练习 5.1
三,),,( yxP设切点为
),( xXyyY则切线方程为
,,0 yxyYX 得令
),,0( yxyQy轴的交点为切线与
,1?PQ依题意有
,1)( 22 yxx即
.1 222 yxx故所求微分方程为五,
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
tct
2
2
3
4
1
4?
13
3
2 ct
dt
dx
ct
dt
d
dx
yd
)
3
2
( 13
2
2?
ttt 22
2
22)( ty故,1 x
.1)( 2 xy故所求微分方程为练习 5.2
一,3,,121 yyycy
,yyycy 221
练习 5.3
一,2.,12
3x
y?,6112 )2(
3
xy
一,3,,ch 21 ccxy
,sh 1cxy
,ch 1cxy
12122 sh1ch)( cxcxy 2)(1 y
故所求微分方程为,
.)(1)( 22 yy
二,2,),( xpy ),( xpy
,1 2pp
dx
p
dp?
21
1a r c s h Cxp
1sh Cxp
1sh Cxy
21ch CCxy
321sh CxCCxy
另解一 ),( xpy ),( xpy,1 2pp
,
1 2
dx
p
dp?
,ln)1l n ( 1
2 Cxpp
,1 12 xeCpp,1
1
12
xeC
pp
,1
1
2
C
epp x ),(
2
1
1
1 C
eeCp xx
),(21
1
1 C
eeCy xx
dxCeeCy
x
x )(
2
1
1
1 2
1
1 )(2
1 C
C
eeC xx
.)(21 32
1
1 CxCC
eeCy xx
另解二 ),( xpy ),( xpy,1 2pp
,
1 2
dx
p
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,)1l n ( 1
2 Cxpp
,1 12 Cxepp,1
1 1
2
Cxe
pp
,1 12 Cxepp ),(21 11 CxCx eep
),(21 11 CxCx eey
dxeey CxCx )(21 11 2)(21 11 Cee CxCx
.)(21 3211 CxCeey CxCx
二,3, 1,0 2
2
2
y
yyyxy 原方程变为时当
,12?
y
yx
,1 2
xy
y
,1 1Cxyy两边积分得
,lnln 21 CxCxy两边再积分得
.21 CxCxey
另解,)(,0 22 xyyyyy 原方程变为时当
,xyu?令,xuy?,uxuy,2 uxuy
代入原方程得,02 uuu
),( uPu令,)( dudPuPu
练习 5.4
一,1, iyyyCyyCy 132121
.321 或或?i
二,,0 0322130 为原方程的解设 aaxaxaxay
练习 5.5
三,4.,)()(s in)( 0 x dttftxxxf
,)()(s in)( 00 xx dtttfdttfxxxf
两边对 x求导两次并化简得
,s in)()( xxfxf,1)0(,0)0( f且对应齐次方程的通解为,c o ss i n 21 xCxCY
可设特解为,c oss i n* xbxaxy
代入上微分方程得,21,0 ba
,co s2* xxy?故
,co s2co ss i n)( 21 xxxCxCxf
,s i n2co s21s i nco s)( 21 xxxxCxCxf
得由 1)0(,0)0( ff,0,21 21 CC
.co s2s i n21)( xxxxf
四,,,,,,可得代入所给微分方程比较将 yyy
,23 xeyyy方程为只要求出对应齐次方程的通解,再加上已知的特解即得所求通解,
练习 5.6
五,依题意有
ahy
xy
xxy
p
h
x
)(
)(
d)(
2
2
自测题 (第五章 )
一,1.,yx dydxdydx原方程可变形为
,0)ln( yxddydx
,0)]ln([ yxyxd
.)ln( Cyxyx
一,3.,0)(5)(5)( 000 xfxfxf?,0 为极小点x?
一,5.,)(1 2 xxoxyxy,1 2xydxdy
二,1,),1l n ()( 2xxxf
,)1ln ()( 2 dxxxxf,21)0(f且
].1)1) [ l n (1(21)( 22 xxxf
二,3.,)( 221 xexCCy易得
,0lim,0lim yy xx且,41 yyy又
00 )41( dxyyyd x 00 41 dxydxy
00 4
1 yy,
2
5)0(
4
1)0( yy
九,,22 yxr令
,rxdrduxu则
3
2
2
2
2
2
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2 1
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x
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u同理将上两式代入原方程，则得
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三,),,( yxP设切点为
),( xXyyY则切线方程为
,,0 yxyYX 得令
),,0( yxyQy轴的交点为切线与
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,1)( 22 yxx即
.1 222 yxx故所求微分方程为五,
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.1)( 2 xy故所求微分方程为练习 5.2
一,3,,121 yyycy
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练习 5.3
一,2.,12
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一,3,,ch 21 ccxy
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故所求微分方程为,
.)(1)( 22 yy
二,2,),( xpy ),( xpy
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.)(21 3211 CxCeey CxCx
二,3, 1,0 2
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yyyxy 原方程变为时当
,12?
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,1 1Cxyy两边积分得
,lnln 21 CxCxy两边再积分得
.21 CxCxey
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,xyu?令,xuy?,uxuy,2 uxuy
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练习 5.4
一,1, iyyyCyyCy 132121
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二,,0 0322130 为原方程的解设 aaxaxaxay
练习 5.5
三,4.,)()(s in)( 0 x dttftxxxf
,)()(s in)( 00 xx dtttfdttfxxxf
两边对 x求导两次并化简得
,s in)()( xxfxf,1)0(,0)0( f且对应齐次方程的通解为,c o ss i n 21 xCxCY
可设特解为,c oss i n* xbxaxy
代入上微分方程得,21,0 ba
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,co s2co ss i n)( 21 xxxCxCxf
,s i n2co s21s i nco s)( 21 xxxxCxCxf
得由 1)0(,0)0( ff,0,21 21 CC
.co s2s i n21)( xxxxf
四,,,,,,可得代入所给微分方程比较将 yyy
,23 xeyyy方程为只要求出对应齐次方程的通解,再加上已知的特解即得所求通解,
练习 5.6
五,依题意有
ahy
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2
2
自测题 (第五章 )
一,1.,yx dydxdydx原方程可变形为
,0)ln( yxddydx
,0)]ln([ yxyxd
.)ln( Cyxyx
一,3.,0)(5)(5)( 000 xfxfxf?,0 为极小点x?
一,5.,)(1 2 xxoxyxy,1 2xydxdy
二,1,),1l n ()( 2xxxf
,)1ln ()( 2 dxxxxf,21)0(f且
].1)1) [ l n (1(21)( 22 xxxf
二,3.,)( 221 xexCCy易得
,0lim,0lim yy xx且,41 yyy又
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