Chapter 5(6)
微分方程小结一、内容小结
1．基本概念微分方程，微分方程的阶，微分方程的解，
初始条件，初值问题
2．线性微分方程解的结构理论
)1(0)()( yxQyxPy
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 ( 1 ) 的解,（ 21,CC 是常数）
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 (1)
的通解,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
解的叠加原理
.0)()(
,)()()(
.5
*
2
*
1
*
2
*
1
的特解是则的两个特解是与设定理
yxQyxPyyy
xfyxQyxPyyy
3．一阶微分方程及解法比较微分方程 解法
)()( yNxMy dxxMyN
dy )(
)(
)( xyfy xyu? 作变量代换
)(
111 cybxa
cbyaxfy
kYyhXx,令
)()( xQyxPy ))(( )()( CdxexQey dxxPdxxP
nyxQyxPy )()( nyz 1 令 )()1()()1( xQnzxPnz
x
Q
y
PdyyxQdxyxP
且,0),(),(
通解为,
.),(),(),(
00 0
CdyyxQdxyxPyxu yyxx
4．可降阶微分方程及解法比较微分方程 解法
)()( xfy n?
),( yxfy dxdpxpyxpy )(),( 则令
),( yyfy dydppyypy 则令 ),(
次连续积分 n
5．二阶常系数齐次线性微分方程 0 qyypy 的解法
0 2 qprr特征方程为特征根的情况 通解的表达式
21 rr?实根 xrxr eCeCy 21 21
21 rr?实根 xrexCCy 1)( 21
ir2,1 复根 )s i nc os( 21 xCxCey x
注意推广到 n阶微分方程的情形,
6.二阶常系数非齐次线性微分方程
)( xfqyypy 的解法
f (x)的形式 特解形式
)()( xPexf mx
)(* xQexy mxk
是特征复根是特征单根不是特征根
,2
,1
,0
k
]s i n)(
c os)([)(
xxP
xxPexf
n
l
x
]s in)(
c os)([*
)2(
)1(
xxQ
xxQexy
m
m
xk
7,Euler方程及解法
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
,ln 化为常系数微分方程或令 xtex t
8,微分 方程的简单应用二、题型小结
1、一阶微分方程求解
Example 1.,21)1( 的通解求 ye
dx
dyx
Solution.
112 x
dx
e
dy
y分离变量得
12 x dxedye y
y
两边积分
Cxe y ln1ln2ln得
,)2)(1( 为所求通解从而 Cex y
Example 2.,2s i n2s i n 的通解求 yxyxy
Solution.
2s i n2co s2
yxy原方程可变形为
dxxydy
2
c os2
2
s i n
分离变量得
22
c o s2
2
s i n
2 xdx
y
y
d
两边积分
Cxyy ln2s i n22co t2cs cln得
,2c ot2c s c 2
s i n2
为所求的通解
x
Ceyy
Example 3.,1
1
0
22
xy
xyyxy求满足初始条件的特解
Solution,)1)(1( 2yxy
dxxydy )1(1 2分离变量得
Cxxy 2a rc t a n
2
两边积分得
410
Cy x 代入得把
.42a rc t a n
2?
xxy特解为
Example 4.,)(t a n 2 的通解求 yx
dx
dy
Solution.,yxz令,1
dx
dy
dx
dz则
zdxdz 2s ec?代入原方程得
dxz d z?2c o s 分离变量得
dxdzz2 2co s1 两边积分
12s i n4
1
2 Cxz
z得
,)(2s i n)(2 为所求通解Cyxyx
Example 5,求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
，令 xyu?,则 udxx d udy
,0)(c o s)c o s( xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu,lns i n Cxu
.lns i n Cxxy微分方程的解为
Solution.
.s i n1 的通解求方程 x xyxy
,1)( xxP?,s i n)( x xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
Solution.
Example 6.
,co s1 Cxxy 原方程的通解为
.02)6( 2 的通解求方程 yyxyExample 7.
Solution.,23 yxydydx方程变形为
Cdyeyex
dy
y
dy
y
33
2
则
Cdy
y
yy
3
3 1
2
C
yy 2
13
.2 3
2
为所求通解Cyyx
.0)]ln1([ 3 dxxxyyxdy求解Example 8.
