Chapter 2(1)
重积分的概念与性质教学要求：
1,理解二重积分、三重积分的概念 ;
2,了解重积分的性质 ;
3,了解二重积分、三重积分的中值定理,
,二重积分的概念与性质一
,三重积分的概念与性质二
,二重积分的概念与性质一
1,二重积分的定义
1) 引例（考虑曲顶柱体的体积）
已知以 z=f(x,y)为曲顶，以 xoy面上区域 D为底，侧面是以 D的边界曲线为准线母线平行于 z轴的柱面，构成一曲顶柱体，求其体积,
x
y
z
o
D
),( yxfz?
Solution,高底面积根据平顶柱体体积
niD,,,,,)1( 21得分割
i
),( ii
),( iif
iiiiiii fV ),(,),()2( 则
n
i
iii
n
i
i fVV
11
),(且
},,m a x {)3( 1 的直径令 n
.),(lim
0?
n
i
iiifV则
2) 二重积分的定义;),(
),,,2,1(),(,),()2(;,
,,,)1(
,),(
1
1
n
i
iii
iiiiii
i
n
f
nif
i
nD
Dyxf
并作和作乘积又表其面积个区域既表第其中个小区域任意分成将上的有界函数是闭区域设
;),(lim},{m ax)3(
101
n
i
iiiini f取极限的直径令记为二重积分上的在则称该极限值为若此极限存在
,
),(,Dyxf
.),(lim),(
10
n
i
iii
D
fdyxf
积分区域
D
dyxf?),( ii
n
i
if
),(lim
10
,
积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素注意,
(1) 若二重积分存在,则为一确定数值 ;
(2) 若二重积分存在,则取分割为平行坐标轴的直线网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形,
x
y
o
D,,dxdydyx kji 面积元素则;),(),(
DD
dxd yyxfdyxf?则
(3) 引例中曲顶柱体体积为;),(
D
dxdyyxfV;,0
,,)4(
计算时须注意而这里故下限可大于上限可正可负定积分中
i
ix
(5) 存在性问题,若 f(x,y)在闭区域 D上连续,
则二重积分存在,
3)几何意义,;),(,0),( 为体积时
D
dxdyyxfyxf;,),(,0),( 但本身值为负为体积时
D
dxdyyxfyxf
.),( 数和表示曲顶柱体体积的代故
D
dxdyyxf
x
y
z
o
a
22 yxz
22
表示哪里
D
dx dyyxV x
y
z
o
a
226 yxz
)6( 22
表示哪里
D
d x d yyxV
2,二重积分的性质性质 1,).( ),(),( 为常数kdyxfkdyxkf
DD
性质 2.
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
性质 3,对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质 4,?若 为 D的面积,.1
D D
dd
性质 5,),,(),( yxgyxfD?上若在
.),(),(
DD
dyxgdyxf则特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
性质 6,设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
D
Mdyxfm ),(
（二重积分估值不等式）
性质 7,设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得
（二重积分中值定理）
),(),( fdyxf
D
Proof.,),( Myxfm
,),( Mdyxfm
D
,
),(
M
dyxf
m D
,),(,使得至少存在一点由介值定理 D
),,(),(1 fdyxf
D
.),(),( fdyxf
D
几何解释,
).,(),(),(
,
)0)(,(,
fDyxf
yxfzD
上的函数值中某点在等于这平顶柱体的高积等于同底的平顶柱体体为曲顶的柱体体积为底以
,22,11:,)(.1 13221
1
yxDdyxIex
D
设
.
,20,10:,)(
21
2
322
2
2
间的关系与说明 II
yxDdyxI
D
Solution.,,,0)( 21322 表示柱体体积IIyx
,81显然,22
21 4即,4 21 II
由于被积函数相同,且具有对称性,
因此 D1,D2的关系反映了 I1,I2的关系,
.4:,)10(.2 22 之值估计
D
yxDdyxex?
Solution.
.
410),( 22
mM
yxyxyxf
与最小值最大值上的在先求
,1,1 yx ff?
下的最值在问题转化为求 410),( 22 yxyxyxf
),4(10),,( 22 yxyxyxF设
04
021
021
22 yxF
yF
xF
y
x
令
2 yx解得
.; 最值在边界上取得在区域内无驻点?
,22102 Myx 时易知当
,4又
.)2210(4)10()2210(4
D
dyx
2210,2 myx 时当
Method1.
