Chapter 1(1)
多元函数的概念、
极限与连续教学要求：
1,理解多元函数的概念 ;
2,了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质,
,预备知识一
,多元函数的概念二
,多元函数的极限三
,多元函数的连续性四
,预备知识一
1,邻域
0P
),( 0?PU || 0PPP
.)()(|),( 2020 yyxxyx
设 ),( 000 yxP 是 x o y 平面上的一个点,? 是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
.)()(0|),(),?( 20200 yyxxyxPU
},|),{(),( 000 yyxxyxPU
2,区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设
D
D
DD
连通的开集称为开区域．
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
}0|),{( yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
}41|),{( 22 yxyx
3,聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
(1) 内点一定是聚点；注意,
(2) 边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 yxyx如 (0,0)既是 边界点也是聚点,
(3) 点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 yxyx如 (0,0) 是聚点但不属于集合,
}1|),{( 22 yxyx如边界上的点都是聚点也都属于集合．
,多元函数的概念二设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
1,二元函数的定义
2,二元函数的定义域
(1) 使得算式有意义的 x,y的变化范围所确定的点集,
(2) 使得实际问题有意义的 x,y的变化范围所确定的点集,
(3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域,
(4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则,
,,)3ar c s in (),(,1 2
22
并作图的定义域求
yx
yxyxfex
Solution.
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
注意,平面区域通常用字母 D表示,
,
4.2 22222
并作图的定义域求 zyxyxzuex
Solution.,
04
0
222
22
zyx
yxz
,
4222
22
zyx
yxz
故所求定义域为
}.4,|),,{( 22222 zyxyxzzyx
x
y
z
o
)l n (ln)](l n [,3 是同一函数吗与 yxxzyxxzex
Solution.,0)( )](l n [ yxxyxxz 的定义域为
,00 )ln (ln
yx
xyxxz 的定义域为
)l n (ln)](l n [ 不是同一函数与 yxxzyxxz
).,(,),(,4 22 yxfyxyxyxfex 求设
Solution,))((),( yxyxyxyxf 2)( yxyx yx,)(
1
1
2
yx
y
x
y
x
.11),( 2xyyyxf
3,二元函数的几何意义
),( yxfz? 0),( yxfz 0),,( zyxF 一般曲面
.
),(
),(
),,(
决定过通上点由平面区域曲面上点
yxfz
yxP
D
zyxM
如图
4,多元函数的定义
,,,,
,),,(
,
1
1
记为元函数的为则称的值和它对应按照一定法则总有确定变量如果对于每一个点维空间内的点集设有
nxxu
uDxxP
Dn
n
n
),,,( 21 nxxxfu
),(,xfy?一元函数 一个自变量,
),,(,yxfz?二元函数 两个自变量,
),,,(,zyxfu?三元函数 三个自变量,
),,,(,1 nxxfun元函数 n个自变量,
n元函数在几何上表示 n+1维空间上的一般曲面,
注意,
(1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
2222 azyx
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论,
(2) 多元函数也有分段函数，如
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
(3) 点函数 u=f(P)能表示所有的函数,
5,函数有加减乘除数乘及复合运算 (略 )
,多元函数的极限三
1,二元函数的极限描述性定义
.,),(,
),(,
),(),(,
),(,),(
00
000
000
记为时的极限当为则称数数的常就无限接近于一个确定对应的函数值时以任何方式趋近于点如果点其聚点是的定义域为设函数
yyxxyxfzAA
yxf
yxPyxP
yxPDyxfz
,),(li m
0
0
Ayxf
yy
xx
.),(lim ),(),(
00
Ayxfyxyx或精确定义
.,),(
,),( ),(
)()(0
,0,0,,
),(,),(
00
2
0
2
0
000
时的极限当为则称成立都有的一切对于适合若是常数其聚点是的定义域为设函数
yyxxyxfzA
Ayxfyx
yyxx
RA
yxPDyxfz
利用点函数给出的定义
.)(,0,0,0 0 APfPP 有时当
2,二元函数极限的计算计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法,对于未定型，不再有 L`Hospital
法则，须化成确定型,
.01s i n)(lim,5 2222
0
0
yx
yxex
y
x
求证
Proof,0
1s in)(
22
22?
yx
yx? 2222 1s i n yxyx
22 yx,0
01s in)( 2222
yx
yx要使
22 yx只要
22 yx即
取
,)0()0(0 22 时当 yx
01s i n)( 2222 yxyx
原结论成立．
.0lim,6 22
0
0
yx
xyex
y
x
求证
Proof,022 yx
xy?