Solution,3)ln1(1 yxyxdxdy方程变形为
,231 yyz令
)ln1(22 xzxdxdz得
Cdxexez
dx
x
dx
x
22
)ln1(2
])ln32(32[1 32 Cxxx
Cxx
y
x )ln
3
2(
3
2 3
2
2
故通解为
2、可降阶微分方程求解
Example 9.,s in2 的通解求 xxy
Solution, dxxxy )s in( 2 1
3
co s3 Cxx
dxCxxy )c o s3( 1
3
21
4
s i n12 Cxxx
dxCxCxxy )s i n12( 21
4
.21cos60 3221
5
为通解即 CxCxCxxy
.0)4()5( 的通解求方程 yxy
Solution,),()4( xpy?设代入原方程,0 ppx
xCp 1?解线性方程,得两端积分,得原方程通解为
)()5( xpy
）（ 0?p
,1)4( xCy?即
,21 221 CxCy,
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy
54233251 dxdxdxdxdy
Example 10.
Example 11.,)( 3 yyy求解
Solution,),( ypy设,dydppy则
,1 2pdydp代入原方程得 dypdp 21 分离变量得
,1 2 dypdp两边积分 1a r ct a n Cyp得
),t a n ( 1Cyp故 )t a n ( 1Cydxdy即
dxCydy )t a n (
1
分离变量得
21 ln)s in(ln CxCy两边积分得
.)s i n ( 21 为所求通解xeCCy
3、利用二阶常系数微分方程解的结构求解
Example 12.
.
,66)22()2()2(
3,3,3
22
2
3
2
21
求此方程的通解的解都是方程已知
xyxyxyxx
exyxyy x
Solution.,212 是对应齐次方程的特解xyy
,23 是对应齐次方程的特解xeyy
.,
2
23
12 它们线性无关且
xe
x
yy
yy?
.3221 xeCxCy所求通解为
4、二阶常系数微分方程求解
Example 13,求解下列微分方程,032)1( yyy
,02)2( yyy,054)3( yyy
,04)4( yy,0)5( yy
Solution,(1)特征方程为,0322 rr
3,1 21 rr解得故所求通解为,321 xx eCeCy
(2)特征方程为,0122 rr
1 21 rr解得故所求通解为,)( 21 xexCCy
(3)特征方程为,0542 rr
ir 2 2,1解得故所求通解为 ).s i nc os( 212 xCxCey x
(4)特征方程为,042 rr
4,0 21 rr解得故所求通解为,421 xeCCy
(5)特征方程为,012r
ir2,1 解得故所求通解为,s i nco s 21 xCxCy
Example 14,)1(32 23 xeyyy x求解
Solution.,032 2 rr特征方程为,3,1 21 rr解得
xx eCeCY 321故齐次方程通解为可设是特征方程的单根由于,3
xeaxaxaxy 32120 )(*
代入原方程得将 *,**, yyy
2201021 112)86(42 xxaxaaaa
086
142
112
10
21
0
aa
aa
a
比较系数得
32
9
16
1
12
1
2
1
0
a
a
a
xexxxy 32 )
32
9
16
1
12
1(*
.)32916 112 1( 32321 xxx exxxeCeCy所求通解为
Example 15.,s i n2co s2 的一个特解求 xxxyyy
Solution,2)(,)(,1,0 xPxxP nl这里
,012 2 rr特征方程为,1 2,1?r解得
,故可设特解为不是特征方程的根而 ii
xbxbxaxay s i n)(co s)(* 1010
*,**,代入原方程并整理得将 yyy
xxx
xabaxaxbbaxb
s i n2c os
s i n)(2c os)(2 10001000
比较系数得
1
02
0
12
100
0
100
0
aba
a
bba
b
2
1
2
1
2
1
0
1
0
1
0
b
b
a
a
.s i n)1(21co s21* xxxy 所求特解为
Example 16.,s i n4 的通解求 xyy
Solution.,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
可设是特征方程的根由于,ii
)s inc o s(* xbxaxy
代入原方程得把 **,yy xxbxa s in4c o s2s in2
.0,2 ba比较系数得
xxy c o s2*故
.c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy 原方程的通解为
Example 17.,c o s 2 的通解求方程 xxyy
Solution.,2c o s22 的通解即求 xxxyy
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
.2 *1 的特解是设 xyybaxy
,22,*1*1 xbaxxyyyy 得代入将,0,21 ba
.2 *1 xy
5、积分方程求解
Example 18,).(,212 21 2 xyyxdtyyx 求设
称这样的方程为积分方程,归结为解微分方程,
Solution,yyyy 2212 2原方程两边求导得
12 2 yyy化简得
dxy y d y 12 2分离变量得
Cxy ln1ln 2两边积分得
,12 xcey,2 12xy又,eC?代入即得
.1 12 xey
Example 19.
