练习 4.1
二,法 1:


ty
tx
s in1
c os令 )20( t
法 2:,s in2r由





s ins in2
c oss in2
y
x令 )2(
)0(或三,)20(
s in
c os
3
3


t
tay
tax取练习 4.2
二,1,



21,2
10,11
xx
xxxy?

C
dyyxdxyx )()( 2222
21 2221 2210 22 ])2([])2([)( dxxxdxxxdxxx
21 210 2 )2(22 dxxdxx
.34?
二,2.,10,,2 由xxyom A
,01,, 由xxyA n o
dxdyxyo m An o a r ct a n
0110 )11( a r c t a n)1a r c t a n2( dxdxxx
四,,0
2222
求导得两边对由 x
zyx
azyx


,01 0222



zy
zzyyx,
yz
zxy
,
yz
xyz

},,,1{,yz xyyz zx曲线的切向量为
},,,{ xyzxyzT记 它与 L的方向一致,
,
)()()(
c os 222
xyzxyz
yz


,
)()()(
c os 222
xyzxyz
zx


,
)()()(
c os 222
xyzxyz
xy


ds
xyzxyz
xyzxyzI
L
222
222
)()()(
)()()(
dsxyzxyz
L
222 )()()(
dszyxzyx
L
2222 )()(3
dsa
L
3,32 2a
注意,也可利用参数方程来求解,
练习 4.3
三,
x
y
O
)1,1(A
,,BOAB添加辅助线
B
,01,1, 从yxAB
,01,0, 从xyBO
,2 2yyeyP ),1(2 2yyexQ

BOABBOABC
原式

BOAB
yy
D
dyyexdxedxd y )1(22 22
0101 )1(21 2 dydyye y
四,
x
y
O )0,2(A
xyx 222
,OA添加辅助线
,20,0, 从xyOA
,co s yeyP x
,co s 2xyexQ x

OAOAL
原式

OA
xx
D
dyxyeyd xed x d yx )3co s(s i n
2
2

c o s20 2220 cos r d rrd
练习 4.4
三,Sdzxyzxy
)( 由对称性与奇偶性得
Szxd
四,Sdzyx
S
)( 由对称性与奇偶性得
Szd
S

练习 4.5
二,
S
zdxdy



1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
b
y
a
x
d x d y
b
y
a
x
c



1
22
22
1
vu
bvy
aux
d u d vvua b c
10 220 1 r d rrda b c,32 abc
,322 abcx d y d zx d y d z
SS

前
,32 abcy dz dx
S

.2)32(3 a b ca b cI
三,
S
zdxdy


222 )()(
222 ])()([
Rbyax
d x d ybyaxRc





222
2222
Rvu
vby
uax
d u d vvuRRc?
R r d rrRdRc 0 22202,32 32 RRc

后前 SSS
xd y dzxd y dzxd y dz



zcRczby
d yd zczbyRa
,)()(
222
222
])()([



zcRczby
d yd zczbyRa
,)()(
222
222
])()([,32 3R
,32,3Ry dz dx
S
同理
3332
3
2
3
2
3
2 RRRRcI
.2 32 RRc
五,不能用 Gauss公式 ! 只能直接计算,

上SS
z
d x d y
z
d x d y 2

1 2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
b
y
a
x
b
y
a
x
dxdy
c


1
0 2
2
0
s i n
co s
1
2
r
r d rdab
c
bry
arx

,4
2c
abc
,4,2aabcxdy dz
S
同理,4
2b
abc
y
dz dx
S

).111(4 222 cbaabcI