Chapter 5(4)
二阶常系数线性微分方程与 Euler方程教学要求
(1) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ;
(2) 会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 ;;
]s i n)(c o s)([
)( )3(
性微分方程的特解的二阶常系数非齐次线和会求自由项为
xxPxxPe
xPe
nl
x
m
x
(4) 会解 Euler方程,
分方程二阶常系数齐次线性微一,
方程阶常系数齐次线性微分二 n,
微分方程二阶常系数非齐次线性三,
方程四 E u l e r,
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解讨论关于 0.1 qyypy
.,0 待定的解是设 rqyypyey rx
.,2 rxrx eryrey则将其代入原方程,得 0)( 2 rxeqprr
02 qprr 特征方程
.2 4
2
2,1
qppr
有两个不相等的实根
,2 4
2
1
qppr,
2
42
2
qppr
,11 xrey?,22 xrey?
两个线性无关的特解得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy
)0(
特征根为
有两个相等的实根
,11 xrey?,221 prr
)0(
一特解为得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy
代入原方程并化简，，，将 222 yyy
,0)()2( 1211 uqprrupru
,0u知,)( xxu?取,12 xrxey?则
,)( 12 xrexuy?设另一特解为特征根为
有一对共轭复根
,1 ir,2 ir
,)(1 xiey,)(2 xiey
)0(
重新组合 )(2
1
211 yyy,c o s xe x
)(21 212 yyiy,s in xe x
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x
特征根为的步骤求解 0.2 qyypy
0 )1( 2 qprr写出特征方程
21,)2( rr求出特征方程的根
:,)3( 21 的情况写出通解由 rr
,) ( 21 时两不等实根 rr? xrxr eCeCy 21 21
,) ( 21 时两相等实根 rrrrxexCCy )( 21
,) ( 2,1 时一对共轭复根 ir
).s inc os( 21 xCxCey x
Example 1,求解下列微分方程,032)1( yyy
,02)2( yyy,054)3( yyy
,04)4( yy,0)5( yy
Solution,(1)特征方程为,0322 rr
3,1 21 rr解得故所求通解为,321 xx eCeCy
(2)特征方程为,0122 rr
1 21 rr解得故所求通解为,)( 21 xexCCy
(3)特征方程为,0542 rr
ir 2 2,1解得故所求通解为 ).s i nc os( 212 xCxCey x
(4)特征方程为,042 rr
4,0 21 rr解得故所求通解为,421 xeCCy
(5)特征方程为,012r
ir2,1 解得故所求通解为,s i nco s 21 xCxCy
二,n阶常系数齐次线性微分方程
01)1(1)( ypypypy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn prprpr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s i n)(
c os)[(
1
110
1
110
Example 2,求解下列微分方程,0)1( )4( yy
,02)2( )4( yyy
.022)3( )3()4()5( yyyyyy
Solution,(1)特征方程为,014r
irrr 4,321,1,1 解得故所求通解为
.s i nc o s 4321 xCxCeCeCy xx
(2)特征方程为,02 234 rrr
1,0 4321 rrrr解得故所求通解为,)( 4321 xexCCxCCy
特征根为,,,1 54321 irrirrr
故所求通解为
.s i n)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x
,0122 2345 rrrrr(3)特征方程为
,0)1)(1( 22 rr
三,二 阶常系数非齐次线性微分方程
)(,1 xPeqyypy mx
.)(,次多项式的是关于为常数其中 mxxP m?