.2)1()2(
,)()(.3
22
32
所围成是由圆周其中的大小与比较
yxD
dyxdyxex
D D
处的切线方程为在容易求得
)0,1(
2)1()2( 22 yx
.1 yx
1 yx
o x
y
1 3
如图所示
,1 yxD 上在
32 )()( yxyx
.)()( 32
D D
dyxdyx
Method2,)1()()()( 223 yxyxyxyx?
.0),(,0;0),(,0
,1),(
yxfyxf
Dyxyxf
则若最小值大于则小于若最大值上的最值情况在考虑
,),( 内无驻点在显然 Dyxf
]2)1()2[(1),,( 22 yxyxyxF设
)0,1(),2,3(解得驻点为
,4)2,3(,)2,3(?f处在,0)0,1(,)0,1(?f处在
.4),(0 yxf
,)()( 23 yxyx故
.)()( 32
D D
dyxdyx
,),(1lim.4
22
0
2
0 )()(
20
yyxx
dyxfex 求
Solution,22
0
),(1li m
f
原式
),(lim 0 f
),(lim
0
0
f
y
x
).,( 00 yxf?
（积分中值定理）
（函数的连续性）
.),( 为连续函数其中 yxf
ex 5,判断
1
22 )l n (
yxr
dxd yyx 的符号,
当 1 yxr 时,
,1)(0 222 yxyx
故 0)l n( 22 yx ;
即当 1 yx 时,,0)ln ( 22 yx
于是 0)l n (
1
22
yxr
dxdyyx,
Solution.
.1.6
4
3 22
22
的符号确定?dyxIex
yx
Solution,
41
3 22
1
3 22
2222
11
yxyx
dyxdyxI
x
y
o
21 42
3 223 221
22 22
11
yx yx
dyxdyxI
110 311
3 223 221
22 22
11
yx yx
dyxdyxI
.321 III,0 1 I而
,02 I?,232 33 I
I)132( 3,0?I从而
,三重积分的概念与性质二
1,三重积分的定义
1)引例（非均匀分布的立体的质量）
.),,,(,求其质量其体密度为设有一非均匀物体 zyx?
o
x
y
z
Solution,体积体密度根据均匀物体质量;,,,,,)1( 21 ni vvvv得分割
iv?
),,( iii
,),,()2( iiii v
,),,( iiiii vm则;),,(
11
n
i
iiii
n
i
i vmm且
},,m a x {)3( 1 的直径令 nvv
n
i
iiii vm
10
),,(lim
则
2) 三重积分的定义;),,(
),,,2,1(),,(,),,()2(;,
,,,)1(
,),,(
1
1
n
i
iiii
iiiiiiii
i
n
vf
nivfv
iv
vvn
zyxf
并作和作乘积又表其体积个区域既表第其中个小区域任意分成将上的有界函数是空间有界闭区域设
;),,(li m},{m ax)3(
101
n
i
iiiiini vfv取极限的直径令记为三重积分上的在则称该极限值为若此极限存在
,
),,(,?zyxf
.),,(lim),,(
10
n
i
iiii vfdvzyxf
注意,
(1) 若三重积分存在,则为一确定数值 ;
(2) 若三重积分存在,则取分割为平行坐标面的平面网,此时除靠近边界的小区域外均为小长方体,
,,d x d y d zdvzyxv lkji 体积元素则;),,(),,(
dxd y dzzyxfdvzyxf则
(3) 引例中立体的质量为 ;),,(
dx dy dzzyxm?;0,0 )4( dvv i 体积元素
(5) 存在性问题,若 f(x,y,z)在闭区域?上连续,
则三重积分存在,
2,三重积分的性质性质 1,).( ),,(),,( 为常数kvdzyxfkvdzyxkf
性质 2.
dvzyxgzyxf )],,(),,([
.),,(),,(
dvzyxgdvzyxf
性质 3,对区域具有可加性
.),,(),,(),,(
21
dvzyxfdvzyxfdvzyxf
)( 21
性质 4.,1,
dvdvVV 的体积为若性质 5,),,,(),,( zyxgzyxf 上若在
.),,(),,(
dvzyxgdvzyxf则特殊地,),,(),,(
dvzyxfdvzyxf
性质 6,设 M,m 分别是 ),,( zyxf 在闭区域? 上的最大值和最小值,V 为? 的体积，则
.),,( MVdvzyxfmV
（三重积分估值不等式）
性质 7,设函数 ),,( zyxf 在闭区域? 上连续,V 为
的 体 积，则在? 上至少存在一点 ),,( 使得
（三重积分中值定理）
Vfdvzyxf
),,(),,(
The end
重积分的概念与性质教学要求：
1,理解二重积分、三重积分的概念 ;
2,了解重积分的性质 ;
3,了解二重积分、三重积分的中值定理,
,二重积分的概念与性质一
,三重积分的概念与性质二
,二重积分的概念与性质一
1,二重积分的定义
1) 引例（考虑曲顶柱体的体积）
已知以 z=f(x,y)为曲顶，以 xoy面上区域 D为底，侧面是以 D的边界曲线为准线母线平行于 z轴的柱面，构成一曲顶柱体，求其体积,
x
y
z
o
D
),( yxfz?