).(,01
,])()(2[0 22
xyyx
xydttyttyx
求时且当设
Solution.原方程两边求导得,2 22 yxyyyx
.1 2
2
x
y
x
yy即
,,xuyuxy 则令,dxduxudxdy
代入并化简得,1 2udxdux
,
1
2 xdx
u
du?
分离变量得
Cxuu lnln1ln 2两边积分得
,222 Cxyxyxyu 代入化简得所求通解为将
.1,01 Cyx 则得时又当
,222 xyxy 所求特解为
).(,1)(21)(10 xfxfdxf 求已知Example 20.
Solution,xxxfxdxf )(21)(10由已知等式可得
xxxfdttfx )(21)(0即
1)(21)(21)( xfxxfxf两边求导得
xxfxxf
2)(1)(即
Cdxe
x
exf
dx
x
dx
x
11 2
)( )2( C
xx
.2)( Cxxf 通解为
.)()(,)( 0 2 xxx dttfeexfxf 求解可微设Example 21.
Solution,求导得等式两边对 x
)()()( 20 2 xfedttfeexf xxxx
.2)()()( 2 的贝努利方程为 nxfexfxf x
,)]([ 1 xfz令 xezdxdz得
Cdxeeez dxxdx xx Cee 21
,21)(1 xx Ceexf 通解为,1)0(?f又 23 C
.3 2)( 2 x
x
e
exf
Example 22.
).(,)()()(
)(
0 xfdttfxtexf
xf
xx 试求满足设连续函数
Solution.,)()()( 00 xxx dttfxdtttfexf?
,)()( 0 xx dttfexf
,)()( xexfxf,1)0(,1)0( ff且
xeyy即
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得
.s i nco s 11 xCxCy故齐次方程通解为可设为不是特征方程的根由于,1
xaey?*
,2 **,xx eaeyy 代入原方程得将,21?a得
xey
2
1*
.21s i nco s 21 xexCxCy 所求通解为代入得由 1)0(,1)0( ff 121,121 21 CC
2
1,
2
1
21 CC故
).s i n( co s21)( xexxxf
ex23,在连接点 A(0,1)和点 B(1,0)的一条向上凸的曲线上任取一点 P(x,y)，已知曲线与弦 AP之间的面积为 x3,
求此曲线方程,
Solution,
xo
y
)1,0(A
)0,1(B
),( yxP
设所求曲线方程为 y = y(x)，
由已知条件得
3
0 )1(2
1 xxyyd xx
两边对 x求导整理得 xxyxy 611
])61([
11
Cdxexxey
dxxdxx
)61( Cxxx
,0)1(?y由,5?C得,156 2 xxy
6、应用问题求解
ex24,假设
.)(;
),()3(;1
)()2(;1)(0
0)0()0)(()1(
21
21
的表达式求函数的长度恒等于线段的面积轴所围封闭图形与直线曲线和分别相交于点和与曲线轴的动直线平行于和满足条件函数
xfy
PPS
xMNxfy
PPey
xfyMNy
exf
fxxfy
x
x
Solution,如图所示,
xo
y
1 xey
)( xfy?
M
N
1P
2P
依题意可得,
)(1)(0 xfedxxf xx 0)0(?f且方程两边求导并化简得,
xexfxf )()(
)()( Cdxeeexf dxxdx
)( 2 Cdxee xx
xx Cee
2
1
,210)0( Cf 得由 ).(21)( xx eexf
ex25,求一曲线，使由曲线上任一点的切线、两坐标轴和过切点平行于纵轴的直线围成的梯形面积等于,3 2a
Solution,如图所示，
xo
y
)( xyy?
),( yxP
23a
).,(),( yxPxyy 切点为设曲线为?