的特解讨论关于 )( xPeqyypy mx
设非齐次方程的特解为,)(* xexQy 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m
不是特征方程的根，若?)1(,02 qp
),()( xQxQ m?可设;)(* xm exQy
是特征方程的单根，若?)2(
,02 qp,02 p
),()( xxQxQ m?可设;)(* xm exxQy
是特征方程的重根，若?)3(
,02 qp,02 p
),()( 2 xQxxQ m?可设
.)(* 2 xm exQxy
综上讨论
,)(* xQexy mxk设
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
)( 特解的步骤求 xPeqyypy mx
的根求出特征方程 0)1( 2 qprr
),(*)2( xQexy mxk设特解为
是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根
2
,1
0
k
.,)(
,* )3(
得到特解中的待定参数即可求得代入原方程用待定系数法将
xQ
y
m
Example 3,)1(32 23 xeyyy x求解
Solution.,032 2 rr特征方程为,3,1 21 rr解得
xx eCeCY 321故齐次方程通解为可设是特征方程的单根由于,3
xeaxaxaxy 32120 )(*
代入原方程得将 *,**, yyy
2201021 112)86(42 xxaxaaaa
086
142
112
10
21
0
aa
aa
a
比较系数得
32
9
16
1
12
1
2
1
0
a
a
a
xexxxy 32 )
32
9
16
1
12
1(*
.)32916 112 1( 32321 xxx exxxeCeCy所求通解为
Example 4.
).(,)()()(
)(
0 xfdttfxtexf
xf
xx 试求满足设连续函数
Solution.,)()()( 00 xxx dttfxdtttfexf?
,)()( 0 xx dttfexf
,)()( xexfxf,1)0(,1)0( ff且
xeyy即
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得
.s i nco s 21 xCxCY故齐次方程通解为可设为不是特征方程的根由于,1
xaey?*
,2 **,xx eaeyy 代入原方程得将,21?a得
xey
2
1*
.21s i nco s 21 xexCxCy 所求通解为代入得由 1)0(,1)0( ff 121,121 21 CC
2
1,
2
1
21 CC故
).s i n( co s21)( xexxxf
.21co ss i n 21 xexCxCy又的特解为)(1)1(1)( xPeypypypy mxnnnn
)(* xQexy mxk
重根是特征方程的不是特征方程的根其中
ssk?
0
推广：
]s i n)(co s)([,2 xxPxxPeqyypy nlx
.
,,)(),(,,
且有一个可为零次多项式的是关于为常数其中 nlxxPxP nl
的特解讨论关于 ]s i n)(co s)([ xxPxxPeqyypy nlx
]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx利用 Eul r公式
]2)(2)([ ieexPeexPe
xixi
n
xixi
l
x
xinlxinl e
i
xPxPe
i
xPxP )()( )
2
)(
2
)(()
2
)(
2
)((
),()( )()( xPexPe mximxi ).,m a x ( nlm?
,)( )( xim exPqyypy设
,)( )(*1 ximk exQxy
,)( )( xim exPqyypy设
,)( )(*2 ximk exQxy
])()([*2*1* ximximxk exQexQexyyy
]s i n)(c o s)([ xxSxxRex mmxk
是所求方程的特解形式,).,m a x ( nlm?
特解的步骤求 ]s i n)(co s)([ xxPxxPeqyypy nlx
的根求出特征方程 0)1( 2 qprr
],s i n)(co s)([*)2( xxSxxRexy mmxk设特解为
.,)()(
,* )3(
得到特解中的待定参数与即可求得代入原方程用待定系数法将
xSxR
y
mm
),,m a x ( nlm?且 1
0
是特征方程的根不是特征方程的根
i
ik
Example 5.,s i n2co s2 的一个特解求 xxxyyy
Solution,2)(,)(,1,0 xPxxP nl这里
,012 2 rr特征方程为,1 2,1?r解得
,故可设特解为不是特征方程的根而 ii
xbxbxaxay s i n)(co s)(* 1010
*,**,代入原方程并整理得将 yyy
xxx
xabaxaxbbaxb
s i n2c os
s i n)(2c os)(2 10001000
比较系数得
1
02
0
12
100
0
100
0
aba
a
bba
b
2
1
2
1
2
1
0
1
0
1
0
b
b
a
a
.s i n)1(21co s21* xxxy 所求特解为
.)(
,0)()(
]s i n)(c o s)([
解得可转化为的情况有一个为或中对于
xPeqyypy
xPxP
xxPxxPeqyypy
m
x
nl
nl
x
则的解是设
,
)()()()()()( 2121 xifxfyxQyxPyxiyxyy;)()()()( 11 的解是 xfyxQyxPyxy
.)()()()( 22 的解是 xfyxQyxPyxy
( *) )( )( xiexPqyypy对于方程
xxPiexxPeqyypy xx s i n)(c o s)(即为;c o s)( ( *) 的解的解的实部是 xxPeqyypy x
.s i n)( ( *) 的解的解的虚部是 xxPeqyypy x
由定理知定理
Example 6.,2s in52 的一个特解求 xeyyy x
Solution,1)(,2,1 xP这里
xieyyy )21(52作辅助方程