Solution,高底面积根据平顶柱体体积
niD,,,,,)1( 21得分割
i
),( ii
),( iif
iiiiiii fV ),(,),()2( 则
n
i
iii
n
i
i fVV
11
),(且
},,m a x {)3( 1 的直径令 n
.),(lim
0?
n
i
iiifV则
2) 二重积分的定义;),(
),,,2,1(),(,),()2(;,
,,,)1(
,),(
1
1
n
i
iii
iiiiii
i
n
f
nif
i
nD
Dyxf
并作和作乘积又表其面积个区域既表第其中个小区域任意分成将上的有界函数是闭区域设
;),(lim},{m ax)3(
101
n
i
iiiini f取极限的直径令记为二重积分上的在则称该极限值为若此极限存在
,
),(,Dyxf
.),(lim),(
10
n
i
iii
D
fdyxf
积分区域
D
dyxf?),( ii
n
i
if
),(lim
10
,
积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素注意,
(1) 若二重积分存在,则为一确定数值 ;
(2) 若二重积分存在,则取分割为平行坐标轴的直线网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形,
x
y
o
D,,dxdydyx kji 面积元素则;),(),(
DD
dxd yyxfdyxf?则
(3) 引例中曲顶柱体体积为;),(
D
dxdyyxfV;,0
,,)4(
计算时须注意而这里故下限可大于上限可正可负定积分中
i
ix
(5) 存在性问题,若 f(x,y)在闭区域 D上连续,
则二重积分存在,
3)几何意义,;),(,0),( 为体积时
D
dxdyyxfyxf;,),(,0),( 但本身值为负为体积时
D
dxdyyxfyxf
.),( 数和表示曲顶柱体体积的代故
D
dxdyyxf
x
y
z
o
a
22 yxz
22
表示哪里
D
dx dyyxV x
y
z
o
a
226 yxz
)6( 22
表示哪里
D
d x d yyxV
2,二重积分的性质性质 1,).( ),(),( 为常数kdyxfkdyxkf
DD
性质 2.
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
性质 3,对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质 4,?若 为 D的面积,.1
D D
dd
性质 5,),,(),( yxgyxfD?上若在
.),(),(
DD
dyxgdyxf则特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
性质 6,设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
D
Mdyxfm ),(
（二重积分估值不等式）
性质 7,设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得
（二重积分中值定理）
),(),( fdyxf
D
Proof.,),( Myxfm
,),( Mdyxfm
D
,
),(
M
dyxf
m D
,),(,使得至少存在一点由介值定理 D
),,(),(1 fdyxf
D
.),(),( fdyxf
D
几何解释,
).,(),(),(
,
)0)(,(,
fDyxf
yxfzD
上的函数值中某点在等于这平顶柱体的高积等于同底的平顶柱体体为曲顶的柱体体积为底以
,22,11:,)(.1 13221
1
yxDdyxIex
D
设
.
,20,10:,)(
21
2
322
2
2
间的关系与说明 II
yxDdyxI
D
Solution.,,,0)( 21322 表示柱体体积IIyx
,81显然,22
21 4即,4 21 II
由于被积函数相同,且具有对称性,
因此 D1,D2的关系反映了 I1,I2的关系,
.4:,)10(.2 22 之值估计
D
yxDdyxex?
Solution.
.
410),( 22
mM
yxyxyxf
与最小值最大值上的在先求
,1,1 yx ff?
下的最值在问题转化为求 410),( 22 yxyxyxf
),4(10),,( 22 yxyxyxF设
04
021
021
22 yxF
yF
xF
y
x
令
2 yx解得
.; 最值在边界上取得在区域内无驻点?
,22102 Myx 时易知当
,4又
.)2210(4)10()2210(4
D
dyx
2210,2 myx 时当
Method1.
