Chapter 5(5)
微分方程的简单应用教学要求
1,会用微分方程 (或方程组 )解决一些简单的应用问题,
,用举例微分方程在几何中的应一
,应用举例微分方程在物理学中的二
,其它应用举例三一、微分方程在几何中的应用举例通过根据几何量之间的关系列出含有微分或积分的表达式，再求解,
ex1,在连接点 A(0,1)和点 B(1,0)的一条向上凸的曲线上任取一点 P(x,y)，已知曲线与弦 AP之间的面积为 x3,
求此曲线方程,
Solution,
xo
y
)1,0(A
)0,1(B
),( yxP
设所求曲线方程为 y = y(x)，
由已知条件得
3
0 )1(2
1 xxyyd xx
两边对 x求导整理得 xxyxy 611
])61([
11
Cdxexxey
dxxdxx
)61( Cxxx
,0)1(?y由,5?C得,156 2 xxy
ex2,在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点
P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的线段 PQ长度的倒数（ Q是法线与 x轴的交点）且曲线在点 (1,1)处的切线与 x轴平行,
Solution,),( xyy?设曲线方程为则在 P(x,y)处的曲率为
2
3
)1( 2y
yK
)0(y
曲线 y=y(x)在点 P(x,y)处的法线方程为
)0( )(1 yxXyyY
它与 x轴的交点为 )0,( yyx
222 1)( yyyyyPQ
22 1
1
)1(
2
3 yy
y
y
从而
21 yyy
1)1(?y
0)1(y
由可降阶微分方程的解法得到通解,并求得特解,
ex3,假设
.)(;
),()3(;1
)()2(;1)(0
0)0()0)(()1(
21
21
的表达式求函数的长度恒等于线段的面积轴所围封闭图形与直线曲线和分别相交于点和与曲线轴的动直线平行于和满足条件函数
xfy
PPS
xMNxfy
PPey
xfyMNy
exf
fxxfy
x
x
Solution,如图所示,
xo
y
1 xey
)( xfy?
M
N
1P
2P
依题意可得,
)(1)(0 xfedxxf xx 0)0(?f且方程两边求导并化简得,
xexfxf )()(
)()( Cdxeeexf dxxdx
)( 2 Cdxee xx
xx Cee
2
1
,210)0( Cf 得由 ).(21)( xx eexf
ex4,求一曲线，使由曲线上任一点的切线、两坐标轴和过切点平行于纵轴的直线围成的梯形面积等于,3 2a
Solution,如图所示，
xo
y
)( xyy?
),( yxP
23a
).,(),( yxPxyy 切点为设曲线为?
则切线方程为 )( xXyyY
),0( yxyy轴的交点为与
23
2 ax
yxyy从而
26)2( axyxy即求解此一阶线性微分方程即可得所求曲线方程,
.,
,
,,)0,2(,
),(),(,5
0
00
的方程求曲线两点间弧长值的一半上值等于所围成的曲边扇形面积与曲线若极径上一定点为任一点上为的极坐标方程为设曲线
LM
MLL
OMOMLM
LrMrrLex
Solution,由已知条件得
2)0(
2
1
2
1
0
22
0
2
r
drrdr
求导得 222 rrr
两边平方并整理得 12 rrr
分离变量得?drr dr 12
d
r
d
r
)
1
(
1
1
1
2
Cr1a r cs i n
,62)0( Cr 得由
.6c s c 16s i n 为所求或 rr
二、微分方程在物理学中的应用举例通常利用物理学中的有关定律列出微分方程,
ex6,一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点 O处，且速度为 v0，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点的距离成正比 (k1>0),
而方向与初速一致，又介质的阻力与速度成反比 (k2>0),
求反映该质点的运动规律的函数,
Solution,设质点在 t时刻的运动规律函数为 s=s(t),则
,1 skF?作,22 dtdskvkF阻由牛顿第二定律得?
dt
dsksk
dt
sd
212
2
1
0)0(?s
0)0( vs
为二阶常系数齐次线性微分方程,易求得其解,
ex7,设物体 A从点 (0,1)出发，以速度大小为常数 v沿 y
轴正向运动，物体 B从点 (?1,0)与 A同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，试建立物体 B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件,
Solution,如图所示,
xo
y
1?
1
则处位于点设在时刻,),(,yxBt
),( yx
x
yvt
dx
dy
1t a n?
)1( vtydxdyx即两边对 x求导得 dxdtvdx ydx2
2
dt
dxy
dt
dx
dx
ds
dt
dsv 212又
21
2
1 y
vdx
dt
0121 22
2
ydx ydx 为 B的运动轨迹所满足的方程,
初始条件是
01xy
11xy )45(ta n?