,052 2 rr特征方程为,21 2,1 ir解得可设是特征方程的单根由于,21 ii
,52 )21()21( 的解为 xixi eyyyxA ey
]1)21[(
)21(
)21(
)21()21(
xiAe
xeiAAey
xi
xixi
xixi xeiAeiAy )21(2)21( )21()21(2
]23)1(4[)21( xxiAe xi
52,,)21( xieyyyyyy 代入方程将
.4 iA可得
xixeiy )21(
4
故 )2s i n
4
12c o s
4( xx
ixe x
)2c o s41(2s i n41 xxeixxe xx
.2c o s41* xxey x 所求特解为
)( 通解的步骤求 xfqyypy
0 )1( 的通解求 qyypy
* )( )2( yxfqyypy 的一个特解求
* )3( yYy写出通解
Example 7.,s i n4 的通解求 xyy
Solution.,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
可设是特征方程的根由于,ii
)s inc o s(* xbxaxy
代入原方程得把 **,yy xxbxa s in4c o s2s in2
.0,2 ba比较系数得
xxy c o s2*故
.c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy 原方程的通解为或作辅助方程,4 ixeyy
,是单根i,ixA x ey?故代入上式,42?Ai,2 iA
,)c os2(s in22 ixxxxixey ix
所求非齐次方程的特解为,c o s2* xxy
原方程通解为,c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy
（取虚部）
Example 8.,c o s 2 的通解求方程 xxyy
Solution.,2c o s22 的通解即求 xxxyy
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
.2 *1 的特解是设 xyybaxy
,22,*1*1 xbaxxyyyy 得代入将,0,21 ba
.2 *1 xy
作辅助方程,2 2 ixexyy
,2 不是特征方程的根i
,)( 2 ixeBAxy设特解为 代入辅助方程
2
13
032
A
BAi
,9261 iBA,
ixeixy 2)
9
2
6
1(
)2co s922s i n61(2s i n922co s61 xxxixxx
xxxy 2s i n922co s61*2
.2s i n922co s612s i nco s 21 xxxxxCxCy 所求通解为四,Euler(欧拉 )方程解法,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程,
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
的方程 (其中 nppp?21,
形如叫 欧拉方程,为常数 )
特点,各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的乘方的次数相同．
解法分析：
作变量变换,ln xtex t 或
,1 dtdyxdxdtdtdydxdy
,1 2
2
22
2
dtdydt ydxdx yd
将自变量换为,t
,231 2
2
3
3
33
3
dtdydt yddt ydxdx yd
用 D 表示对自变量 t 求导的运算,dtd
上述结果可以写为
,Dyyx
,)1()( 22
2
2 yDDyDD
dt
dy
dt
ydyx
,)2)(1()23(
23
23
2
2
3
3
3
yDDDyDDD
dt
dy
dt
yd
dt
yd
yx
.)1()1()( ykDDDyx kk一般地，
将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量t
的常系数 线性微分方程,求出这个方程的解后，
t把 换为,xln 即得到原方程的解,
Example 9.,)ln( c o s24 22 的通解求方程 xyyxyx
Solution.,ln,xtex t 则令
tyDyyDD 2c o s24)1(有
tyyD 22 c o s24即
tydt yd 2c os142
2
.2,04 2,12 irr 得由
.2s i n2c o s 21 tCtCY 对应齐次方程的通解为
,142
2
*
1 的特解是设 ydt
yday,
4
1?得,
4
1*
1 y
,2c o s4)2s in2c o s( 2
2*
2 的特解是设 tydt
ydtdtbty
,2c o s2c o s42s in4 ttdtb则得,41,0 db得
.2s i n41*2 tty
.2s i n41412s i n2co s 21 tttCtCy故
.ln2s i nln4141ln2s i nln2co s 21 xxxCxCy 通解为
The end
二阶常系数线性微分方程与 Euler方程教学要求
(1) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ;
(2) 会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 ;;
]s i n)(c o s)([
)( )3(
性微分方程的特解的二阶常系数非齐次线和会求自由项为
xxPxxPe
xPe
nl
x
m
x
(4) 会解 Euler方程,
分方程二阶常系数齐次线性微一,
方程阶常系数齐次线性微分二 n,
微分方程二阶常系数非齐次线性三,
方程四 E u l e r,
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解讨论关于 0.1 qyypy
.,0 待定的解是设 rqyypyey rx
.,2 rxrx eryrey则将其代入原方程,得 0)( 2 rxeqprr
02 qprr 特征方程
.2 4
2
2,1
qppr
有两个不相等的实根
,2 4
2
1
qppr,
2
42
2
qppr
,11 xrey?,22 xrey?