则切线方程为 )( xXyyY
),0( yxyy轴的交点为与
23
2 ax
yxyy从而
26)2( axyxy即求解此一阶线性微分方程即可得所求曲线方程,
The end
微分方程小结一、内容小结
1．基本概念微分方程，微分方程的阶，微分方程的解，
初始条件，初值问题
2．线性微分方程解的结构理论
)1(0)()( yxQyxPy
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 ( 1 ) 的解,（ 21,CC 是常数）
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 (1)
的通解,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
解的叠加原理
.0)()(
,)()()(
.5
*
2
*
1
*
2
*
1
的特解是则的两个特解是与设定理
yxQyxPyyy
xfyxQyxPyyy
3．一阶微分方程及解法比较微分方程 解法
)()( yNxMy dxxMyN
dy )(
)(
)( xyfy xyu? 作变量代换
)(
111 cybxa
cbyaxfy
kYyhXx,令
)()( xQyxPy ))(( )()( CdxexQey dxxPdxxP
nyxQyxPy )()( nyz 1 令 )()1()()1( xQnzxPnz
x
Q
y
PdyyxQdxyxP
且,0),(),(
通解为,
.),(),(),(
00 0
CdyyxQdxyxPyxu yyxx
4．可降阶微分方程及解法比较微分方程 解法
)()( xfy n?
),( yxfy dxdpxpyxpy )(),( 则令
),( yyfy dydppyypy 则令 ),(
次连续积分 n
5．二阶常系数齐次线性微分方程 0 qyypy 的解法
0 2 qprr特征方程为特征根的情况 通解的表达式
21 rr?实根 xrxr eCeCy 21 21
21 rr?实根 xrexCCy 1)( 21
ir2,1 复根 )s i nc os( 21 xCxCey x
注意推广到 n阶微分方程的情形,
6.二阶常系数非齐次线性微分方程
)( xfqyypy 的解法
f (x)的形式 特解形式
)()( xPexf mx
)(* xQexy mxk
是特征复根是特征单根不是特征根
,2
,1
,0
k
]s i n)(
c os)([)(
xxP
xxPexf
n
l
x
]s in)(
c os)([*
)2(
)1(
xxQ
xxQexy
m
m
xk
7,Euler方程及解法
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
,ln 化为常系数微分方程或令 xtex t
8,微分 方程的简单应用二、题型小结
1、一阶微分方程求解
Example 1.,21)1( 的通解求 ye
dx
dyx
Solution.
112 x
dx
e
dy
y分离变量得
12 x dxedye y
y
两边积分
Cxe y ln1ln2ln得
,)2)(1( 为所求通解从而 Cex y
Example 2.,2s i n2s i n 的通解求 yxyxy
Solution.
2s i n2co s2
yxy原方程可变形为
dxxydy
2
c os2
2
s i n
分离变量得
22
c o s2
2
s i n
2 xdx
y
y
d
两边积分
Cxyy ln2s i n22co t2cs cln得
,2c ot2c s c 2
s i n2
为所求的通解
x
Ceyy
Example 3.,1
1
0
22
xy
xyyxy求满足初始条件的特解
Solution,)1)(1( 2yxy
dxxydy )1(1 2分离变量得
Cxxy 2a rc t a n
2
两边积分得
410
Cy x 代入得把
.42a rc t a n
2?
xxy特解为
Example 4.,)(t a n 2 的通解求 yx
dx
dy
Solution.,yxz令,1
dx
dy
dx
dz则
zdxdz 2s ec?代入原方程得
dxz d z?2c o s 分离变量得
dxdzz2 2co s1 两边积分
12s i n4
1
2 Cxz
z得
,)(2s i n)(2 为所求通解Cyxyx
Example 5,求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
，令 xyu?,则 udxx d udy
,0)(c o s)c o s( xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu,lns i n Cxu
.lns i n Cxxy微分方程的解为
Solution.
.s i n1 的通解求方程 x xyxy
,1)( xxP?,s i n)( x xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
Solution.
Example 6.
,co s1 Cxxy 原方程的通解为
.02)6( 2 的通解求方程 yyxyExample 7.
Solution.,23 yxydydx方程变形为
Cdyeyex
dy
y
dy
y
33
2
则
Cdy
y
yy
3
3 1
2
C
yy 2
13
.2 3
2
为所求通解Cyyx
.0)]ln1([ 3 dxxxyyxdy求解Example 8.
