称性还缺乏统计可靠性。
表2 沪深市场波动非对称性的AR—TARCH（1，1）模型估计结果
模型类型 w a g b
时段1 AR_6—TARCH(1.1) 0.000102 （6.6135） 0.089839 （4.2994） 0.102076 （4.4811） 0.790101 （31.423）
时段2 AR_3— TARCH(1.1) 1.96E-05 （7.2698） 0.264080 （9.8430） 0.061455 （1.4962） 0.674592 （30.162） 上 海
全时段 AR_3— TARCH(1.1) 2.34E-06 （4.5952） 0.057549 （10.319） 0.111426 （11.339） 0.909391 （297.49）
时段1 AR_6—TARCH(1.1) 0.000180 （4.904） 0.233085 （5.895） 0.039078 （0.804） 0.603781 （8.632）
时段2 AR_3— TARCH(1.1) 5.28E-06 （6.5299） 0.087784 （7.974） 0.050053 （2.747） 0.873525 （210.47） 深 圳
全时段 AR_3— TARCH(1.1) 5.60E-06 （5.296） 0.090301 （14.255） 0.088508 （7.918） 0.882267 （213.80）
国外学者对众多股票市场的实证分析结果表明，成熟股票市场普遍存在波动的非对称性，负冲击对股价波动的影响要大于同等幅度的正冲击对股票市场的影响。从上述对我国股票市场的实证结果来看，沪深市场波动存在非对称性，但统计显著性比较低，这一方面反映了我国新兴股票市场不成熟的特征，另一方面也表明市场交易制度对股价波动的影响较大。由于沪深股票市场不容许卖空，当出现利空消息，投资者预期市场将进一步下跌时，只有股票持有者可以通过卖出股票对此作出反映，而其他投资者则不能通过卖空来反映自己对市场走势的判断，因而未表现出成熟股票市场显著的负冲击杠杆效应。
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四,长记忆的有关问题
五,多位ARCH模型
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