练习 1.3
四,3.,zyxu?
yu?xx zy ln yzy )(? 1ln zy zyxx z
yu?xx zy ln zzy )(? yyxx zy z lnln
四,4, 10 2)(),( dxedssfyxF xxyy
yxyfxF )(
)()( yfxxyfyF
五,2,222ln zyxu )l n (21 222 zyx
222222
2
2
1
zyx
x
zyx
x
x
u

2222
222
2
2
)(
2
zyx
xxzyx
x
u


2222
222
)( zyx
xzy


2222
2
)(
2
zyx
yx
yx
u



222 )(
2
zyx
xy


2222
2
)(
2
zyx
zx
zx
u



2222 )(
2
zyx
xz


练习 1.4
一,2.,),(),( dyyxQdxyxPdf
,),( xfyxP,),( yfyxQ
,
2
yx
f
y
P


故,2
xy
f
x
Q


.xQyP
练习 1.5
一,1,},0,0,1{l?取
c o sc o sc o s zfyfxflf而,xf
七,,
0s i n),(co s),(
1s i n),(co s),(
200200
100100




yxfyxf
yxfyxf
yx
yx
,
0),(
2
3
),(
2
1
1),(
2
1
),(
2
3
0000
0000



yxfyxf
yxfyxf
yx
yx
,1),(
3),(
00
00

yxf
yxf
y
x
,3),( 00 jiyxg r a d f,2),( 00 即为所求 yxg r a d f
练习 1.6
一,2,),,s i n( xyyefz x?


2
21
s i n
),(
x
y
ye
ff
x
z
x
.s i n 221 xyfyef x
一,5,),()(1 yxyxyfxz
),()(1)(1 2 yxyyxyfxxyfxxz
)(1)(1)(1 2
2
xyfxxyxyfxxxyf
xyx
z

)()( yxyyx ).( fy
二,2,),,,( zyxfz?
),,( zyxdfdz? dzfdyfdxf 321
dyfdxfdzf 213 )1(
dyffdxffdz
3
2
3
1
11
.
11 3
1
z
f
x
f
f
f
x
z
二,4,xvvzxuuzxz )( 2xyvzuz
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z




xv
z 1?

v
z
xyv
z
x
y
u
zx
y
zy
x
zx




1)(
2u
zx

u
zu
,z?
五,
八,
),,( ),,,(
),,,(
yxhvyvxgu
vuxfz

z
x
u
v
x
v
y
x
y
x
y
x
h
v
f
x
h
v
g
x
g
u
f
x
f
x
z






)(
,13121121 hfhgfgff
y
h
v
f
y
g
y
h
v
g
u
f
y
z





)(
.2332222 hfgfhgf
练习 1.7
一,3,),(22 yzyzx
法 1,),(),,( 22 yzyzxzyxF设
,)( 2 yzyzyF y
,212 zyyzF z,2?




z
y
z
F
F
y
z
z
y
法 2:,2 2y
zy
y
z
y
y
z
z


,
2?



z
y
z
y
z
四,法 1:,3 33 axy zx
,3),,( 33 axy zxzyxF设
,33 2 yzxF x,xzF y,3 xyF z
,
2
x
z
y
x
xy
yzx
x
z
,
y
z
xy
xz
y
z




x
z
y
x
yyx
z2
y
z
xy
x
1
2
)(12 yzxyx,2
2
xy
xyz
法 2,两边对 x,y求偏导,并得到对 x,y的二阶混合偏导,
法 3,化成 z关于 x,y的显函数,再求偏导,
六,,)()( xy dttPuu?
,)()(),,( udttPuuyxF xy设
),( xPF x? ),( yPF y,1uF
,1 )( xPxu,1 )( yPyu
,1 )( xPfxufxz
,1 )(?



yPf
y
uf
y
z
代入等式的左边,即可知结论成立,
七,两边对 x求导得,


0222
01
dx
dv
v
dx
du
ux
dx
dv
dx
du
vu
xv
dx
du
,
x
u
vu
xu
dx
dv
,
x
xu
xudxddx ud 2
2
2x
ux
dx
du
,2
2
u?
练习 1.8
三,1.,),,(),,( zzyxFzyx
,xx F,yy F,1 zz F
).1,,( zyx FFFn?
八,,),(),,( 2zyxfzyxF
),,(),,( yxfzyxF xx? ),,(),,( yxfzyxF yy?
,2),,( zzyxF z ),4,2,2( n?
),2,1,1(2)4,2,2(n?依题意取
.61c o s
练习 1.9
五,
x y
yx2
,22t a n2t a n2t a n 222 yxryrxrA
,,0,0 yxyx且自测题九,
u
x
x
y
x
z
x
u
x
u
dx
du
x
u









uuu
y
u
y
u




u
z
u
z
u




u
.0uzuyuxu
或者?




z
y
x
u
x
y
z






z
z
uy
y
u
d
dx
x
uu
.0 zuyuxu
十,为使椭圆面积最小，必须椭圆与圆相切，
),,( yx设切点为
),(12
2
2
2
处切线的斜率为在则椭圆 yxbyax,2
2
ya
xby
),(1)1( 22 处切线的斜率为在圆 yxyx,
1
y
xy
令斜率相等得：,22
2
ba
ax

,
)(
)(1
222
222222
2
2
2
2
2
22
2
ba
babbay
b
y
a
x
ba
ax

得代入将
,
)(
)(1)1(
222
4222
222
22
2
ba
bbayyx
ba
ax

得代入将
,2 相等得令两个 y,0])1)()[(( 222222 bbbaba
,
12
2
时当
b
ba,
12
3

b
babS椭圆面积
,0
11
1
13
22
2
322



bb
b
b
bbb
S?令
,23?b得,23?a ;2 33S
,时当 ba?,2 ba则有 ;2 334S
,23,23 时椭圆面积为最小 ba
十一,如图所示,
x
y
o
),0( yA
)0,( xB )0,( zxC?
,旋转一周绕设 BCA B C?

0
0
z
y
x
取都有无论,0,0,0,0,0,0 zxzxzxxxx
,31])[(31 22 zyxzxyV
,2)( 2222 pyzxzyxACBCAB且