Solution,3)ln1(1 yxyxdxdy方程变形为
,231 yyz令
)ln1(22 xzxdxdz得
Cdxexez
dx
x
dx
x
22
)ln1(2
])ln32(32[1 32 Cxxx
Cxx
y
x )ln
3
2(
3
2 3
2
2
故通解为
2、可降阶微分方程求解
Example 9.,s in2 的通解求 xxy
Solution, dxxxy )s in( 2 1
3
co s3 Cxx
dxCxxy )c o s3( 1
3
21
4
s i n12 Cxxx
dxCxCxxy )s i n12( 21
4
.21cos60 3221
5
为通解即 CxCxCxxy
.0)4()5( 的通解求方程 yxy
Solution,),()4( xpy?设代入原方程,0 ppx
xCp 1?解线性方程,得两端积分,得原方程通解为
)()5( xpy
）（ 0?p
,1)4( xCy?即
,21 221 CxCy,
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy
54233251 dxdxdxdxdy
Example 10.
Example 11.,)( 3 yyy求解
Solution,),( ypy设,dydppy则
,1 2pdydp代入原方程得 dypdp 21 分离变量得
,1 2 dypdp两边积分 1a r ct a n Cyp得
),t a n ( 1Cyp故 )t a n ( 1Cydxdy即
dxCydy )t a n (
1
分离变量得
21 ln)s in(ln CxCy两边积分得
.)s i n ( 21 为所求通解xeCCy
3、利用二阶常系数微分方程解的结构求解
Example 12.
.
,66)22()2()2(
3,3,3
22
2
3
2
21
求此方程的通解的解都是方程已知
xyxyxyxx
exyxyy x
Solution.,212 是对应齐次方程的特解xyy
,23 是对应齐次方程的特解xeyy
.,
2
23
12 它们线性无关且
xe
x
yy
yy?
.3221 xeCxCy所求通解为
4、二阶常系数微分方程求解
Example 13,求解下列微分方程,032)1( yyy
,02)2( yyy,054)3( yyy
,04)4( yy,0)5( yy
Solution,(1)特征方程为,0322 rr
3,1 21 rr解得故所求通解为,321 xx eCeCy
(2)特征方程为,0122 rr
1 21 rr解得故所求通解为,)( 21 xexCCy
(3)特征方程为,0542 rr
ir 2 2,1解得故所求通解为 ).s i nc os( 212 xCxCey x
(4)特征方程为,042 rr
4,0 21 rr解得故所求通解为,421 xeCCy
(5)特征方程为,012r
ir2,1 解得故所求通解为,s i nco s 21 xCxCy
Example 14,)1(32 23 xeyyy x求解
Solution.,032 2 rr特征方程为,3,1 21 rr解得
xx eCeCY 321故齐次方程通解为可设是特征方程的单根由于,3
xeaxaxaxy 32120 )(*
代入原方程得将 *,**, yyy
2201021 112)86(42 xxaxaaaa
086
142
112
10
21
0
aa
aa
a
比较系数得
32
9
16
1
12
1
2
1
0
a
a
a
xexxxy 32 )
32
9
16
1
12
1(*
.)32916 112 1( 32321 xxx exxxeCeCy所求通解为
Example 15.,s i n2co s2 的一个特解求 xxxyyy
Solution,2)(,)(,1,0 xPxxP nl这里
,012 2 rr特征方程为,1 2,1?r解得
,故可设特解为不是特征方程的根而 ii
xbxbxaxay s i n)(co s)(* 1010
*,**,代入原方程并整理得将 yyy
xxx
xabaxaxbbaxb
s i n2c os
s i n)(2c os)(2 10001000
比较系数得
1
02
0
12
100
0
100
0
aba
a
bba
b
2
1
2
1
2
1
0
1
0
1
0
b
b
a
a
.s i n)1(21co s21* xxxy 所求特解为
Example 16.,s i n4 的通解求 xyy
Solution.,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
可设是特征方程的根由于,ii
)s inc o s(* xbxaxy
代入原方程得把 **,yy xxbxa s in4c o s2s in2
.0,2 ba比较系数得
xxy c o s2*故
.c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy 原方程的通解为
Example 17.,c o s 2 的通解求方程 xxyy
Solution.,2c o s22 的通解即求 xxxyy
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得对应齐次方程的通解为,s i nc o s 21 xCxCY
.2 *1 的特解是设 xyybaxy
,22,*1*1 xbaxxyyyy 得代入将,0,21 ba
.2 *1 xy
5、积分方程求解
Example 18,).(,212 21 2 xyyxdtyyx 求设
称这样的方程为积分方程,归结为解微分方程,
Solution,yyyy 2212 2原方程两边求导得
12 2 yyy化简得
dxy y d y 12 2分离变量得
Cxy ln1ln 2两边积分得
,12 xcey,2 12xy又,eC?代入即得
.1 12 xey
Example 19.