2yx
xy
2
22 yx?
,0,0 22 yx
xy要使
,2
22
yx只要
2 22 yx即
,2取,)0()0(0 22 时当 yx
.022
yx
xy
原结论成立．
).1co s1s i n(lim,7
0
0 x
y
y
xex
y
x
计算
Solution,xyyx 1c os1s i n0
xyyx
1c os1s in
yx )0,0( 0 yx
由夹逼准则得,.0)
1co s1s i n(lim
0
0
x
y
y
x
y
x
.)(lim,8 )(22 yx
y
x
eyxex
计算
Solution,)(22 )(0 yxeyx )(2)( yxeyx
t
t
tyx
yx
y
x
eteyx?
2)(2 lim)(lim
tt e
t 2li m
02l i m
tt e
t
.0)(lim )(22
yx
y
x
eyx
3,确定极限不存在的方法
.,
,),(),( 000
就可断定此极限不存在不同值函数趋于时以不同方式趋于当 yxPyxP
在 (0,0)处时,一般选择下列极限方式：
; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(
2
kxy
kxy
y
x
).,(lim,
0 0
0
)(,9
0
0
22
22
22
yxf
yx
yx
yx
xy
x,yfex
y
x
计算设
Solution,),(lim),(lim
0
0
kxxfyxf
x
x
kxy?
222
2
0
li m xkx kx
x?
21 k
k
其值随着 k的不同而改变,
故所求极限不存在,
4,多元函数的极限利用点函数的形式有 n元函数的极限
.)(
,)(
,0
,0,0
,,,)(
0
0
0
时的极限当元函数为则称成立都有的一切点使得对于适合不等式若是常数是其聚点的定义域为元函数设
PPPfnA
APf
DPPP
APDPfn
.)(lim
0
APfPP记为
,多元函数的连续性四
1,连续性定义
.)(
)()(lim
,,)(
0
0
0
0
处连续在元函数则称如果是其聚点的定义域为元函数设
PPfn
PfPf
PDPfn
PP
.)(,)( 00 的间断点为则称处不连续在若 PfPPPf
.),(),(
),,(),(lim
00
00
0
0
连续在则称若
yxyxfz
yxfyxf
yy
xx
;),( ( 1 ) 00 不存在若 yxf;),(lim ( 2 )
0
0
不存在或 yxf
yy
xx
).,(),(lim( 3 ) 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
或
.),(),( 00 的间断点是则 yxfzyx?
,11s in 22 上间断在 yxz 122 yx
,
0 0
0
)(
22
22
22
间断在
yx
yx
yx
xy
x,yf
)0,0(
2,闭区域上连续函数的性质在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
(1) 最大值和最小值定理
(2) 介值定理
(3) 多元连续函数的和、差、积、商、复合函数仍为连续函数,
(4) 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,
(5) 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,
).()(lim
)()(
)()(lim
00
0
0
0
PfPfP
PfPfP
PfPf
PP
PP
处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求
(6)
.11li m,10
0
0 xy
xyex
y
x
求
Solution,)11( 11lim
0
0
xyxy
xy
y
x
原式
11
1lim
0
0
xy
y
x,2
1?
.)l n (lim,11
22
0
1 yx
exex y
y
x?
求
Solution,)0,1(f?原式,2ln?
若点 ),( yx 沿着无数多条平面曲线趋向于点 ),( 00 yx 时，函数 ),( yxf 都趋向于 A,能否断定 Ayxf
yxyx
),(l i m
),(),( 00
？
思考题不能,
,
)(
),(,242
23
yx
yxyxf
例如 )0,0(),(?yx
,kxy?取 2442
223
)(),( xkx
xkxkxxf
0
0x
!),(lim )0,0(),( 不存在但 yxfyx?
,2yx?取? 244
26
2
)(),( yy
yyyyf
.4
1?