.2)1()2(
,)()(.3
22
32
所围成是由圆周其中的大小与比较
yxD
dyxdyxex
D D
处的切线方程为在容易求得
)0,1(
2)1()2( 22 yx
.1 yx
1 yx
o x
y
1 3
如图所示
,1 yxD 上在
32 )()( yxyx
.)()( 32
D D
dyxdyx
Method2,)1()()()( 223 yxyxyxyx?
.0),(,0;0),(,0
,1),(
yxfyxf
Dyxyxf
则若最小值大于则小于若最大值上的最值情况在考虑
,),( 内无驻点在显然 Dyxf
]2)1()2[(1),,( 22 yxyxyxF设
)0,1(),2,3(解得驻点为
,4)2,3(,)2,3(?f处在,0)0,1(,)0,1(?f处在
.4),(0 yxf
,)()( 23 yxyx故
.)()( 32
D D
dyxdyx
,),(1lim.4
22
0
2
0 )()(
20
yyxx
dyxfex 求
Solution,22
0
),(1li m
f
原式
),(lim 0 f
),(lim
0
0
f
y
x
).,( 00 yxf?
（积分中值定理）
（函数的连续性）
.),( 为连续函数其中 yxf
ex 5,判断
1
22 )l n (
yxr
dxd yyx 的符号,
当 1 yxr 时,
,1)(0 222 yxyx
故 0)l n( 22 yx ;
即当 1 yx 时,,0)ln ( 22 yx
于是 0)l n (
1
22
yxr
dxdyyx,
Solution.
.1.6
4
3 22
22
的符号确定?dyxIex
yx
Solution,
41
3 22
1
3 22
2222
11
yxyx
dyxdyxI
x
y
o
21 42
3 223 221
22 22
11
yx yx
dyxdyxI
110 311
3 223 221
22 22
11
yx yx
dyxdyxI
.321 III,0 1 I而
,02 I?,232 33 I
I)132( 3,0?I从而
,三重积分的概念与性质二
1,三重积分的定义
1)引例（非均匀分布的立体的质量）
.),,,(,求其质量其体密度为设有一非均匀物体 zyx?
o
x
y
z
Solution,体积体密度根据均匀物体质量;,,,,,)1( 21 ni vvvv得分割
iv?
),,( iii
,),,()2( iiii v
,),,( iiiii vm则;),,(
11
n
i
iiii
n
i
i vmm且
},,m a x {)3( 1 的直径令 nvv
n
i
iiii vm
10
),,(lim
则
2) 三重积分的定义;),,(
),,,2,1(),,(,),,()2(;,
,,,)1(
,),,(
1
1
n
i
iiii
iiiiiiii
i
n
vf
nivfv
iv
vvn
zyxf
并作和作乘积又表其体积个区域既表第其中个小区域任意分成将上的有界函数是空间有界闭区域设
;),,(li m},{m ax)3(
101
n
i
iiiiini vfv取极限的直径令记为三重积分上的在则称该极限值为若此极限存在
,
),,(,?zyxf
.),,(lim),,(
10
n
i
iiii vfdvzyxf
注意,
(1) 若三重积分存在,则为一确定数值 ;
(2) 若三重积分存在,则取分割为平行坐标面的平面网,此时除靠近边界的小区域外均为小长方体,
,,d x d y d zdvzyxv lkji 体积元素则;),,(),,(
dxd y dzzyxfdvzyxf则
(3) 引例中立体的质量为 ;),,(
dx dy dzzyxm?;0,0 )4( dvv i 体积元素
(5) 存在性问题,若 f(x,y,z)在闭区域?上连续,
则三重积分存在,
2,三重积分的性质性质 1,).( ),,(),,( 为常数kvdzyxfkvdzyxkf
性质 2.
dvzyxgzyxf )],,(),,([
.),,(),,(
dvzyxgdvzyxf
性质 3,对区域具有可加性
.),,(),,(),,(
21
dvzyxfdvzyxfdvzyxf
)( 21
性质 4.,1,
dvdvVV 的体积为若性质 5,),,,(),,( zyxgzyxf 上若在
.),,(),,(
dvzyxgdvzyxf则特殊地,),,(),,(
dvzyxfdvzyxf
性质 6,设 M,m 分别是 ),,( zyxf 在闭区域? 上的最大值和最小值,V 为? 的体积，则
.),,( MVdvzyxfmV
（三重积分估值不等式）
性质 7,设函数 ),,( zyxf 在闭区域? 上连续,V 为
的 体 积，则在? 上至少存在一点 ),,( 使得
（三重积分中值定理）
Vfdvzyxf
),,(),,(
The end
