曲线积分与曲面积分直接计算法比较一、曲线积分对坐标的曲线积分
dyyxQdxyxPC ),(),(
dttttQtttP
ty
tx
t
)}()](),([)()](),([{
)(
)(



从方法：一代二换三定限
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(
dtttttRttttQ
ttttP
tz
ty
tx
t
)}()](),(),([)()](),(),([
)()](),(),([{
)(
)(
)(






从二.
曲面积分对坐标的曲面积分
dxdyzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
d x d yyxzyxRd x d yzyxR
xyD
yxzz
)],(,,[),,( ),(
"""" 下侧取上侧取
d y d zzyzyxPd y d zzyxP
yzD
zyxx
],),,([),,( ),(
"""" 后侧取前侧取
d z d xzxzyxQdxdzzyxQ
zxD
xzyy
]),,(,[),,( ),(
"""" 左侧取右侧取方法：一代二投影三正向注意：对 x,y的曲面积分投影到 xoy面；对 y,z的曲面积分投影到
yoz面；对 z,x的曲面积分投影到 zox面,
Green公式,Gauss公式比较
Green公式
.
,)co sco s()(
的取正向的边界曲线是其中 DL
dsQPQ d yP d xdxdy
y
P
x
Q
LL
D



Gauss公式
.
)R c o sQ c o s(P c o s
)(
的整个边界曲面的外侧是





dS
R d x d yQ d z d xP d y d zdV
z
R
y
Q
x
P


L
dyxyxydxyyxex ]3)c o s (2[]2)[ c o s (.1 22计算
.0s i n 的段弧到上自为其中 xxxyL
Solution,
x
y
o?
)s i n (22 2yxyyP
)s i n (23 2yxyxQ A
添加辅助线 AO,应用 Green公式,

AOAOL
原式
AOD
dxd y
x dydx si n000 c os xdx.2
,.2 22
y d zd xxzd x d yyIex 计算
.)10( 22 的下侧是第一卦限内抛物面 zyxz
Solution,如图所示，
,0:1 x添加辅助面 取后侧
,0:2 y 取左侧
,1:3 z 取上侧
x
y
z
o
1
由 Gauss公式有



321321
I
,,,,321 围成的空间区域为记

dvyx )( 22
3
2 z d x d yy
.48

dzr d r dr?2
110 320 2r dzdrrd



2
0
10
2
r
d x d yy
10 320 2s i n drrd

,0.3 222 围成与平面由曲面设空间区域 zyxazex
其中 a为正常数，记 Ω表面的外侧为 ∑,Ω的体积为 V，证明
.)1(2222
Vd x d yx y zzd z d xzxyd y d zyzx
证明,dVx y zx y zx y zG a u s s
)2122( 22公式左边
dVx yzV
2
V
yo z
xx yz
面对称于为奇函数关于

x
y
z
o