Solution,
The end
多元函数的概念、
极限与连续教学要求：
1,理解多元函数的概念 ;
2,了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质,
,预备知识一
,多元函数的概念二
,多元函数的极限三
,多元函数的连续性四
,预备知识一
1,邻域
0P
),( 0?PU || 0PPP
.)()(|),( 2020 yyxxyx
设 ),( 000 yxP 是 x o y 平面上的一个点,? 是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的? 邻域，记为 ),( 0?PU,
.)()(0|),(),?( 20200 yyxxyxPU
},|),{(),( 000 yyxxyxPU
2,区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设
D
D
DD
连通的开集称为开区域．
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 yxyx例如,x
y
o
}0|),{( yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
}41|),{( 22 yxyx
3,聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
(1) 内点一定是聚点；注意,
(2) 边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 yxyx如 (0,0)既是 边界点也是聚点,
(3) 点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 yxyx如 (0,0) 是聚点但不属于集合,
}1|),{( 22 yxyx如边界上的点都是聚点也都属于集合．
,多元函数的概念二设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz? （或记为 )( Pfz? ）,
1,二元函数的定义
2,二元函数的定义域
(1) 使得算式有意义的 x,y的变化范围所确定的点集,
(2) 使得实际问题有意义的 x,y的变化范围所确定的点集,
(3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域,
(4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则,
,,)3ar c s in (),(,1 2
22
并作图的定义域求
yx
yxyxfex
Solution.
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
注意,平面区域通常用字母 D表示,
,
4.2 22222
并作图的定义域求 zyxyxzuex
Solution.,
04
0
222
22
zyx
yxz
,
4222
22
zyx
yxz
故所求定义域为
}.4,|),,{( 22222 zyxyxzzyx
x
y
z
o
)l n (ln)](l n [,3 是同一函数吗与 yxxzyxxzex
Solution.,0)( )](l n [ yxxyxxz 的定义域为
,00 )ln (ln
yx
xyxxz 的定义域为
)l n (ln)](l n [ 不是同一函数与 yxxzyxxz
).,(,),(,4 22 yxfyxyxyxfex 求设
Solution,))((),( yxyxyxyxf 2)( yxyx yx,)(
1
1
2
yx
y
x
y
x
.11),( 2xyyyxf
3,二元函数的几何意义
),( yxfz? 0),( yxfz 0),,( zyxF 一般曲面
.
),(
),(
),,(
决定过通上点由平面区域曲面上点
yxfz
yxP
D
zyxM
如图
4,多元函数的定义
,,,,
,),,(
,
1
1
记为元函数的为则称的值和它对应按照一定法则总有确定变量如果对于每一个点维空间内的点集设有
nxxu
uDxxP
Dn
n
n
),,,( 21 nxxxfu
),(,xfy?一元函数 一个自变量,
),,(,yxfz?二元函数 两个自变量,
),,,(,zyxfu?三元函数 三个自变量,
),,,(,1 nxxfun元函数 n个自变量,
n元函数在几何上表示 n+1维空间上的一般曲面,
注意,
(1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
2222 azyx
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论,
(2) 多元函数也有分段函数，如
0 0
0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
(3) 点函数 u=f(P)能表示所有的函数,
5,函数有加减乘除数乘及复合运算 (略 )
,多元函数的极限三
1,二元函数的极限描述性定义
.,),(,
),(,
),(),(,
),(,),(
00
000
000
记为时的极限当为则称数数的常就无限接近于一个确定对应的函数值时以任何方式趋近于点如果点其聚点是的定义域为设函数
yyxxyxfzAA
yxf
yxPyxP
yxPDyxfz
,),(li m
0
0
Ayxf
yy
xx
.),(lim ),(),(
00
Ayxfyxyx或精确定义
.,),(
,),( ),(
)()(0
,0,0,,
),(,),(
00
2
0
2
0
000
时的极限当为则称成立都有的一切对于适合若是常数其聚点是的定义域为设函数
yyxxyxfzA
Ayxfyx
yyxx
RA
yxPDyxfz
利用点函数给出的定义
.)(,0,0,0 0 APfPP 有时当
2,二元函数极限的计算计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法,对于未定型，不再有 L`Hospital
法则，须化成确定型,
.01s i n)(lim,5 2222
0
0
yx
yxex
y
x
求证
Proof,0
1s in)(
22
22?
yx
yx? 2222 1s i n yxyx
22 yx,0
01s in)( 2222
yx
yx要使
22 yx只要
22 yx即
取
,)0()0(0 22 时当 yx
01s i n)( 2222 yxyx
原结论成立．
.0lim,6 22
0
0
yx
xyex
y
x
求证
Proof,022 yx
xy?