两个线性无关的特解得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy
)0(
特征根为
有两个相等的实根
,11 xrey?,221 prr
)0(
一特解为得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy
代入原方程并化简，，，将 222 yyy
,0)()2( 1211 uqprrupru
,0u知,)( xxu?取,12 xrxey?则
,)( 12 xrexuy?设另一特解为特征根为
有一对共轭复根
,1 ir,2 ir
,)(1 xiey,)(2 xiey
)0(
重新组合 )(2
1
211 yyy,c o s xe x
)(21 212 yyiy,s in xe x
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x
特征根为的步骤求解 0.2 qyypy
0 )1( 2 qprr写出特征方程
21,)2( rr求出特征方程的根
:,)3( 21 的情况写出通解由 rr
,) ( 21 时两不等实根 rr? xrxr eCeCy 21 21
,) ( 21 时两相等实根 rrrrxexCCy )( 21
,) ( 2,1 时一对共轭复根 ir
).s inc os( 21 xCxCey x
Example 1,求解下列微分方程,032)1( yyy
,02)2( yyy,054)3( yyy
,04)4( yy,0)5( yy
Solution,(1)特征方程为,0322 rr
3,1 21 rr解得故所求通解为,321 xx eCeCy
(2)特征方程为,0122 rr
1 21 rr解得故所求通解为,)( 21 xexCCy
(3)特征方程为,0542 rr
ir 2 2,1解得故所求通解为 ).s i nc os( 212 xCxCey x
(4)特征方程为,042 rr
4,0 21 rr解得故所求通解为,421 xeCCy
(5)特征方程为,012r
ir2,1 解得故所求通解为,s i nco s 21 xCxCy
二,n阶常系数齐次线性微分方程
01)1(1)( ypypypy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn prprpr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s i n)(
c os)[(
1
110
1
110
Example 2,求解下列微分方程,0)1( )4( yy
,02)2( )4( yyy
.022)3( )3()4()5( yyyyyy
Solution,(1)特征方程为,014r
irrr 4,321,1,1 解得故所求通解为
.s i nc o s 4321 xCxCeCeCy xx
(2)特征方程为,02 234 rrr
1,0 4321 rrrr解得故所求通解为,)( 4321 xexCCxCCy
特征根为,,,1 54321 irrirrr
故所求通解为
.s i n)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x
,0122 2345 rrrrr(3)特征方程为
,0)1)(1( 22 rr
三,二 阶常系数非齐次线性微分方程
)(,1 xPeqyypy mx
.)(,次多项式的是关于为常数其中 mxxP m?
