Chapter 3(1)
广义积分教学要求：
1,了解广义积分的概念,并会计算广义积分,
,无穷限的广义积分一
,无界函数的广义积分二一、无穷限的广义积分
,)(,)(,)( dxxfdxxfdxxf ba其形式有,
定义 1,设函数 )( xf 在区间 ),[a 上连续，取
ab?,如果极限?

b
ab
dxxf )(l i m 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[a 上的广义积分，记作?

a
dxxf )(,
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
定义 2,设函数 )( xf 在区间 ],( b 上连续，取
ba?,如果极限?

b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积分，记作?

b
dxxf )(,
b dxxf )( baa dxxf )(lim
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
定义 3,设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续,如果广义积分?

0
)( dxxf 和?

0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( 上的广义积分，记作?


dxxf )(,
dxxf )( 0 )( dxxf 0 )( dxxf
0 )(lim aa dxxf bb dxxf0 )(l i m
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
.
)15(
,1 5
xx
dxex 计算
Solution,
bb xx dxxx dx 55 )15(l i m)15(
dxxxb
b

5
)1511(151lim
b
b
xx 5)]15l n ([ l n151lim

2ln
15
2)
20
5ln
15
( l n
15
1lim
b
b
b
).(,2 0 为自然数计算 ndxexex xn
Solution,dxex xn0 )(lim
0
xb n
b edx

dxxenxe nb xbnx
b
1
00lim







)(lim 0 1 xb nb
n
b
edxn
e
b
)(1)1(lim 0 xb
b
ednn?


!|)(1)1(lim 0 nenn bx
b



.1,1,.3 1 时发散当时收敛当证明 ppxdxex p
Proof, 11,1 xdxxdxp p时当?

b
b x
dx
1lim
b
b x 1|lnl i m
bb lnlim b
p
b p
x
1
1
|
1
lim

p
b p
b?
1
1
lim
1
p
b
p
p
b?

1
l i m11
1
,
1
1,1
1?


px
dxp
p时当 1,p
x
dxp 时当
∴ 当 p>1时，原积分收敛；当 p≤ 1时，原积分发散,


b
pbp x
dx
x
dxp
11 l i m,1 时当
ex4,计算广义积分,1 2 xdx
Solution, 21 xdx 0 21 xdx 0 21 xdx
0 21 1l i m aa dxx bb dxx0 21 1l i m
0a r ct a nlim aa xbb x 0a r ct a nlim
aa a r c t a nl i m bb a r c t a nli m
.22
e x 5,证明广义积分?

a
px dxe 当 0?p 时收敛,
当 0?p 时发散,
Proof,a px dxe ba pxb dxel i m
b
a
px
b p
e




l i m


p
e
p
e pbpa
b
lim?

0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
.:),1(.6 222222 ayxDedxd yeex a
D
yx利用
Solution.
.,0 2 dxe x计算广义积分

S
yx dxdyeRyRxS 220,0,上的二重积分考虑
S
dyedxdxdye R yxR
S
yx
00
2222?
2000 222 R xR yR x dxedyedxe
R
S
yxx d x d yedxe
0
222 1D
2D
S
1D
2D
R R2

S
yx dxdye 22为求
21,2,DDRRo 为半径作圆得和为圆心以
),1(4 2
1
22 R
D
yx edxdye而
)1(4)1(4 2222 2 R
S
yxR edxdyee
.20 2dxe x
),1(4 2
2
22 2 R
D
yx edxdye
d xd yed xd yed xd ye
D
yx
S
yx
D
yx
2
2222
1
22
:函数? )0( )( 0 1 dxex x
)()1(
!)1( nn
1)1(
)21(
二、无界函数的广义积分定义 1,设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在点
a 的右邻域内无界．取 0,如果极限

b
a
dxxf

)(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf 在区间 ],( ba 上的广义积分，记作?
b
a
dxxf )(,
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
定义 2,设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，而在点
b 的 左 邻 域 内 无 界,取 0,如 果 极 限

b
a
dxxf )(l i m
0
存在，则称此极限为函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上的广义积分,
记作?
b
a
dxxf )(?

b
a
dxxf )(l i m
0
,
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，
称广义积分发散,
定义 3,设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点
)( bcac 外连续，而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分?
c
a
dxxf )( 和?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(lim 0 bc dxxf )(l i m 0
否则，就称广义积分? ba dxxf )( 发散,
定义中 C为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
ex7,计算广义积分
Solution,
).0(
0 22
axa dxa
,1lim 22
0

xaax
ax 为被积函数的无穷间断点,
a xa dx0 22 a xa dx0 220lim


a
a
x
00
a r c s i nl i m




0a r c s i nlim
0 a
a?
.2
.
)( l n1
,8 1 2?
e
xx
dxex 计算
Solution,

ee
xx
dx
xx
dx
1 21 02 )( ln1li m)( ln1
xd
x
e
ln
)( l n1
1
l i m
1 20?


ex 1
0
|lna r cs i nl i m
.2]0)l n ([ a r cs i nlim
0



e
.1,9 1
1 2
的敛散性判别广义积分 dx
x
ex?
Solution,
1
0 2
0
1 2
1
1 2
111 dx
x
dx
x
dx
x



1 2
0
1 02
l i m
x
dx
x
dx而


)11(lim
0?x
,0 1 2 发散即 xdx,11 1 2 发散dxx
10 )
1(lim
x
Solution,
.,10 1
0
的敛散性判别? q
x
dxex
101010 li m,1 xdxxdxxdxq q时当
1
0 lnl i m x )ln(l i m 0
1010 lim,1 qq xdxxdxq 时当 1
1
0 1
lim?
q
x q


)
11
1(lim 1
0 qq
q




1
1
1
1
q
q
q,
1
1
1
1
1
0



q
q
q
x
dx
q
ex11,计算广义积分
Solution,
.
)1(
3
0 32x
dx 1?x 瑕点
30 32)1( x dx
3110
3
2
3
2
)1()1( x
dx
x
dx
10 32)1( x dx 100
3
2
1 )1(
lim
x
dx
3?
31 32)1( x dx 310 32
2 )1(
lim?
x
dx
,23 3
30 32)1( x dx ).21(3 3 The end