2yx
xy
2
22 yx?
,0,0 22 yx
xy要使
,2
22
yx只要
2 22 yx即
,2取,)0()0(0 22 时当 yx
.022
yx
xy
原结论成立．
).1co s1s i n(lim,7
0
0 x
y
y
xex
y
x
计算
Solution,xyyx 1c os1s i n0
xyyx
1c os1s in
yx )0,0( 0 yx
由夹逼准则得,.0)
1co s1s i n(lim
0
0
x
y
y
x
y
x
.)(lim,8 )(22 yx
y
x
eyxex
计算
Solution,)(22 )(0 yxeyx )(2)( yxeyx
t
t
tyx
yx
y
x
eteyx?
2)(2 lim)(lim
tt e
t 2li m
02l i m
tt e
t
.0)(lim )(22
yx
y
x
eyx
3,确定极限不存在的方法
.,
,),(),( 000
就可断定此极限不存在不同值函数趋于时以不同方式趋于当 yxPyxP
在 (0,0)处时,一般选择下列极限方式：
; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(
2
kxy
kxy
y
x
).,(lim,
0 0
0
)(,9
0
0
22
22
22
yxf
yx
yx
yx
xy
x,yfex
y
x
计算设
Solution,),(lim),(lim
0
0
kxxfyxf
x
x
kxy?
222
2
0
li m xkx kx
x?
21 k
k
其值随着 k的不同而改变,
故所求极限不存在,
4,多元函数的极限利用点函数的形式有 n元函数的极限
.)(
,)(
,0
,0,0
,,,)(
0
0
0
时的极限当元函数为则称成立都有的一切点使得对于适合不等式若是常数是其聚点的定义域为元函数设
PPPfnA
APf
DPPP
APDPfn
.)(lim
0
APfPP记为
,多元函数的连续性四
1,连续性定义
.)(
)()(lim
,,)(
0
0
0
0
处连续在元函数则称如果是其聚点的定义域为元函数设
PPfn
PfPf
PDPfn
PP
.)(,)( 00 的间断点为则称处不连续在若 PfPPPf
.),(),(
),,(),(lim
00
00
0
0
连续在则称若
yxyxfz
yxfyxf
yy
xx
;),( ( 1 ) 00 不存在若 yxf;),(lim ( 2 )
0
0
不存在或 yxf
yy
xx
).,(),(lim( 3 ) 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
或
.),(),( 00 的间断点是则 yxfzyx?
,11s in 22 上间断在 yxz 122 yx
,
0 0
0
)(
22
22
22
间断在
yx
yx
yx
xy
x,yf
)0,0(
2,闭区域上连续函数的性质在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
(1) 最大值和最小值定理
(2) 介值定理
(3) 多元连续函数的和、差、积、商、复合函数仍为连续函数,
(4) 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,
(5) 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,
).()(lim
)()(
)()(lim
00
0
0
0
PfPfP
PfPfP
PfPf
PP
PP
处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求
(6)
.11li m,10
0
0 xy
xyex
y
x
求
Solution,)11( 11lim
0
0
xyxy
xy
y
x
原式
11
1lim
0
0
xy
y
x,2
1?
.)l n (lim,11
22
0
1 yx
exex y
y
x?
求
Solution,)0,1(f?原式,2ln?
若点 ),( yx 沿着无数多条平面曲线趋向于点 ),( 00 yx 时，函数 ),( yxf 都趋向于 A,能否断定 Ayxf
yxyx
),(l i m
),(),( 00
？
思考题不能,
,
)(
),(,242
23
yx
yxyxf
例如 )0,0(),(?yx
,kxy?取 2442
223
)(),( xkx
xkxkxxf
0
0x
!),(lim )0,0(),( 不存在但 yxfyx?
,2yx?取? 244
26
2
)(),( yy
yyyyf
.4
1?
Solution,
The end