的特解讨论关于 )( xPeqyypy mx
设非齐次方程的特解为,)(* xexQy 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m
不是特征方程的根，若?)1(,02 qp
),()( xQxQ m?可设;)(* xm exQy
是特征方程的单根，若?)2(
,02 qp,02 p
),()( xxQxQ m?可设;)(* xm exxQy
是特征方程的重根，若?)3(
,02 qp,02 p
),()( 2 xQxxQ m?可设
.)(* 2 xm exQxy
综上讨论
,)(* xQexy mxk设
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
)( 特解的步骤求 xPeqyypy mx
的根求出特征方程 0)1( 2 qprr
),(*)2( xQexy mxk设特解为
是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根
2
,1
0
k
.,)(
,* )3(
得到特解中的待定参数即可求得代入原方程用待定系数法将
xQ
y
m
Example 3,)1(32 23 xeyyy x求解
Solution.,032 2 rr特征方程为,3,1 21 rr解得
xx eCeCY 321故齐次方程通解为可设是特征方程的单根由于,3
xeaxaxaxy 32120 )(*
代入原方程得将 *,**, yyy
2201021 112)86(42 xxaxaaaa
086
142
112
10
21
0
aa
aa
a
比较系数得
32
9
16
1
12
1
2
1
0
a
a
a
xexxxy 32 )
32
9
16
1
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1(*
.)32916 112 1( 32321 xxx exxxeCeCy所求通解为
Example 4.
).(,)()()(
)(
0 xfdttfxtexf
xf
xx 试求满足设连续函数
Solution.,)()()( 00 xxx dttfxdtttfexf?
,)()( 0 xx dttfexf
,)()( xexfxf,1)0(,1)0( ff且
xeyy即
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得
.s i nco s 21 xCxCY故齐次方程通解为可设为不是特征方程的根由于,1
xaey?*
,2 **,xx eaeyy 代入原方程得将,21?a得
xey
2
1*
.21s i nco s 21 xexCxCy 所求通解为代入得由 1)0(,1)0( ff 121,121 21 CC
2
1,
2
1
21 CC故
).s i n( co s21)( xexxxf
.21co ss i n 21 xexCxCy又的特解为)(1)1(1)( xPeypypypy mxnnnn
)(* xQexy mxk
重根是特征方程的不是特征方程的根其中
ssk?
0
推广：
]s i n)(co s)([,2 xxPxxPeqyypy nlx
.
,,)(),(,,
且有一个可为零次多项式的是关于为常数其中 nlxxPxP nl
的特解讨论关于 ]s i n)(co s)([ xxPxxPeqyypy nlx
]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx利用 Eul r公式
]2)(2)([ ieexPeexPe
xixi
n
xixi
l
x
xinlxinl e
i
xPxPe
i
xPxP )()( )
2
)(
2
)(()
2
)(
2
)((
),()( )()( xPexPe mximxi ).,m a x ( nlm?
,)( )( xim exPqyypy设
,)( )(*1 ximk exQxy
,)( )( xim exPqyypy设
,)( )(*2 ximk exQxy
])()([*2*1* ximximxk exQexQexyyy
]s i n)(c o s)([ xxSxxRex mmxk
是所求方程的特解形式,).,m a x ( nlm?
特解的步骤求 ]s i n)(co s)([ xxPxxPeqyypy nlx
的根求出特征方程 0)1( 2 qprr
],s i n)(co s)([*)2( xxSxxRexy mmxk设特解为
.,)()(
,* )3(
得到特解中的待定参数与即可求得代入原方程用待定系数法将
xSxR
y
mm
),,m a x ( nlm?且 1
0
是特征方程的根不是特征方程的根
i
ik
Example 5.,s i n2co s2 的一个特解求 xxxyyy
Solution,2)(,)(,1,0 xPxxP nl这里
,012 2 rr特征方程为,1 2,1?r解得
,故可设特解为不是特征方程的根而 ii
xbxbxaxay s i n)(co s)(* 1010
*,**,代入原方程并整理得将 yyy
xxx
xabaxaxbbaxb
s i n2c os
s i n)(2c os)(2 10001000
比较系数得
1
02
0
12
100
0
100
0
aba
a
bba
b
2
1
2
1
2
1
0
1
0
1
0
b
b
a
a
.s i n)1(21co s21* xxxy 所求特解为
.)(
,0)()(
]s i n)(c o s)([
解得可转化为的情况有一个为或中对于
xPeqyypy
xPxP
xxPxxPeqyypy
m
x
nl
nl
x
则的解是设
,