).(,01
,])()(2[0 22
xyyx
xydttyttyx
求时且当设
Solution.原方程两边求导得,2 22 yxyyyx
.1 2
2
x
y
x
yy即
,,xuyuxy 则令,dxduxudxdy
代入并化简得,1 2udxdux
,
1
2 xdx
u
du?
分离变量得
Cxuu lnln1ln 2两边积分得
,222 Cxyxyxyu 代入化简得所求通解为将
.1,01 Cyx 则得时又当
,222 xyxy 所求特解为
).(,1)(21)(10 xfxfdxf 求已知Example 20.
Solution,xxxfxdxf )(21)(10由已知等式可得
xxxfdttfx )(21)(0即
1)(21)(21)( xfxxfxf两边求导得
xxfxxf
2)(1)(即
Cdxe
x
exf
dx
x
dx
x
11 2
)( )2( C
xx
.2)( Cxxf 通解为
.)()(,)( 0 2 xxx dttfeexfxf 求解可微设Example 21.
Solution,求导得等式两边对 x
)()()( 20 2 xfedttfeexf xxxx
.2)()()( 2 的贝努利方程为 nxfexfxf x
,)]([ 1 xfz令 xezdxdz得
Cdxeeez dxxdx xx Cee 21
,21)(1 xx Ceexf 通解为,1)0(?f又 23 C
.3 2)( 2 x
x
e
exf
Example 22.
).(,)()()(
)(
0 xfdttfxtexf
xf
xx 试求满足设连续函数
Solution.,)()()( 00 xxx dttfxdtttfexf?
,)()( 0 xx dttfexf
,)()( xexfxf,1)0(,1)0( ff且
xeyy即
,01 2r特征方程为,2,1 ir解得
.s i nco s 11 xCxCy故齐次方程通解为可设为不是特征方程的根由于,1
xaey?*
,2 **,xx eaeyy 代入原方程得将,21?a得
xey
2
1*
.21s i nco s 21 xexCxCy 所求通解为代入得由 1)0(,1)0( ff 121,121 21 CC
2
1,
2
1
21 CC故
).s i n( co s21)( xexxxf
ex23,在连接点 A(0,1)和点 B(1,0)的一条向上凸的曲线上任取一点 P(x,y)，已知曲线与弦 AP之间的面积为 x3,
求此曲线方程,
Solution,
xo
y
)1,0(A
)0,1(B
),( yxP
设所求曲线方程为 y = y(x)，
由已知条件得
3
0 )1(2
1 xxyyd xx
两边对 x求导整理得 xxyxy 611
])61([
11
Cdxexxey
dxxdxx
)61( Cxxx
,0)1(?y由,5?C得,156 2 xxy
6、应用问题求解
ex24,假设
.)(;
),()3(;1
)()2(;1)(0
0)0()0)(()1(
21
21
的表达式求函数的长度恒等于线段的面积轴所围封闭图形与直线曲线和分别相交于点和与曲线轴的动直线平行于和满足条件函数
xfy
PPS
xMNxfy
PPey
xfyMNy
exf
fxxfy
x
x
Solution,如图所示,
xo
y
1 xey
)( xfy?
M
N
1P
2P
依题意可得,
)(1)(0 xfedxxf xx 0)0(?f且方程两边求导并化简得,
xexfxf )()(
)()( Cdxeeexf dxxdx
)( 2 Cdxee xx
xx Cee
2
1
,210)0( Cf 得由 ).(21)( xx eexf
ex25,求一曲线，使由曲线上任一点的切线、两坐标轴和过切点平行于纵轴的直线围成的梯形面积等于,3 2a
Solution,如图所示，
xo
y
)( xyy?
),( yxP
23a
).,(),( yxPxyy 切点为设曲线为?
则切线方程为 )( xXyyY
),0( yxyy轴的交点为与
23
2 ax
yxyy从而
26)2( axyxy即求解此一阶线性微分方程即可得所求曲线方程,
The end
