Chapter 4(7)
Stokes公式及环量与旋度教学要求：
1,了解 Stokes公式 ;
2,了解旋度的概念，并会计算 ;
3,了解环流量的概念，并会计算 ;
4,了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系,
S t o k e s,公式一
,关的条件空间曲线积分与路径无二
,环流量与旋度三
S t o k e s,公式一曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定 (右手法则 ),
当右手四指依?的绕行方向时，大拇指所指的方向与
上法向量的指向相同，这时称?是有向曲面?的正向边界曲线,n?
定理 1,; )1( 是按段光滑的连续曲线的边界设光滑曲面
则且有一阶连续偏导上连续连同在;
,)(),,(),,,(),,,()2(zyxRzyxQzyxP




Rd zQd yP d x
d x d y
y
P
x
Q
d z d x
x
R
z
P
d y d z
z
Q
y
R
其中?的侧与?的方 向按右手法则确定,
Proof,思路,曲面积分 二重积分 曲线积分1 2

P dxdxd yyPdz dxzP先证
(1)设平行于坐标轴的直线与 ∑ 的交点不多于一个,则
),(
),(
),(:
zyxx
xzyy
yxzz

设当 ∑ 为 z=z(x,y)上侧,在
xoy面上投影区域为 Dxy,
Г 在 xoy面上的投影曲线为 C时,如图所示,
o
x
y
z ),(,yxzz
xyD
C
},1,,{ yx zzn的法向量为方向余弦为,1c os 22
yx
x
zz
z

,
1
cos 22
yx
y
zz
z


,
1
1c os
22
yx zz
,
co s
co s,
co s
co s

yx zz则



dxdy
y
Pdz dx
z
P dS
y
P
z
P


coscos
c o sc o sc o s
d xd y
y
P
z
P






d x d y
z
P
y
P
c o s
c o s
d x d yzzPyP y




xyD
y dxdyzzyxPzzyxPy ]),,(),,([
dxdyyxzyxPy
xyD
)],(,,[
dxyxzyxPcG r e e n )],(,,[公式,),,( dxzyxP
取下侧同样成立?



Q dydy dz
z
Qdxd y
x
Q同理可证



R d zd z d x
x
Rd y d z
y
R 三式相加即得结论,
(2)若平行于坐标轴的直线与 ∑ 的交点多于一个时，作辅助线可得结论成立,
注意,
(1) 便于记忆,Stokes公式可用行列式表示为

Rd zQ d yPd x
RQP
zyx
d x d yd z d xd y d z
(2) 利用两类曲面积分的关系,得 Stokes公式的另一形式


Rd zQ d yPd xdS
RQP
zyx
c o sc o sc o s
}co s,co s,{c o sn?其中
(3) Stokes公式的实质,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,
(4) 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时,
Stokes公式 Green公式特殊情形也称 Stokes公式为空间的 Green公式,
(5) Stokes公式理论上很重要,
用它来计算曲线积分并不很方便,
.:
2222
轴正向看去是逆时针的方向为由 x
Rzx
RzyxC


Solution,如图所示
,2.1c xdzz d yy d xex 计算
o
x
y
z
,的上侧为取 Rzx },1,0,1{?n?
2
1co s,0co s,
2
1co s
c xdzz d yy d x2


dS
xzy
zyx
2
2
1
0
2
1

dS2221
dS21
2
2
2
2
1?

R?
.22 2R
注意,
(1) 截面圆的半径为,2 2)(21 22 RRR
o
x
y
z
(2) 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说，
积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜,
(3) 积分曲面 ∑ 是选平面还是选球面被平面割下的那一部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜,
0c o sc o sc o s












dSyPxQxRzPzQyR
0












dxdyyPxQd zd xxRzPd y d zzQyRor
(4) 再次体现 Stokes公式计算曲线积分并不方便,
(5) 也可化为参数方程直接计算,
0?


