第四章 ARMA模型预测第一节 预测准则
依据现在和过去的信息对未来提出预测,
自然希望预测是最优预测 。
最优的准则是什么？
一个好的预测是预测的误差越小越好 。
设 ｛ Yt｝ ～ ARMA(p,q),用 Hm表示 ｛ Yt｝ 直到 t=m时 ｛ Yt,t≤m｝ 所提供的信息 。
用 表示在已知 Hm=｛ Yt,t≤m｝ 的条件下对 Ym+s作出的预测 （ 简称 s 步预测 ）,预测的误差为：
em(s)=Ym+s–
预测的优良性准则转化为：
使 E(e2m(s))=E〔 (Ym+s– )2〕
达到最小 。 此预测称为最小均方误差预测 。
)(? sYm
)(? sYm
)(? sYm
可以证明，当预测取为如下条件期望,
)(
sY
m = E ( ( Y m +s H m )
时，它为 Y m +s 的最小均方误差预测。
证明如下,
第二节 ARMA模型预测
一,条件期望的性质及预测公式
1,mjm
l
j
jm
l
j
jmj HYECHYCE?


11
2,
0,
0,)(?
sY
ssY
HYE
sm
m
msm
3,
0,
0,0
s
s
HE
sm
msm
两边求关于 Hm 的条件期望得,
)()()(
)(?)2(?)1(?)(?
11
21
mqsmqmsmmsm
mpmmm
HEHEHE
psYsYsYsY




根据上述三条性质，可以推出 AR M A 模型预测的公式。
设｛ Y t ｝～ AR M A(p,q ),则有
Y m + s = qsmqsmsmpsmpsmsm YYY 112211
二,AR（ p）模型预测由前知,)()()()(? 2211 mpsmpmsmmsmm HYEHYEHYEsY
= )(?)1(?1 psYsY mpm
由于 s ≤ 0 时,
smm
YsY
)(
,故
)1(
)1(
)0(
)1(
21
pYYYY
mpmmm

=
1121

pmpmm
YYY
)2(
)0(
)1(
)2(
21
pYYYY
mpmmm

= 21321 )1( pmpmmm YYYY
…………
mpmpmmm
YYpYpYpY
)1(
)2(
)1(
)(
121
当 s > p 时
)(?)2(?)1(?)(? 21 psYsYsYsY mpmmm
三,MA（ q）模型预测由前知,
)()()()(?
11 mqsmqmsmmsmm
HEHEHEsY


=




,2,1,0
,,2,1,
11
qqs
qs
qmqmsms