Chapter 4(2)
第二类曲线积分教学要求：
1,理解 II型 (对坐标的 )曲线积分的概念和性质 ;
2,了解两类曲线积分的关系 ;
3,掌握计算 II型曲线积分的方法 ;
4,了解 II型曲线积分的应用,
,引例与概念一
,性质二
,算对坐标的曲线积分的计三
,系两类曲线积分之间的关五
,用对坐标的曲线积分的应四
,引例与概念一实例,变力沿曲线所作的功
.,
,),(),(),(
所作的功求移至由面上光滑曲线弧沿作用下考虑质点在
FBALxoy
jyxQiyxPyxF
o x
y
A
B
L
1?nMiM
1?iM
2M
1M
ix?
iy?
分割
.),,(
,),,(,
111
1110
BMyxM
yxMMA
nnnn?
.)()(1 jyixMM iiii
),( iiF
,),(),(),( jQiPF iiiiii取
,),( 1 iiiii MMFW
.),(),( iiiiiii yQxPW即求和
.]),(),([
1
n
i
iiiiii yQxP
取极限,]),(),([lim
10
n
i
iiiiii yQxPW
近似值精确值
n
i
iWW
1
定义,
.),(),,(
,
上有界在的有向光滑曲线弧到面上从为设
LyxQyxP
BAxoyL
),,,1( )1( 1 niMMnL ii个有向小弧段成任意分;,11 iiiiii yyyxxx
,),()2( 1 iiii MM;),(,),(
11
n
i
iii
n
i
iii yQxP作
},{m ax )3( 11 的长度记 iini MM
,),(,1 上怎样的取法在怎样的分划如果无论对 iiii MML
( * ) ),(lim
10
n
i
iii xP; ),(( * ),的曲线积分上对坐标在为则称都存在 xLyxP
( * * ) ),(lim
10
n
i
iii yQ
,),(( * * ) 的曲线积分上对坐标在为称 yLyxQ
也称为第二类曲线积分或 II型曲线积分 !
记为 ),(lim),(
10
n
i
iii
L
xPdxyxP
),(lim),(
10
n
i
iii
L
yQdyyxQ
注意,
.,
),(),,(,)1(
第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当存在性 LyxQyxP
.),(),(),(),( )2( LLL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP
(3) 物理意义,变力沿曲线作功,
. L dsFW?
.,jdyidxdsjQiPF其中
.,,,)4( 1 可正可负轴上的投影在是弧 yxMMyx iiii
)5( 有对于空间有向曲线弧?
.),,(),,(),,( dzzyxRdyzyxQdxzyxP
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR
,性质二
.),(),(
),(),(,1
21
21
LL
L
dyyxQkdxyxPk
dyyxQkdxyxPk
,
,.2
21
21
LLL QdyP dxQdyP dxQdyP dx
LLL 则和分成如果把
LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(,3
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
,算对坐标的曲线积分的计三定理,,),(),,()1( 上连续在设 LyxQyxP
,)( )()2(
ty
txL
的参数方程为
,0)()(,)(),( 22 tttt 且具有一阶连续导数
,)}()](),([)()](),([{
dttttQtttP
Q d yPd x
L
则
1,直接计算法
.),(
,)3(
BLALyxM
t
运动到沿的起点由点时变到单调地由当
注意,
.)( )1( 进行积分的终点起点定积分是从?
.,,可正可负的方向不同随 yxL
.)(:)2( baxxyL 由?
.)}()](,[)](,[{ dxxxxQxxPQ d yP d x baL
.)(:)3( dcyyxL 由?
.]}),([)(]),([{ dyyyQyyyPQ d yP d x dcL
,),(,)4( 由rrL
.,s in)( c os)(,
由
ry
rxL
.,
)(
)(
)(
,)5(
由t
tz
ty
tx
dtttttR
ttttQ
ttttP
Rd zQd yPd x
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
(6) 计算过程概括为
,一代二换三定限,,
,)()(,1 22?
