练习 2.2(1)
二,2,
xo
y
2xy?
22 xy?
2
1 1 2
:型?y 21 y,2 yxy
:型?x 121 x
21 x
,21 2xy
,22 yx
yy dxyxfdyI
2
2
1 ),(
221211
2
1 2
2
),(),( xx dyyxfdxdyyxfdx
三,3,
o x
y
1 yx
1 yx
1 yx
1 yx
x x yx dyedxI 1 10 1 xx yx dyedx 1 110
.1 ee
四,,,,byabxaD记

D
b
a
b
a
b
a
b
a d x d yyf
xfdy
yfdxxfdxxfdxxf )(
)(
)(
1)(
)(
1)(

D
b
a
b
a
b
a
b
a d x d yxf
yfdx
xfdyyfdxxfdxxf )(
)(
)(
1)(
)(
1)(

DD
b
a
b
a d x d yyf
xfd x d y
xf
yfdx
xfdxxf )(
)(
)(
)(
2
1
)(
1)(

D
dxdyyf xfxf yf )( )()( )(21
D
dxdy221,)( 2ab
五,,)()( 0 x dxxfxF记 ),()( xfxF则
,)()1( 10 AdxxfF,0)0(?F
110110 )()()()( xx dyyfdxxfdyyfxfdx
10 )]()1()[( dxxFFxf
1010 )()()()1( dxxFxfdxxfF
102 )()( dxxFxFA 102 )()( xdFxFA
1
0
22 )(
2
1 xFA )1(
2
1 22 FA
.2121 222 AAA
练习 2.2(2)
三,2,
xo
y
1
1?
2?

半圆形正方形
d x d yyxd x d yyxI )()( 2222
1 1 220 2 )( dyyxdx
1
0
22
3
2
r d rrd

四,
xo
y
.22
练习 2.4
四,,2,1,2
22
围成由 zzyxz
x
y
z
o
1
2
,21 z
.2,22 zyxD z

zD
dxdyyxdz )( 2221原式

zD
z dr drdze?32
1
z drrddz 20 32021
练习 2.5
二,
x
y
z
o
2
1
1,直角坐标下的三次积分
:?
.11 x
,11 22 xyx
,2 2222 yxzyx
2,柱面坐标下的三次积分
:?
.20
,10 r
,2 22 rzr
.22 2 21020 rr dzzr d rdI
3,球面坐标下的三次积分
x
y
z
o
2
1
21
:1?
.20,40
,20
:2?
.20,24
,s inc os0 2
20 244020 c o ss i n

dddI
.co ss i n2s i n
c o s
0
242
4
2
0

ddd
三,2,
o x
y
1
-1
投影区域如图所示,
利用柱面坐标来计算,
:?
.02
,c o s20 r
,10 z

dzr d r drz?原式

1
0
c o s2
0
20
2
z dzdrrd
练习 2.6
二,3,

s in
c os
ry
rax令
rr rrJ c oss in s inc os),(
0c o s2,ar边界曲线方程变为
}232,co s20|),{( arrD


D
r d r dr?原式


c o s2
0
22
3
2
a drrd
练习 2.3
三,,2,22 xyxxoy面上的投影区域为在
,,22 yxz而曲面方程为
,22
yx
x
x
z
又,
22 yx
y
y
z


D
dxd yyzxzA 22 )()(1

D
dxdy2,2
练习 2.7
一,
x
y
z
o
,面投影时向 xoy;10,1,10,2 xyxyz;10,0,10,2 yyxyz


21
00
1
0
yy dzdxdydvV
:,利用柱面坐标计算面投影时向 yo z
.20,10,co s0, rrx

co s
0
1
020
r dxr d rddvV
二,
x
y
z
o
xoy面上的投影域为 D,.22 axyx
由对称性可知上VV 2?

D
d x d yyxa 2222

D
r d r dra?222


c o s
0
222
2
2 a r d rrad
三,
x
y
z
o
xoy面上的投影域为 D,.122 yx

D
d x d yyxyxV )]([ 2222

D
r d r drr?)( 2
10 220 )( r d rrrd
四,
x
y
z
o
xoy面上的投影域为 D,.422 yx

dvxm )( 22

dzr d r dr?2
525 zr
5
2
5
2
0
32
0 r dzdrrd

自测题 (第二章 )
六,,)()( 0 x dttfxF设,0)0(,)()1( 1
0 FdttfF则
10 1 )()()(x yx d x d y d zzfyfxf
10 1 )()()( x yx dzzfdyyfdxxf
10 1 )]()()[()( x dyxFyFyfdxxf
])()()()([)( 110 1 xx dyyfxFdyyFyfdxxf
)]}()1()[()()({)(10 1 xFFxFydFyFdxxf x
10 2
22
)]()()1(2 )()1()[( dxxFxFFxFFxf
10
22
)(]2 )()()1(2 )1([ xdFxFxFFF
1
0
31
0
2
1
0
2
6
)(
2
)()1()(
2
)1( xFxFFxFF
6
)1(
2
)1(
2
)1( 333 FFF
6
)1(3F?,])([
6
1 31
0 dttf
七,,122 yxz切平面方程为
,1)1()1(,22 yxDxoy 面上的投影区域为在

D
d x d yyxyxV )]()122[( 22

D
dxdyyx ])1()1(1[ 22
,s i n1 c os1



ry
rx令,
c oss in
s inc os),( r
r
rrJ


.20,10, rD


D
r d r drV?)1( 2 10 220 )1( r d rrd
八,,8 2 22 围成与由 zzyx
先二后一法,,80 z,2,22 zyxD z

zD
dxdyyxdzI )( 2280 z r d rrddz 20 22080
利用柱面坐标计算,
,16,22 yxDxoy 面上的投影区域为,28
2r
z
8
2
24
0
2
0 2r r d zrdrdI