三、其它应用举例
ex8,某池塘养鱼，该池塘最多能养鱼 1000条，鱼数 y是时间 t的函数 y=y(t)，且变化速度与鱼数 y及 1000?y的乘积成正比，现已知在池塘内放养鱼 100条，三个月后有
250条，求放鱼数与时间 t的关系 y(t)，放养六个月后有鱼多少？
Solution,
依题意有?
)1 0 0 0( ykydtdy
1000ty
2503ty
分离变量并积分得 ( * ) 1000ln1000 1 Cktyy
9
1ln
1000
1,100
0 Cy t 得由得代入及将 ( * )2 5 091ln1 0 0 01 3tyC 313ln1 0 0 01?k
再代入 (*)得,33 339
1 0 0 0 t
ty
).(500,6 条时当 yt
The end
微分方程的简单应用教学要求
1,会用微分方程 (或方程组 )解决一些简单的应用问题,
,用举例微分方程在几何中的应一
,应用举例微分方程在物理学中的二
,其它应用举例三一、微分方程在几何中的应用举例通过根据几何量之间的关系列出含有微分或积分的表达式，再求解,
ex1,在连接点 A(0,1)和点 B(1,0)的一条向上凸的曲线上任取一点 P(x,y)，已知曲线与弦 AP之间的面积为 x3,
求此曲线方程,
Solution,
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设所求曲线方程为 y = y(x)，
由已知条件得
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两边对 x求导整理得 xxyxy 611
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,0)1(?y由,5?C得,156 2 xxy
ex2,在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点
P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的线段 PQ长度的倒数（ Q是法线与 x轴的交点）且曲线在点 (1,1)处的切线与 x轴平行,
Solution,),( xyy?设曲线方程为则在 P(x,y)处的曲率为
2
3
)1( 2y
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)0(y
曲线 y=y(x)在点 P(x,y)处的法线方程为
)0( )(1 yxXyyY
它与 x轴的交点为 )0,( yyx
222 1)( yyyyyPQ
22 1
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由可降阶微分方程的解法得到通解,并求得特解,
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),()3(;1
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0)0()0)(()1(
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21
的表达式求函数的长度恒等于线段的面积轴所围封闭图形与直线曲线和分别相交于点和与曲线轴的动直线平行于和满足条件函数
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Solution,如图所示,
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依题意可得,
)(1)(0 xfedxxf xx 0)0(?f且方程两边求导并化简得,
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2
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,210)0( Cf 得由 ).(21)( xx eexf
ex4,求一曲线，使由曲线上任一点的切线、两坐标轴和过切点平行于纵轴的直线围成的梯形面积等于,3 2a
Solution,如图所示，
xo
y
)( xyy?
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23a
).,(),( yxPxyy 切点为设曲线为?
则切线方程为 )( xXyyY
),0( yxyy轴的交点为与
23
2 ax
yxyy从而
26)2( axyxy即求解此一阶线性微分方程即可得所求曲线方程,
.,
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,,)0,2(,
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的方程求曲线两点间弧长值的一半上值等于所围成的曲边扇形面积与曲线若极径上一定点为任一点上为的极坐标方程为设曲线
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二、微分方程在物理学中的应用举例通常利用物理学中的有关定律列出微分方程,
ex6,一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点 O处，且速度为 v0，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点的距离成正比 (k1>0),
而方向与初速一致，又介质的阻力与速度成反比 (k2>0),
求反映该质点的运动规律的函数,
Solution,设质点在 t时刻的运动规律函数为 s=s(t),则
,1 skF?作,22 dtdskvkF阻由牛顿第二定律得?
dt
dsksk
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212
2
1
0)0(?s
0)0( vs
为二阶常系数齐次线性微分方程,易求得其解,
ex7,设物体 A从点 (0,1)出发，以速度大小为常数 v沿 y
轴正向运动，物体 B从点 (?1,0)与 A同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，试建立物体 B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件,
Solution,如图所示,
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则处位于点设在时刻,),(,yxBt
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2
ydx ydx 为 B的运动轨迹所满足的方程,
初始条件是
01xy
11xy )45(ta n?
三、其它应用举例
ex8,某池塘养鱼，该池塘最多能养鱼 1000条，鱼数 y是时间 t的函数 y=y(t)，且变化速度与鱼数 y及 1000?y的乘积成正比，现已知在池塘内放养鱼 100条，三个月后有
250条，求放鱼数与时间 t的关系 y(t)，放养六个月后有鱼多少？
Solution,
依题意有?
)1 0 0 0( ykydtdy
1000ty
2503ty
分离变量并积分得 ( * ) 1000ln1000 1 Cktyy
9
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1000
1,100
0 Cy t 得由得代入及将 ( * )2 5 091ln1 0 0 01 3tyC 313ln1 0 0 01?k
再代入 (*)得,33 339
1 0 0 0 t
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The end