L yx
dyyxdxyxex 计算
).( 222 按逆时钟方向绕行为圆周其中 ayxL
Solution,
x
y
o
,s inc os
tay
tax选取参数方程,20由t
L yx
dyyxdxyx
22
)()(
20 2 )c os)(s inc os()s in)(s inc os( dta tatatatatata
20 dt,2
)0()(,.2 222 aayaxLx yd xex
L
为圆周其中计算
).( 按逆时钟方向绕行在第一象限内的部分
Method1,
x
y
o
,s in c os
tay
taax选取参数方程
t
.0由t
0 )s i n(s i n)c os( dttatataaxy dx
L
0 23 s in)c o s1( td tta,2 3a
Method2,
x
y
o
)( 222 的极坐标方程为圆周 ayax
.c o s2?ar?
,
s i nc os2
c os2 2
ay
ax选取参数方程
.20由
20 2 )s inc o s4)(s inc o s2)(c o s2(
daaax y d x
L
20 243 s i ncos16
da
.2 3a
,.3 2
L
y dyxeex 计算
,),1,0(),1,1(),0,0( OBAOL 为有向折线其中
Solution,
x
y
o
)1,1(A)1,0(B
,,xyOA ;10?由x
,1, yAB ;01?由x
,0, xBO ;01?由y
BOABOAL
y dyxe 2
10 2 dxxe x 01 1 0 dxxe 01 20 dye y ).1(21 1 e
,.4?
y dzdydxex 计算
,),1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( ACBA为有向折线其中?
Solution,
,01:
z
xyAB;01?由x,01,
x
yzBC ;01?由y
,01:
y
xzCA;10?由x
CABCAB
y dzdydx
01 )11( dx 01 )1( dyy 10 dx,21?
2,利用对称性简化计算
,)1( 轴时对称于当 xL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxPyxP
yxPyxPdxyxP
dxyxP LL 上
,)2( 轴时对称于当 yL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxQyxQ
yxQyxQdyyxQ
dyyxQ LL 右
,用对坐标的曲线积分的应四
. L dsFW?
),0(}2,2,{.5 22 axayxyxzyzFex 沿曲线求力场?
.)0,0,()0,0,(0 所作的功到自 aBaAzy
Solution.,
s i n
s i n
c os
taz
tay
tax
的参数方程选取
.0由t
xy dzxz dyy z dxW 22
0 232333 )c o ss in2c o ss in2s in( dtttattata
.34 3a
,系两类曲线积分之间的联五
,)( )(
sy
sxL
：设有向平面曲线弧为
)0,,( lss曲线弧长为参数一方面,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
l dsdsdyssQdsdxssP0 })](),([)](),([{
},{ dsdydsdxT其中 }c o s,{ c o s —— 单位切向量,
l dsssQssP0 }c o s)](),([c o s)](),([{
另一方面,
L
dsyxQyxP ]c os),(c os),([
l dsssQssP0 }c o s)](),([c o s)](),([{
LL dsQPQ d yPd x )c o sc o s(
,),(c o s,c o s 处的切向量的方向余弦在是其中 yxL
同样, dsRQPR d zQ d yPd x )c o sc o sc o s(
,),,(c o s,c o s,c o s 处的切向量的方向余弦在是 zyx
,),(),(.6 化为对弧长的曲线积分将
L
dyyxQdxyxPex
).1,1()0,0(2 22 到从是上半圆周其中 xyxL
Solution.,2,2xxyL为依题意
},{ dxdydxdxT
,2c os 2xx,1c o s x
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
dsxyxQxxyxP )]1)(,(2),([ 2
The end
},
2
1,1{
2xx
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第二类曲线积分教学要求：
1,理解 II型 (对坐标的 )曲线积分的概念和性质 ;
2,了解两类曲线积分的关系 ;
3,掌握计算 II型曲线积分的方法 ;
4,了解 II型曲线积分的应用,
,引例与概念一
,性质二
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(3) 物理意义,变力沿曲线作功,
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另一方面,
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同样, dsRQPR d zQ d yPd x )c o sc o sc o s(
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