)()()()()()( 2121 xifxfyxQyxPyxiyxyy;)()()()( 11 的解是 xfyxQyxPyxy
.)()()()( 22 的解是 xfyxQyxPyxy
( *) )( )( xiexPqyypy对于方程
xxPiexxPeqyypy xx s i n)(c o s)(即为;c o s)( ( *) 的解的解的实部是 xxPeqyypy x
.s i n)( ( *) 的解的解的虚部是 xxPeqyypy x
由定理知定理
Example 6.,2s in52 的一个特解求 xeyyy x
Solution,1)(,2,1 xP这里
xieyyy )21(52作辅助方程
,052 2 rr特征方程为,21 2,1 ir解得可设是特征方程的单根由于,21 ii
,52 )21()21( 的解为 xixi eyyyxA ey
]1)21[(
)21(
)21(
)21()21(
xiAe
xeiAAey
xi
xixi
xixi xeiAeiAy )21(2)21( )21()21(2
]23)1(4[)21( xxiAe xi
52,,)21( xieyyyyyy 代入方程将
.4 iA可得
xixeiy )21(
4
故 )2s i n
4
12c o s
4( xx
ixe x
)2c o s41(2s i n41 xxeixxe xx
.2c o s41* xxey x 所求特解为
)( 通解的步骤求 xfqyypy
0 )1( 的通解求 qyypy
* )( )2( yxfqyypy 的一个特解求
* )3( yYy写出通解
Example 7.,s i n4 的通解求 xyy
Solution.,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
可设是特征方程的根由于,ii
)s inc o s(* xbxaxy
代入原方程得把 **,yy xxbxa s in4c o s2s in2
.0,2 ba比较系数得
xxy c o s2*故
.c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy 原方程的通解为或作辅助方程,4 ixeyy
,是单根i,ixA x ey?故代入上式,42?Ai,2 iA
,)c os2(s in22 ixxxxixey ix
所求非齐次方程的特解为,c o s2* xxy
原方程通解为,c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy
（取虚部）
Example 8.,c o s 2 的通解求方程 xxyy
Solution.,2c o s22 的通解即求 xxxyy
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
.2 *1 的特解是设 xyybaxy
,22,*1*1 xbaxxyyyy 得代入将,0,21 ba
.2 *1 xy
作辅助方程,2 2 ixexyy
,2 不是特征方程的根i
,)( 2 ixeBAxy设特解为 代入辅助方程
2
13
032
A
BAi
,9261 iBA,
ixeixy 2)
9
2
6
1(
)2co s922s i n61(2s i n922co s61 xxxixxx
xxxy 2s i n922co s61*2
.2s i n922co s612s i nco s 21 xxxxxCxCy 所求通解为四,Euler(欧拉 )方程解法,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程,
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
的方程 (其中 nppp?21,
形如叫 欧拉方程,为常数 )
特点,各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的乘方的次数相同．
解法分析：
作变量变换,ln xtex t 或
,1 dtdyxdxdtdtdydxdy
,1 2
2
22
2
dtdydt ydxdx yd
将自变量换为,t
,231 2
2
3
3
33
3
dtdydt yddt ydxdx yd
用 D 表示对自变量 t 求导的运算,dtd
上述结果可以写为
,Dyyx
,)1()( 22
2
2 yDDyDD
dt
dy
dt
ydyx
,)2)(1()23(
23
23
2
2
3
3
3
yDDDyDDD
dt
dy
dt
yd
dt
yd
yx
.)1()1()( ykDDDyx kk一般地，
将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量t
的常系数 线性微分方程,求出这个方程的解后，
t把 换为,xln 即得到原方程的解,
Example 9.,)ln( c o s24 22 的通解求方程 xyyxyx
Solution.,ln,xtex t 则令
tyDyyDD 2c o s24)1(有
tyyD 22 c o s24即
tydt yd 2c os142
2
.2,04 2,12 irr 得由
.2s i n2c o s 21 tCtCY 对应齐次方程的通解为
,142
2
*
1 的特解是设 ydt
yday,
4
1?得,
4
1*
1 y
,2c o s4)2s in2c o s( 2
2*
2 的特解是设 tydt
ydtdtbty
,2c o s2c o s42s in4 ttdtb则得,41,0 db得
.2s i n41*2 tty
.2s i n41412s i n2co s 21 tttCtCy故
.ln2s i nln4141ln2s i nln2co s 21 xxxCxCy 通解为
The end