RQP
zyx
d x d yd z d xd y d z
即
,)()()(.2 dzyxdyxzdxzyex计算
)0,0(
1
222




ba
b
z
a
x
ayx
为椭圆若从 x轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向,
Solution,如图所示
o
x
y
z
a
a
b
,1 的上侧为取 bzax ban 1,0,1?
22
22
c o s
,0c o s,c o s
ba
a
ba
b




dS
yxxzzy
zyx
ba
a
ba
b
2222
0
原式


dS
ba
ba
22
)(2
dxdy
a
b
ba
ba
ayx



222
2
2
22 1
)(2
).(2 baa
ex 3,计算 dzyxdyxzdxzy )()()(
222222

其中? 是平面
2
3
zyx 截立方体,10 x,
10 y,10 z 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向,
Solution,z
x
yo
n?
取 Σ 为平面
2
3
zyx
的上侧被? 所围成的部分,
}1,1,1{31?n?
,31c osc osc os
dS
yxxzzy
zyx
I


222222
3
1
3
1
3
1

dSzyx )(34 )23( zyx上在?

dS2334
xyD
dxdy332
xyD 2
3 yx
21 yx
.29
xyD
dxdy6
,关的条件空间曲线积分与路径无二定理 2,设空间开区域 G是单连通区域 ;
:,
),,(),,(),,,(
价则以下四个条件相互等连续偏导数内具有一阶在 GzyxRzyxQzyxP
.0)1(
R dzQ dyP dxG 有线内任意分段光滑的闭曲沿
.,
,)2(
的起点和终点有关只与与路径无关内任意分段光滑的曲线沿

RdzQ d yP d xG
.,,)3( 内恒成立在 GzPxRyRzQxQyP
,),,( )4( 的全微分内是某一函数在 zyxuGR dzQ dyP dx
,),,( R d zQ d yP d xzyxdu即
.),,(),,(),,(
),,(
000
000
000
),,(
),,(



z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
R dzQdyP dxzyxu且
Solution,由于曲线积分与路径无关，
所以可选择特殊路径，如图所示,
o
x
y
z
),,( 0000 zyxM
),,( zyxM
),,( 001 zyxM ),,( 02 zyxM
),,( ),,( 000),,( zyx zyx R d zQ d yP d xzyxu
MMMMMM 22110
.),,(),,(),,(
000 000
zzyyxx dzzyxRdyzyxQdxzyxP
xxxzz yyMM?
0
0
0
10,从
yyyzz xxMM?

0
0
21,从
zzzyy xxMM?

02,从
,环流量与旋度三定义,) },,,(),,,(),,,({ zyxRzyxQzyxPA设有向量场
,,,的旋度为称向量函数 AyPxQxRzPzQyR?





; kyPxQjxRzPizQyRAr o t








记为
R dzQ dyP dx 的曲线积分沿有向闭曲线
,的环流量沿有向闭曲线叫做?A?
注意,,)1(
RQP
zyx
kji
Ar o t

旋度可记为
},c o s,c o s,{ c o s )2( n?的单位法向量为设有向曲面
},c o s,c o s,{ c o s t?的单位切向量为的有向边界
dsRQPR d zQ d yPd x )c o sc o sc o s(
dstA



dSnAr o t
RQP
zyx
d x d yd z d xd ydz

又
,

dstAdSnAr ot
.)(

dsAdSAr ot tn即
,
:S t o k es )3(
的通量曲面所张的的旋度场通过环流量等于向量场的沿有向闭曲线向量场公式表明
A
A
);(,),,,()1.(4 gr adur otzyxuuex 求具有二阶连续偏导设?
).(},,,{)2( Ar otdi vRQPA 求设?
Solution,},,{)1( zyx uuug r a d u
zyx uuu
zyx
kji
g r a d ur o t


)(
kuujuuiuu xyyxxzzxyzzy )()()( 0






y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
RAr ot,,)2(









y
P
x
Q
zx
R
z
P
yz
Q
y
R
xAr otdiv )(
.0?
The end